Le trasformazioni reversibili

Una trasformazione è reversibile se e solo se l’entropia totale non cambia, cioè $\Delta S_\text{tot} = 0$. Questa condizione è molto più selettiva del solo primo principio: imponendola alla somma $\Delta S_\text{gas} + \Delta S_\text{term}$ e aggiungendo di volta in volta un vincolo diverso ($V$ costante, $P$ costante, $T$ costante oppure $Q=0$) si isolano esattamente quattro processi ideali. Sono le uniche trasformazioni rappresentabili come curve ben definite nel diagramma $P$-$V$ e il punto di partenza per costruire le macchine termiche.

• Cosa rende reversibile una trasformazione
• Formula generale dell’entropia del gas
• Isocora reversibile
• Isobara reversibile
• Isoterma reversibile
• Adiabatica reversibile
• Tabella riassuntiva delle trasformazioni

A transformation is reversible if and only if the total entropy does not change, that is $\Delta S_\text{tot} = 0$. This condition is far more selective than the first law alone: imposing it on the sum $\Delta S_\text{gas} + \Delta S_\text{term}$ and adding, in turn, a different constraint ($V$ constant, $P$ constant, $T$ constant, or $Q=0$) isolates exactly four ideal processes. These are the only transformations that can be represented as well-defined curves in the $P$-$V$ diagram, and the starting point for building heat engines.

• What makes a transformation reversible
• General formula for the entropy of the gas
• Reversible isochore
• Reversible isobar
• Reversible isotherm
• Reversible adiabat
• Summary table of the transformations

Perché una trasformazione di un gas sia reversibile, il gas deve restare infinitamente vicino all’equilibrio durante tutto il processo. Non basta che stato iniziale e stato finale siano di equilibrio: ogni singolo istante intermedio deve esserlo. Questa è una richiesta severa, che si spezza in due condizioni distinte da soddisfare simultaneamente.

La prima è l’equilibrio termico: la temperatura del gas deve essere uguale — o differire al più di un infinitesimo — da quella dei termostati con cui scambia calore. Se ci fosse un salto finito di temperatura tra gas e termostato, il calore fluirebbe spontaneamente dal caldo al freddo e genererebbe entropia, rendendo il processo irreversibile.

La seconda è l’equilibrio meccanico: la pressione del gas deve essere uguale — o differire di un infinitesimo — dalla pressione esterna che agisce sul pistone. Se la pressione interna superasse di una quantità finita quella esterna, il gas spingerebbe il pistone in modo brusco e non controllato, di nuovo producendo entropia.

Note

Una trasformazione reversibile è sempre infinitamente lenta: ad ogni istante il gas si trova in equilibrio. È il prezzo da pagare perché non compaia mai nemmeno un salto finito di temperatura o di pressione.

Approfondimento — Come si realizza in pratica

Una trasformazione reversibile si ottiene concretamente usando infiniti termostati a temperature progressivamente diverse, così che il gas passi da una temperatura all’altra sempre a contatto con un termostato quasi identico al suo stato. Per la pressione, si immagina di aggiungere granelli di sabbia uno alla volta sopra il pistone, cambiandone il carico in modo così graduale da non allontanare mai il gas dall’equilibrio meccanico. Nella realtà i processi reversibili sono un’idealizzazione utile: nessun processo reale è perfettamente reversibile, perché ogni trasformazione finita in tempo finito genera un po’ di entropia.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Secondo principio della termodinamica Oggetti: Gas ideale · Pistone e cilindro

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Problema — Vero o falso su reversibilità e cicli · Esercizio svolto — l’espansione libera non è reversibile

For a gas transformation to be reversible, the gas must remain infinitesimally close to equilibrium throughout the whole process. It is not enough for the initial and final states to be equilibrium states: every single intermediate instant must be too. This is a strict requirement, which splits into two distinct conditions that must be satisfied simultaneously.

The first is thermal equilibrium: the temperature of the gas must be equal — or differ by at most an infinitesimal amount — from that of the reservoirs with which it exchanges heat. If there were a finite temperature jump between the gas and the reservoir, heat would flow spontaneously from hot to cold and generate entropy, making the process irreversible.

The second is mechanical equilibrium: the pressure of the gas must be equal — or differ by an infinitesimal amount — from the external pressure acting on the piston. If the internal pressure were to exceed the external one by a finite amount, the gas would push the piston abruptly and uncontrollably, again producing entropy.

Note

A reversible transformation is always infinitely slow: at every instant the gas is in equilibrium. This is the price to pay so that not even a finite jump in temperature or pressure ever appears.

In depth — How this is achieved in practice

A reversible transformation is achieved in practice by using infinitely many reservoirs at progressively different temperatures, so that the gas moves from one temperature to the next always in contact with a reservoir almost identical to its own state. For pressure, imagine adding grains of sand one at a time onto the piston, changing its load so gradually that the gas is never pulled away from mechanical equilibrium. In reality, reversible processes are a useful idealisation: no real process is perfectly reversible, because every transformation that takes place in finite time generates a little entropy.

Connections

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Second law of thermodynamics Objects: Ideal gas · Piston and cylinder

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Problem — True or false about reversibility and cycles · Worked exercise — free expansion is not reversible

Lo strumento che permette di far discendere le quattro trasformazioni reversibili da un’unica condizione è la formula generale della variazione di entropia di un gas perfetto, già ricavata nel capitolo sull’entropia. Passando da uno stato $A$ a uno stato $B$, la variazione di entropia del gas dipende soltanto dagli stati estremi, non dal cammino seguito:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

Il primo termine misura il contributo del cambiamento di temperatura, il secondo quello del cambiamento di volume. A questa va affiancata la variazione di entropia di ogni termostato con cui il gas scambia una quantità di calore $Q$ mantenendosi a temperatura costante $T_\text{term}$:

$\Delta S_\text{term} = \frac{Q}{T_\text{term}}$

Formula chiave

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} \qquad \Delta S_\text{term} = \frac{Q}{T_\text{term}}$

Il meccanismo che genera le trasformazioni fondamentali è ora puramente algebrico. Si impone che l’entropia dell’universo non cambi,

$\Delta S_\text{tot} = \Delta S_\text{gas} + \Delta S_\text{term} = 0$

e si aggiunge, di volta in volta, il vincolo specifico del processo considerato: $V$ costante, oppure $P$ costante, oppure $T$ costante, oppure $Q=0$. Ciascuna scelta chiude il sistema e produce una delle quattro trasformazioni reversibili fondamentali — isocora, isobara, isoterma e adiabatica. Non sono quattro casi scelti a mano, ma le quattro facce di un’unica condizione.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica · Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Secondo principio della termodinamica · Trasformazioni termodinamiche Competenze: Bilancio entropico Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Esercizio svolto — l’espansione libera non è reversibile · Gas in espansione adiabatica reversibile

The tool that allows the four reversible transformations to be derived from a single condition is the general formula for the entropy change of an ideal gas, already derived in the chapter on entropy. Going from a state $A$ to a state $B$, the entropy change of the gas depends only on the end states, not on the path followed:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

The first term measures the contribution of the temperature change, the second that of the volume change. Alongside this we must add the entropy change of every reservoir with which the gas exchanges an amount of heat $Q$ while remaining at constant temperature $T_\text{term}$:

$\Delta S_\text{term} = \frac{Q}{T_\text{term}}$

Key formula

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} \qquad \Delta S_\text{term} = \frac{Q}{T_\text{term}}$

The mechanism that generates the fundamental transformations is now purely algebraic. We impose that the entropy of the universe does not change,

$\Delta S_\text{tot} = \Delta S_\text{gas} + \Delta S_\text{term} = 0$

and each time we add the specific constraint of the process under consideration: constant $V$, or constant $P$, or constant $T$, or $Q=0$. Each choice closes the system and produces one of the four fundamental reversible transformations — isochoric, isobaric, isothermal and adiabatic. These are not four cases picked by hand, but the four faces of a single condition.

Connections

Topics: Thermodynamics · Entropy and the second law Concepts: Entropy · Second law of thermodynamics · Thermodynamic transformations Skills: Entropy balance Objects: Ideal gas

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Worked exercise — free expansion is not reversible · Gas in reversible adiabatic expansion

L’isocora reversibile è la trasformazione ottenuta imponendo il vincolo di volume costante: $V_B = V_A$. Concretamente il pistone è bloccato, oppure il gas è chiuso in un contenitore rigido. Poiché il volume non cambia, il gas non muove alcun confine e quindi non compie lavoro sul pistone: $L_\text{gas} = 0$.

Perché la trasformazione sia reversibile, però, il gas non può essere scaldato di colpo a contatto con un solo termostato molto più caldo: deve scambiare calore con una sequenza continua di termostati, ciascuno a temperatura lievemente diversa dalla successiva, in modo da restare istante per istante in equilibrio termico. Tutto il calore assorbito va allora ad aumentare l’energia interna del gas, dato che nessuna parte di esso può trasformarsi in lavoro.

Applicando la formula generale dell’entropia, il termine legato al volume si annulla perché $\ln(V_B/V_A) = \ln 1 = 0$, e resta soltanto il contributo termico:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A}$

Il calore scambiato è quello che a volume costante fa variare l’energia interna, cioè $Q = nC_v(T_B - T_A)$.

Principio — Isocora reversibile

$\begin{aligned} V_B &= V_A \\ L_\text{gas} &= 0 \\ Q &= nC_v(T_B - T_A) \\ \Delta S_\text{gas} &= nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} \end{aligned}$

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia · Primo principio della termodinamica Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Problema — Ciclo rettangolare nel piano p-V · Problema — Area di un ciclo p-V

The reversible isochoric transformation is obtained by imposing the constraint of constant volume: $V_B = V_A$. In practice the piston is locked, or the gas is enclosed in a rigid container. Since the volume does not change, the gas does not move any boundary and therefore does no work on the piston: $L_\text{gas} = 0$.

For the transformation to be reversible, however, the gas cannot be heated suddenly by contact with a single, much hotter reservoir: it must exchange heat with a continuous sequence of reservoirs, each at a slightly different temperature from the next, so as to remain in thermal equilibrium at every instant. All the absorbed heat then goes into increasing the internal energy of the gas, since none of it can be converted into work.

Applying the general entropy formula, the volume-related term vanishes because $\ln(V_B/V_A) = \ln 1 = 0$, and only the thermal contribution remains:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A}$

The heat exchanged is what, at constant volume, changes the internal energy, i.e. $Q = nC_v(T_B - T_A)$.

Principle — Reversible isochoric transformation

$\begin{aligned} V_B &= V_A \\ L_\text{gas} &= 0 \\ Q &= nC_v(T_B - T_A) \\ \Delta S_\text{gas} &= nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} \end{aligned}$

Connections

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Entropy · First law of thermodynamics Skills: Solving a thermodynamic cycle Objects: Ideal gas

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Problem — Rectangular cycle in the p-V plane · Problem — Area of a p-V cycle

L’isobara reversibile è la trasformazione a pressione costante: $P_B = P_A$. Il pistone è libero di muoversi ma il carico che grava su di esso non cambia, così la pressione del gas resta bloccata al suo valore mentre volume e temperatura variano insieme.

Per ricavare la variazione di entropia conviene sfruttare la legge dei gas perfetti. A pressione costante il rapporto tra volume e temperatura è fissato, $V_B/V_A = T_B/T_A$, e quindi i due logaritmi coincidono:

$\ln\frac{V_B}{V_A} = \ln\frac{T_B}{T_A}$

Sostituendo nella formula generale, i due contributi — quello in $C_v$ e quello in $R$ — si sommano nello stesso logaritmo. Ricordando che $C_p = C_v + R$ per un gas perfetto:

$\Delta S_\text{gas} = (nC_v + nR)\,\ln\frac{T_B}{T_A} = nC_p\,\ln\frac{T_B}{T_A}$

Il lavoro è quello caratteristico di una trasformazione a pressione costante: la forza sul pistone è costante e il gas la moltiplica per lo spostamento di volume, $L_\text{gas} = P(V_B - V_A)$. Usando ancora la legge dei gas perfetti, $P\,\Delta V = nR\,\Delta T$. Il calore assorbito, a pressione costante, è governato dalla capacità termica $C_p$: $Q = nC_p(T_B - T_A)$.

Principio — Isobara reversibile

$\begin{aligned} P_B &= P_A \\ L_\text{gas} &= P(V_B - V_A) = nR(T_B - T_A) \\ Q &= nC_p(T_B - T_A) \\ \Delta S_\text{gas} &= nC_p\,\ln\frac{T_B}{T_A} \end{aligned}$

Il flusso di energia si visualizza bene con un diagramma a bolle: il calore $Q$ entra dal termostato ambiente nell’energia interna del gas, che a sua volta cede lavoro $L_\text{gas}$ al pistone, il quale infine spinge via l’atmosfera compiendo il lavoro $L_\text{atm}$.

Diagramma a bolle di un’isobara reversibile: il calore $Q$ entra dal termostato nell’energia interna del gas, che a sua volta fa lavoro $L_\text{gas}$ sul pistone, che a sua volta spinge via l’atmosfera ($L_\text{atm}$).

Attenzione — $L_\text{gas} = P\,\Delta V$ vale solo se reversibile

La formula $L_\text{gas} = P_\text{gas}\,\Delta V_\text{gas}$ richiede che la pressione del gas sia la pressione esterna sul pistone istante per istante. Questo è vero solo in una trasformazione reversibile. In un’espansione libera, per esempio, il gas non esercita pressione contro nulla ($P_\text{esterna} = 0$) e allora $L_\text{gas} = 0$ anche se $\Delta V > 0$.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia · Legge dei gas perfetti · Primo principio della termodinamica Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Gas ideale · Pistone e cilindro

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Problema — Ciclo rettangolare nel piano p-V · Espansione isoterma: ΔS del gas

The reversible isobaric transformation is the transformation at constant pressure: $P_B = P_A$. The piston is free to move but the load resting on it does not change, so the pressure of the gas stays fixed at its value while volume and temperature vary together.

To derive the entropy change it is convenient to exploit the ideal gas law. At constant pressure the ratio between volume and temperature is fixed, $V_B/V_A = T_B/T_A$, and so the two logarithms coincide:

$\ln\frac{V_B}{V_A} = \ln\frac{T_B}{T_A}$

Substituting into the general formula, the two contributions — the one in $C_v$ and the one in $R$ — add up within the same logarithm. Recalling that $C_p = C_v + R$ for an ideal gas:

$\Delta S_\text{gas} = (nC_v + nR)\,\ln\frac{T_B}{T_A} = nC_p\,\ln\frac{T_B}{T_A}$

The work is that characteristic of a constant-pressure transformation: the force on the piston is constant and the gas multiplies it by the volume displacement, $L_\text{gas} = P(V_B - V_A)$. Using the ideal gas law again, $P\,\Delta V = nR\,\Delta T$. The heat absorbed, at constant pressure, is governed by the heat capacity $C_p$: $Q = nC_p(T_B - T_A)$.

Principle — Reversible isobaric transformation

$\begin{aligned} P_B &= P_A \\ L_\text{gas} &= P(V_B - V_A) = nR(T_B - T_A) \\ Q &= nC_p(T_B - T_A) \\ \Delta S_\text{gas} &= nC_p\,\ln\frac{T_B}{T_A} \end{aligned}$

The energy flow is nicely visualised with a bubble diagram: heat $Q$ enters the internal energy of the gas from the ambient reservoir, which in turn hands work $L_\text{gas}$ to the piston, which finally pushes away the atmosphere by doing work $L_\text{atm}$.

Bubble diagram of a reversible isobaric transformation: heat $Q$ enters the internal energy of the gas from the reservoir, which in turn does work $L_\text{gas}$ on the piston, which in turn pushes away the atmosphere ($L_\text{atm}$).

Warning — $L_\text{gas} = P\,\Delta V$ only holds if reversible

The formula $L_\text{gas} = P_\text{gas}\,\Delta V_\text{gas}$ requires the pressure of the gas to be the external pressure on the piston at every instant. This is true only in a reversible transformation. In a free expansion, for example, the gas exerts no pressure against anything ($P_\text{esterna} = 0$) so $L_\text{gas} = 0$ even if $\Delta V > 0$.

Connections

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Entropy · Ideal gas law · First law of thermodynamics Skills: Solving a thermodynamic cycle Objects: Ideal gas · Piston and cylinder

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Problem — Rectangular cycle in the p-V plane · Isothermal expansion: ΔS of the gas

L’isoterma reversibile è la trasformazione a temperatura costante: $T_B = T_A = T$. Il gas resta in contatto con un unico termostato alla temperatura $T$, e proprio perché la temperatura non varia mai il gas non deve saltare tra termostati diversi: un solo bagno termico basta a mantenere l’equilibrio.

Poiché per un gas perfetto l’energia interna dipende solo dalla temperatura, a $T$ costante essa non cambia: $\Delta E_\text{int} = 0$. Il primo principio si riduce allora a un’uguaglianza netta tra calore assorbito e lavoro compiuto,

$Q = L_\text{gas}$

tutto il calore che entra viene interamente convertito in lavoro, senza scorte immagazzinate nel gas.

La variazione di entropia del gas segue dalla formula generale annullando il termine di temperatura, dato che $\ln(T_B/T_A) = 0$:

$\Delta S_\text{gas} = nR\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

Il valore del calore si ottiene imponendo la reversibilità. L’entropia del termostato varia di $\Delta S_\text{term} = -Q/T$ (perde il calore che il gas guadagna), e la condizione $\Delta S_\text{tot} = 0$ diventa:

$nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} - \frac{Q}{T} = 0 \;\Rightarrow\; Q = nRT\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

Principio — Isoterma reversibile

$\begin{aligned} T_B &= T_A = T \\ \Delta E_\text{int} &= 0 \\ Q &= L_\text{gas} = nRT\,\ln\frac{V_B}{V_A} \\ \Delta S_\text{gas} &= nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} \end{aligned}$

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia · Primo principio della termodinamica · Energia interna · Secondo principio della termodinamica Competenze: Bilancio entropico · Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Esercizio svolto — l’espansione libera non è reversibile · Gas in espansione adiabatica reversibile

The reversible isotherm is the transformation at constant temperature: $T_B = T_A = T$. The gas remains in contact with a single thermostat at temperature $T$, and precisely because the temperature never varies the gas does not need to jump between different thermostats: a single heat bath is enough to maintain equilibrium.

Since for an ideal gas the internal energy depends only on temperature, at constant $T$ it does not change: $\Delta E_\text{int} = 0$. The first law then reduces to a direct equality between the heat absorbed and the work done,

$Q = L_\text{gas}$

all the heat that enters is entirely converted into work, with no reserves stored in the gas.

The change in entropy of the gas follows from the general formula by cancelling out the temperature term, since $\ln(T_B/T_A) = 0$:

$\Delta S_\text{gas} = nR\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

The value of the heat is obtained by imposing reversibility. The entropy of the thermostat changes by $\Delta S_\text{term} = -Q/T$ (it loses the heat gained by the gas), and the condition $\Delta S_\text{tot} = 0$ becomes:

$nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} - \frac{Q}{T} = 0 \;\Rightarrow\; Q = nRT\,\ln\frac{V_B}{V_A}$

Principle — Reversible isotherm

$\begin{aligned} T_B &= T_A = T \\ \Delta E_\text{int} &= 0 \\ Q &= L_\text{gas} = nRT\,\ln\frac{V_B}{V_A} \\ \Delta S_\text{gas} &= nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} \end{aligned}$

Links

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Entropy · First law of thermodynamics · Internal energy · Second law of thermodynamics Skills: Entropy balance · Solving a thermodynamic cycle Objects: Ideal gas

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Worked exercise — free expansion is not reversible · Gas in reversible adiabatic expansion

L’adiabatica reversibile è la trasformazione con il vincolo $Q = 0$: il gas non ha alcun contatto termico con l’esterno. Non essendoci termostati, non c’è nemmeno entropia scambiata con l’ambiente, $\Delta S_\text{term} = 0$, e la condizione di reversibilità $\Delta S_\text{tot} = 0$ si scarica interamente sul gas:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} = 0$

Questa non è più solo un valore da calcolare: è un’equazione che lega temperatura e volume durante tutto il processo. Portando i due termini a bilanciarsi ed esponenziando, la combinazione $T\,V^{\,R/C_v}$ deve restare costante; introducendo l’esponente adiabatico $\gamma = C_p/C_v$ la relazione assume la sua forma celebre, che in variabili $P$-$V$ diventa $P\,V^\gamma = \text{cost}$.

Formula chiave

$\ev{T\,V^{\gamma-1} = \text{cost} \qquad P\,V^\gamma = \text{cost}}$ dove $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{f+2}{f}$.

Il coefficiente $\gamma$ dipende soltanto dai gradi di libertà $f$ della molecola: per un gas monoatomico $f=3$ e $\gamma = 5/3$, per un biatomico $f=5$ e $\gamma = 7/5$.

Sul fronte energetico, con $Q = 0$ il primo principio dice che tutto il lavoro compiuto dal gas viene prelevato dalla sua energia interna. Un’espansione adiabatica raffredda quindi il gas, una compressione lo scalda:

$\Delta E_\text{int} = -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A)$

Principio — Sintesi adiabatica reversibile

$\begin{aligned} Q &= 0 \\ \Delta S_\text{gas} &= 0 \\ \Delta E_\text{int} &= -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A) \end{aligned}$

Nota storica

La formula $P\,V^\gamma = \text{cost}$ fu trovata per la prima volta da Siméon Poisson nel 1823, prima ancora che si definisse chiaramente il concetto di entropia. Solo decenni più tardi si capì che essa è una conseguenza diretta della condizione $\Delta S_\text{gas} = 0$.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia · Primo principio della termodinamica · Energia interna · Secondo principio della termodinamica Competenze: Bilancio entropico · Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Esercizio svolto — l’espansione libera non è reversibile · Gas in espansione adiabatica reversibile

The reversible adiabat is the transformation with the constraint $Q = 0$: the gas has no thermal contact with the outside. Since there are no thermostats, there is no entropy exchanged with the environment either, $\Delta S_\text{term} = 0$, and the reversibility condition $\Delta S_\text{tot} = 0$ falls entirely on the gas:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} = 0$

This is no longer just a value to calculate: it is an equation linking temperature and volume throughout the whole process. Balancing the two terms and exponentiating, the combination $T\,V^{\,R/C_v}$ must remain constant; introducing the adiabatic exponent $\gamma = C_p/C_v$ the relation takes its celebrated form, which in $P$-$V$ variables becomes $P\,V^\gamma = \text{const}$.

Key formula

$\ev{T\,V^{\gamma-1} = \text{const} \qquad P\,V^\gamma = \text{const}}$ where $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{f+2}{f}$.

The coefficient $\gamma$ depends only on the degrees of freedom $f$ of the molecule: for a monatomic gas $f=3$ and $\gamma = 5/3$, for a diatomic gas $f=5$ and $\gamma = 7/5$.

On the energy side, with $Q = 0$ the first law says that all the work done by the gas is drawn from its internal energy. An adiabatic expansion therefore cools the gas, while a compression heats it:

$\Delta E_\text{int} = -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A)$

Principle — Summary of the reversible adiabat

$\begin{aligned} Q &= 0 \\ \Delta S_\text{gas} &= 0 \\ \Delta E_\text{int} &= -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A) \end{aligned}$

Historical note

The formula $P\,V^\gamma = \text{const}$ was first found by Siméon Poisson in 1823, even before the concept of entropy was clearly defined. Only decades later was it understood to be a direct consequence of the condition $\Delta S_\text{gas} = 0$.

Links

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Entropy · First law of thermodynamics · Internal energy · Second law of thermodynamics Skills: Entropy balance · Solving a thermodynamic cycle Objects: Ideal gas

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Worked exercise — free expansion is not reversible · Gas in reversible adiabatic expansion

Le quattro trasformazioni reversibili nascono tutte dalla stessa condizione $\Delta S_\text{tot} = 0$, differenziata dal vincolo imposto. La tabella raccoglie per ciascuna il vincolo caratteristico, il lavoro compiuto dal gas, il calore scambiato e la variazione di entropia del gas: è lo schema di riferimento da tenere sott’occhio quando si risolve un ciclo componendo più tratti.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico · Lettura dei grafici Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Problema — Ciclo di Carnot nel piano T-S · Ranking ΔS in tre dilatazioni

The four reversible transformations all arise from the same condition $\Delta S_\text{tot} = 0$, distinguished by the constraint imposed. The table collects, for each one, the characteristic constraint, the work done by the gas, the heat exchanged and the change in entropy of the gas: it is the reference scheme to keep in mind when solving a cycle made up of several segments.

Links

Topics: Thermodynamics Concepts: Thermodynamic transformations · Entropy Skills: Solving a thermodynamic cycle · Reading graphs Objects: Ideal gas

Related exercises: Worked exercise — reversible vs irreversible isothermal expansion · Problem — Carnot cycle in the T-S plane · Ranking ΔS in three expansions