Dispersione, prisma, arcobaleno

Finché si tratta l’indice di rifrazione come una costante, la luce bianca resta bianca. Ma $n$ dipende dalla lunghezza d’onda, e da questa piccola dipendenza nasce tutto il colore del mondo ottico. Questa sezione parte dalla dispersione cromatica, la illustra con l’esperimento storico del prisma di Newton e la ritrova nel più spettacolare dei fenomeni naturali, l’arcobaleno.

• Dispersione cromatica
  • Perché il cielo è blu e il tramonto è rosso: la diffusione di Rayleigh
• Il prisma di Newton
• Arcobaleno

As long as the refractive index is treated as a constant, white light stays white. But $n$ depends on wavelength, and from this small dependence springs all the colour of the optical world. This section starts from chromatic dispersion, illustrates it with Newton’s historic prism experiment, and finds it again in the most spectacular of natural phenomena, the rainbow.

• Chromatic dispersion
  • Why the sky is blue and the sunset is red: Rayleigh scattering
• Newton’s prism
• Rainbow

Finora abbiamo trattato l’indice di rifrazione $n$ come una costante. In realtà $n$ dipende dalla lunghezza d’onda $\lambda$ della luce incidente: è il fenomeno della dispersione. Per quasi tutti i materiali trasparenti $n$ diminuisce all’aumentare di $\lambda$, e quindi il violetto si rifrange più del rosso.

Principio — Dispersione cromatica

In un mezzo dispersivo l’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda: $n = n(\lambda)$ Per il vetro silice nel visibile, $n \approx 1{,}53$ per il rosso e $n \approx 1{,}55$ per il violetto: una differenza di circa l’$1\%$, sufficiente a separare i colori (Halliday, Resnick e Walker 2014).

Questa piccola dipendenza è la chiave di tutti i fenomeni cromatici della rifrazione: se colori diversi viaggiano nel vetro con velocità leggermente diverse, allora ognuno viene deviato di un angolo suo, e la luce bianca che entra unita esce separata in un ventaglio di colori.

Perché il cielo è blu e il tramonto è rosso: la diffusione di Rayleigh

La luce del Sole che attraversa l’atmosfera fa oscillare gli elettroni delle molecole d’aria, soprattutto azoto e ossigeno, che la riemettono in tutte le direzioni: è la diffusione (in inglese scattering). Quando le particelle diffondenti sono molto più piccole della lunghezza d’onda, come le molecole d’aria rispetto alla luce visibile, l’intensità diffusa dipende fortemente da $\lambda$:

$\ev{I_\text{diffusa} \propto \frac{1}{\lambda^4}}$

È la diffusione di Rayleigh (OpenStax, College Physics 2e, cap. 27), dallo stesso Lord Rayleigh del criterio di risoluzione. Il blu, con $\lambda \approx 450\;\text{nm}$, viene diffuso circa $(700/450)^4 \approx 5{,}9$ volte più del rosso, con $\lambda \approx 700\;\text{nm}$.

Il cielo è blu. Guardando in una direzione lontana dal Sole vediamo solo luce diffusa, ricca di lunghezze d’onda corte: il cielo appare azzurro. Senza atmosfera, come sulla Luna, il cielo resta nero anche di giorno. Il violetto verrebbe diffuso ancora di più, ma la luce del Sole ne contiene meno del blu e il nostro occhio è poco sensibile a quei colori; il video qui sotto mostra perché il colore che percepiamo non è un blu puro.

Il tramonto è rosso. Quando il Sole è basso sull’orizzonte, la sua luce attraversa uno strato d’aria molto più lungo prima di arrivare a noi. Lungo il cammino gran parte del blu viene diffusa fuori dal fascio, e ciò che resta è arancione e rosso.

Le nuvole sono bianche. Le goccioline d’acqua delle nuvole sono molto più grandi della lunghezza d’onda e diffondono tutti i colori quasi allo stesso modo (diffusione di Mie): la luce diffusa resta bianca.

La luce del cielo è polarizzata. La luce solare fa oscillare gli elettroni perpendicolarmente alla propria direzione, quindi la luce diffusa a $90^\circ$ dal Sole è fortemente polarizzata. Si vede guardando il cielo attraverso occhiali da sole polarizzati e ruotandoli: la luminosità aumenta e diminuisce (OpenStax, University Physics Volume 3, §1.7).

La Luna rossa nelle eclissi. Durante un’eclissi totale la Luna è nell’ombra della Terra, ma un po’ di luce solare la raggiunge lo stesso, deviata (rifratta) dall’atmosfera terrestre. Attraversando tanta aria, quella luce ha perso il blu come al tramonto, e la Luna appare rossastra.

Da non confondere con la dispersione. Nella dispersione i colori si separano perché l’indice di rifrazione $n$ dipende da $\lambda$; nella diffusione di Rayleigh perché la luce viene diffusa più o meno a seconda di $\lambda$.

A mezzogiorno la luce solare attraversa poca aria; al tramonto ne attraversa molta di più e perde gran parte del blu per diffusione (spessore dell’atmosfera molto esagerato).

▶Perché il cielo non è (davvero) blu — Veritasium

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Argomenti: Ottica Concetti: Dispersione cromatica

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So far we have treated the refractive index $n$ as a constant. In reality $n$ depends on the wavelength $\lambda$ of the incident light: this is the phenomenon of dispersion. For almost all transparent materials $n$ decreases as $\lambda$ increases, so violet is refracted more than red.

Principle — Chromatic dispersion

In a dispersive medium the refractive index depends on wavelength: $n = n(\lambda)$ For silica glass in the visible range, $n \approx 1{,}53$ for red and $n \approx 1{,}55$ for violet: a difference of about $1\%$, enough to separate the colours (Halliday, Resnick and Walker 2014).

This small dependence is the key to all chromatic phenomena of refraction: if different colours travel through glass at slightly different speeds, then each is deviated by its own angle, and white light that enters as one exits separated into a fan of colours.

Why the sky is blue and the sunset is red: Rayleigh scattering

Sunlight crossing the atmosphere makes the electrons of air molecules, mostly nitrogen and oxygen, oscillate, and they re-emit it in all directions: this is scattering. When the scattering particles are much smaller than the wavelength, as air molecules are compared with visible light, the scattered intensity depends strongly on $\lambda$:

$\ev{I_\text{scattered} \propto \frac{1}{\lambda^4}}$

This is Rayleigh scattering (OpenStax, College Physics 2e, ch. 27), named after the same Lord Rayleigh of the resolution criterion. Blue, with $\lambda \approx 450\;\text{nm}$, is scattered about $(700/450)^4 \approx 5.9$ times more than red, with $\lambda \approx 700\;\text{nm}$.

The sky is blue. Looking in a direction away from the Sun we see only scattered light, rich in short wavelengths: the sky looks blue. Without an atmosphere, as on the Moon, the sky stays black even in daytime. Violet would be scattered even more, but sunlight contains less of it than blue and our eyes are not very sensitive to those colours; the video below shows why the colour we perceive is not a pure blue.

The sunset is red. When the Sun is low on the horizon, its light crosses a much longer layer of air before reaching us. Along the way much of the blue is scattered out of the beam, and what is left is orange and red.

Clouds are white. The water droplets in clouds are much larger than the wavelength and scatter all colours in almost the same way (Mie scattering): the scattered light stays white.

Skylight is polarized. Sunlight makes the electrons oscillate perpendicular to its direction of travel, so light scattered at $90^\circ$ from the Sun is strongly polarized. You can see it by looking at the sky through polarizing sunglasses and rotating them: the brightness goes up and down (OpenStax, University Physics Volume 3, §1.7).

The red Moon during eclipses. During a total eclipse the Moon is in the Earth’s shadow, but some sunlight still reaches it, bent (refracted) by the Earth’s atmosphere. Having crossed so much air, that light has lost its blue as at sunset, and the Moon looks reddish.

Not to be confused with dispersion. In dispersion the colours separate because the refractive index $n$ depends on $\lambda$; in Rayleigh scattering because light is scattered more or less depending on $\lambda$.

At midday sunlight crosses little air; at sunset it crosses much more and loses most of its blue by scattering (thickness of the atmosphere greatly exaggerated).

▶Why the Sky ISN'T Blue — Veritasium

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Topics: Optics Concepts: Chromatic dispersion

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Quando un fascio di luce bianca attraversa un prisma, le sue componenti monocromatiche subiscono rifrazioni di angoli leggermente diversi: in uscita la luce esce “aperta a ventaglio” nello spettro visibile completo, dal rosso al violetto. È l’esperimento storico di Newton (1665, durante l’epidemia di peste che chiuse Cambridge): con un secondo prisma rovesciato, dimostrò di poter ricomporre la luce bianca a partire dallo spettro di colori.

Il prisma separa la luce bianca nello spettro visibile: ogni colore, avendo un indice di rifrazione leggermente diverso, esce con un angolo suo.

Formula chiave

Bianco $=$ sovrapposizione di tutte le frequenze visibili. Il prisma le separa perché ciascun colore si rifrange di un angolo suo.

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When a beam of white light passes through a prism, its monochromatic components undergo refractions at slightly different angles: on exit, the light fans out into the complete visible spectrum, from red to violet. This is Newton’s historic experiment (1665, during the plague epidemic that closed Cambridge): with a second, inverted prism, he showed he could recombine white light starting from the spectrum of colours.

The prism separates white light into the visible spectrum: each colour, having a slightly different refractive index, exits at its own angle.

Key formula

White $=$ superposition of all visible frequencies. The prism separates them because each colour is refracted by its own angle.

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L’arcobaleno è la versione naturale dell’esperimento del prisma. Ogni gocciolina d’acqua sospesa in un nubifragio funziona da piccolo prisma sferico. La luce solare compie tre passaggi: entra nella goccia (prima rifrazione, con dispersione); viene riflessa internamente sulla parete opposta (la condizione non è di riflessione totale, ma di riflessione parziale); esce dalla goccia (seconda rifrazione, con ulteriore dispersione).

L’angolo di uscita dipende dalla lunghezza d’onda: $\sim 42^\circ$ per il rosso, $\sim 40^\circ$ per il violetto. L’osservatore vede così il rosso all’esterno dell’arco e il violetto all’interno.

In ogni goccia la luce si rifrange entrando, si riflette sulla parete interna e si rifrange di nuovo uscendo: la dispersione a ogni rifrazione separa i colori.

Arcobaleno secondario

A volte sopra l’arco principale ne compare un secondo, più largo e sbiadito, con i colori invertiti (violetto fuori, rosso dentro). È prodotto da due riflessioni interne nella goccia: la sequenza rifrazione-riflessione-riflessione-rifrazione. Ogni riflessione parziale fa perdere intensità, quindi il secondario è più debole.

Goethe contro Newton

Goethe passò trent’anni della sua vita a tentare di smontare l’Optica di Newton (1810: Zur Farbenlehre). Sosteneva che il bianco è una qualità percettiva primaria, non una sovrapposizione fisica di colori. Aveva torto sul piano fisico, ma intuiva qualcosa di profondo: la percezione del colore non coincide con la fisica della radiazione, ed è una storia di sistemi neuro-cerebrali. La fisica e la psicologia della visione, in fondo, sono due capitoli diversi, e Newton aveva ragione solo nel primo.

▶Quello che (forse) non ti hanno insegnato sull'arcobaleno — Veritasium

▶8.02x Lez. 31 — Arcobaleni, aloni — Walter Lewin

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Argomenti: Ottica Concetti: Dispersione cromatica · Rifrazione e legge di Snell

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The rainbow is the natural version of the prism experiment. Every droplet of water suspended in a rain shower acts as a tiny spherical prism. Sunlight undergoes three steps: it enters the droplet (first refraction, with dispersion); it is reflected internally off the opposite wall (the condition is not total reflection, but partial reflection); it leaves the droplet (second refraction, with further dispersion).

The exit angle depends on the wavelength: $\sim 42^\circ$ for red, $\sim 40^\circ$ for violet. The observer thus sees red on the outside of the arc and violet on the inside.

In each droplet the light refracts on entering, reflects off the inner wall, and refracts again on leaving: dispersion at each refraction separates the colours.

Secondary rainbow

Sometimes a second, wider and fainter arc appears above the primary one, with the colours reversed (violet outside, red inside). It is produced by two internal reflections in the droplet: the sequence refraction–reflection–reflection–refraction. Each partial reflection loses intensity, so the secondary arc is weaker.

Goethe against Newton

Goethe spent thirty years of his life trying to dismantle Newton’s Opticks (1810: Zur Farbenlehre). He argued that white is a primary perceptual quality, not a physical superposition of colours. He was wrong on the physical level, but he sensed something profound: the perception of colour does not coincide with the physics of radiation, and is a story about neuro-cerebral systems. The physics and the psychology of vision are, in the end, two different chapters, and Newton was right only in the first.

▶What They (Probably) Don't Teach You About Rainbows — Veritasium

▶8.02x Lect 31 — Rainbows, Haloes — Walter Lewin

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