Equilibrio statico

Un corpo è in equilibrio statico quando sta fermo e continua a restare fermo nel tempo. Capire quando questo accade è il primo passo verso lo studio delle forze: se sappiamo scrivere le condizioni che tengono un corpo immobile, sappiamo anche prevedere quando invece comincerà a muoversi. Questa sezione parte dal caso più semplice, il punto materiale, per poi estendere il discorso al corpo rigido, dove non basta più annullare le forze ma occorre annullare anche i momenti.

• Equilibrio del punto materiale
• Corpo rigido ed equilibrio rotazionale

A body is in static equilibrium when it is at rest and remains at rest over time. Understanding when this happens is the first step towards the study of forces: if we can write the conditions that keep a body still, we can also predict when it will instead start to move. This section starts from the simplest case, the point mass, and then extends the discussion to the rigid body, where it is no longer enough to cancel the forces, but the moments must be cancelled too.

• Equilibrio del punto materiale
• Corpo rigido ed equilibrio rotazionale

Un corpo è in equilibrio statico se sta fermo e continua a stare fermo nel tempo. Per un punto materiale — un oggetto così piccolo da poterne trascurare le dimensioni e la forma — questa condizione si traduce in un requisito semplicissimo sulle forze che agiscono su di esso: la loro risultante deve essere nulla. Se anche una sola direzione restasse “scoperta”, il punto comincerebbe ad accelerare in quel verso e l’equilibrio sarebbe rotto.

Principio — Condizione di equilibrio per un punto materiale

$\ev{\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}}$ La somma vettoriale di tutte le forze agenti sul punto deve essere nulla.

Trattandosi di un’uguaglianza fra vettori, essa equivale a più uguaglianze scalari, una per ogni direzione dello spazio. Lavorando nel piano, la condizione $\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}$ si spezza in due equazioni indipendenti:

$\begin{aligned} \sum_i F_{i,x} = 0 \qquad \sum_i F_{i,y} = 0 \end{aligned}$

cioè la somma di tutte le componenti orizzontali è zero e la somma di tutte le componenti verticali è zero. Ogni forza va prima scomposta lungo gli assi scelti, poi si sommano separatamente le componenti $x$ e le componenti $y$. Scegliere assi comodi — spesso uno lungo la direzione di una forza nota — semplifica moltissimo i conti.

Regola delle $N$ incognite

Se in un problema compaiono $N$ incognite (forze, angoli, lunghezze di molle, reazioni vincolari…), per determinarle tutte servono almeno $N$ equazioni diverse e non banali: una relazione del tipo $0 = 0$ non conta. Quando le due condizioni $\sum \vv{F} = \vv{0}$ non bastano, la terza equazione arriva quasi sempre da una relazione geometrica del disegno: lunghezze di molle che sommano a una distanza fissa, angoli complementari, corde che passano per pulegge. In molti problemi è letteralmente impossibile arrivare alla soluzione senza leggere la geometria della figura.

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A body is in static equilibrium if it is at rest and remains at rest over time. For a point mass — an object so small that its dimensions and shape can be neglected — this condition translates into a very simple requirement on the forces acting on it: their resultant must be zero. If even a single direction were left “uncovered”, the point would begin to accelerate in that sense and the equilibrium would be broken.

Principle — Equilibrium condition for a point mass

$\ev{\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}}$ The vector sum of all forces acting on the point must be zero.

Being an equality between vectors, it is equivalent to several scalar equalities, one for each direction in space. Working in the plane, the condition $\sum_i \vv{F}_i = \vv{0}$ splits into two independent equations:

$\begin{aligned} \sum_i F_{i,x} = 0 \qquad \sum_i F_{i,y} = 0 \end{aligned}$

that is, the sum of all horizontal components is zero and the sum of all vertical components is zero. Each force must first be resolved along the chosen axes, then the $x$ components and the $y$ components are summed separately. Choosing convenient axes — often one along the direction of a known force — greatly simplifies the working.

Rule of $N$ unknowns

If a problem contains $N$ unknowns (forces, angles, spring lengths, normal reactions…), determining all of them requires at least $N$ distinct, non-trivial equations: a relation of the form $0 = 0$ does not count. When the two conditions $\sum \vv{F} = \vv{0}$ are not enough, the third equation almost always comes from a geometric relation in the diagram: spring lengths that add up to a fixed distance, complementary angles, ropes running over pulleys. In many problems it is literally impossible to reach the solution without reading the geometry of the figure.

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Finora abbiamo trattato oggetti puntiformi, in cui tutte le forze si applicano nello stesso punto. Ma un’asse, una trave o una scala hanno un’estensione, e le forze agiscono su punti diversi: questo apre la possibilità che il corpo ruoti anche quando il suo centro resta fermo. Serve quindi un modello più ricco.

Principio — Corpo rigido

Un corpo rigido è un oggetto esteso (non puntiforme) in cui la distanza tra ogni coppia di punti è fissa e immutabile nel tempo. Esempi: una sbarra d’acciaio, un libro chiuso, un mattone. Controesempi: una fune, un elastico, un gas.

Per un corpo rigido in equilibrio statico non basta che la somma delle forze sia nulla. Immaginiamo di spingere il bordo destro di un libro verso l’alto e il bordo sinistro verso il basso con due forze uguali e opposte: la risultante è zero, il centro del libro non trasla, eppure il libro si mette a ruotare. Per impedirlo occorre annullare anche la tendenza a far girare il corpo, cioè la somma dei momenti delle forze.

Principio — Equilibrio di un corpo rigido

Un corpo rigido è in equilibrio statico se e solo se sono verificate entrambe le condizioni: $\begin{aligned} \sum_i \vv{F}_i = \vv{0} \quad \text{(equilibrio traslazionale)} \\ \sum_i M_i = 0 \quad \text{(equilibrio rotazionale, rispetto a un polo qualsiasi)} \end{aligned}$

Il momento (o torque) di una forza $\vv{F}$ rispetto a un polo $O$ misura la sua capacità di far ruotare il corpo attorno a quel polo, ed è

$M = \pm\,\abs{\vv{F}}\cdot b$

dove $b$ è la distanza dal polo alla retta su cui giace la forza, detta braccio. Il braccio non è la distanza dal punto di applicazione, ma dalla retta d’azione: una forza che punta dritto verso il polo ha braccio nullo e non fa ruotare nulla. Il segno è positivo se la forza tende a far ruotare in senso antiorario attorno al polo, negativo se in senso orario.

Scegli il polo furbamente

La seconda condizione vale rispetto a un polo qualsiasi: siamo liberi di scegliere quello che ci conviene. Un polo posto sul punto di applicazione di una forza ignota la elimina dall’equazione dei momenti, perché quella forza avrà braccio zero. Con una scelta accorta si può passare da tre incognite a una sola: la scelta del polo è libera ma decisiva per velocizzare i conti.

Il concetto di momento è centrale in gran parte della meccanica: lo ritroveremo e lo approfondiremo studiando il centro di massa dei corpi estesi e, più avanti, la dinamica delle rotazioni, dove i momenti governano non solo l’equilibrio ma anche il moto rotatorio vero e proprio.

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So far we have treated point-like objects, in which all forces are applied at the same point. But a rod, a beam or a ladder have an extent, and forces act on different points: this opens up the possibility that the body rotates even when its centre stays still. A richer model is therefore needed.

Principle — Rigid body

A rigid body is an extended (non point-like) object in which the distance between every pair of points is fixed and unchanging in time. Examples: a steel bar, a closed book, a brick. Counter-examples: a rope, an elastic band, a gas.

For a rigid body in static equilibrium it is not enough that the sum of the forces be zero. Imagine pushing the right edge of a book upward and the left edge downward with two equal and opposite forces: the resultant is zero, the centre of the book does not translate, and yet the book starts to rotate. To prevent this, the tendency to make the body spin must also be cancelled out, i.e. the sum of the moments of the forces.

Principle — Equilibrium of a rigid body

A rigid body is in static equilibrium if and only if both conditions are satisfied: $\begin{aligned} \sum_i \vv{F}_i = \vv{0} \quad \text{(translational equilibrium)} \\ \sum_i M_i = 0 \quad \text{(rotational equilibrium, about any pole)} \end{aligned}$

The moment (or torque) of a force $\vv{F}$ about a pole $O$ measures its ability to rotate the body about that pole, and is

$M = \pm\,\abs{\vv{F}}\cdot b$

where $b$ is the distance from the pole to the line of action of the force, called the lever arm. The lever arm is not the distance from the point of application, but from the line of action: a force pointing straight at the pole has zero lever arm and causes no rotation at all. The sign is positive if the force tends to rotate anticlockwise about the pole, negative if clockwise.

Choose the pole wisely

The second condition holds about any pole: we are free to choose the one that suits us. A pole placed at the point of application of an unknown force removes it from the moment equation, because that force will have zero lever arm. With a shrewd choice one can go from three unknowns to just one: the choice of pole is free but decisive for speeding up the working.

The concept of moment is central to much of mechanics: we shall meet it again, and go further into it, when studying the centre of mass of extended bodies and, later, the dynamics of rotation, where moments govern not only equilibrium but genuine rotational motion.

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