Esercizi

Questa raccolta accompagna il capitolo Grandezze fisiche, stime, equilibrio con esercizi svolti passo per passo e problemi da affrontare in autonomia. Si parte dalle unità di misura, dalle cifre significative e dalle stime di Fermi, per arrivare alla trigonometria, ai vettori e all’equilibrio statico. Gli esercizi svolti mostrano un metodo completo; i problemi mettono alla prova ciò che si è imparato.

Esercizi

• Il rubinetto che perde
• Area di un rettangolo misurato
• Cane o gatto: il sondaggio della classe
• Quanto è grande uno stanzino in litri
• Banane per sfamare la popolazione italiana
• Un parcheggio gigante per tutte le auto del mondo
• Il cubo di piombo dimezzato
• L’angolo del sole dall’ombra
• L’altezza della Torre Eiffel
• Itinerario Imola-Lugo
• Blocco appeso a due funi
• Il Gorilla tira una cassa
• Scatola con molla: zona di equilibrio
• Palla tra due molle parallele
• Sistema con due masse e puleggia
• Giostra quadrata
• Scala appoggiata a un muro liscio
• Trave con due carichi sospesa a due funi
• Pressa per la frutta
• Pressione del cuore
• Un pezzo di legno in acqua con benzina
• Archimede su un essere umano nell’aria
• La colonna d’aria che schiaccia i nostri piedi
• Sifone dalla bottiglia
• Volume di un parallelepipedo
• Conversioni elementari
• Vero o falso sui vettori
• Capelli in testa
• Risultante di due forze
• Quadro a due fili
• Derivazione di Stevino
• Mar Adriatico
• Cubetto di ferro in acqua
• Martello e piuma sottovuoto
• Ranking di incertezze relative
• La bilancia digitale
• Quanti capelli ha una testa
• Riso da cucina, modo Fermi
• Analisi dimensionale del pendolo
• Ranking di ordini di grandezza
• Cifre significative al supermercato
• La massa dell’atmosfera
• Vero o falso (analisi dimensionale)
• Linearizzare il pendolo
• Fondamentali o derivate
• Ordini di grandezza familiari
• Conversione di unità composte
• Dalle cifre significative al numero
• SI senza secondo
• Respiri in una vita

This collection accompanies the chapter Physical quantities, estimates, equilibrium with worked exercises, solved step by step, and problems to tackle independently. It starts from units of measurement, significant figures and Fermi estimates, and moves on to trigonometry, vectors and static equilibrium. The worked exercises show a complete method; the problems test what has been learned.

Exercises

• The leaking tap
• Area of a measured rectangle
• Dog or cat: the class survey
• How big is a small room, in litres
• Bananas to feed the Italian population
• A giant car park for all the world’s cars
• The halved lead cube
• The angle of the sun from the shadow
• The height of the Eiffel Tower
• Imola-Lugo route
• Block hanging from two ropes
• The gorilla pulls a crate
• Box with spring: equilibrium zone
• Ball between two parallel springs
• System with two masses and a pulley
• Square carousel
• Ladder leaning against a smooth wall
• Beam with two loads suspended from two ropes
• Fruit press
• Heart pressure
• A piece of wood in water with petrol
• Archimedes’ principle on a human being in air
• The column of air crushing our feet
• Siphon from the bottle
• Volume of a parallelepiped
• Elementary conversions
• True or false on vectors
• Hairs on a head
• Resultant of two forces
• Picture on two wires
• Derivation of Stevin’s law
• Adriatic Sea
• Iron cube in water
• Hammer and feather in a vacuum
• Ranking of relative uncertainties
• The digital scale
• How many hairs does a head have
• Kitchen rice, Fermi style
• Dimensional analysis of the pendulum
• Ranking of orders of magnitude
• Significant figures at the supermarket
• The mass of the atmosphere
• True or false (dimensional analysis)
• Linearising the pendulum
• Fundamental or derived
• Familiar orders of magnitude
• Conversion of compound units
• From significant figures to the number
• SI without the second
• Breaths in a lifetime

Testo

Un rubinetto lascia cadere $30\;\text{cL}$ d’acqua ogni $4\;\text{s}$. Quanti litri si riempiono in 3 giorni?

Soluzione

Passo 1 — Conversione in unità coerenti. Prima convertiamo il tempo in secondi e il volume in litri, così da poter combinare i dati senza ambiguità.

$3\;\text{giorni} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}$

Passo 2 — Portata del rubinetto. La portata è il volume perso nell’unità di tempo:

$Q = \frac{0{,}3\;\text{L}}{4\;\text{s}} = 0{,}075\;\text{L/s}$

Passo 3 — Volume totale in 3 giorni. Moltiplicando la portata per il tempo complessivo:

$\ev{V = Q\cdot t = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3}$

È l’equivalente di uno stanzino di $3\times 3\times 2$ metri riempito completamente d’acqua!

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Conversione di unità Metodi: Metodo dei fattori di conversione

Problem

A tap drips $30\;\text{cL}$ of water every $4\;\text{s}$. How many litres fill up in 3 days?

Solution

Step 1 — Conversion to consistent units. First we convert the time to seconds and the volume to litres, so we can combine the data without ambiguity.

$3\;\text{days} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}$

Step 2 — Flow rate of the tap. The flow rate is the volume lost per unit time:

$Q = \frac{0{,}3\;\text{L}}{4\;\text{s}} = 0{,}075\;\text{L/s}$

Step 3 — Total volume over 3 days. Multiplying the flow rate by the total time:

$\ev{V = Q\cdot t = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3}$

That is the equivalent of a $3\times 3\times 2$ metre box room filled completely with water!

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Topics: Grandezze fisiche e misura Skills: Conversione di unità Methods: Metodo dei fattori di conversione

Testo

Un rettangolo ha i lati misurati in intervalli: altezza $h = [1{,}3\;;\;1{,}4]\;\text{cm}$ e base $b = [6{,}2\;;\;6{,}3]\;\text{cm}$. Qual è l’intervallo in cui cade la sua area?

Soluzione

Passo 1 — Aritmetica degli intervalli. L’area minima si ottiene moltiplicando i valori minimi dei due lati, l’area massima moltiplicando i valori massimi.

$A_\text{min} = 1{,}3\cdot 6{,}2 = 8{,}06\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 1{,}4\cdot 6{,}3 = 8{,}82\;\text{cm}^2$

Passo 2 — Intervallo dell’area. L’area è dunque compresa nell’intervallo:

$\ev{A = [\,8{,}06\;;\;8{,}82\,]\;\text{cm}^2}$

equivalente alla scrittura $8{,}0(6)\;\div\;8{,}8(2)\;\text{cm}^2$.

Passo 3 — Incertezza relativa. L’area si conosce con un’incertezza di circa $0{,}76\;\text{cm}^2$ su un valore medio di circa $8{,}4\;\text{cm}^2$, quindi un’incertezza relativa del $\sim 9\%$. Si noti come l’incertezza relativa dell’area (circa la somma delle incertezze relative dei due lati) sia maggiore di quella dei singoli lati.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Uso delle cifre significative

Problem

A rectangle has its sides measured as intervals: height $h = [1{,}3\;;\;1{,}4]\;\text{cm}$ and base $b = [6{,}2\;;\;6{,}3]\;\text{cm}$. What is the interval within which its area falls?

Solution

Step 1 — Interval arithmetic. The minimum area is obtained by multiplying the minimum values of the two sides, the maximum area by multiplying the maximum values.

$A_\text{min} = 1{,}3\cdot 6{,}2 = 8{,}06\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 1{,}4\cdot 6{,}3 = 8{,}82\;\text{cm}^2$

Step 2 — Interval of the area. The area therefore lies in the interval:

$\ev{A = [\,8{,}06\;;\;8{,}82\,]\;\text{cm}^2}$

equivalent to the notation $8{,}0(6)\;\div\;8{,}8(2)\;\text{cm}^2$.

Step 3 — Relative uncertainty. The area is known with an uncertainty of about $0{,}76\;\text{cm}^2$ on a mean value of about $8{,}4\;\text{cm}^2$, hence a relative uncertainty of $\sim 9\%$. Note how the relative uncertainty of the area (roughly the sum of the relative uncertainties of the two sides) is larger than that of the individual sides.

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Argomenti: Physical quantities and measurement Concetti: Significant figures and uncertainty Competenze: Use of significant figures

Testo

In una classe di 24 studenti si chiede: “Preferisci i cani o i gatti?”. Rispondono: 13 cani, 11 gatti. Qual è la percentuale di chi preferisce i cani, e con che incertezza?

Soluzione

Passo 1 — Proporzione e percentuale. La frazione di chi preferisce i cani è

$p = \frac{13}{24} = 0{,}542 \quad\text{ovvero}\quad 54{,}2\%$

Passo 2 — Incertezza sulla proporzione. Un campione finito di $N$ individui porta sempre un’incertezza statistica, data da $\text{err}(p) = \sqrt{p(1-p)/N}$:

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102$

cioè circa il $10{,}2\%$.

Passo 3 — Risultato. I cani vincono con

$\ev{(54{,}2 \pm 10{,}2)\%}$

cioè un intervallo $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$. Per un campione così piccolo l’incertezza è enorme: con soli 24 studenti non è statisticamente chiaro se la maggioranza preferisca davvero cani o gatti!

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza

Problem

In a class of 24 students the question is asked: “Do you prefer dogs or cats?”. The answers are: 13 dogs, 11 cats. What is the percentage of those who prefer dogs, and with what uncertainty?

Solution

Step 1 — Proportion and percentage. The fraction of those who prefer dogs is

$p = \frac{13}{24} = 0{,}542 \quad\text{i.e.}\quad 54{,}2\%$

Step 2 — Uncertainty on the proportion. A finite sample of $N$ individuals always carries a statistical uncertainty, given by $\text{err}(p) = \sqrt{p(1-p)/N}$:

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102$

that is, about $10{,}2\%$.

Step 3 — Result. Dogs win with

$\ev{(54{,}2 \pm 10{,}2)\%}$

that is, an interval $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$. For such a small sample the uncertainty is enormous: with only 24 students it is not statistically clear whether the majority really prefers dogs or cats!

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Argomenti: Physical quantities and measurement Concetti: Significant figures and uncertainty

Testo

Quanto è grande, in litri, uno stanzino di $3\times 3\times 2$ metri?

Soluzione

Passo 1 — Volume in metri cubi. Il volume dello stanzino è il prodotto delle tre dimensioni:

$V = 3\cdot 3\cdot 2 = 18\;\text{m}^3$

Passo 2 — Conversione in litri. Ricordando che $1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}$:

$\ev{V = 18\;\text{m}^3 = 18\,000\;\text{L}}$

È praticamente la stessa quantità che il rubinetto dell’esercizio precedente versa in 3 giorni!

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Conversione di unità · Stime di Fermi

Problem

How big, in litres, is a $3\times 3\times 2$ metre box room?

Solution

Step 1 — Volume in cubic metres. The volume of the room is the product of the three dimensions:

$V = 3\cdot 3\cdot 2 = 18\;\text{m}^3$

Step 2 — Conversion to litres. Recalling that $1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}$:

$\ev{V = 18\;\text{m}^3 = 18\,000\;\text{L}}$

It is practically the same amount the tap in the previous exercise pours in 3 days!

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Topics: Grandezze fisiche e misura Skills: Conversione di unità · Stime di Fermi

Testo

Se ogni italiano mangiasse una banana al giorno, quante tonnellate di banane servirebbero all’Italia in un anno?

Soluzione

Passo 1 — Stima dei dati. Impostiamo una stima di Fermi con pochi dati di senso comune:

• Popolazione italiana: $\sim 6\cdot 10^7$ persone;
• Giorni in un anno: $\sim 365$;
• Massa di una banana: $\sim 0{,}12\;\text{kg}$.

Passo 2 — Massa totale annua. La massa complessiva è il prodotto dei tre fattori:

$M = 6\cdot 10^7 \cdot 365\cdot 0{,}12 \approx 2{,}6\cdot 10^9\;\text{kg}$

Passo 3 — Conversione in tonnellate. Poiché $1\;\text{t} = 10^3\;\text{kg}$:

$\ev{M \approx 2{,}6\cdot 10^6\;\text{t} \approx 2{,}6\ \text{milioni di tonnellate}}$

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi

Problem

If every Italian ate one banana a day, how many tonnes of bananas would Italy need in a year?

Solution

Step 1 — Estimating the data. Let’s set up a Fermi estimate with a few common-sense figures:

• Italian population: $\sim 6\cdot 10^7$ people;
• Days in a year: $\sim 365$;
• Mass of a banana: $\sim 0{,}12\;\text{kg}$.

Step 2 — Total annual mass. The overall mass is the product of the three factors:

$M = 6\cdot 10^7 \cdot 365\cdot 0{,}12 \approx 2{,}6\cdot 10^9\;\text{kg}$

Step 3 — Conversion to tonnes. Since $1\;\text{t} = 10^3\;\text{kg}$:

$\ev{M \approx 2{,}6\cdot 10^6\;\text{t} \approx 2{,}6\ \text{million tonnes}}$

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Scientific notation and orders of magnitude Skills: Fermi estimates

Testo

Vogliamo costruire un unico, gigantesco parcheggio capace di contenere tutte le automobili del mondo, una accanto all’altra. Quanto dovrebbe essere grande (in $\text{m}^2$)?

Soluzione

Passo 1 — Scomporre il problema. Il trucco è dividere la stima in due sotto-stime più semplici: lo spazio occupato da una macchina e il numero di macchine.

Passo 2 — Spazio per una macchina. Uno stallo di parcheggio misura circa $5\;\text{m}\times 2\;\text{m} = 10\;\text{m}^2$. Con le corsie di manovra si arriva a $\sim 15\;\text{m}^2$ per essere pessimisti; prendiamo un valore di ordine di grandezza

$a \approx 1{,}0\cdot 10^1\;\text{m}^2 \ \text{per auto}$

Passo 3 — Numero di macchine. Gli esperti stimano circa $1{,}4\cdot 10^9$ veicoli nel mondo, quindi $n \approx 10^9$.

Passo 4 — Area totale. Moltiplicando spazio unitario per numero di auto:

$\ev{A = a\cdot n \approx 10^1 \cdot 1{,}4\cdot 10^9 = 1{,}4\cdot 10^{10}\;\text{m}^2 \approx 14\,000\;\text{km}^2}$

Passo 5 — Un’immagine concreta. Sarebbe un quadrato di lato

$\sqrt{1{,}4\cdot 10^{10}} \approx 1{,}2\cdot 10^5\;\text{m} \approx 120\;\text{km}$

grande all’incirca come la Basilicata, o come la metà della Toscana.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi

Problem

We want to build a single, gigantic car park able to hold all the cars in the world, side by side. How big would it need to be (in $\text{m}^2$)?

Solution

Step 1 — Breaking down the problem. The trick is to split the estimate into two simpler sub-estimates: the space taken up by one car and the number of cars.

Step 2 — Space for one car. A parking space measures about $5\;\text{m}\times 2\;\text{m} = 10\;\text{m}^2$. With manoeuvring lanes this reaches $\sim 15\;\text{m}^2$ to be on the pessimistic side; we take an order-of-magnitude value

$a \approx 1{,}0\cdot 10^1\;\text{m}^2 \ \text{per car}$

Step 3 — Number of cars. Experts estimate about $1{,}4\cdot 10^9$ vehicles in the world, so $n \approx 10^9$.

Step 4 — Total area. Multiplying the unit space by the number of cars:

$\ev{A = a\cdot n \approx 10^1 \cdot 1{,}4\cdot 10^9 = 1{,}4\cdot 10^{10}\;\text{m}^2 \approx 14\,000\;\text{km}^2}$

Step 5 — A concrete picture. This would be a square with a side of

$\sqrt{1{,}4\cdot 10^{10}} \approx 1{,}2\cdot 10^5\;\text{m} \approx 120\;\text{km}$

roughly as large as Basilicata, or about half of Tuscany.

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Scientific notation and orders of magnitude Skills: Fermi estimates

Testo

Hai un cubo di piombo di spigolo $\ell = 1\;\text{m}$. Un amico ti chiede metà del cubo. Tu allora fondi metà del tuo piombo e ne fai un cubo nuovo. Quanto vale lo spigolo di questo nuovo cubo?

Soluzione

Passo 1 — Volume di partenza. Il volume del cubo originale è

$V = \ell^3 = 1\;\text{m}^3$

Passo 2 — Metà del volume. Metà di quel volume è $V' = 0{,}5\;\text{m}^3$. Il nuovo cubo ha spigolo $\ell'$ tale che $\ell'^3 = 0{,}5$, quindi:

$\ev{\ell' = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794\;\text{m}}$

Passo 3 — Interpretazione. Il risultato non è $\ell/2 = 0{,}5\;\text{m}$! Il volume scala come il cubo della dimensione lineare: per dimezzare un volume lo spigolo va ridotto solo a circa il $79\%$, non al $50\%$. La stessa legge di scala spiega perché un grattacielo alto il doppio di un altro ha otto volte più spazio interno, e perché le formiche (piccole) possono sollevare proporzionalmente molto più peso degli elefanti (grandi).

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Analisi dimensionale

Problem

You have a lead cube with edge $\ell = 1\;\text{m}$. A friend asks you for half of the cube. So you melt down half of your lead and make a new cube out of it. What is the edge of this new cube?

Solution

Step 1 — Starting volume. The volume of the original cube is

$V = \ell^3 = 1\;\text{m}^3$

Step 2 — Half the volume. Half of that volume is $V' = 0{,}5\;\text{m}^3$. The new cube has an edge $\ell'$ such that $\ell'^3 = 0{,}5$, so:

$\ev{\ell' = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794\;\text{m}}$

Step 3 — Interpretation. The result is not $\ell/2 = 0{,}5\;\text{m}$! Volume scales as the cube of the linear dimension: to halve a volume, the edge only needs to be reduced to about $79\%$, not to $50\%$. The same scaling law explains why a skyscraper twice as tall as another has eight times more interior space, and why ants (small) can lift proportionally far more weight than elephants (large).

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Topics: Physical quantities and measurement Concepts: Scientific notation and orders of magnitude Skills: Dimensional analysis

Testo

Una persona alta $1{,}62\;\text{m}$ proietta al suolo un’ombra lunga $0{,}5\;\text{m}$. Qual è l’angolo di elevazione del sole sopra l’orizzonte?

Soluzione

Passo 1 — Individuare il triangolo rettangolo. La luce del sole, il corpo e l’ombra formano un triangolo rettangolo, con l’angolo $\alpha$ tra i raggi del sole e il terreno. La persona è il cateto opposto ad $\alpha$ ($o = 1{,}62\;\text{m}$), l’ombra è il cateto adiacente ($a = 0{,}5\;\text{m}$).

Passo 2 — Applicare la tangente. Poiché $\tan\alpha = o/a$:

$\tan\alpha = \frac{o}{a} = \frac{1{,}62}{0{,}5} = 3{,}24$

Passo 3 — Ricavare l’angolo. Invertendo con l’arcotangente:

$\ev{\alpha = \arctan 3{,}24 \approx 72{,}8^\circ}$

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

Problem

A person $1{,}62\;\text{m}$ tall casts a shadow on the ground $0{,}5\;\text{m}$ long. What is the elevation angle of the sun above the horizon?

Solution

Step 1 — Identifying the right triangle. The sunlight, the body, and the shadow form a right triangle, with angle $\alpha$ between the sun’s rays and the ground. The person is the side opposite $\alpha$ ($o = 1{,}62\;\text{m}$), the shadow is the adjacent side ($a = 0{,}5\;\text{m}$).

Step 2 — Applying the tangent. Since $\tan\alpha = o/a$:

$\tan\alpha = \frac{o}{a} = \frac{1{,}62}{0{,}5} = 3{,}24$

Step 3 — Finding the angle. Inverting with the arctangent:

$\ev{\alpha = \arctan 3{,}24 \approx 72{,}8^\circ}$

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Use of trigonometry

Testo

Da $176{,}6\;\text{m}$ di distanza dal piede della Torre Eiffel, guardando verso la punta con un inclinometro, l’angolo con l’orizzontale risulta di $75{,}94^\circ$. Quanto è alta la torre?

Soluzione

Passo 1 — Calcolo diretto con la tangente. L’altezza è il cateto opposto all’angolo, la distanza è il cateto adiacente, quindi $h = d\cdot\tan\alpha$:

$h = 176{,}6\cdot\tan(75{,}94^\circ) = 176{,}6\cdot 3{,}98 \approx 703\;\text{m}$

Passo 2 — Controllo critico del risultato. Un momento: $703\;\text{m}$ è troppo! La vera Torre Eiffel è alta circa $300\;\text{m}$. Il risultato assurdo ci avverte che qualcosa nei dati non torna: probabilmente l’angolo misurato è stato interpretato male.

Passo 3 — Con i dati corretti. Se l’angolo misurato fosse $14{,}06^\circ$ rispetto alla verticale in cima (cioè il complementare) e la persona si trovasse a $88{,}3\;\text{m}$ di distanza, si otterrebbe

$\ev{h \approx 300\;\text{m}}$

in accordo con l’altezza reale. La morale è che in una misurazione indiretta occorre sempre controllare quale angolo si sta effettivamente misurando (dall’orizzontale o dalla verticale), e usare il risultato assurdo come campanello d’allarme.

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Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

Problem

From $176{,}6\;\text{m}$ away from the foot of the Eiffel Tower, looking towards the top with an inclinometer, the angle with the horizontal turns out to be $75{,}94^\circ$. How tall is the tower?

Solution

Step 1 — Direct calculation with the tangent. The height is the side opposite the angle, the distance is the adjacent side, so $h = d\cdot\tan\alpha$:

$h = 176{,}6\cdot\tan(75{,}94^\circ) = 176{,}6\cdot 3{,}98 \approx 703\;\text{m}$

Step 2 — Sanity check on the result. Hold on: $703\;\text{m}$ is too much! The real Eiffel Tower is about $300\;\text{m}$ tall. The absurd result warns us that something doesn’t add up in the data: the measured angle was probably misinterpreted.

Step 3 — With the correct data. If the measured angle were $14{,}06^\circ$ from the vertical at the top (i.e. its complement) and the person were $88{,}3\;\text{m}$ away, we would get

$\ev{h \approx 300\;\text{m}}$

in agreement with the real height. The moral is that in an indirect measurement one must always check which angle is actually being measured (from the horizontal or from the vertical), and use an absurd result as a warning sign.

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Topics: Physical quantities and measurement Skills: Use of trigonometry

Testo

Da Imola a Lugo si percorre un tratto di $6{,}29\;\text{km}$ in direzione nord-est (circa), poi un tratto di $4{,}8\;\text{km}$ in direzione est. Scegliendo un sistema di assi con $x$ verso est e $y$ verso nord, trovare il vettore spostamento complessivo.

Soluzione

Passo 1 — Scomporre il primo tratto. Supponendo il primo tratto a $45^\circ$ rispetto all’est, le sue componenti sono

$\vec{a} = (6{,}29\cos 45^\circ,\ 6{,}29\sin 45^\circ) \approx (4{,}45;\ 4{,}45)\;\text{km}$

Passo 2 — Il secondo tratto. Diretto puramente verso est, ha solo componente $x$:

$\vec{b} = (4{,}8;\ 0)\;\text{km}$

Passo 3 — Somma componente per componente. Lo spostamento complessivo è

$\ev{\vec{a}+\vec{b} = (9{,}25;\ 4{,}45)\;\text{km}}$

Passo 4 — Modulo dello spostamento. La distanza in linea d’aria Imola-Lugo è

$\norm{\vec{a}+\vec{b}} = \sqrt{9{,}25^2 + 4{,}45^2} \approx 10{,}3\;\text{km}$

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Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Uso della trigonometria · Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

Problem

From Imola to Lugo you travel a stretch of $6{,}29\;\text{km}$ in a (roughly) north-east direction, then a stretch of $4{,}8\;\text{km}$ due east. Choosing an axis system with $x$ pointing east and $y$ pointing north, find the overall displacement vector.

Solution

Step 1 — Resolve the first stretch. Assuming the first stretch is at $45^\circ$ to east, its components are

$\vec{a} = (6{,}29\cos 45^\circ,\ 6{,}29\sin 45^\circ) \approx (4{,}45;\ 4{,}45)\;\text{km}$

Step 2 — The second stretch. Directed purely east, it has only an $x$ component:

$\vec{b} = (4{,}8;\ 0)\;\text{km}$

Step 3 — Sum component by component. The overall displacement is

$\ev{\vec{a}+\vec{b} = (9{,}25;\ 4{,}45)\;\text{km}}$

Step 4 — Magnitude of the displacement. The straight-line Imola-Lugo distance is

$\norm{\vec{a}+\vec{b}} = \sqrt{9{,}25^2 + 4{,}45^2} \approx 10{,}3\;\text{km}$

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Topics: Vettori Concepts: Componenti di un vettore Skills: Uso della trigonometria · Scomposizione vettoriale Methods: Scomposizione in componenti cartesiane

Testo

Un blocco di $80\;\text{kg}$ è appeso tramite una fune verticale a un soffitto. Trovare la tensione $t$ della fune.

Soluzione

Passo 1 — Forze sul blocco. Sul blocco agiscono solo due forze verticali: il peso, diretto verso il basso, e la tensione della fune, diretta verso l’alto.

$\vec{P} = (0,\ -80\cdot 9{,}81) = (0,\ -784{,}8)\;\text{N} \qquad \vec{t} = (0,\ t)$

Passo 2 — Condizione di equilibrio. Poiché il blocco è fermo, la somma vettoriale delle forze è nulla, $\vec{P} + \vec{t} = \vec{0}$. La componente $y$ dà

$-784{,}8 + t = 0$

Passo 3 — Risultato. La tensione della fune vale

$\ev{t = 784{,}8\;\text{N}}$

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Tensione · Forza peso Oggetti: Blocco · Fune ideale

Problem

A block of $80\;\text{kg}$ hangs from a vertical rope attached to a ceiling. Find the tension $t$ in the rope.

Solution

Step 1 — Forces on the block. Only two vertical forces act on the block: the weight, directed downward, and the rope tension, directed upward.

$\vec{P} = (0,\ -80\cdot 9{,}81) = (0,\ -784{,}8)\;\text{N} \qquad \vec{t} = (0,\ t)$

Step 2 — Equilibrium condition. Since the block is at rest, the vector sum of the forces is zero, $\vec{P} + \vec{t} = \vec{0}$. The $y$ component gives

$-784{,}8 + t = 0$

Step 3 — Result. The rope tension is

$\ev{t = 784{,}8\;\text{N}}$

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Testo

Un Gorilla afferra una cassa di $m = 70\;\text{kg}$ con una corda che parte dalla cassa e punta verso il basso di $30^\circ$ sotto l’orizzontale (la corda passa tra le mani del gorilla più in alto). Tira con una forza di $|\vec{F}_g| = 600\;\text{N}$. Il coefficiente di attrito statico tra cassa e pavimento è $\mu = 1$. La cassa scivola?

Soluzione

Passo 1 — Elenco delle forze. Sulla cassa agiscono quattro forze: il peso $\vec{P}$, la reazione vincolare del pavimento $\vec{R}$, l’attrito $\vec{F}_a$ e la forza del gorilla $\vec{F}_g$.

Passo 2 — Scomposizione in componenti. Con l’asse $x$ orizzontale nel verso della trazione e l’asse $y$ verticale verso l’alto:

$\vec{P} = (0,\ -70\cdot 9{,}81) = (0,\ -686{,}7) \qquad \vec{R} = (0,\ R)$

$\vec{F}_g = (F_g\cos 30^\circ,\ -F_g\sin 30^\circ) = (519{,}6,\ -300) \qquad \vec{F}_a = (-F_a,\ 0)$

dove l’attrito si oppone al moto incipiente verso destra.

Passo 3 — Equazioni di equilibrio. Imponendo $\sum\vec{F} = \vec{0}$ separatamente sui due assi:

$\begin{aligned} x: &\quad 519{,}6 - F_a = 0 \;\Rightarrow\; F_a = 519{,}6\;\text{N} \\ y: &\quad -686{,}7 + R - 300 = 0 \;\Rightarrow\; R = 986{,}7\;\text{N} \end{aligned}$

Passo 4 — Confronto con l’attrito massimo. La forza di attrito statico massima disponibile è $F_a^\text{max} = \mu R = 1\cdot 986{,}7 = 986{,}7\;\text{N}$. L’attrito richiesto per l’equilibrio è $519{,}6\;\text{N}$, e poiché

$\ev{F_a^\text{richiesta} = 519{,}6\;\text{N} < 986{,}7\;\text{N} = F_a^\text{max}}$

la cassa non scivola.

Nota pedagogica. Tirando verso il basso, il gorilla aumenta la reazione vincolare $R$ e quindi anche l’attrito massimo disponibile. Se invece tirasse verso l’alto con lo stesso angolo, $R$ diminuirebbe e sarebbe più facile far scivolare la cassa.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Componenti di un vettore · Forza peso · Forza normale · Attrito statico Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Blocco

Problem

A Gorilla grabs a crate of $m = 70\;\text{kg}$ with a rope that starts at the crate and points downward at $30^\circ$ below the horizontal (the rope passes between the gorilla’s hands higher up). It pulls with a force of $|\vec{F}_g| = 600\;\text{N}$. The coefficient of static friction between the crate and the floor is $\mu = 1$. Does the crate slide?

Solution

Step 1 — List of the forces. Four forces act on the crate: the weight $\vec{P}$, the floor’s normal reaction $\vec{R}$, friction $\vec{F}_a$ and the gorilla’s force $\vec{F}_g$.

Step 2 — Resolving into components. With the $x$ axis horizontal along the direction of pull and the $y$ axis vertical upward:

$\vec{P} = (0,\ -70\cdot 9{,}81) = (0,\ -686{,}7) \qquad \vec{R} = (0,\ R)$

$\vec{F}_g = (F_g\cos 30^\circ,\ -F_g\sin 30^\circ) = (519{,}6,\ -300) \qquad \vec{F}_a = (-F_a,\ 0)$

where friction opposes the impending motion to the right.

Step 3 — Equilibrium equations. Imposing $\sum\vec{F} = \vec{0}$ separately on the two axes:

$\begin{aligned} x: &\quad 519{,}6 - F_a = 0 \;\Rightarrow\; F_a = 519{,}6\;\text{N} \\ y: &\quad -686{,}7 + R - 300 = 0 \;\Rightarrow\; R = 986{,}7\;\text{N} \end{aligned}$

Step 4 — Comparison with the maximum friction. The maximum available static friction force is $F_a^\text{max} = \mu R = 1\cdot 986{,}7 = 986{,}7\;\text{N}$. The friction required for equilibrium is $519{,}6\;\text{N}$, and since

$\ev{F_a^\text{richiesta} = 519{,}6\;\text{N} < 986{,}7\;\text{N} = F_a^\text{max}}$

the crate does not slide.

Teaching note. By pulling downward, the gorilla increases the normal reaction $R$ and hence also the maximum available friction. If instead it pulled upward at the same angle, $R$ would decrease and it would be easier to make the crate slide.

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Topics: Statica ed equilibrio Concepts: Equilibrio statico · Componenti di un vettore · Forza peso · Forza normale · Attrito statico Skills: Scomposizione vettoriale Methods: Scomposizione in componenti cartesiane Objects: Blocco

Testo

Una scatola di massa $m = 10\;\text{kg}$ è appoggiata sul pavimento e collegata a una molla orizzontale fissata al muro. La molla ha costante $k = 100\;\text{N/m}$ e lunghezza a riposo $\ell_0 = 3\;\text{m}$. Il coefficiente di attrito statico tra scatola e pavimento è $\mu = 0{,}5$. In quale intervallo di distanze $\ell$ dal muro la scatola rimane ferma?

Soluzione

Passo 1 — Forze in gioco. Le forze orizzontali sulla scatola sono la forza della molla $F_m = k\,\abs{\ell-\ell_0}$ e l’attrito statico $F_a$, che si oppone al moto incipiente e soddisfa $\abs{F_a}\leq\mu R$.

Passo 2 — Reazione normale e attrito massimo. In verticale la reazione del pavimento bilancia il peso:

$R = mg = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

$F_a^{\text{max}} = \mu R = 0{,}5\cdot 98{,}1 = 49{,}05\;\text{N}$

Passo 3 — Molla tesa ($\ell > \ell_0$). La molla tira la scatola verso il muro e l’attrito deve opporsi; l’equilibrio regge finché la forza elastica non supera l’attrito massimo:

$k(\ell-\ell_0) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \leq \ell_0 + \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 + \frac{49{,}05}{100} = 3{,}49\;\text{m}$

Passo 4 — Molla compressa ($\ell < \ell_0$). La molla spinge la scatola lontano dal muro e di nuovo l’attrito deve bastare:

$k(\ell_0-\ell) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \geq \ell_0 - \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 - \frac{49{,}05}{100} = 2{,}51\;\text{m}$

Passo 5 — Intervallo di equilibrio. C’è tutta una “zona tranquilla” in cui la scatola resta ferma grazie al gioco tra molla e attrito:

$\ev{\ell\in[2{,}51;\;3{,}49]\;\text{m}}$

Fuori dall’intervallo la molla vince e la scatola inizia a muoversi.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke · Attrito statico · Forza normale Oggetti: Molla · Blocco

Problem

A box of mass $m = 10\;\text{kg}$ rests on the floor and is connected to a horizontal spring fixed to the wall. The spring has constant $k = 100\;\text{N/m}$ and natural length $\ell_0 = 3\;\text{m}$. The coefficient of static friction between box and floor is $\mu = 0{,}5$. Over what range of distances $\ell$ from the wall does the box stay put?

Solution

Step 1 — Forces involved. The horizontal forces on the box are the spring force $F_m = k\,\abs{\ell-\ell_0}$ and the static friction $F_a$, which opposes the impending motion and satisfies $\abs{F_a}\leq\mu R$.

Step 2 — Normal reaction and maximum friction. Vertically the floor’s reaction balances the weight:

$R = mg = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

$F_a^{\text{max}} = \mu R = 0{,}5\cdot 98{,}1 = 49{,}05\;\text{N}$

Step 3 — Stretched spring ($\ell > \ell_0$). The spring pulls the box toward the wall and friction must oppose it; equilibrium holds as long as the elastic force does not exceed the maximum friction:

$k(\ell-\ell_0) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \leq \ell_0 + \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 + \frac{49{,}05}{100} = 3{,}49\;\text{m}$

Step 4 — Compressed spring ($\ell < \ell_0$). The spring pushes the box away from the wall and again friction must suffice:

$k(\ell_0-\ell) \leq F_a^{\text{max}} \;\Longleftrightarrow\; \ell \geq \ell_0 - \frac{F_a^{\text{max}}}{k} = 3 - \frac{49{,}05}{100} = 2{,}51\;\text{m}$

Step 5 — Equilibrium range. There is a whole “quiet zone” in which the box stays still thanks to the interplay between spring and friction:

$\ev{\ell\in[2{,}51;\;3{,}49]\;\text{m}}$

Outside this range the spring wins and the box starts to move.

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Topics: Statica ed equilibrio Concepts: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke · Attrito statico · Forza normale Objects: Molla · Blocco

Testo

Una palla di massa $m = 20\;\text{kg}$ è schiacciata tra due pareti verticali, poste a $10\;\text{m}$ di distanza, e collegata a ognuna da una molla orizzontale. Le molle hanno lunghezza a riposo nulla, $\ell_0^{(1)} = \ell_0^{(2)} = 0$ (sono elastici ideali a “riposo in zero”), con costanti $k_1 = 100\;\text{N/m}$ e $k_2 = 200\;\text{N/m}$. A che distanza $\ell_1$ dalla parete sinistra si trova la palla in equilibrio?

Soluzione

Passo 1 — Forze sulla palla. Sia $\ell_1$ la lunghezza della molla sinistra e $\ell_2$ quella di destra. Con lunghezza a riposo nulla, le forze orizzontali sono $F_1 = k_1\ell_1$ (verso sinistra) e $F_2 = k_2\ell_2$ (verso destra).

Passo 2 — Equilibrio traslazionale. La somma delle forze orizzontali deve annullarsi:

$-k_1\ell_1 + k_2\ell_2 = 0 \;\Rightarrow\; 200\,\ell_2 = 100\,\ell_1 \;\Rightarrow\; \ell_1 = 2\,\ell_2$

Passo 3 — L’equazione geometrica. Una sola equazione in due incognite non basta: la terza relazione viene dalla geometria del disegno, poiché la somma delle lunghezze delle due molle è la distanza tra i muri:

$\ell_1 + \ell_2 = 10\;\text{m}$

Passo 4 — Risoluzione. Sostituendo $\ell_1 = 2\ell_2$:

$3\,\ell_2 = 10 \;\Rightarrow\; \ell_2 = 3{,}33\;\text{m}, \qquad \ell_1 = 2\ell_2 = 6{,}66\;\text{m}$

La distanza cercata dalla parete sinistra è quindi

$\ev{\ell_1 \approx 6{,}66\;\text{m}}$

Nota didattica: era impossibile risolvere il problema senza il disegno, che fornisce il vincolo geometrico.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Scomposizione vettoriale Oggetti: Molla

Problem

A ball of mass $m = 20\;\text{kg}$ is squeezed between two vertical walls, placed $10\;\text{m}$ apart, and connected to each one by a horizontal spring. The springs have zero natural length, $\ell_0^{(1)} = \ell_0^{(2)} = 0$ (they are ideal elastics “at rest at zero”), with constants $k_1 = 100\;\text{N/m}$ and $k_2 = 200\;\text{N/m}$. At what distance $\ell_1$ from the left-hand wall is the ball at equilibrium?

Solution

Step 1 — Forces on the ball. Let $\ell_1$ be the length of the left spring and $\ell_2$ that of the right one. With zero natural length, the horizontal forces are $F_1 = k_1\ell_1$ (leftward) and $F_2 = k_2\ell_2$ (rightward).

Step 2 — Translational equilibrium. The sum of the horizontal forces must vanish:

$-k_1\ell_1 + k_2\ell_2 = 0 \;\Rightarrow\; 200\,\ell_2 = 100\,\ell_1 \;\Rightarrow\; \ell_1 = 2\,\ell_2$

Step 3 — The geometric equation. One equation with two unknowns is not enough: the third relation comes from the geometry of the diagram, since the sum of the two spring lengths is the distance between the walls:

$\ell_1 + \ell_2 = 10\;\text{m}$

Step 4 — Solving. Substituting $\ell_1 = 2\ell_2$:

$3\,\ell_2 = 10 \;\Rightarrow\; \ell_2 = 3{,}33\;\text{m}, \qquad \ell_1 = 2\ell_2 = 6{,}66\;\text{m}$

The requested distance from the left-hand wall is therefore

$\ev{\ell_1 \approx 6{,}66\;\text{m}}$

Teaching note: the problem could not be solved without the diagram, which provides the geometric constraint.

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Topics: Statica ed equilibrio Concepts: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke Skills: Scomposizione vettoriale Objects: Molla

Testo

Una massa $m_1 = 10\;\text{kg}$ pende da una fune collegata, tramite una puleggia, all’estremità di una sbarra rigida orizzontale lunga $L = 4\;\text{m}$. All’altro estremo della sbarra pende una massa $m_2 = 20\;\text{kg}$. La sbarra è sostenuta da una forza $\vv F$ applicata a $60^\circ$. Trovare $F$ per l’equilibrio.

Modello adottato. Il testo lascia la geometria parzialmente indeterminata; adottiamo il modello più naturale, coerente con i dati. La sbarra è incernierata alla parete nell’estremo sinistro $O$; all’estremo destro $B$ (a $L = 4\;\text{m}$ da $O$) agiscono verso il basso sia il peso di $m_2$, sia la tensione della fune che, rinviata dalla puleggia posta in $B$, sostiene $m_1$. La forza di sostegno $\vv F$ è applicata in $B$ e forma un angolo di $60^\circ$ con la sbarra. Il peso proprio della sbarra è trascurabile.

Soluzione

Passo 1 — La fune di $m_1$. La fune che regge $m_1$ ha, per l’equilibrio del blocco appeso, tensione pari al suo peso; la puleggia ne cambia solo la direzione, non il modulo:

$t_1 = m_1 g = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

Passo 2 — I carichi verso il basso in $B$. All’estremo $B$ agiscono verso il basso la tensione $t_1$ e il peso di $m_2$:

$P_2 = m_2 g = 20\cdot 9{,}81 = 196{,}2\;\text{N}, \qquad F_{\downarrow} = t_1 + P_2 = 98{,}1 + 196{,}2 = 294{,}3\;\text{N}$

Passo 3 — Equilibrio dei momenti (polo in $O$). Scegliendo il polo nella cerniera $O$ si eliminano le reazioni vincolari. Peso e forza $\vv F$ sono entrambi applicati in $B$, a braccio $L$; conta la componente verticale di $\vv F$, cioè $F\sin 60^\circ$:

$F\sin 60^\circ \cdot L - F_{\downarrow}\cdot L = 0 \;\Rightarrow\; F\sin 60^\circ = 294{,}3\;\text{N}$

Passo 4 — Calcolo di $F$.

$F = \frac{294{,}3}{\sin 60^\circ} = \frac{294{,}3}{0{,}866} \approx 339{,}8\;\text{N}$

$\ev{F \approx 3{,}4\cdot 10^{2}\;\text{N}}$

Verifica orizzontale. La componente orizzontale $F\cos 60^\circ = 339{,}8\cdot 0{,}5 \approx 169{,}9\;\text{N}$ è equilibrata dalla reazione orizzontale della cerniera in $O$: il sistema è quindi in equilibrio completo.

Nota: se si assumesse invece che la tensione $t_1$ non gravi sull’estremo $B$ ma sia applicata altrove, il valore numerico di $F$ cambierebbe; il metodo (bilancio di forze e momenti con scelta furba del polo) resta identico.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza · Tensione · Forza peso Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo · Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Puleggia · Asta

Problem

A mass $m_1 = 10\;\text{kg}$ hangs from a rope connected, by way of a pulley, to the end of a rigid horizontal bar $L = 4\;\text{m}$ long. At the other end of the bar hangs a mass $m_2 = 20\;\text{kg}$. The bar is held up by a force $\vv F$ applied at $60^\circ$. Find $F$ for equilibrium.

Model adopted. The text leaves the geometry partly unspecified; we adopt the most natural model, consistent with the data. The bar is hinged to the wall at its left-hand end $O$; at the right-hand end $B$ (at $L = 4\;\text{m}$ from $O$) both the weight of $m_2$ and the tension of the rope that, redirected by the pulley placed at $B$, supports $m_1$, act downward. The supporting force $\vv F$ is applied at $B$ and makes an angle of $60^\circ$ with the bar. The bar’s own weight is negligible.

Solution

Step 1 — The rope holding $m_1$. The rope holding $m_1$ has, for equilibrium of the hanging block, tension equal to its weight; the pulley only changes its direction, not its magnitude:

$t_1 = m_1 g = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

Step 2 — The downward loads at $B$. At the end $B$, both the tension $t_1$ and the weight of $m_2$ act downward:

$P_2 = m_2 g = 20\cdot 9{,}81 = 196{,}2\;\text{N}, \qquad F_{\downarrow} = t_1 + P_2 = 98{,}1 + 196{,}2 = 294{,}3\;\text{N}$

Step 3 — Torque equilibrium (pole at $O$). Choosing the pole at the hinge $O$ eliminates the constraint reactions. The weight and the force $\vv F$ are both applied at $B$, with arm $L$; what matters is the vertical component of $\vv F$, namely $F\sin 60^\circ$:

$F\sin 60^\circ \cdot L - F_{\downarrow}\cdot L = 0 \;\Rightarrow\; F\sin 60^\circ = 294{,}3\;\text{N}$

Step 4 — Computing $F$.

$F = \frac{294{,}3}{\sin 60^\circ} = \frac{294{,}3}{0{,}866} \approx 339{,}8\;\text{N}$

$\ev{F \approx 3{,}4\cdot 10^{2}\;\text{N}}$

Horizontal check. The horizontal component $F\cos 60^\circ = 339{,}8\cdot 0{,}5 \approx 169{,}9\;\text{N}$ is balanced by the horizontal reaction of the hinge at $O$: the system is thus in complete equilibrium.

Note: if instead one assumed that the tension $t_1$ does not act at the end $B$ but is applied elsewhere, the numerical value of $F$ would change; the method (balance of forces and torques with a clever choice of pole) remains identical.

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Testo

Una giostra quadrata di lato $3\;\text{m}$ è in equilibrio. Su un lato agisce una forza $F_1 = 20\;\text{N}$ perpendicolare al lato. Su un altro lato agisce $F_2 = ?$, anch’essa perpendicolare. Trovare il valore di $F_2$ per l’equilibrio rotazionale rispetto al centro.

Soluzione

Passo 1 — Momento di una forza. Il momento rispetto al centro è $M = F\cdot b$, dove $b$ è il braccio, cioè la distanza del centro dalla retta di applicazione della forza.

Passo 2 — I bracci. Per una giostra quadrata di lato $\ell = 3\;\text{m}$, ogni lato dista dal centro

$b_1 = b_2 = \frac{\ell}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\;\text{m}$

Passo 3 — Equilibrio rotazionale. Le due forze producono momenti opposti rispetto al centro; per l’equilibrio devono bilanciarsi:

$\abs{F_1}\,b_1 = \abs{F_2}\,b_2 \;\Rightarrow\; F_2 = F_1\,\frac{b_1}{b_2} = F_1$

Poiché i bracci sono uguali,

$\ev{F_2 = F_1 = 20\;\text{N}}$

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti Oggetti: Corpo rigido

Problem

A square roundabout with side $3\;\text{m}$ is in equilibrium. On one side a force $F_1 = 20\;\text{N}$ acts, perpendicular to the side. On another side a force $F_2 = ?$ acts, also perpendicular. Find the value of $F_2$ for rotational equilibrium about the centre.

Solution

Step 1 — Torque of a force. The torque about the centre is $M = F\cdot b$, where $b$ is the arm, that is, the distance of the centre from the line of application of the force.

Step 2 — The arms. For a square roundabout with side $\ell = 3\;\text{m}$, each side is at a distance from the centre of

$b_1 = b_2 = \frac{\ell}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\;\text{m}$

Step 3 — Rotational equilibrium. The two forces produce opposite torques about the centre; for equilibrium they must balance:

$\abs{F_1}\,b_1 = \abs{F_2}\,b_2 \;\Rightarrow\; F_2 = F_1\,\frac{b_1}{b_2} = F_1$

Since the arms are equal,

$\ev{F_2 = F_1 = 20\;\text{N}}$

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Topics: Statica ed equilibrio Concepts: Equilibrio statico · Momento di una forza Skills: Bilancio dei momenti Objects: Corpo rigido

Testo

Una scala di massa $m = 20\;\text{kg}$ e lunghezza $L = 3\;\text{m}$ è appoggiata contro una parete verticale liscia (attrito nullo). La scala forma con il pavimento un angolo di $60^\circ$. Il coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento è $\mu = 1$. La scala scivola?

Soluzione

Passo 1 — Forze sulla scala.

• peso $\vv P = (0,\, -196{,}2)\;\text{N}$, applicato al centro della scala;
• reazione del pavimento $\vv R_1 = (0,\, R_1)$, verticale, applicata al piede;
• attrito al pavimento $\vv F_a = (F_a,\, 0)$, orizzontale, applicato al piede;
• reazione del muro $\vv R_2 = (-R_2,\, 0)$, orizzontale (il muro è liscio, niente attrito), applicata al vertice superiore.

Passo 2 — Equilibrio traslazionale $\sum\vv F = \vv 0$:

$\begin{aligned} x:&\quad F_a - R_2 = 0 \;\Rightarrow\; F_a = R_2 \\ y:&\quad R_1 - 196{,}2 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 = 196{,}2\;\text{N} \end{aligned}$

Passo 3 — Equilibrio rotazionale (polo furbo al piede). Scegliendo il polo al piede della scala, $\vv R_1$ e $\vv F_a$ hanno braccio nullo e spariscono. Restano il peso (braccio orizzontale $\tfrac{L}{2}\cos 60^\circ = 0{,}75\;\text{m}$) e la reazione del muro (applicata in cima, altezza $L\sin 60^\circ \approx 2{,}60\;\text{m}$):

$\sum M = -P\cdot 0{,}75 + R_2\cdot 2{,}60 = 0 \;\Rightarrow\; R_2 = \frac{196{,}2\cdot 0{,}75}{2{,}60} \approx 56{,}6\;\text{N}$

Passo 4 — Confronto con l’attrito massimo. Da $F_a = R_2 \approx 56{,}6\;\text{N}$, mentre l’attrito statico disponibile è

$F_a^{\text{max}} = \mu R_1 = 1\cdot 196{,}2 = 196{,}2\;\text{N}$

Poiché $56{,}6\;\text{N} < 196{,}2\;\text{N}$, l’attrito richiesto è ampiamente disponibile:

$\ev{F_a \approx 56{,}6\;\text{N} < F_a^{\text{max}} = 196{,}2\;\text{N}\;\Rightarrow\; \text{la scala non scivola}}$

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza · Attrito statico · Forza normale · Forza peso Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo · Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Corpo rigido · Asta

Problem

A ladder of mass $m = 20\;\text{kg}$ and length $L = 3\;\text{m}$ leans against a smooth vertical wall (no friction). The ladder makes an angle of $60^\circ$ with the floor. The coefficient of static friction between ladder and floor is $\mu = 1$. Does the ladder slip?

Solution

Step 1 — Forces on the ladder.

• weight $\vv P = (0,\, -196{,}2)\;\text{N}$, applied at the ladder’s centre;
• floor reaction $\vv R_1 = (0,\, R_1)$, vertical, applied at the foot;
• friction at the floor $\vv F_a = (F_a,\, 0)$, horizontal, applied at the foot;
• wall reaction $\vv R_2 = (-R_2,\, 0)$, horizontal (the wall is smooth, no friction), applied at the top end.

Step 2 — Translational equilibrium $\sum\vv F = \vv 0$:

$\begin{aligned} x:&\quad F_a - R_2 = 0 \;\Rightarrow\; F_a = R_2 \\ y:&\quad R_1 - 196{,}2 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 = 196{,}2\;\text{N} \end{aligned}$

Step 3 — Rotational equilibrium (clever pole at the foot). Choosing the pole at the foot of the ladder, $\vv R_1$ and $\vv F_a$ have zero lever arm and vanish. What remains is the weight (horizontal arm $\tfrac{L}{2}\cos 60^\circ = 0{,}75\;\text{m}$) and the wall reaction (applied at the top, height $L\sin 60^\circ \approx 2{,}60\;\text{m}$):

$\sum M = -P\cdot 0{,}75 + R_2\cdot 2{,}60 = 0 \;\Rightarrow\; R_2 = \frac{196{,}2\cdot 0{,}75}{2{,}60} \approx 56{,}6\;\text{N}$

Step 4 — Comparison with maximum friction. From $F_a = R_2 \approx 56{,}6\;\text{N}$, while the available static friction is

$F_a^{\text{max}} = \mu R_1 = 1\cdot 196{,}2 = 196{,}2\;\text{N}$

Since $56{,}6\;\text{N} < 196{,}2\;\text{N}$, the required friction is amply available:

$\ev{F_a \approx 56{,}6\;\text{N} < F_a^{\text{max}} = 196{,}2\;\text{N}\;\Rightarrow\; \text{the ladder does not slip}}$