Leggi sperimentali e scale logaritmiche

Uno degli obiettivi fondamentali di un’esperienza di laboratorio è trovare la legge che collega due grandezze: misuri coppie di valori $(x_i,\,y_i)$, li metti in un grafico, riconosci la forma della curva, cerchi un modello matematico. Quando la relazione è lineare tutto è semplice: la retta di best-fit dà direttamente pendenza e intercetta. Ma se i dati seguono una curva — un’esponenziale, una legge di potenza — esiste un trucco potente: linearizzare tramite il logaritmo. I due strumenti principali sono il grafico semilogaritmico (per le esponenziali) e il grafico bilogaritmico (per le leggi di potenza).

Atomi

• Logaritmi: promemoria rapido
• Legge esponenziale e grafico semilogaritmico
• Legge di potenza e grafico bilogaritmico
• Quando usare semilog e quando log-log

One of the fundamental goals of a lab experience is finding the law linking two quantities: you measure pairs of values $(x_i,\,y_i)$, plot them, recognise the shape of the curve, and look for a mathematical model. When the relationship is linear everything is simple: the best-fit line directly gives the slope and intercept. But if the data follow a curve — an exponential, a power law — there is a powerful trick: linearising via the logarithm. The two main tools are the semilogarithmic graph (for exponentials) and the bilogarithmic graph (for power laws).

Atoms

• Logarithms: a quick reminder
• Exponential law and the semilogarithmic graph
• Power law and the bilogarithmic graph
• When to use semilog and when to use log-log

Prima di linearizzare una legge servono i logaritmi. Il logaritmo in base 10 di $x$, scritto $\log_{10} x$ (o semplicemente $\log x$), è l’esponente a cui va elevato 10 per ottenere $x$:

$\log_{10} x = y \iff 10^{y} = x$

Qualche valore da tenere a mente: $\log_{10} 100 = 2$, perché $10^2 = 100$; $\log_{10} 0{,}001 = -3$, perché $10^{-3} = 0{,}001$; e $\log_{10} 1 = 0$, perché $10^{0} = 1$. Il logaritmo cresce lentissimo: moltiplicare $x$ per $10$ aggiunge sempre e solo $1$ al logaritmo. È questa compressione delle scale che permette a un grafico logaritmico di far stare sullo stesso foglio numeri che vanno da $1$ a un milione.

Le tre proprietà fondamentali

$\log(AB) = \log A + \log B \qquad \log\!\left(\frac{A}{B}\right) = \log A - \log B \qquad \log A^{n} = n\,\log A$

L’intuizione è tutta qui: i logaritmi trasformano prodotti in somme e potenze in moltiplicazioni. Una relazione in cui compaiono prodotti e potenze — cioè quasi tutte le leggi fisiche non lineari — diventa, presa in logaritmo, una relazione fatta di sole somme e proporzionalità: cioè una retta. È esattamente questo che rende i logaritmi lo strumento naturale per riconoscere e misurare leggi esponenziali e leggi di potenza.

In pratica

Se in una formula vedi un prodotto o un esponente, prova a prenderne il logaritmo: quasi sempre la formula si “raddrizza” in qualcosa di lineare, molto più facile da leggere su un grafico.

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Pallina rimbalzante (semilog) · Problema — Batteri e grafico semilog · Problema — Stima di Fermi, misure di g

Before linearising a law, logarithms are needed. The base-10 logarithm of $x$, written $\log_{10} x$ (or simply $\log x$), is the exponent to which 10 must be raised to obtain $x$:

$\log_{10} x = y \iff 10^{y} = x$

A few values worth remembering: $\log_{10} 100 = 2$, because $10^2 = 100$; $\log_{10} 0{,}001 = -3$, because $10^{-3} = 0{,}001$; and $\log_{10} 1 = 0$, because $10^{0} = 1$. The logarithm grows extremely slowly: multiplying $x$ by $10$ always adds just $1$ to the logarithm. It is this compression of scales that lets a logarithmic graph fit, on the same sheet, numbers ranging from $1$ to a million.

The three fundamental properties

$\log(AB) = \log A + \log B \qquad \log\!\left(\frac{A}{B}\right) = \log A - \log B \qquad \log A^{n} = n\,\log A$

The intuition is all here: logarithms turn products into sums and powers into multiplications. A relation involving products and powers — that is, almost every non-linear physical law — becomes, once logarithms are taken, a relation made up purely of sums and proportionalities: in other words, a straight line. This is exactly what makes logarithms the natural tool for recognising and measuring exponential laws and power laws.

In practice

If you see a product or an exponent in a formula, try taking its logarithm: the formula almost always “straightens out” into something linear, much easier to read on a graph.

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Topics: Experimental method Skills: Use of logarithmic scales

Related exercises: Worked exercise — Bouncing ball (semilog) · Problem — Bacteria and semilog graph · Problem — Fermi estimate, measurements of g

Una legge esponenziale ha la forma

$y = a\cdot k^{x}, \qquad k > 0,\ k \neq 1$

e descrive situazioni in cui, ad ogni incremento unitario di $x$, la quantità $y$ si moltiplica per un fattore fisso $k$. Se $k > 1$ la grandezza cresce (interesse composto, popolazione di batteri); se $k < 1$ diminuisce, perdendo ad ogni passo una percentuale fissa del valore corrente (decadimento radioattivo, altezza dei rimbalzi di una pallina). Per esempio $k = 0{,}87$ significa che ad ogni passo $y$ perde il $13\%$ di quanto vale in quel momento.

Linearizzazione: perché il semilog funziona

Il grafico semilogaritmico ha l’asse $y$ in scala logaritmica e l’asse $x$ in scala lineare. Il motivo per cui raddrizza le esponenziali si vede prendendo il $\log_{10}$ di entrambi i membri e usando le proprietà dei logaritmi (prodotto → somma, potenza → moltiplicazione):

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + x\cdot\underbrace{\log_{10}(k)}_{m}$

Nel piano $(x,\,\log_{10} y)$ questa è una retta $Y = q + mx$: la legge esponenziale, che sul grafico lineare era una curva, diventa una linea diritta. Se i punti sperimentali si allineano su un semilog, allora la legge è esponenziale — e viceversa.

Recupero dei parametri da un grafico semilog

$m = \frac{\Delta Y}{\Delta x} \;\Rightarrow\; k = 10^{m} \qquad\qquad q = Y\big|_{x=0} \;\Rightarrow\; a = 10^{q}$

Il segno della pendenza dice subito che tipo di esponenziale è: se $m < 0$ allora $k < 1$ e si tratta di un decadimento; se $m > 0$ allora $k > 1$ e si tratta di una crescita. La pendenza misura il tasso di variazione per passo, l’intercetta misura il valore di partenza $a = 10^{q}$.

L’applicazione tipica è l’esperienza della pallina rimbalzante: si misura l’altezza massima $h$ ad ogni rimbalzo, ci si aspetta $h = a\cdot k^{n}$ con $k < 1$, e dalla retta interpolante sul semilog si leggono sia la frazione di energia persa ($k$) sia l’altezza di partenza ($a$).

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Pallina rimbalzante (semilog) · Problema — Batteri e grafico semilog · Problema — Stima di Fermi, misure di g

An exponential law has the form

$y = a\cdot k^{x}, \qquad k > 0,\ k \neq 1$

and describes situations in which, for every unit increase in $x$, the quantity $y$ is multiplied by a fixed factor $k$. If $k > 1$ the quantity grows (compound interest, a bacterial population); if $k < 1$ it decreases, losing a fixed percentage of its current value at every step (radioactive decay, the bounce heights of a ball). For example $k = 0{,}87$ means that at every step $y$ loses $13\%$ of its value at that moment.

Linearisation: why the semi-log works

The semi-logarithmic graph has the $y$ axis on a logarithmic scale and the $x$ axis on a linear scale. The reason it straightens out exponentials can be seen by taking the $\log_{10}$ of both sides and using the properties of logarithms (product → sum, power → multiplication):

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + x\cdot\underbrace{\log_{10}(k)}_{m}$

In the plane $(x,\,\log_{10} y)$ this is a straight line $Y = q + mx$: the exponential law, which was a curve on a linear graph, becomes a straight line. If the experimental points line up on a semi-log graph, then the law is exponential — and vice versa.

Recovering the parameters from a semi-log graph

$m = \frac{\Delta Y}{\Delta x} \;\Rightarrow\; k = 10^{m} \qquad\qquad q = Y\big|_{x=0} \;\Rightarrow\; a = 10^{q}$

The sign of the slope immediately tells you what type of exponential it is: if $m < 0$ then $k < 1$ and it is a decay; if $m > 0$ then $k > 1$ and it is a growth. The slope measures the rate of change per step, while the intercept measures the starting value $a = 10^{q}$.

The typical application is the bouncing ball experiment: the maximum height $h$ is measured at each bounce, $h = a\cdot k^{n}$ is expected with $k < 1$, and from the best-fit line on the semi-log graph both the fraction of energy lost ($k$) and the starting height ($a$) can be read off.

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Topics: Experimental method Skills: Use of logarithmic scales · Data linearisation · Reading graphs

Related exercises: Worked exercise — Bouncing ball (semilog) · Problem — Bacteria and semilog graph · Problem — Fermi estimate, measurements of g

Una legge di potenza ha la forma

$y = a\cdot x^{n}$

e descrive situazioni in cui $y$ scala come una potenza di $x$. Sono ovunque in fisica: la forza di gravità $F \propto 1/r^{2}$ (esponente $n = -2$), il periodo del pendolo $T \propto \sqrt{L}$ cioè $L^{1/2}$ (esponente $n = 1/2$), la distanza di frenata $d \propto v^{2}$ (esponente $n = 2$). L’esponente $n$ è la firma della legge: dirlo con precisione significa aver capito come una grandezza dipende dall’altra.

Linearizzazione: perché il log-log funziona

Il grafico bilogaritmico (log-log) ha entrambi gli assi in scala logaritmica. Prendendo il $\log_{10}$ dei due membri, la potenza diventa una moltiplicazione:

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + n\cdot\underbrace{\log_{10}(x)}_{X}$

Nel piano log-log $(X,\,Y)$ questa è una retta $Y = q + nX$. La differenza cruciale rispetto al semilog: qui la pendenza è l’esponente $n$ della legge di potenza. Basta misurare l’inclinazione della retta per leggere l’esponente, senza bisogno di conoscere nulla dei valori assoluti.

Recupero dei parametri da un grafico log-log

$n = \frac{\Delta\log_{10}(y)}{\Delta\log_{10}(x)} \quad(\text{pendenza} = \text{esponente}) \qquad a = 10^{\,q} \ \text{ con } q = \log_{10}(y)\big|_{x=1}$

Attenzione a non confondere i due strumenti: sul semilog una retta segnala un’esponenziale $y = a\,k^{x}$ (la variabile è all’esponente); sul log-log una retta segnala una legge di potenza $y = a\,x^{n}$ (la variabile è alla base). Sono diagnosi diverse per leggi diverse. Un’applicazione concreta è la misura di come il tempo totale di rimbalzo dipende dall’altezza di rilascio, dove il log-log rivela un esponente $n \approx 1/2$.

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A power law has the form

$y = a\cdot x^{n}$

and describes situations in which $y$ scales as a power of $x$. They are everywhere in physics: the force of gravity $F \propto 1/r^{2}$ (exponent $n = -2$), the period of a pendulum $T \propto \sqrt{L}$, that is $L^{1/2}$ (exponent $n = 1/2$), the braking distance $d \propto v^{2}$ (exponent $n = 2$). The exponent $n$ is the law’s signature: stating it precisely means having understood how one quantity depends on the other.

Linearisation: why the log-log graph works

The log-log graph has both axes on a logarithmic scale. Taking the $\log_{10}$ of both sides, the power becomes a multiplication:

$\underbrace{\log_{10}(y)}_{Y} = \underbrace{\log_{10}(a)}_{q} + n\cdot\underbrace{\log_{10}(x)}_{X}$

In the log-log plane $(X,\,Y)$ this is a straight line $Y = q + nX$. The crucial difference from the semi-log case: here the slope is the exponent $n$ of the power law. It is enough to measure the line’s incline to read off the exponent, without needing to know anything about the absolute values.

Recovering the parameters from a log-log graph

$n = \frac{\Delta\log_{10}(y)}{\Delta\log_{10}(x)} \quad(\text{pendenza} = \text{esponente}) \qquad a = 10^{\,q} \ \text{ con } q = \log_{10}(y)\big|_{x=1}$

Take care not to confuse the two tools: on a semi-log graph, a straight line signals an exponential $y = a\,k^{x}$ (the variable is in the exponent); on a log-log graph, a straight line signals a power law $y = a\,x^{n}$ (the variable is in the base). These are different diagnoses for different laws. A concrete application is measuring how the total bounce time depends on the release height, where the log-log graph reveals an exponent $n \approx 1/2$.

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I tre casi che si incontrano in laboratorio si riassumono in una sola strategia: trasforma i dati in modo che i punti si allineino, poi leggi i parametri dalla retta di best-fit. Quello che cambia è quale trasformazione serve.

Tre leggi, tre grafici

Tipo di legge	Grafico	Dalla retta interpolante
$y = a\cdot k^{x}$ (esponenziale)	Semilog ($y$ in log, $x$ lineare)	$m = \log k \Rightarrow k = 10^{m}$; $q = \log a \Rightarrow a = 10^{q}$
$y = a\cdot x^{n}$ (potenza)	Log-log (entrambi in log)	$m = n$ (l’esponente); $q = \log a \Rightarrow a = 10^{q}$
$y = mx + q$ (lineare)	Scala normale	$m$ = pendenza; $q$ = intercetta

La regola pratica per scegliere: se sospetti che la variabile stia all’esponente (qualcosa che raddoppia o si dimezza a ogni passo fisso), prova il semilog. Se sospetti che la variabile stia alla base elevata a una potenza (qualcosa che scala come un quadrato, una radice, un inverso del quadrato), prova il log-log. In entrambi i casi, il verdetto è visivo e immediato: se dopo la trasformazione i punti stanno su una retta, hai indovinato la forma della legge, e la retta stessa ti consegna i parametri.

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The three cases you meet in the lab can be summarised in a single strategy: transform the data so the points line up, then read the parameters off the best-fit line. What changes is which transformation is needed.

Three laws, three graphs

Type of law	Graph	From the fitted line
$y = a\cdot k^{x}$ (exponential)	Semilog ($y$ on log scale, $x$ linear)	$m = \log k \Rightarrow k = 10^{m}$; $q = \log a \Rightarrow a = 10^{q}$
$y = a\cdot x^{n}$ (power)	Log-log (both axes on log scale)	$m = n$ (the exponent); $q = \log a \Rightarrow a = 10^{q}$
$y = mx + q$ (linear)	Normal scale	$m$ = slope; $q$ = intercept

The practical rule for choosing: if you suspect the variable sits in the exponent (something that doubles or halves at each fixed step), try semilog. If you suspect the variable sits at the base raised to a power (something that scales like a square, a root, an inverse square), try log-log. In both cases the verdict is visual and immediate: if, after the transformation, the points lie on a straight line, you have guessed the form of the law correctly, and the line itself hands you the parameters.

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