Esercizi — Metodo sperimentale

Tutti gli esercizi e i problemi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo (semilog e bilog), poi i problemi delle due sezioni di fine capitolo (concettuali, vero/falso, ranking, grafici, numerici, stime di Fermi) e gli esercizi svolti su cifre significative e propagazione degli errori.

Esercizi guidati nel testo

• Pallina rimbalzante (semilog)
• Tempo totale di rimbalzo (bilog)

Problemi — prima sezione

• Misura diretta o indiretta
• Legge sperimentale e ipotesi
• Vero o falso sui grafici
• Rimbalzo log-log
• Velocità d’impatto e coefficiente di restituzione
• Cronometro manuale contro fotocellule
• Somma dei tempi di rimbalzo
• Batteri e grafico semilog
• Stima di Fermi: misure di g
• Ranking dell’incertezza degli strumenti
• Variabile indipendente, dipendente, di disturbo
• Quale grafico ti aspetti (T vs m)
• Riproducibilità della densità dell’olio
• Vero o falso sugli errori sperimentali
• Studio sull’aspirina

Problemi — seconda sezione

• Legge fisica contro correlazione
• Falsificazione di Popper
• Cifre significative
• Precisione contro accuratezza
• Grafico lineare y = kx
• Variabili controllate in un gas
• Cifre significative, ranking
• Legge dai dati del pendolo
• Precisione richiesta su g
• Misura senza errore
• Leggi a soglia
• Stima Fermi: esperimenti scolastici in Italia
• Quante ripetizioni per confermare una legge
• Critica del grafico: estrapolazione
• Campione piccolo (moneta)
• Errore sistematico contro casuale
• Indeterminazione e metodo
• Progettare la misura di g
• Paradosso di Bertrand
• Propagazione dell’errore in un prodotto
• Media e deviazione standard
• Curva di taratura
• Esponente da grafico bilog
• Precisione di tre strumenti
• Misura priva di disturbo
• Cronometro umano
• Un solo esperimento, un solo studio
• Incertezza relativa in un quoziente

All the exercises and problems of the chapter, worked through step by step, in the order in which they appear in the chapter: first the guided exercises in the text (semi-log and bilog), then the problems from the two end-of-chapter sections (conceptual, true/false, ranking, graphs, numerical, Fermi estimates), and the worked exercises on significant figures and error propagation.

Guided exercises in the text

• Bouncing ball (semi-log)
• Total bounce time (bilog)

Problems — first section

• Direct or indirect measurement
• Experimental law and hypothesis
• True or false about graphs
• Log-log bounce
• Impact speed and coefficient of restitution
• Manual stopwatch versus photogates
• Sum of bounce times
• Bacteria and semi-log graph
• Fermi estimate: measurements of g
• Ranking instrument uncertainty
• Independent, dependent, and confounding variables
• Which graph do you expect (T vs m)
• Reproducibility of oil density
• True or false about experimental errors
• Study on aspirin

Problems — second section

• Physical law versus correlation
• Popper’s falsification
• Significant figures
• Precision versus accuracy
• Linear graph y = kx
• Controlled variables in a gas
• Significant figures, ranking
• Law from pendulum data
• Precision required on g
• Measurement without error
• Threshold laws
• Fermi estimate: school experiments in Italy
• How many repetitions to confirm a law
• Critiquing the graph: extrapolation
• Small sample (coin)
• Systematic versus random error
• Indeterminacy and method
• Designing the measurement of g
• Bertrand’s paradox
• Error propagation in a product
• Mean and standard deviation
• Calibration curve
• Exponent from a bilog graph
• Precision of three instruments
• Disturbance-free measurement
• Human stopwatch
• One experiment, one study
• Relative uncertainty in a quotient

Testo

Una pallina rimbalza sul pavimento. Si misura l’altezza massima $h$ raggiunta ad ogni rimbalzo. Ci si aspetta che $h$ segua una legge esponenziale $h = a\cdot k^{n}$, dove $n$ è il numero del rimbalzo e $k < 1$ (ad ogni rimbalzo si perde una percentuale fissa di energia). Dati misurati (simulati con $a = 3{,}00$ m, $k = 0{,}87$, più rumore sperimentale). Esperienza di laboratorio 3C e 3F, Fanti 2024–25.

$n$	$h$ (m)	$\log_{10} h$
0	2{,}917	0{,}465
1	2{,}485	0{,}395
2	2{,}220	0{,}346
3	1{,}566	0{,}195
4	1{,}686	0{,}227
5	1{,}870	0{,}272
6	1{,}228	0{,}089
7	1{,}191	0{,}076
8	0{,}468	−0{,}330
9	1{,}035	0{,}015
10	0{,}941	−0{,}026

Ricava i parametri $a$ e $k$ della legge e interpreta il risultato fisicamente.

Soluzione

Impostazione. La legge attesa $h = a\,k^{n}$ è esponenziale: sul grafico lineare $(n,h)$ i punti disegnano una curva discendente, ma prendendo il logaritmo diventa una retta. $\log_{10}(h) = \log_{10}(a) + n\cdot\log_{10}(k)$ Ponendo $Y = \log_{10} h$, $q = \log_{10} a$ e $m = \log_{10} k$ si ha la retta $Y = q + m\,n$: la si ottiene disegnando i valori $\log_{10} h$ (terza colonna) in funzione di $n$, cioè il grafico semilogaritmico.

Regressione lineare. Il best-fit sui valori $\log_{10} h$ fornisce $Y = 0{,}447 - 0{,}0577\,n$ quindi pendenza $m = -0{,}0577$ e intercetta $q = 0{,}447$.

Recupero dei parametri. Dalla pendenza si ricava $k$, dall’intercetta si ricava $a$: $k = 10^{m} = 10^{-0{,}0577} \approx 0{,}875 \qquad a = 10^{q} = 10^{0{,}447} \approx 2{,}80\ \text{m}$ $\ev{a \approx 2{,}80\ \text{m}, \qquad k \approx 0{,}875}$

Interpretazione fisica. La pendenza è negativa, dunque $k < 1$: è un decadimento. La pallina “parte” da $2{,}80$ m al primo rimbalzo e ad ogni rimbalzo conserva il $87{,}5\%$ dell’altezza precedente, cioè perde circa il $12{,}5\%$ della sua energia potenziale (l’altezza è proporzionale all’energia). Il singolo punto molto basso a $n = 8$ è rumore sperimentale: la retta di best-fit lo “media” con gli altri, ed è proprio questo il vantaggio di adattare una retta invece di fidarsi di una singola misura.

I due grafici. A sinistra i dati in scala lineare (curva); a destra gli stessi dati in scala semilogaritmica, dove diventano una retta.

A sinistra: in scala lineare i punti seguono una curva esponenziale discendente, con la fit $h = 2{,}80\cdot 0{,}875^{\,n}$.

A destra: in scala semilogaritmica gli stessi punti si dispongono lungo una retta di pendenza $m = -0{,}0577$; da pendenza e intercetta si leggono $k$ e $a$.

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Problem

A ball bounces on the floor. The maximum height $h$ reached at each bounce is measured. We expect $h$ to follow an exponential law $h = a\cdot k^{n}$, where $n$ is the bounce number and $k < 1$ (a fixed percentage of energy is lost at each bounce). Measured data (simulated with $a = 3{,}00$ m, $k = 0{,}87$, plus experimental noise). Lab experience 3C and 3F, Fanti 2024–25.

$n$	$h$ (m)	$\log_{10} h$
0	2{,}917	0{,}465
1	2{,}485	0{,}395
2	2{,}220	0{,}346
3	1{,}566	0{,}195
4	1{,}686	0{,}227
5	1{,}870	0{,}272
6	1{,}228	0{,}089
7	1{,}191	0{,}076
8	0{,}468	−0{,}330
9	1{,}035	0{,}015
10	0{,}941	−0{,}026

Work out the parameters $a$ and $k$ of the law and give a physical interpretation of the result.

Solution

Set-up. The expected law $h = a\,k^{n}$ is exponential: on the linear graph $(n,h)$ the points trace a descending curve, but taking the logarithm turns it into a straight line. $\log_{10}(h) = \log_{10}(a) + n\cdot\log_{10}(k)$ Setting $Y = \log_{10} h$, $q = \log_{10} a$ and $m = \log_{10} k$ gives the line $Y = q + m\,n$: it is obtained by plotting the values $\log_{10} h$ (third column) against $n$, i.e. the semilogarithmic graph.

Linear regression. The best fit on the $\log_{10} h$ values gives $Y = 0{,}447 - 0{,}0577\,n$ hence slope $m = -0{,}0577$ and intercept $q = 0{,}447$.

Recovering the parameters. $k$ is obtained from the slope, $a$ from the intercept: $k = 10^{m} = 10^{-0{,}0577} \approx 0{,}875 \qquad a = 10^{q} = 10^{0{,}447} \approx 2{,}80\ \text{m}$ $\ev{a \approx 2{,}80\ \text{m}, \qquad k \approx 0{,}875}$

Physical interpretation. The slope is negative, so $k < 1$: this is a decay. The ball “starts” at $2{,}80$ m at the first bounce and at each bounce retains $87{,}5\%$ of the previous height, i.e. it loses about $12{,}5\%$ of its potential energy (height is proportional to energy). The single very low point at $n = 8$ is experimental noise: the best-fit line “averages” it with the others, and this is precisely the advantage of fitting a line rather than trusting a single measurement.

The two graphs. On the left, the data on a linear scale (curve); on the right, the same data on a semilogarithmic scale, where they become a straight line.

On the left: on a linear scale the points follow a descending exponential curve, with the fit $h = 2{,}80\cdot 0{,}875^{\,n}$.

On the right: on a semilogarithmic scale the same points lie along a line of slope $m = -0{,}0577$; $k$ and $a$ are read off from the slope and intercept.

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Topics: Metodo sperimentale Skills: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Testo

La teoria prevede che il tempo totale $t_\text{tot}$ impiegato da una pallina a smettere di rimbalzare, se lasciata cadere da un’altezza $h_0$, segua una legge di potenza: $t_\text{tot} = a\cdot h_0^{\,1/2}, \qquad a = \frac{\sqrt{8k/g}}{1-k} \approx 6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}} \quad (k = 0{,}875)$ Si lascia cadere la pallina da cinque altezze diverse e si misura il tempo totale:

$h_0$ (m)	$t_\text{tot}$ (s)	$\log_{10} h_0$	$\log_{10} t_\text{tot}$
0{,}25	3{,}4	−0{,}60	0{,}53
0{,}50	4{,}6	−0{,}30	0{,}66
1{,}00	7{,}0	0{,}00	0{,}85
1{,}50	8{,}1	0{,}18	0{,}91
2{,}00	9{,}8	0{,}30	0{,}99

Verifica sul grafico bilogaritmico che l’esponente è $1/2$ e ricava $a$.

Soluzione

Impostazione. La legge attesa $t_\text{tot} = a\,h_0^{1/2}$ è una legge di potenza: sul grafico bilogaritmico (entrambi gli assi in scala logaritmica) diventa una retta la cui pendenza è proprio l’esponente. $\log_{10}(t_\text{tot}) = \log_{10}(a) + \tfrac{1}{2}\,\log_{10}(h_0)$

Pendenza = esponente. Prendo il primo e l’ultimo punto della quarta e terza colonna e calcolo la pendenza: $n = \frac{\Delta\log_{10} t}{\Delta\log_{10} h_0} = \frac{0{,}99 - 0{,}53}{0{,}30 - (-0{,}60)} = \frac{0{,}46}{0{,}90} \approx 0{,}51$ compatibile con il valore teorico $n = 1/2$.

Recupero di $a$. Il coefficiente $a$ si legge dove $h_0 = 1$ m, cioè $\log_{10} h_0 = 0$: lì il fit dà $\log_{10} t \approx 0{,}83$, quindi $a = 10^{0{,}83} \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$ in ottimo accordo con il valore teorico $6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$. $\ev{n \approx \tfrac{1}{2}, \qquad a \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}}$

Interpretazione. Che la pendenza in log-log risulti $\approx 0{,}5$ conferma la dipendenza $t_\text{tot} \propto \sqrt{h_0}$: raddoppiare l’altezza di rilascio non raddoppia il tempo di rimbalzo, lo aumenta solo di un fattore $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Sul grafico log-log i cinque punti si allineano; la pendenza $\approx 0{,}5$ è l’esponente della legge di potenza $t_\text{tot} = 6{,}76\,h_0^{1/2}$.

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Problem

Theory predicts that the total time $t_\text{tot}$ taken by a ball to stop bouncing, if dropped from a height $h_0$, follows a power law: $t_\text{tot} = a\cdot h_0^{\,1/2}, \qquad a = \frac{\sqrt{8k/g}}{1-k} \approx 6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}} \quad (k = 0{,}875)$ The ball is dropped from five different heights and the total time is measured:

$h_0$ (m)	$t_\text{tot}$ (s)	$\log_{10} h_0$	$\log_{10} t_\text{tot}$
0{,}25	3{,}4	−0{,}60	0{,}53
0{,}50	4{,}6	−0{,}30	0{,}66
1{,}00	7{,}0	0{,}00	0{,}85
1{,}50	8{,}1	0{,}18	0{,}91
2{,}00	9{,}8	0{,}30	0{,}99

Verify on the bilogarithmic graph that the exponent is $1/2$ and work out $a$.

Solution

Set-up. The expected law $t_\text{tot} = a\,h_0^{1/2}$ is a power law: on the bilogarithmic graph (both axes on a log scale) it becomes a straight line whose slope is precisely the exponent. $\log_{10}(t_\text{tot}) = \log_{10}(a) + \tfrac{1}{2}\,\log_{10}(h_0)$

Slope = exponent. Taking the first and last point of the fourth and third columns, the slope is computed as: $n = \frac{\Delta\log_{10} t}{\Delta\log_{10} h_0} = \frac{0{,}99 - 0{,}53}{0{,}30 - (-0{,}60)} = \frac{0{,}46}{0{,}90} \approx 0{,}51$ consistent with the theoretical value $n = 1/2$.

Recovering $a$. The coefficient $a$ is read off at $h_0 = 1$ m, i.e. $\log_{10} h_0 = 0$: there the fit gives $\log_{10} t \approx 0{,}83$, hence $a = 10^{0{,}83} \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$ in excellent agreement with the theoretical value $6{,}76\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$. $\ev{n \approx \tfrac{1}{2}, \qquad a \approx 6{,}8\ \text{s}/\sqrt{\text{m}}}$

Interpretation. The log-log slope coming out as $\approx 0{,}5$ confirms the dependence $t_\text{tot} \propto \sqrt{h_0}$: doubling the release height does not double the bounce time, it only increases it by a factor $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

On the log-log graph the five points line up; the slope $\approx 0{,}5$ is the exponent of the power law $t_\text{tot} = 6{,}76\,h_0^{1/2}$.

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Topics: Metodo sperimentale Skills: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Testo

Stabilisci quali tra queste è una misura diretta e quali una misura indiretta: (a) la lunghezza di un tavolo letta con un metro; (b) la velocità media di un ciclista calcolata come $\Delta s/\Delta t$; (c) la temperatura di una stanza letta su un termometro digitale; (d) la densità di un sassolino ricavata da massa e volume.

Soluzione

Conviene fissare la distinzione di fondo. Una misura diretta è quella che si ottiene leggendo il valore della grandezza direttamente su uno strumento tarato per quella grandezza, senza calcoli intermedi. Una misura indiretta è invece quella in cui la grandezza cercata non viene letta su alcuno strumento, ma viene calcolata a partire da altre grandezze (queste sì misurate direttamente) attraverso una relazione matematica.

Applichiamo il criterio ai quattro casi:

• (a) Lunghezza del tavolo col metro — diretta. Il valore in centimetri o metri si legge immediatamente sulla scala del metro.
• (b) Velocità media $v = \Delta s/\Delta t$ — indiretta. Non esiste alcuno strumento che “legge la velocità media”: si misurano lo spostamento $\Delta s$ e l’intervallo di tempo $\Delta t$, poi si calcola il rapporto.
• (c) Temperatura col termometro digitale — diretta. Il numero appare sul display dello strumento, che è tarato in gradi.
• (d) Densità del sassolino — indiretta. Si misurano separatamente la massa $m$ (con la bilancia) e il volume $V$ (per esempio con un cilindro graduato), poi si calcola $\rho = m/V$.

$\ev{\text{(a) diretta} \quad \text{(b) indiretta} \quad \text{(c) diretta} \quad \text{(d) indiretta}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale · Grandezze fisiche e misura

Problem

Determine which of these is a direct measurement and which is an indirect measurement: (a) the length of a table read with a tape measure; (b) the average speed of a cyclist computed as $\Delta s/\Delta t$; (c) the temperature of a room read on a digital thermometer; (d) the density of a pebble obtained from mass and volume.

Solution

It’s worth fixing the underlying distinction. A direct measurement is one obtained by reading the value of the quantity directly on an instrument calibrated for that quantity, with no intermediate calculation. An indirect measurement, by contrast, is one in which the quantity sought is not read on any instrument, but is calculated from other quantities (these being directly measured) via a mathematical relation.

Let’s apply the criterion to the four cases:

• (a) Length of the table with the tape measure — direct. The value in centimetres or metres is read straight off the tape’s scale.
• (b) Average speed $v = \Delta s/\Delta t$ — indirect. There is no instrument that “reads the average speed”: the displacement $\Delta s$ and the time interval $\Delta t$ are measured, then the ratio is calculated.
• (c) Temperature with the digital thermometer — direct. The number appears on the instrument’s display, which is calibrated in degrees.
• (d) Density of the pebble — indirect. The mass $m$ (with the balance) and the volume $V$ (for example with a graduated cylinder) are measured separately, then $\rho = m/V$ is calculated.

$\ev{\text{(a) direct} \quad \text{(b) indirect} \quad \text{(c) direct} \quad \text{(d) indirect}}$

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Topics: Metodo sperimentale · Grandezze fisiche e misura

Testo

Spiega la differenza fra una legge sperimentale e una ipotesi; fai un esempio concreto in cui un’ipotesi non viene confermata dai dati e deve quindi essere modificata.

Soluzione

Un’ipotesi è una congettura, cioè una possibile spiegazione o una relazione proposta prima o durante l’indagine, che non è ancora stata messa alla prova dai dati. Serve da punto di partenza: dice “supponiamo che le cose stiano così” e indica quali esperimenti fare per controllarla.

Una legge sperimentale è invece una relazione fra grandezze fisiche che è già stata corroborata da un insieme di misure riproducibili: non è più una semplice supposizione, ma una regolarità confermata dall’esperimento entro un certo campo di validità. In sintesi, l’ipotesi sta all’inizio del metodo sperimentale, la legge ne è uno dei possibili esiti, quando i dati la sostengono.

Esempio in cui l’ipotesi viene smentita. Supponiamo di formulare l’ipotesi: “il periodo di oscillazione di un pendolo dipende dalla massa appesa”. Per controllarla teniamo fissa la lunghezza del filo e misuriamo il periodo appendendo masse via via maggiori. I dati mostrano che il periodo resta praticamente costante al variare della massa: l’ipotesi non è confermata. Dobbiamo quindi rifiutarla o modificarla, riformulandola in una versione compatibile con le misure, per esempio: “il periodo del pendolo non dipende dalla massa, ma dipende dalla lunghezza del filo”. Questa nuova ipotesi, sottoposta a ulteriori prove e confermata, diventa una legge sperimentale.

Il punto essenziale è metodologico: è l’esperimento, non l’intuizione, ad avere l’ultima parola. Un’ipotesi in disaccordo con dati affidabili va abbandonata o corretta.

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Argomenti: Metodo sperimentale

Problem

Explain the difference between an experimental law and a hypothesis; give a concrete example in which a hypothesis is not confirmed by the data and therefore has to be modified.

Solution

A hypothesis is a conjecture, that is, a possible explanation or relationship proposed before or during an investigation, which has not yet been tested against the data. It serves as a starting point: it says “let’s suppose things are like this” and indicates which experiments to carry out to check it.

An experimental law, on the other hand, is a relationship between physical quantities that has already been corroborated by a set of reproducible measurements: it is no longer a mere supposition, but a regularity confirmed by experiment within a certain range of validity. In short, the hypothesis stands at the start of the experimental method, while the law is one of its possible outcomes, once the data support it.

Example in which the hypothesis is disproved. Suppose we put forward the hypothesis: “the period of oscillation of a pendulum depends on the mass hung from it”. To check it, we keep the length of the string fixed and measure the period while hanging increasingly larger masses. The data show that the period stays practically constant as the mass varies: the hypothesis is not confirmed. We must therefore reject it or modify it, reformulating it into a version compatible with the measurements, for example: “the period of the pendulum does not depend on the mass, but depends on the length of the string”. This new hypothesis, subjected to further tests and confirmed, becomes an experimental law.

The essential point is methodological: it is the experiment, not intuition, that has the final word. A hypothesis that disagrees with reliable data must be abandoned or corrected.

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Topics: Experimental method

Testo

Vero o falso, motivando: (a) se su un grafico $y$–$x$ i punti si allineano, la legge è $y = mx + q$; (b) su un grafico semilog con $y$ in scala logaritmica, una retta corrisponde a una legge di potenza $y = a\,x^n$; (c) un grafico log-log permette di leggere l’esponente come pendenza.

Soluzione

(a) VERO. Se in un grafico con entrambi gli assi lineari i punti sperimentali si dispongono lungo una retta, la relazione fra le due grandezze è di tipo lineare, cioè $y = mx + q$, dove $m$ è la pendenza e $q$ l’intercetta. È proprio la definizione geometrica di legge lineare: allineamento su assi lineari.

(b) FALSO. Su un grafico semilogaritmico solo l’ordinata è in scala logaritmica, mentre l’ascissa resta lineare. Se i punti si allineano significa che $\log y$ è lineare in $x$, cioè $\log y = \log a + x\log k$, da cui $y = a\,k^{x}$: una legge esponenziale, non una legge di potenza. Una legge di potenza $y = a\,x^{n}$ dà una retta solo quando entrambi gli assi sono logaritmici (log-log), perché lì $\log y = \log a + n\log x$.

(c) VERO. In un grafico log-log una legge di potenza $y = a\,x^{n}$ diventa $\log y = \log a + n\log x$: è una retta la cui pendenza è esattamente l’esponente $n$. Misurando la pendenza della retta si legge quindi direttamente l’esponente della legge di potenza (e dall’intercetta si ricava $a$).

$\ev{\text{(a) V} \qquad \text{(b) F} \qquad \text{(c) V}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Lettura dei grafici · Uso delle scale logaritmiche

Problem

True or false, with justification: (a) if on a $y$–$x$ graph the points line up, the law is $y = mx + q$; (b) on a semi-log graph with $y$ on a logarithmic scale, a straight line corresponds to a power law $y = a\,x^n$; (c) a log-log graph allows the exponent to be read as the slope.

Solution

(a) TRUE. If, on a graph with both axes linear, the experimental points lie along a straight line, the relationship between the two quantities is linear, that is $y = mx + q$, where $m$ is the slope and $q$ the intercept. This is precisely the geometric definition of a linear law: alignment on linear axes.

(b) FALSE. On a semi-logarithmic graph only the ordinate is on a logarithmic scale, while the abscissa stays linear. If the points line up it means $\log y$ is linear in $x$, that is $\log y = \log a + x\log k$, giving $y = a\,k^{x}$: an exponential law, not a power law. A power law $y = a\,x^{n}$ gives a straight line only when both axes are logarithmic (log-log), because there $\log y = \log a + n\log x$.

(c) TRUE. On a log-log graph a power law $y = a\,x^{n}$ becomes $\log y = \log a + n\log x$: it is a straight line whose slope is exactly the exponent $n$. Measuring the slope of the line therefore directly gives the exponent of the power law (and $a$ can be obtained from the intercept).

$\ev{\text{(a) V} \qquad \text{(b) F} \qquad \text{(c) V}}$

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Topics: Experimental method Skills: Reading graphs · Using logarithmic scales

Testo

Una pallina rimbalza e si misurano le coppie (altezza di rilascio $h$, tempo di un singolo rimbalzo $\tau$): $(0{,}20;\ 0{,}20)$, $(0{,}80;\ 0{,}40)$, $(1{,}80;\ 0{,}60)$, $(3{,}20;\ 0{,}80)$, con $h$ in metri e $\tau$ in secondi. Verifica graficamente (log-log) che $\tau = a\,h^{n}$ e determina $a$ e $n$.

Soluzione

Idea. Se vale una legge di potenza $\tau = a\,h^{n}$, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene $\log\tau = \log a + n\log h$ cioè, nelle variabili $\log h$ e $\log\tau$, una retta di pendenza $n$ e intercetta $\log a$. Riportando i dati su un grafico log-log dobbiamo quindi ottenere punti allineati.

Stima dell’esponente $n$. Basta osservare come cambia $\tau$ quando $h$ viene moltiplicato per un fattore noto. Passando dalla prima alla seconda coppia, $h$ va da $0{,}20$ a $0{,}80$, cioè si quadruplica ($\times 4$), mentre $\tau$ va da $0{,}20$ a $0{,}40$, cioè raddoppia ($\times 2$). Poiché $4^{n} = 2$ implica $n = 1/2$, la legge è del tipo $\tau \propto \sqrt{h}$. Il controllo con le altre coppie conferma: da $h=0{,}20$ a $h=3{,}20$ il fattore è $\times 16$ e $\tau$ passa da $0{,}20$ a $0{,}80$, cioè $\times 4 = 16^{1/2}$. Coerente.

Sul grafico log-log la pendenza vale $n = \frac{\log\tau_2 - \log\tau_1}{\log h_2 - \log h_1} = \frac{\log(0{,}80/0{,}20)}{\log(3{,}20/0{,}20)} = \frac{\log 4}{\log 16} = \frac{1}{2}$

Stima del coefficiente $a$. Da $\tau = a\sqrt{h}$ si ricava $a = \tau/\sqrt{h}$. Usando il primo punto $(h=0{,}20,\ \tau=0{,}20)$: $a = \frac{0{,}20}{\sqrt{0{,}20}} = \sqrt{0{,}20} \approx 0{,}45 \ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}}$

Schema del grafico log-log (punti allineati su una retta di pendenza $1/2$):

$\ev{n = \tfrac{1}{2} \qquad a \approx 0{,}45\ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}} \qquad \tau \approx 0{,}45\,\sqrt{h}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici

Problem

A ball bounces and the following pairs are measured (release height $h$, time of a single bounce $\tau$): $(0{,}20;\ 0{,}20)$, $(0{,}80;\ 0{,}40)$, $(1{,}80;\ 0{,}60)$, $(3{,}20;\ 0{,}80)$, with $h$ in metres and $\tau$ in seconds. Verify graphically (log-log) that $\tau = a\,h^{n}$ and determine $a$ and $n$.

Solution

Idea. If a power law $\tau = a\,h^{n}$ holds, taking the logarithm of both sides gives $\log\tau = \log a + n\log h$ that is, in the variables $\log h$ and $\log\tau$, a straight line of slope $n$ and intercept $\log a$. Plotting the data on a log-log graph should therefore give points that line up.

Estimating the exponent $n$. It is enough to observe how $\tau$ changes when $h$ is multiplied by a known factor. Going from the first to the second pair, $h$ goes from $0{,}20$ to $0{,}80$, i.e. it quadruples ($\times 4$), while $\tau$ goes from $0{,}20$ to $0{,}40$, i.e. it doubles ($\times 2$). Since $4^{n} = 2$ implies $n = 1/2$, the law is of the form $\tau \propto \sqrt{h}$. Checking with the other pairs confirms this: from $h=0{,}20$ to $h=3{,}20$ the factor is $\times 16$ and $\tau$ goes from $0{,}20$ to $0{,}80$, i.e. $\times 4 = 16^{1/2}$. Consistent.

On the log-log graph the slope is $n = \frac{\log\tau_2 - \log\tau_1}{\log h_2 - \log h_1} = \frac{\log(0{,}80/0{,}20)}{\log(3{,}20/0{,}20)} = \frac{\log 4}{\log 16} = \frac{1}{2}$

Estimating the coefficient $a$. From $\tau = a\sqrt{h}$ we get $a = \tau/\sqrt{h}$. Using the first point $(h=0{,}20,\ \tau=0{,}20)$: $a = \frac{0{,}20}{\sqrt{0{,}20}} = \sqrt{0{,}20} \approx 0{,}45 \ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}}$

Sketch of the log-log graph (points lying on a line of slope $1/2$):

$\ev{n = \tfrac{1}{2} \qquad a \approx 0{,}45\ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}} \qquad \tau \approx 0{,}45\,\sqrt{h}}$

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Topics: Experimental method Skills: Using logarithmic scales · Linearising data · Reading graphs

Testo

Una pallina viene lasciata cadere da $h_0 = 1{,}0$ m; rimbalza fino a $h_1 = 0{,}64$ m. Calcola la velocità di impatto al suolo e il coefficiente di restituzione $e = \sqrt{h_1/h_0}$, giustificando la formula.

Soluzione

Velocità di impatto. Durante la caduta libera da ferma, la conservazione dell’energia (oppure $v^2 = 2gh$) dà la velocità con cui la pallina arriva al suolo: $v = \sqrt{2\,g\,h_0} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}0} \approx 4{,}43 \ \mathrm{m/s}$

Giustificazione del coefficiente di restituzione. Il coefficiente di restituzione è definito come il rapporto fra il modulo della velocità subito dopo l’urto e quello subito prima: $e = \frac{v_{\text{dopo}}}{v_{\text{prima}}}$ Sia prima (caduta) sia dopo (risalita) vale la relazione fra velocità e altezza $v^2 = 2gh$, cioè $h \propto v^2$. Quindi per la velocità di risalita $v_{\text{dopo}} = \sqrt{2 g h_1}$ e per quella di impatto $v_{\text{prima}} = \sqrt{2 g h_0}$, da cui $e = \frac{\sqrt{2 g h_1}}{\sqrt{2 g h_0}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$ Questo spiega perché il coefficiente di restituzione si può ricavare semplicemente misurando le due altezze, senza misurare direttamente le velocità.

Calcolo numerico. $e = \sqrt{\frac{0{,}64}{1{,}0}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}80$

$\ev{v \approx 4{,}4\ \mathrm{m/s} \qquad e = 0{,}80}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle cifre significative

Problem

A ball is dropped from $h_0 = 1{,}0$ m; it bounces up to $h_1 = 0{,}64$ m. Calculate the impact speed at the ground and the coefficient of restitution $e = \sqrt{h_1/h_0}$, justifying the formula.

Solution

Impact speed. During free fall from rest, conservation of energy (or $v^2 = 2gh$) gives the speed at which the ball reaches the ground: $v = \sqrt{2\,g\,h_0} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}0} \approx 4{,}43 \ \mathrm{m/s}$

Justification of the coefficient of restitution. The coefficient of restitution is defined as the ratio between the magnitude of the velocity immediately after the collision and immediately before: $e = \frac{v_{\text{dopo}}}{v_{\text{prima}}}$ Both before (falling) and after (rising) the relationship between speed and height $v^2 = 2gh$ holds, i.e. $h \propto v^2$. So for the rising speed $v_{\text{dopo}} = \sqrt{2 g h_1}$ and for the impact speed $v_{\text{prima}} = \sqrt{2 g h_0}$, giving $e = \frac{\sqrt{2 g h_1}}{\sqrt{2 g h_0}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$ This explains why the coefficient of restitution can be obtained simply by measuring the two heights, without directly measuring the speeds.

Numerical calculation. $e = \sqrt{\frac{0{,}64}{1{,}0}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}80$

$\ev{v \approx 4{,}4\ \mathrm{m/s} \qquad e = 0{,}80}$

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Topics: Experimental method Skills: Using significant figures

Testo

Un compagno misura il tempo di caduta di un oggetto con un cronometro manuale e ottiene sempre valori fra $0{,}45$ e $0{,}55$ s. Un secondo gruppo, con fotocellule, ottiene $0{,}502 \pm 0{,}003$ s. Discuti qualitativamente la differenza fra errore casuale ed errore sistematico nei due casi e come ridurre ciascuno.

Soluzione

Errore casuale. È l’errore che varia in modo imprevedibile da una misura all’altra, disperdendo i valori attorno alla media. Nel caso del cronometro manuale la causa dominante è il tempo di reazione dell’operatore (dell’ordine di $0{,}2$ s), che cambia ogni volta a seconda di quanto in anticipo o in ritardo si preme il pulsante. È proprio questo che fa oscillare i risultati fra $0{,}45$ e $0{,}55$ s: una dispersione larga circa $\pm 0{,}05$ s. Le fotocellule invece fanno partire e fermare il conteggio automaticamente al passaggio dell’oggetto, eliminando il tempo di reazione umano: la dispersione crolla a $\pm 0{,}003$ s. Per questo la misura con fotocellule ha un errore casuale molto più piccolo.

Come si riduce l’errore casuale? Ripetendo molte volte la misura e facendone la media: l’incertezza sulla media diminuisce come $1/\sqrt{N}$, dove $N$ è il numero di misure. Mediando abbastanza misure col cronometro manuale si può stringere il risultato, ma resta comunque conveniente usare uno strumento (le fotocellule) che l’errore casuale lo abbatte all’origine.

Errore sistematico. È un errore che si ripete sempre nello stesso verso e con la stessa entità, per esempio uno strumento starato (fotocellule mal posizionate, cronometro che parte con un ritardo fisso). A differenza di quello casuale, l’errore sistematico non si riduce mediando molte misure: la media resterebbe spostata sempre dalla stessa quantità. Per correggerlo occorre intervenire sulla causa, cioè tarare lo strumento con un riferimento noto, o correggere a posteriori la misura una volta stimato lo scostamento.

$\ev{\text{Casuale} \to \text{media su } N \text{ misure } (\propto 1/\sqrt{N}); \quad \text{Sistematico} \to \text{taratura}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza

Problem

A classmate measures the fall time of an object with a manual stopwatch and always obtains values between $0{,}45$ and $0{,}55$ s. A second group, using photogates, obtains $0{,}502 \pm 0{,}003$ s. Discuss qualitatively the difference between random error and systematic error in the two cases, and how to reduce each.

Solution

Random error. This is the error that varies unpredictably from one measurement to the next, scattering the values around the mean. In the case of the manual stopwatch, the dominant cause is the operator’s reaction time (of the order of $0{,}2$ s), which changes each time depending on how early or late the button is pressed. This is exactly what makes the results oscillate between $0{,}45$ and $0{,}55$ s: a spread of roughly $\pm 0{,}05$ s. Photogates, on the other hand, start and stop the count automatically as the object passes, eliminating human reaction time: the spread drops to $\pm 0{,}003$ s. This is why the photogate measurement has a much smaller random error.

How is random error reduced? By repeating the measurement many times and taking the average: the uncertainty on the mean decreases as $1/\sqrt{N}$, where $N$ is the number of measurements. By averaging enough manual-stopwatch measurements the result can be tightened, but it is still preferable to use an instrument (photogates) that cuts down the random error at its source.

Systematic error. This is an error that always repeats in the same direction and by the same amount, for example a mis-calibrated instrument (badly positioned photogates, a stopwatch that starts with a fixed delay). Unlike random error, systematic error cannot be reduced by averaging many measurements: the mean would always remain shifted by the same amount. To correct it, the cause must be addressed, that is, the instrument must be calibrated against a known reference, or the measurement corrected afterwards once the deviation has been estimated.

$\ev{\text{Casuale} \to \text{media su } N \text{ misure } (\propto 1/\sqrt{N}); \quad \text{Sistematico} \to \text{taratura}}$

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Topics: Experimental method Concepts: Significant figures and uncertainty

Testo

Una pallina con coefficiente di restituzione $e < 1$ parte da terra con velocità verso l’alto $v_0$ e rimbalza ripetutamente. Dimostra che la somma dei tempi di tutti i rimbalzi è finita e vale $T_{\text{tot}} = 2\tau_0/(1-e)$, dove $\tau_0 = v_0/g$. Quale risultato matematico garantisce la finitezza della somma?

Soluzione

Durata del primo volo. La pallina parte verso l’alto con velocità $v_0$; sale, si ferma e ricade, tornando al suolo con la stessa velocità $v_0$ (moto simmetrico). Il tempo di salita è $v_0/g = \tau_0$, e altrettanto vale la discesa, quindi il primo volo dura $t_0 = \frac{2 v_0}{g} = 2\tau_0$

Effetto del coefficiente di restituzione. A ogni rimbalzo la velocità di ripartenza si riduce di un fattore $e$: dopo il primo urto la pallina riparte con $v_1 = e\,v_0$, dopo il secondo con $v_2 = e^2 v_0$, e in generale $v_n = e^{n} v_0$. Poiché la durata di ciascun volo è proporzionale alla velocità di ripartenza, il volo $n$-esimo dura $t_n = \frac{2 v_n}{g} = 2\tau_0\, e^{n}$

Somma della serie. Il tempo totale è la somma di tutti i voli: $T_{\text{tot}} = \sum_{n=0}^{\infty} 2\tau_0\, e^{n} = 2\tau_0 \left(1 + e + e^2 + e^3 + \cdots\right)$ La parentesi è una serie geometrica di ragione $e$. Poiché $e < 1$, la serie converge e la sua somma vale $1/(1-e)$: $T_{\text{tot}} = 2\tau_0 \cdot \frac{1}{1-e} = \frac{2\tau_0}{1-e}$

Risultato matematico che garantisce la finitezza. È la convergenza della serie geometrica per $|e| < 1$: sebbene i rimbalzi siano infiniti, i loro tempi decrescono in progressione geometrica abbastanza in fretta perché la loro somma sia un numero finito. La pallina compie infiniti rimbalzi in un tempo totale finito.

$\ev{T_{\text{tot}} = \dfrac{2\tau_0}{1-e}, \qquad \tau_0 = \dfrac{v_0}{g}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Analisi dimensionale

Problem

A ball with coefficient of restitution $e < 1$ starts from the ground with an upward velocity $v_0$ and bounces repeatedly. Show that the sum of the times of all the bounces is finite and equal to $T_{\text{tot}} = 2\tau_0/(1-e)$, where $\tau_0 = v_0/g$. What mathematical result guarantees that the sum is finite?

Solution

Duration of the first flight. The ball starts upward with velocity $v_0$; it rises, stops, and falls back, returning to the ground with the same speed $v_0$ (symmetric motion). The time to rise is $v_0/g = \tau_0$, and the same holds for the descent, so the first flight lasts $t_0 = \frac{2 v_0}{g} = 2\tau_0$

Effect of the coefficient of restitution. At each bounce, the take-off velocity is reduced by a factor $e$: after the first impact the ball sets off again with $v_1 = e\,v_0$, after the second with $v_2 = e^2 v_0$, and in general $v_n = e^{n} v_0$. Since the duration of each flight is proportional to the take-off velocity, the $n$-th flight lasts $t_n = \frac{2 v_n}{g} = 2\tau_0\, e^{n}$

Sum of the series. The total time is the sum of all the flights: $T_{\text{tot}} = \sum_{n=0}^{\infty} 2\tau_0\, e^{n} = 2\tau_0 \left(1 + e + e^2 + e^3 + \cdots\right)$ The bracket is a geometric series with ratio $e$. Since $e < 1$, the series converges and its sum is $1/(1-e)$: $T_{\text{tot}} = 2\tau_0 \cdot \frac{1}{1-e} = \frac{2\tau_0}{1-e}$

Mathematical result that guarantees finiteness. It is the convergence of the geometric series for $|e| < 1$: although the bounces are infinite in number, their times decrease in geometric progression quickly enough for their sum to be a finite number. The ball performs infinitely many bounces in a finite total time.

$\ev{T_{\text{tot}} = \dfrac{2\tau_0}{1-e}, \qquad \tau_0 = \dfrac{v_0}{g}}$

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Topics: Experimental method Skills: Dimensional analysis

Testo

Hai una tabella $(t,\ N(t))$ in cui il numero $N$ di batteri raddoppia ogni ora. Traccia lo schema del grafico $(t, N)$ in scala lineare e in scala semilog (con $\log N$ in ordinata). Spiega, senza calcoli, perché nel secondo caso si ottiene una retta e come leggere il tempo di raddoppio dalla pendenza.

Soluzione

Legge di crescita. Se il numero raddoppia ogni tempo $T_2$ (qui $T_2 = 1$ h), la popolazione segue una legge esponenziale $N(t) = N_0 \cdot 2^{\,t/T_2}$

Scala lineare. Con entrambi gli assi lineari, la crescita esponenziale appare come una curva che sale sempre più ripidamente: all’inizio cresce piano, poi “esplode”. La forma è concava verso l’alto.

Scala semilog. Mettendo in ordinata $\log N$ (asse verticale logaritmico) e lasciando $t$ lineare, prendiamo il logaritmo della legge: $\log N = \log N_0 + \frac{t}{T_2}\,\log 2$ Questa è l’equazione di una retta nelle variabili $t$ e $\log N$: l’intercetta è $\log N_0$ e la pendenza è $m = \dfrac{\log 2}{T_2}$ (usando $\log_{10}$, $m = \log_{10} 2 / T_2$). Il motivo per cui si ottiene una retta è che il logaritmo trasforma la moltiplicazione ripetuta (raddoppi successivi) in addizione costante: a ogni ora $\log N$ aumenta sempre della stessa quantità $\log 2$, e incrementi costanti in tempi uguali danno una retta.

Lettura del tempo di raddoppio. Misurata la pendenza $m$ della retta sul grafico semilog, il tempo di raddoppio si ricava invertendo la relazione: $T_2 = \frac{\log_{10} 2}{m}$

Schemi. A sinistra la scala lineare (curva esponenziale), a destra la scala semilog (retta):

$\ev{\log N = \log N_0 + \dfrac{\log 2}{T_2}\,t \qquad\Rightarrow\qquad T_2 = \dfrac{\log_{10} 2}{m}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Lettura dei grafici

Problem

You have a table $(t,\ N(t))$ in which the number $N$ of bacteria doubles every hour. Sketch the graph $(t, N)$ on a linear scale and on a semilog scale (with $\log N$ on the vertical axis). Explain, without calculations, why the second case gives a straight line and how to read the doubling time from the slope.

Solution

Growth law. If the number doubles every time $T_2$ (here $T_2 = 1$ h), the population follows an exponential law $N(t) = N_0 \cdot 2^{\,t/T_2}$

Linear scale. With both axes linear, exponential growth appears as a curve that rises ever more steeply: it grows slowly at first, then “explodes”. The shape is concave upward.

Semilog scale. Plotting $\log N$ on the vertical axis (logarithmic) and leaving $t$ linear, we take the logarithm of the law: $\log N = \log N_0 + \frac{t}{T_2}\,\log 2$ This is the equation of a straight line in the variables $t$ and $\log N$: the intercept is $\log N_0$ and the slope is $m = \dfrac{\log 2}{T_2}$ (using $\log_{10}$, $m = \log_{10} 2 / T_2$). The reason a straight line results is that the logarithm turns repeated multiplication (successive doublings) into constant addition: every hour $\log N$ increases by the same amount $\log 2$, and constant increments over equal time intervals give a straight line.

Reading the doubling time. Once the slope $m$ of the line on the semilog graph is measured, the doubling time is obtained by inverting the relation: $T_2 = \frac{\log_{10} 2}{m}$

Sketches. On the left the linear scale (exponential curve), on the right the semilog scale (straight line):

$\ev{\log N = \log N_0 + \dfrac{\log 2}{T_2}\,t \qquad\Rightarrow\qquad T_2 = \dfrac{\log_{10} 2}{m}}$

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Topics: Metodo sperimentale Skills: Uso delle scale logaritmiche · Lettura dei grafici

Testo

Stima, con un ragionamento di Fermi, quante misurazioni indipendenti della costante di gravità $g$ si potrebbero fare in un’ora di laboratorio in una classe di $25$ studenti, usando il metodo della pallina rimbalzante. Quale sarebbe un’incertezza plausibile sul valor medio finale?

Soluzione

Impostazione di Fermi. Non servono dati precisi: bastano ordini di grandezza ragionevoli, combinati con buon senso.

Tempo per una singola misura. Ogni misura richiede: preparare e rilasciare la pallina, cronometrare il rimbalzo (o misurare le altezze), annotare e fare il calcolo. Stimiamo dell’ordine di qualche minuto per misura, diciamo $\sim 10$–$15$ min all’inizio ma che scende a pochi minuti con la pratica. Assumiamo mediamente $\sim 12$ min $\to$ in $60$ min ogni studente riesce a fare circa $4$–$5$ misure.

Numero totale di misure. Con $25$ studenti che lavorano in parallelo: $N \approx 25 \times 4\text{–}5 \approx 100\text{–}125 \approx 10^2 \text{ misure}$

Incertezza sul valor medio. Una singola misura casalinga di $g$ col rimbalzo è grossolana: incertezza relativa dell’ordine del $10$–$20\%$ (tempi di reazione, altezze mal lette, attrito dell’aria). Facendo la media di $N \approx 100$ misure indipendenti, l’errore casuale sulla media si riduce del fattore $\sqrt{N}$: $\frac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \approx \frac{10\text{–}20\%}{\sqrt{100}} = \frac{10\text{–}20\%}{10} \approx 1\text{–}2\%$

Avvertenza. Questa riduzione vale solo per la parte casuale dell’errore. Se tutte le misure condividono lo stesso errore sistematico (per esempio un metro starato), mediare non aiuta: il limite di $\sim 1$–$2\%$ è ottimistico e presuppone che i sistematici siano tenuti sotto controllo.

$\ev{N \sim 10^2 \text{ misure} \qquad \dfrac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \sim 1\text{–}2\%}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Stime di Fermi · Propagazione degli errori

Problem

Estimate, using Fermi-style reasoning, how many independent measurements of the gravitational constant $g$ could be made in one hour of lab work in a class of $25$ students, using the bouncing-ball method. What would be a plausible uncertainty on the final mean value?

Solution

Fermi set-up. No precise data is needed: reasonable orders of magnitude, combined with common sense, are enough.

Time per single measurement. Each measurement requires: preparing and releasing the ball, timing the bounce (or measuring the heights), noting it down and doing the calculation. We estimate on the order of a few minutes per measurement, say $\sim 10$–$15$ min at first but dropping to a few minutes with practice. Taking an average of $\sim 12$ min $\to$ in $60$ min each student manages about $4$–$5$ measurements.

Total number of measurements. With $25$ students working in parallel: $N \approx 25 \times 4\text{–}5 \approx 100\text{–}125 \approx 10^2 \text{ measurements}$

Uncertainty on the mean value. A single home-made bounce measurement of $g$ is crude: relative uncertainty on the order of $10$–$20\%$ (reaction times, poorly read heights, air resistance). Averaging over $N \approx 100$ independent measurements, the random error on the mean shrinks by a factor $\sqrt{N}$: $\frac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \approx \frac{10\text{–}20\%}{\sqrt{100}} = \frac{10\text{–}20\%}{10} \approx 1\text{–}2\%$

Caveat. This reduction only holds for the random part of the error. If all measurements share the same systematic error (for example, a mis-calibrated metre stick), averaging does not help: the $\sim 1$–$2\%$ limit is optimistic and assumes systematics are kept under control.

$\ev{N \sim 10^2 \text{ measurements} \qquad \dfrac{\sigma_{\bar{x}}}{\bar{x}} \sim 1\text{–}2\%}$

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Topics: Metodo sperimentale Skills: Stime di Fermi · Propagazione degli errori

Testo

Quattro studenti misurano la stessa lunghezza $L$ con strumenti diversi. (A) Calibro, $20$ volte, risultati concordi entro $0{,}05$ mm. (B) Righello, $5$ volte, oscillazione $1$ mm. (C) Micrometro, $50$ volte, oscillazione $0{,}01$ mm. (D) Metro a nastro letto “a occhio”, $3$ volte, oscillazione $1$ mm. Ordina le stime dell’incertezza statistica sulla media dalla minore alla maggiore (ricorda $\sigma/\sqrt{N}$).

Soluzione

Criterio. L’incertezza statistica sulla media non è la dispersione $\sigma$ della singola misura, ma vale $\sigma/\sqrt{N}$: dipende sia da quanto è preciso lo strumento (piccola $\sigma$) sia da quante volte si è ripetuta la misura (grande $N$). Calcoliamo $\sigma/\sqrt{N}$ per ciascuno, prendendo l’oscillazione come stima di $\sigma$.

$\begin{aligned} \text{(A)}\ & \frac{0{,}05}{\sqrt{20}} \approx 0{,}011\ \mathrm{mm} \\ \text{(B)}\ & \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}45\ \mathrm{mm} \\ \text{(C)}\ & \frac{0{,}01}{\sqrt{50}} \approx 0{,}0014\ \mathrm{mm} \\ \text{(D)}\ & \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\ \mathrm{mm} \end{aligned}$

Ordinamento crescente. $\text{C}\,(0{,}0014) \ <\ \text{A}\,(0{,}011) \ <\ \text{B}\,(0{,}45) \ <\ \text{D}\,(0{,}58)$

Il micrometro (C) vince due volte: ha la $\sigma$ più piccola ed è stato ripetuto più volte. Il calibro (A) segue. Righello (B) e metro “a occhio” (D) hanno la stessa dispersione della singola misura ($1$ mm), quindi si distinguono solo per $N$: $B$ ha $N=5$ contro $N=3$ di $D$, perciò $B$ è leggermente migliore. In prima approssimazione si scrive $\text{C} < \text{A} < \text{B} \approx \text{D}$, poiché con $\sigma$ uguale e $N$ simili le due incertezze sono confrontabili; il calcolo esatto dà però $\text{B} \lesssim \text{D}$.

$\ev{\text{C} \ <\ \text{A} \ <\ \text{B} \ \lesssim\ \text{D}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Ragionamento di ranking · Propagazione degli errori

Problem

Four students measure the same length $L$ with different instruments. (A) Calliper, $20$ times, results agreeing within $0{,}05$ mm. (B) Ruler, $5$ times, spread $1$ mm. (C) Micrometer, $50$ times, spread $0{,}01$ mm. (D) Tape measure read “by eye”, $3$ times, spread $1$ mm. Rank the estimates of the statistical uncertainty on the mean from smallest to largest (recall $\sigma/\sqrt{N}$).

Solution

Criterion. The statistical uncertainty on the mean is not the spread $\sigma$ of a single measurement, but is given by $\sigma/\sqrt{N}$: it depends both on how precise the instrument is (small $\sigma$) and on how many times the measurement was repeated (large $N$). We compute $\sigma/\sqrt{N}$ for each, taking the spread as an estimate of $\sigma$.

$\begin{aligned} \text{(A)}\ & \frac{0{,}05}{\sqrt{20}} \approx 0{,}011\ \mathrm{mm} \\ \text{(B)}\ & \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}45\ \mathrm{mm} \\ \text{(C)}\ & \frac{0{,}01}{\sqrt{50}} \approx 0{,}0014\ \mathrm{mm} \\ \text{(D)}\ & \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\ \mathrm{mm} \end{aligned}$

Ascending order. $\text{C}\,(0{,}0014) \ <\ \text{A}\,(0{,}011) \ <\ \text{B}\,(0{,}45) \ <\ \text{D}\,(0{,}58)$

The micrometer (C) wins twice: it has the smallest $\sigma$ and was repeated the most times. The calliper (A) follows. The ruler (B) and the tape measure “by eye” (D) have the same spread for a single measurement ($1$ mm), so they are distinguished only by $N$: $B$ has $N=5$ against $D$‘s $N=3$, so $B$ is slightly better. To a first approximation one writes $\text{C} < \text{A} < \text{B} \approx \text{D}$, since with equal $\sigma$ and similar $N$ the two uncertainties are comparable; the exact calculation, however, gives $\text{B} \lesssim \text{D}$.

$\ev{\text{C} \ <\ \text{A} \ <\ \text{B} \ \lesssim\ \text{D}}$

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Topics: Metodo sperimentale Concepts: Cifre significative e incertezza Skills: Ragionamento di ranking · Propagazione degli errori

Testo

Vuoi verificare sperimentalmente se il periodo del pendolo dipende dalla massa. Per ogni elemento indica se è variabile indipendente, dipendente, di disturbo o controllata: (a) la massa appesa al filo; (b) la lunghezza del filo; (c) la temperatura della stanza; (d) il periodo misurato; (e) l’ampiezza dell’oscillazione iniziale.

Soluzione

Ricordiamo le definizioni. La variabile indipendente è la grandezza che l’esperimento fa variare deliberatamente per studiarne l’effetto. La variabile dipendente è la grandezza che si misura e che (eventualmente) cambia in risposta. Una variabile controllata è tenuta fissa durante tutte le prove, così da non falsare il confronto. Una variabile di disturbo è una grandezza che potrebbe influenzare il risultato ma che non viene fatta variare né bloccata in modo rigoroso: se non controllata, introduce dispersione o errori.

Applichiamo lo schema all’esperimento sul pendolo, il cui scopo è vedere se il periodo cambia al variare della massa.

(a) La massa appesa al filo → indipendente. È proprio la grandezza che decidiamo di far variare, quindi è la variabile indipendente dell’esperimento.

(b) La lunghezza del filo → controllata. Il periodo del pendolo dipende fortemente da $L$; per isolare l’effetto della sola massa dobbiamo tenere $L$ rigorosamente fissa.

(c) La temperatura della stanza → di disturbo. Non la facciamo variare di proposito né la controlliamo strettamente; potrebbe però influenzare la misura (dilatazione del filo, densità dell’aria). È quindi una tipica variabile di disturbo.

(d) Il periodo misurato → dipendente. È la grandezza che leggiamo con il cronometro e di cui vogliamo studiare l’eventuale variazione: la variabile dipendente.

(e) L’ampiezza dell’oscillazione iniziale → controllata. Per piccole oscillazioni il periodo ne è quasi indipendente, ma per confronti puliti la si mantiene costante (piccola e uguale in tutte le prove): è una variabile controllata.

In sintesi: $\text{indip.}=m,\quad \text{dip.}=T,\quad \text{controllate}=\{L,\ \text{ampiezza}\},\quad \text{disturbo}=\text{temperatura}$

$\ev{\text{(a) indip.}\ \ \text{(b) controllata}\ \ \text{(c) disturbo}\ \ \text{(d) dip.}\ \ \text{(e) controllata}}$

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Argomenti: Metodo sperimentale · Grandezze fisiche e misura

Problem

You want to test experimentally whether the period of a pendulum depends on the mass. For each element, state whether it is an independent, dependent, confounding, or controlled variable: (a) the mass hung on the string; (b) the length of the string; (c) the room temperature; (d) the measured period; (e) the initial oscillation amplitude.

Solution

Let us recall the definitions. The independent variable is the quantity the experiment deliberately varies in order to study its effect. The dependent variable is the quantity that is measured and that (possibly) changes in response. A controlled variable is held fixed throughout all trials, so as not to bias the comparison. A confounding variable is a quantity that could influence the result but is neither varied nor rigorously held fixed: if uncontrolled, it introduces scatter or errors.

Let us apply this scheme to the pendulum experiment, whose purpose is to see whether the period changes as the mass varies.

(a) The mass hung on the string → independent. This is precisely the quantity we choose to vary, so it is the independent variable of the experiment.

(b) The length of the string → controlled. The pendulum’s period depends strongly on $L$; to isolate the effect of the mass alone we must keep $L$ rigorously fixed.

(c) The room temperature → confounding. We do not vary it on purpose nor control it strictly; it could, however, influence the measurement (thermal expansion of the string, air density). It is thus a typical confounding variable.

(d) The measured period → dependent. This is the quantity we read off the stopwatch and whose possible variation we want to study: the dependent variable.

(e) The initial oscillation amplitude → controlled. For small oscillations the period is almost independent of it, but for a clean comparison it is kept constant (small and equal across all trials): it is a controlled variable.

In summary: $\text{indip.}=m,\quad \text{dip.}=T,\quad \text{controllate}=\{L,\ \text{ampiezza}\},\quad \text{disturbo}=\text{temperatura}$

$\ev{\text{(a) indip.}\ \ \text{(b) controllata}\ \ \text{(c) disturbo}\ \ \text{(d) dip.}\ \ \text{(e) controllata}}$

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Topics: Metodo sperimentale · Grandezze fisiche e misura

Testo

Misuri il periodo $T$ di un pendolo per cinque masse diverse ($m = 50,\ 100,\ 200,\ 500,\ 1000$ g) tenendo costanti $L$ e ampiezza. Sapendo che il periodo non dipende dalla massa, prevedi qualitativamente il grafico $T$ vs $m$. Disegnalo; indica come riconosceresti, dai dati, una piccola dipendenza spuria dovuta all’attrito dell’aria.