Moto circolare uniforme

Un moto è circolare quando la traiettoria è una circonferenza; è uniforme quando il modulo della velocità è costante. Anche se la velocità non cambia in modulo, cambia continuamente direzione: il corpo è dunque accelerato. Questa sezione introduce le grandezze che descrivono il moto circolare e l’accelerazione centripeta che lo mantiene.

• Periodo, frequenza e velocità angolare
• Velocità tangenziale e accelerazione centripeta

A motion is circular when the trajectory is a circumference; it is uniform when the magnitude of the velocity is constant. Even though the speed does not change in magnitude, its direction changes continuously: the body is therefore accelerated. This section introduces the quantities that describe circular motion and the centripetal acceleration that sustains it.

• Periodo, frequenza e velocità angolare
• Velocità tangenziale e accelerazione centripeta

Quando un corpo percorre una traiettoria circolare di raggio $r$ a velocità costante in modulo, parliamo di moto circolare uniforme. Per descriverlo servono grandezze nuove, legate alla periodicità del moto.

Grandezze del moto circolare (periodicità)

• Periodo $T$: tempo per un giro completo (s);
• Frequenza $f = \dfrac{1}{T}$: numero di giri al secondo (Hz);
• Velocità angolare $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$: angolo spazzato per unità di tempo (rad/s).

Il periodo e la frequenza sono l’uno l’inverso dell’altra: se un giro dura $T = 0{,}5\;\text{s}$, allora in un secondo se ne compiono $f = 2$. La velocità angolare $\omega$ misura invece quanto rapidamente ruota il raggio che congiunge il corpo al centro: in un periodo completo il raggio spazza l’angolo giro $2\pi$, da cui $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$.

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Queste tre grandezze descrivono la “cadenza” del moto — quanto spesso il corpo ripassa per lo stesso punto — ma non ancora quanto velocemente si sposta lungo la circonferenza: per quello serve legare $\omega$ al raggio, come nel prossimo atomo.

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When a body travels a circular trajectory of radius $r$ at constant speed, we speak of uniform circular motion. Describing it requires new quantities, linked to the periodicity of the motion.

Quantities of circular motion (periodicity)

• Period $T$: time for one complete revolution (s);
• Frequency $f = \dfrac{1}{T}$: number of revolutions per second (Hz);
• Angular velocity $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$: angle swept per unit time (rad/s).

Period and frequency are the inverse of one another: if a revolution takes $T = 0{,}5\;\text{s}$, then $f = 2$ revolutions occur in one second. Angular velocity $\omega$, instead, measures how quickly the radius joining the body to the centre rotates: in one complete period the radius sweeps out the full angle $2\pi$, hence $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$.

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

These three quantities describe the “cadence” of the motion — how often the body returns to the same point — but not yet how fast it moves along the circumference: for that we need to relate $\omega$ to the radius, as in the next atom.

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La velocità con cui il corpo percorre la circonferenza, la velocità tangenziale, si ottiene dalla velocità angolare moltiplicandola per il raggio. E poiché la direzione della velocità cambia di continuo, esiste un’accelerazione anche a modulo di velocità costante: l’accelerazione centripeta.

Formule chiave

$v = \omega\,r$ $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

L’accelerazione centripeta è sempre diretta verso il centro della traiettoria: è lei che “piega” il moto, impedendo al corpo di proseguire in linea retta. La velocità, invece, è sempre tangente alla circonferenza. Velocità e accelerazione centripeta sono dunque perpendicolari in ogni istante.

Moto circolare uniforme: la velocità $\vec{v}$ è tangente alla traiettoria, l’accelerazione centripeta $\vec{a}_c$ punta sempre verso il centro O.

Esempio — La lancetta dei secondi

Mettiamo un pallino blu a metà della lancetta dei secondi di un orologio e un pallino rosso sulla punta; la lancetta è lunga $3\;\text{m}$. Entrambi i pallini fanno un giro ogni $60\;\text{s}$, quindi hanno lo stesso periodo $T = 60\;\text{s}$ e la stessa velocità angolare: $\omega = \frac{2\pi}{60} = 0{,}105\;\text{rad/s}$ Ma il pallino rosso ($r = 3\;\text{m}$) ha velocità maggiore del blu ($r = 1{,}5\;\text{m}$): $v_{\text{rosso}} = \omega \cdot 3 = 0{,}314\;\text{m/s}, \qquad v_{\text{blu}} = \omega \cdot 1{,}5 = 0{,}157\;\text{m/s}$

Stesso $\omega$ non significa stessa velocità

Stesso periodo e stessa velocità angolare non implicano stessa velocità tangenziale! La velocità dipende dal raggio: più sei lontano dal centro, più vai veloce.

Il moto circolare uniforme sarà alla base della comprensione della forza centripeta, che si affronterà dopo aver introdotto le leggi di Newton.

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The speed at which the body travels around the circumference, the tangential velocity, is obtained from the angular velocity by multiplying it by the radius. And since the direction of the velocity is constantly changing, an acceleration exists even at constant speed: the centripetal acceleration.

Key formulae

$v = \omega\,r$ $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$

Centripetal acceleration is always directed towards the centre of the trajectory: it is what “bends” the motion, preventing the body from continuing in a straight line. Velocity, on the other hand, is always tangent to the circumference. Velocity and centripetal acceleration are therefore perpendicular at every instant.

Uniform circular motion: the velocity $\vec{v}$ is tangent to the trajectory, the centripetal acceleration $\vec{a}_c$ always points towards the centre O.

Example — The seconds hand

Place a blue dot halfway along the seconds hand of a clock and a red dot at the tip; the hand is $3\;\text{m}$ long. Both dots complete one revolution every $60\;\text{s}$, so they have the same period $T = 60\;\text{s}$ and the same angular velocity: $\omega = \frac{2\pi}{60} = 0{,}105\;\text{rad/s}$ But the red dot ($r = 3\;\text{m}$) has a greater speed than the blue one ($r = 1{,}5\;\text{m}$): $v_{\text{rosso}} = \omega \cdot 3 = 0{,}314\;\text{m/s}, \qquad v_{\text{blu}} = \omega \cdot 1{,}5 = 0{,}157\;\text{m/s}$

Same $\omega$ does not mean same speed

Same period and same angular velocity do not imply the same tangential speed! Speed depends on the radius: the further you are from the centre, the faster you go.

Uniform circular motion will underpin the understanding of centripetal force, to be tackled after introducing Newton’s laws.

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