I diagrammi di interazione

Il diagramma di interazione è lo strumento più importante per analizzare un problema di meccanica: permette di individuare tutte le forze presenti, senza dimenticarne nessuna e senza inventarne di inesistenti. Da esso si passa al diagramma di corpo libero e infine alle equazioni di Newton. Cerchiando più oggetti insieme si può trattare un intero sistema.

• Come si disegna un diagramma di interazione
• Esempio: persona su una piattaforma
• Dal diagramma di interazione al corpo libero
• Cerchiare un sistema

The interaction diagram is the most important tool for analysing a mechanics problem: it lets us identify all the forces present, without forgetting any and without inventing non-existent ones. From it we move on to the free-body diagram and finally to Newton’s equations. By circling several objects together we can treat an entire system.

• How to draw an interaction diagram
• Example: a person on a platform
• From the interaction diagram to the free body
• Circling a system

Il diagramma di interazione è lo strumento più importante per analizzare un problema di meccanica. Ci permette di individuare tutte le forze presenti in una situazione fisica, senza dimenticarne nessuna e senza inventarne di inesistenti. È il primo passo di qualunque analisi dinamica: prima di scrivere una sola equazione, disegniamo chi interagisce con chi.

L’idea di fondo è semplice ma potente. Ogni forza nasce da un’interazione tra due oggetti: non esiste una forza isolata, ma sempre una coppia di corpi che si spingono o si tirano a vicenda. Rappresentare graficamente queste interazioni ci costringe a rendere esplicito ogni contatto, ogni fune, ogni molla e — soprattutto — la sempre presente attrazione con la Terra.

Principio — Regole per il diagramma di interazione

1. Disegnare ogni oggetto come un cerchio (o ovale) con il nome dentro.
2. La Terra è sempre presente: il peso è l’interazione tra ogni corpo e la Terra.
3. Collegare con una linea ondulata (bisciolina) ogni coppia di oggetti che interagiscono tra loro. Ogni bisciolina rappresenta una coppia di forze gemelle (terza legge).
4. Etichettare ogni bisciolina con il tipo di forza: peso (corpo–Terra), vincolare (superfici a contatto), tensione (fune), elastica (molla), attrito (superfici che strisciano).

La bisciolina è il cuore del metodo: un’unica linea ondulata tra due cerchi ricorda che l’interazione è reciproca. Per la terza legge di Newton, ogni bisciolina codifica due forze uguali e opposte, una su ciascuno dei due corpi collegati. Etichettare la bisciolina con il tipo di forza (e magari con un colore) aiuta poi a non confondere una reazione vincolare con una tensione o con l’attrito quando si passerà al diagramma di corpo libero.

Note

Regola d’oro: Il peso è sempre tra il corpo e la Terra. Se due corpi non si toccano e non sono collegati da fune o molla, non c’è bisciolina tra loro.

Questa regola d’oro riassume gli errori più frequenti: dimenticare il peso (che agisce anche a distanza, quindi non richiede contatto) e inventare interazioni tra corpi che in realtà non si toccano né sono collegati. Se ci si attiene a questi due controlli, il diagramma conterrà esattamente le forze reali del problema, né una di più né una di meno.

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The interaction diagram is the most important tool for analysing a mechanics problem. It lets us identify all the forces present in a physical situation, without forgetting any and without inventing non-existent ones. It is the first step of any dynamics analysis: before writing a single equation, we draw who interacts with whom.

The underlying idea is simple but powerful. Every force arises from an interaction between two objects: there is no such thing as an isolated force, only ever a pair of bodies pushing or pulling on each other. Graphically representing these interactions forces us to make explicit every contact, every rope, every spring and — above all — the ever-present attraction to the Earth.

Principle — Rules for the interaction diagram

1. Draw every object as a circle (or oval) with its name inside.
2. The Earth is always present: weight is the interaction between every body and the Earth.
3. Connect with a wavy line (squiggle) every pair of objects that interact with each other. Each squiggle represents one pair of twin forces (third law).
4. Label each squiggle with the type of force: weight (body–Earth), constraint (surfaces in contact), tension (rope), elastic (spring), friction (surfaces that slide).

The squiggle is the heart of the method: a single wavy line between two circles reminds us that the interaction is mutual. By Newton’s third law, each squiggle encodes two equal and opposite forces, one on each of the two connected bodies. Labelling the squiggle with the force type (and perhaps with a colour) then helps avoid confusing a constraint reaction with a tension or with friction when we move on to the free-body diagram.

Note

Golden rule: Weight is always between the body and the Earth. If two bodies do not touch and are not connected by a rope or spring, there is no squiggle between them.

This golden rule sums up the most common mistakes: forgetting the weight (which acts even at a distance, so it requires no contact) and inventing interactions between bodies that in fact neither touch nor are connected. If these two checks are followed, the diagram will contain exactly the real forces of the problem, neither one too many nor one too few.

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Vediamo il metodo all’opera su una situazione elementare ma istruttiva: una persona in piedi su una piattaforma appoggiata al pavimento. Gli oggetti coinvolti sono quattro — persona, piattaforma, pavimento e Terra — e il nostro obiettivo è capire quali e quante forze agiscono su ciascuno di essi, in particolare sulla persona.

Disegniamo ogni oggetto come un cerchio e colleghiamo con una bisciolina ogni coppia che interagisce. La persona pesa: c’è quindi una bisciolina peso tra persona e Terra. Anche la piattaforma pesa: seconda bisciolina peso tra piattaforma e Terra. La persona è a contatto con la piattaforma: bisciolina vincolare (la reazione normale $R$). La piattaforma poggia sul pavimento: bisciolina vincolare tra piattaforma e pavimento.

Diagramma di interazione: ogni oggetto è un cerchio, ogni interazione una “bisciolina”. Cerchiando un oggetto, le biscioline che attraversano il cerchio indicano le forze agenti su di esso.

Il passaggio decisivo è cerchiare la persona. Contiamo allora le biscioline che attraversano il confine del cerchio tratteggiato: esce la bisciolina peso (interazione con la Terra) ed esce la bisciolina vincolare (interazione con la piattaforma). Sono esattamente due forze sulla persona.

Formula chiave

Ogni bisciolina che attraversa il cerchio corrisponde a una forza sull’oggetto cerchiato: numero di biscioline uscenti = numero di forze.

Si noti che la bisciolina peso tra la piattaforma e la Terra, e la bisciolina vincolare tra la piattaforma e il pavimento, non attraversano il cerchio della persona: sono interazioni che riguardano la piattaforma, non la persona. Il cerchio funziona così da filtro automatico, selezionando solo le forze pertinenti al corpo di interesse ed escludendo tutte le altre. È proprio questa selezione che rende il diagramma di interazione uno strumento a prova di errore per costruire il successivo diagramma di corpo libero.

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Let’s see the method at work in an elementary but instructive situation: a person standing on a platform resting on the floor. The objects involved are four — person, platform, floor and Earth — and our goal is to work out which and how many forces act on each of them, in particular on the person.

We draw each object as a circle and connect every interacting pair with a squiggle. The person has weight: there is therefore a weight squiggle between person and Earth. The platform also has weight: a second weight squiggle between platform and Earth. The person is in contact with the platform: a constraint squiggle (the normal reaction $R$). The platform rests on the floor: a constraint squiggle between platform and floor.

Interaction diagram: each object is a circle, each interaction a “squiggle”. Circling an object, the squiggles that cross the circle indicate the forces acting on it.

The decisive step is circling the person. We then count the squiggles that cross the boundary of the dashed circle: the weight squiggle (interaction with the Earth) exits, and the constraint squiggle (interaction with the platform) exits. There are exactly two forces on the person.

Key formula

Every squiggle crossing the circle corresponds to a force on the circled object: number of squiggles leaving = number of forces.

Note that the weight squiggle between the platform and the Earth, and the constraint squiggle between the platform and the floor, do not cross the person’s circle: they are interactions concerning the platform, not the person. The circle thus acts as an automatic filter, selecting only the forces relevant to the body of interest and excluding all the others. It is precisely this selection that makes the interaction diagram a foolproof tool for building the subsequent free-body diagram.

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Il diagramma di interazione ci dice chi interagisce con chi, ma per applicare la seconda legge di Newton abbiamo bisogno di isolare un singolo corpo e disegnare su di esso tutte le forze come vettori. Questo secondo diagramma si chiama diagramma di corpo libero (FBD, free body diagram). Il passaggio dall’uno all’altro è meccanico e si articola in quattro mosse.

Principio — Dal diagramma di interazione al corpo libero

1. Cerchiare l’oggetto di interesse nel diagramma di interazione.
2. Contare le biscioline che attraversano il cerchio: ciascuna corrisponde a una forza sull’oggetto.
3. Disegnare il diagramma di corpo libero: l’oggetto isolato con tutte le forze come vettori freccia.
4. Scegliere gli assi, scomporre, e scrivere $\sum \vv{F} = m\vv{a}$.

Il cuore del metodo sta nel secondo passo: contare le biscioline uscenti. Se dal cerchio escono quattro biscioline, allora sul corpo agiscono esattamente quattro forze — né una di più (non si inventano forze), né una di meno (non se ne dimentica nessuna). Ogni bisciolina si “traduce” in una freccia sul FBD, orientata nel verso in cui quella specifica interazione spinge o tira il corpo isolato.

Dal diagramma di interazione al diagramma di corpo libero: si cerchia l’oggetto, si contano le biscioline che attraversano il confine (4), e si disegnano le corrispondenti forze come vettori freccia.

Nell’esempio, il corpo 1 è collegato alla Terra (peso $\vv{P}$), alla parete (reazione vincolare $\vv{R}_{\text{par}}$), alla molla (forza elastica $\vv{F}_m$) e al corpo 2 tramite una fune (tensione $\vv{t}$). Quattro biscioline attraversano il cerchio, quindi il FBD di 1 porta quattro frecce. Una volta disegnate le forze, si scelgono gli assi cartesiani e si proietta l’equazione vettoriale $\sum \vv{F} = m\vv{a}$ sulle componenti, ottenendo le equazioni scalari da risolvere.

Errori da evitare

• Non inventare forze: se non c’è una bisciolina, non c’è la forza.
• Non confondere la forza con l’accelerazione: $\vv{a}$ non è una forza, è il risultato delle forze.
• Ogni bisciolina genera due forze gemelle (terza legge), ma ciascuna agisce su un corpo diverso. Nel FBD di un singolo corpo compare una sola delle due.

L’ultimo punto è la trappola più sottile. La terza legge di Newton associa a ogni bisciolina una coppia azione–reazione: le due forze sono uguali in modulo e opposte in verso, ma agiscono su corpi diversi. Quando isoliamo il corpo 1, disegniamo solo la forza che gli altri esercitano su di esso; la reazione gemella (che 1 esercita sugli altri) comparirà semmai nel FBD di quegli altri corpi, mai nel proprio. Confondere le due porta a sommare due volte la stessa interazione, con equazioni sbagliate.

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The interaction diagram tells us who interacts with whom, but to apply Newton’s second law we need to isolate a single body and draw all the forces on it as vectors. This second diagram is called a free body diagram (FBD). The transition from one to the other is mechanical and unfolds in four moves.

Principle — From the interaction diagram to the free body

1. Circle the object of interest in the interaction diagram.
2. Count the squiggles crossing the circle: each corresponds to a force on the object.
3. Draw the free-body diagram: the isolated object with all forces as arrow vectors.
4. Choose the axes, resolve the forces, and write $\sum \vv{F} = m\vv{a}$.

The heart of the method lies in the second step: counting the outgoing squiggles. If four squiggles leave the circle, then exactly four forces act on the body — neither one too many (no forces are invented) nor one too few (none are forgotten). Each squiggle “translates” into an arrow on the FBD, oriented in the direction that specific interaction pushes or pulls the isolated body.

From the interaction diagram to the free-body diagram: the object is circled, the squiggles crossing the boundary are counted (4), and the corresponding forces are drawn as arrow vectors.

In the example, body 1 is connected to the Earth (weight $\vv{P}$), to the wall (constraint reaction $\vv{R}_{\text{par}}$), to the spring (elastic force $\vv{F}_m$) and to body 2 via a rope (tension $\vv{t}$). Four squiggles cross the circle, so the FBD of 1 carries four arrows. Once the forces are drawn, we choose the Cartesian axes and project the vector equation $\sum \vv{F} = m\vv{a}$ onto the components, obtaining the scalar equations to be solved.

Mistakes to avoid

• Do not invent forces: if there is no squiggle, there is no force.
• Do not confuse force with acceleration: $\vv{a}$ is not a force, it is the result of the forces.
• Each squiggle generates two twin forces (third law), but each acts on a different body. In the FBD of a single body, only one of the two appears.

The last point is the subtlest trap. Newton’s third law associates an action–reaction pair with each squiggle: the two forces are equal in magnitude and opposite in direction, but act on different bodies. When we isolate body 1, we draw only the force that the others exert on it; the twin reaction (which 1 exerts on the others) will appear, if at all, in the FBD of those other bodies, never in its own. Confusing the two leads to adding the same interaction twice, giving wrong equations.

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Un aspetto potente dei diagrammi di interazione è che il cerchio non deve racchiudere per forza un solo oggetto: si può cerchiare un gruppo di oggetti e trattarlo come un unico sistema. Questa mossa semplifica enormemente i problemi in cui più corpi si muovono insieme, perché permette di ignorare tutte le forze interne e concentrarsi solo su ciò che il sistema scambia con l’esterno.

Principio — Regola del sistema

Se si cerchiano più oggetti insieme, le biscioline interne al cerchio (tra oggetti dentro il sistema) non contano. Contano solo le biscioline che attraversano il confine del cerchio: sono le forze esterne al sistema.

La ragione profonda è la terza legge di Newton. Ogni bisciolina interna rappresenta una coppia azione–reazione: entrambe le forze gemelle agiscono su corpi che stanno dentro il sistema, quindi la loro somma è nulla e non può influenzare il moto del sistema nel suo complesso. Restano rilevanti solo le interazioni con l’esterno, ossia le biscioline che tagliano il confine del cerchio.

Esempio — I musicanti di Brema

Un asino, un cane, un gatto e un gallo sono impilati uno sull’altro.

Cerchiando tutti e quattro gli animali come un unico sistema, le tre reazioni vincolari interne (gallo–gatto, gatto–cane, cane–asino) restano dentro il confine e si annullano. Escono solo i quattro pesi e la reazione del pavimento.

Cerchiando l’intero sistema, le reazioni vincolari tra gli animali sono interne e si cancellano. Restano solo le quattro forze peso (che escono verso la Terra) e la reazione del pavimento. Imponendo l’equilibrio del sistema lungo la verticale, la reazione del pavimento deve bilanciare la somma di tutti i pesi:

$R_{\text{pav}} = P_{\text{gallo}} + P_{\text{gatto}} + P_{\text{cane}} + P_{\text{asino}}$

Il risultato è intuitivo — il pavimento regge il peso totale della pila — ma il diagramma di interazione lo ottiene senza dover mai calcolare le singole reazioni tra un animale e l’altro. È il grande vantaggio di scegliere bene il confine del sistema.

Tip

Il confine si può ridisegnare a piacere a seconda di ciò che si cerca. Se invece si vuole trovare la reazione vincolare tra il gatto e il cane, basta cerchiare solo gatto e gallo: le biscioline che escono da quel confine danno le forze sul sotto-sistema, tra cui compare proprio la reazione che prima era interna.

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A powerful aspect of interaction diagrams is that the circle need not enclose only a single object: one can circle a group of objects and treat it as a single system. This move greatly simplifies problems in which several bodies move together, because it allows us to ignore all internal forces and focus only on what the system exchanges with the outside.

Principle — System rule

If several objects are circled together, the squiggles internal to the circle (between objects inside the system) do not count. Only the squiggles that cross the boundary of the circle count: these are the forces external to the system.

The deep reason is Newton’s third law. Every internal squiggle represents an action–reaction pair: both twin forces act on bodies that are inside the system, so their sum is zero and cannot influence the motion of the system as a whole. Only interactions with the outside remain relevant, namely the squiggles that cut across the boundary of the circle.

Example — The Bremen Town Musicians

A donkey, a dog, a cat and a rooster are stacked on top of one another.

Circling all four animals as a single system, the three internal constraint reactions (rooster–cat, cat–dog, dog–donkey) stay inside the boundary and cancel out. Only the four weights and the floor’s reaction cross the boundary.

Circling the whole system, the constraint reactions between the animals are internal and cancel out. Only the four weight forces (exiting towards the Earth) and the floor’s reaction remain. Imposing equilibrium of the system along the vertical, the floor’s reaction must balance the sum of all the weights:

$R_{\text{pav}} = P_{\text{gallo}} + P_{\text{gatto}} + P_{\text{cane}} + P_{\text{asino}}$

The result is intuitive — the floor holds up the total weight of the stack — but the interaction diagram obtains it without ever having to calculate the individual reactions between one animal and the next. This is the great advantage of choosing the system’s boundary well.

Tip

The boundary can be redrawn as needed, depending on what one is looking for. If instead one wants to find the constraint reaction between the cat and the dog, it suffices to circle just the cat and the rooster: the squiggles leaving that boundary give the forces on the sub-system, among which the reaction that was previously internal now appears.

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