Ingranaggi, dischi coassiali e pulegge

Le connessioni tra dischi rotanti sono ovunque: cambio della bicicletta, trasmissioni, orologi. Esistono tre tipi fondamentali di connessione — contatto di bordo, asse comune, cinghia — ognuno con la propria regola su velocità angolare $\omega$ e velocità tangenziale $v = \omega r$. La chiave è tenere d’occhio il segno di $\omega$.

• Velocità angolare e convenzione dei segni
• Dischi a contatto: gli ingranaggi
• Dischi coassiali
• Dischi collegati da cinghia
• Tabella riassuntiva dei tre casi

Prova tu — simulazione interattiva

Connections between rotating discs are everywhere: bicycle gears, transmissions, clocks. There are three fundamental types of connection — rim contact, common axle, belt — each with its own rule relating angular velocity $\omega$ and tangential velocity $v = \omega r$. The key is to keep an eye on the sign of $\omega$.

• Angular velocity and sign convention
• Discs in contact: gears
• Coaxial discs
• Discs connected by a belt
• Summary table of the three cases

Try it — interactive simulation

Le connessioni meccaniche tra dischi rotanti sono onnipresenti: dal cambio della bicicletta alla trasmissione dell’auto, dai mulini a vento agli orologi meccanici. Per analizzarle servono due grandezze e una convenzione.

Ogni punto sul bordo di un disco che ruota con velocità angolare $\omega$ si muove con velocità tangenziale

$v = \omega\,r$

dove $r$ è il raggio. È la relazione che lega il “quanto in fretta gira” il disco (una proprietà globale, $\omega$) al “quanto in fretta si sposta” un punto del bordo (una proprietà locale, $v$, che cresce col raggio).

Per capire quando due dischi ruotano “nello stesso verso” o “in versi opposti” è indispensabile fissare il segno di $\omega$:

Convenzione dei segni

$\omega > 0 \;\Leftrightarrow\; \text{rotazione antioraria} \qquad \omega < 0 \;\Leftrightarrow\; \text{rotazione oraria}$

Questa convenzione è ciò che distingue i tre tipi di connessione: due dischi possono avere la stessa velocità tangenziale al contatto ($|v_1| = |v_2|$) e tuttavia girare in versi opposti (segni di $\omega$ discordi) oppure nello stesso verso (segni concordi). Tenere separati modulo e segno di $\omega$ è la chiave di tutto il capitolo.

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Mechanical connections between rotating discs are everywhere: from bicycle gears to car transmissions, from windmills to mechanical clocks. Analysing them requires two quantities and a convention.

Every point on the rim of a disc rotating with angular velocity $\omega$ moves with tangential velocity

$v = \omega\,r$

where $r$ is the radius. This is the relation linking “how fast” the disc spins (a global property, $\omega$) to “how fast” a point on the rim moves (a local property, $v$, which grows with the radius).

To understand when two discs rotate “in the same direction” or “in opposite directions” it is essential to fix the sign of $\omega$:

Sign convention

$\omega > 0 \;\Leftrightarrow\; \text{anticlockwise rotation} \qquad \omega < 0 \;\Leftrightarrow\; \text{clockwise rotation}$

This convention is what distinguishes the three types of connection: two discs can have the same tangential velocity at the contact point ($|v_1| = |v_2|$) and yet spin in opposite directions (opposite signs of $\omega$) or in the same direction (matching signs). Keeping magnitude and sign of $\omega$ separate is the key to the whole chapter.

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Due dischi a contatto tramite i bordi — come gli ingranaggi meccanici o due ruote dentate che si “mordono” — devono avere la stessa velocità tangenziale nel punto di contatto. Se così non fosse, i denti scivolerebbero l’uno sull’altro, o si deformerebbero: il contatto rigido impone che i due bordi si muovano insieme.

Principio — Dischi a contatto

Due dischi a contatto sui bordi hanno velocità tangenziali uguali in modulo: $|v_1| = |v_2| \;\;\Rightarrow\;\; |\omega_1|\,r_1 = |\omega_2|\,r_2$ ma $\omega_1$ e $\omega_2$ hanno segno opposto: se uno gira in senso orario, l’altro gira antiorario.

Il segno opposto è la firma degli ingranaggi: pensa a due ruote dentate che si mordono, quando una spinge in avanti i denti nel punto di contatto, l’altra è costretta a indietreggiare. Dal punto di vista dei moduli, la relazione $|\omega_1| r_1 = |\omega_2| r_2$ dice che il disco più piccolo gira più veloce: un ingranaggio grande accoppiato a uno piccolo fa girare il piccolo con $\omega$ maggiore, ma nel verso opposto.

Regola pratica

Ingranaggio grande + piccolo: il piccolo gira più veloce (più $\omega$) del grande, ma in senso opposto.

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Two discs in contact at their rims — like mechanical gears or two toothed wheels “biting” into each other — must have the same tangential velocity at the point of contact. If they did not, the teeth would slip against each other, or deform: the rigid contact requires the two rims to move together.

Principle — Discs in contact

Two discs in contact at their rims have tangential velocities equal in magnitude: $|v_1| = |v_2| \;\;\Rightarrow\;\; |\omega_1|\,r_1 = |\omega_2|\,r_2$ but $\omega_1$ and $\omega_2$ have opposite sign: if one turns clockwise, the other turns anticlockwise.

The opposite sign is the signature of gears: think of two toothed wheels biting into each other — when one pushes the teeth forward at the contact point, the other is forced to retreat. In terms of magnitudes, the relation $|\omega_1| r_1 = |\omega_2| r_2$ says that the smaller disc spins faster: a large gear coupled to a small one makes the small one spin with a larger $\omega$, but in the opposite direction.

Rule of thumb

Large gear + small gear: the small one spins faster (higher $\omega$) than the large one, but in the opposite direction.

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Due dischi montati sullo stesso asse, “impilati” come cilindri uno sopra l’altro, sono obbligati a ruotare insieme: sono solidali. Hanno quindi la stessa velocità angolare, ma i punti sui loro bordi hanno velocità tangenziali diverse, perché i raggi sono diversi.

Principio — Dischi coassiali (solidali)

Due dischi solidali hanno la stessa velocità angolare, identica in modulo e segno: $\omega_1 = \omega_2$ ma in generale $|v_1| \neq |v_2|$, perché $v = \omega\,r$ e $r_1 \neq r_2$.

È il caso complementare rispetto agli ingranaggi. Là era la velocità tangenziale a essere condivisa e la $\omega$ a cambiare; qui è la $\omega$ a essere condivisa e la velocità tangenziale a cambiare col raggio. Un punto sul bordo esterno (raggio grande) percorre più strada nello stesso tempo di un punto sul bordo interno (raggio piccolo), pur “girando” con la stessa rapidità angolare.

Questo è il principio con cui si trasferisce una velocità angolare da un disco all’altro senza alterarla: montandoli sullo stesso asse. Combinato con ingranaggi e cinghie, permette di costruire catene di trasmissione arbitrarie.

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Two discs mounted on the same axle, “stacked” like cylinders one on top of the other, are forced to rotate together: they are rigidly coupled. They therefore have the same angular velocity, but points on their rims have different tangential velocities, because the radii are different.

Principle — Coaxial (rigidly coupled) discs

Two rigidly coupled discs have the same angular velocity, identical in magnitude and sign: $\omega_1 = \omega_2$ but in general $|v_1| \neq |v_2|$, because $v = \omega\,r$ and $r_1 \neq r_2$.

This is the complementary case to gears. There it was the tangential velocity that was shared and $\omega$ that changed; here it is $\omega$ that is shared and the tangential velocity that changes with the radius. A point on the outer rim (large radius) covers more distance in the same time than a point on the inner rim (small radius), even though it “turns” with the same angular rate.

This is the principle by which an angular velocity is transferred from one disc to another without altering it: by mounting them on the same axle. Combined with gears and belts, it allows arbitrary transmission chains to be built.

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Una cinghia (o una catena, come in bicicletta) avvolge due dischi e ne trasmette il moto. Se non slitta, i punti dei bordi in contatto con la cinghia si muovono alla stessa velocità tangenziale. A differenza degli ingranaggi, però, i due dischi girano nello stesso verso: la cinghia che “esce” da un disco entra nell’altro trascinandolo nella stessa direzione.

Principio — Dischi collegati da cinghia

Due dischi collegati da una cinghia hanno velocità tangenziali uguali in modulo: $|v_1| = |v_2| \;\;\Rightarrow\;\; |\omega_1|\,r_1 = |\omega_2|\,r_2$ e $\omega_1, \omega_2$ hanno lo stesso segno (entrambi orari o entrambi antiorari).

La relazione tra i moduli è identica a quella degli ingranaggi: la cinghia, come il contatto di bordo, impone la stessa velocità tangenziale. L’unica — cruciale — differenza è il segno.

Ingranaggi vs cinghia: attenzione al segno!

La differenza tra ingranaggi e cinghia è solo il segno di $\omega$:

• Ingranaggi (contatto di bordo): versi opposti. Un disco inverte il senso di rotazione dell’altro.
• Cinghia/puleggia: stessi versi. La cinghia trasmette il moto mantenendo il senso di rotazione.

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A belt (or a chain, as on a bicycle) wraps around two discs and transmits the motion between them. If it does not slip, the rim points in contact with the belt move at the same tangential velocity. Unlike gears, however, the two discs turn in the same direction: the belt that “leaves” one disc enters the other, dragging it along in the same direction.

Principle — Discs connected by a belt

Two discs connected by a belt have tangential velocities equal in magnitude: $|v_1| = |v_2| \;\;\Rightarrow\;\; |\omega_1|\,r_1 = |\omega_2|\,r_2$ and $\omega_1, \omega_2$ have the same sign (both clockwise or both anticlockwise).

The relation between the magnitudes is identical to that for gears: the belt, like rim contact, imposes the same tangential velocity. The only — crucial — difference is the sign.

Gears vs belt: watch the sign!

The difference between gears and a belt is only the sign of $\omega$:

• Gears (rim contact): opposite directions. One disc reverses the other’s direction of rotation.
• Belt/pulley: same directions. The belt transmits the motion while keeping the direction of rotation.

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I tre tipi di connessione tra dischi rotanti si distinguono da due sole domande: la velocità tangenziale è condivisa? e il segno di $\omega$ è concorde?

I tre tipi di connessione tra dischi rotanti. Ingranaggi: versi opposti, $|v_1| = |v_2|$. Coassiali: stesso $\omega$, $|v_1| \neq |v_2|$. Puleggia: stessi versi, $|v_1| = |v_2|$.

Come ricordarli

• Contatto di bordo (ingranaggi): $v$ uguali, $\omega$ opposte.
• Solidali (coassiali): $\omega$ uguali, $v$ diverse.
• Cinghia: $v$ uguali, $\omega$ stesso segno.

La stessa relazione vale per le accelerazioni angolari

Tutte queste regole valgono anche per le accelerazioni angolari $\alpha_i$: se $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, derivando rispetto al tempo si ottiene $\alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$. Quindi nei problemi di moto accelerato le regole si “portano” automaticamente alle $\alpha$.

L’esempio completo che combina tutti e tre i tipi di connessione in un unico sistema è svolto in Quattro dischi concatenati.

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The three types of connection between rotating discs are distinguished by just two questions: is the tangential velocity shared? and do the signs of $\omega$ match?

The three types of connection between rotating discs. Gears: opposite directions, $|v_1| = |v_2|$. Coaxial: same $\omega$, $|v_1| \neq |v_2|$. Pulley: same directions, $|v_1| = |v_2|$.

How to remember them

• Rim contact (gears): $v$ equal, $\omega$ opposite.
• Rigidly coupled (coaxial): $\omega$ equal, $v$ different.
• Belt: $v$ equal, $\omega$ same sign.

The same relation holds for angular accelerations

All these rules also hold for the angular accelerations $\alpha_i$: if $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, differentiating with respect to time gives $\alpha_1 r_1 = \alpha_2 r_2$. So in accelerated-motion problems the rules “carry over” automatically to the $\alpha$‘s.

The complete example combining all three types of connection in a single system is worked out in Four discs chained together.

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