Regole di collegamento delle bolle

Come sono collegate le bolle tra loro? Dipende dal tipo di forza che agisce. Le forze si dividono in tre famiglie: conservative (peso, elastica, Coulomb) che collegano $E_\text{cin}\leftrightarrow E_\text{pot}$; vincolari (tensione, reazione normale) che collegano $E_{\text{cin},1}\leftrightarrow E_{\text{cin},2}$ senza energia potenziale; attrito (dissipativa) che collega $E_\text{cin}\to E_\text{term}$ sempre in un verso. Da qui il teorema generale del bilancio energetico e la tabella energetica.

• Forze conservative
• Forze vincolari
• Attrito: da cinetica a termica
• Riassunto — quale bolla collega cosa
• Il teorema generale del bilancio energetico
• La tabella energetica

How are bubbles connected to each other? It depends on the type of force acting. Forces fall into three families: conservative (weight, elastic, Coulomb), which connect $E_\text{cin}\leftrightarrow E_\text{pot}$; constraint (tension, normal reaction), which connect $E_{\text{cin},1}\leftrightarrow E_{\text{cin},2}$ with no potential energy; friction (dissipative), which connects $E_\text{cin}\to E_\text{term}$ always in one direction. From here follow the general energy-balance theorem and the energy table.

• Conservative forces
• Constraint forces
• Friction: from kinetic to thermal
• Summary — which bubble connects to what
• The general energy-balance theorem
• The energy table

La domanda chiave, una volta disegnate le bolle, è: come sono collegate tra loro? La risposta dipende dal tipo di forza che agisce. Ogni forza produce un trasferimento di energia — una freccia nel diagramma — con regole ben precise, ed è il diagramma di interazione a dirci quali frecce disegnare. Le forze conservative sono la prima delle tre famiglie.

Una forza si dice conservativa se il lavoro per portare un corpo da A a B non dipende dal percorso fatto, ma solo dalle posizioni iniziale e finale. Solo le forze conservative hanno un’energia potenziale associata, ed è proprio per questo che nel diagramma a bolle danno luogo a una bolla di $E_\text{pot}$.

Principio — Regola delle forze conservative

Il lavoro di una forza conservativa collega la bolla di $E_\text{cin}$ del corpo su cui la forza agisce con la bolla di $E_\text{pot}$ di quella forza.

La convenzione di segno è: il lavoro è positivo se la freccia entra nella bolla dell’$E_\text{cin}$, negativo se esce. In ogni caso, il teorema dell’energia potenziale garantisce che: $\Delta E_\text{pot} = -L$ cioè l’energia potenziale aumenta quando il lavoro è negativo (la freccia esce da $E_\text{cin}$, entra in $E_\text{pot}$) e diminuisce quando il lavoro è positivo (la freccia esce da $E_\text{pot}$, entra in $E_\text{cin}$).

Forze conservative: il lavoro scambia energia tra $E_\text{cin}$ del corpo e $E_\text{pot}$ dell’interazione. La “freccia” può andare in entrambi i versi: positiva se entra in $E_\text{cin}$, negativa se esce.

Sintesi

Forze conservative:

• Peso → $E_\text{pot,g} = mgh$
• Molla → $E_\text{pot,m} = \frac{1}{2}K(\ell-\ell_0)^2$
• Coulomb → $E_\text{pot,el} = k\dfrac{q_1q_2}{r}$
• Gravità universale → $E_\text{pot,G} = -\dfrac{Gm_1m_2}{d}$

Attenzione — Una bolla di $E_\text{pot}$ non è "di un corpo"

L’energia potenziale è un’energia di interazione tra due corpi, non “del corpo”. Non si dice “l’$E_\text{pot}$ della mela”, ma “l’$E_\text{pot}$ gravitazionale dell’interazione mela–Terra”. Nel diagramma a bolle, però, disegniamo una sola bolla $E_\text{pot}$ per ciascuna interazione conservativa, non due.

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The key question, once the bubbles are drawn, is: how are they connected to each other? The answer depends on the type of force acting. Every force produces an energy transfer — an arrow in the diagram — with well-defined rules, and it’s the interaction diagram that tells us which arrows to draw. Conservative forces are the first of three families.

A force is called conservative if the work needed to carry a body from A to B doesn’t depend on the path taken, but only on the initial and final positions. Only conservative forces have an associated potential energy, and this is precisely why in the bubble diagram they give rise to an $E_\text{pot}$ bubble.

Principle — Rule for conservative forces

The work of a conservative force connects the $E_\text{cin}$ bubble of the body on which the force acts with the $E_\text{pot}$ bubble of that force.

The sign convention is: the work is positive if the arrow enters the $E_\text{cin}$ bubble, negative if it exits. In every case, the potential energy theorem guarantees that: $\Delta E_\text{pot} = -L$ that is, potential energy increases when the work is negative (the arrow exits $E_\text{cin}$, enters $E_\text{pot}$) and decreases when the work is positive (the arrow exits $E_\text{pot}$, enters $E_\text{cin}$).

Conservative forces: the work exchanges energy between the body’s $E_\text{cin}$ and the interaction’s $E_\text{pot}$. The “arrow” can go either way: positive if it enters $E_\text{cin}$, negative if it exits.

Summary

Conservative forces:

• Weight → $E_\text{pot,g} = mgh$
• Spring → $E_\text{pot,m} = \frac{1}{2}K(\ell-\ell_0)^2$
• Coulomb → $E_\text{pot,el} = k\dfrac{q_1q_2}{r}$
• Universal gravity → $E_\text{pot,G} = -\dfrac{Gm_1m_2}{d}$

Warning — An $E_\text{pot}$ bubble doesn't "belong to" a body

Potential energy is an energy of interaction between two bodies, not “of the body”. You don’t say “the apple’s $E_\text{pot}$”, but “the gravitational $E_\text{pot}$ of the apple–Earth interaction”. In the bubble diagram, however, we draw a single $E_\text{pot}$ bubble for each conservative interaction, not two.

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Le forze vincolari — la tensione di una fune, la reazione normale tra superfici — costituiscono la seconda famiglia. A differenza delle forze conservative, esse non ammettono energia potenziale: non “immagazzinano” energia in un serbatoio, ma la trasferiscono direttamente da un corpo all’altro. Nel diagramma a bolle non danno quindi origine ad alcuna bolla di $E_\text{pot}$, ma solo a una freccia che collega le energie cinetiche di due corpi distinti.

Principio — Regola delle forze vincolari

Il lavoro di una forza vincolare collega la bolla di $E_\text{cin}$ di un corpo con la bolla di $E_\text{cin}$ dell’altro corpo. Non appare nessuna bolla di energia potenziale.

La forza vincolare esegue lavoro positivo sul corpo in cui la freccia entra e lavoro negativo sul corpo da cui esce. I due lavori sono opposti.

Forze vincolari (fune, reazione normale): trasferiscono energia cinetica direttamente da un corpo all’altro. Niente bolla di $E_\text{pot}$.

Poiché i due lavori sono uguali e opposti, la loro somma è nulla: la forza vincolare si limita a redistribuire l’energia cinetica tra i due corpi, senza crearne né distruggerne. Ma c’è un caso ancora più semplice, e frequentissimo nei problemi: quello del vincolo fisso.

Principio — Quando il lavoro di una forza vincolare è nullo

Se il vincolo è fisso, il lavoro vale zero.

• Se un estremo della fune è bloccato a una parete ferma, la tensione su quell’estremo non fa lavoro (il punto di applicazione non si sposta).
• Se la superficie su cui poggia il corpo è ferma, la reazione vincolare non fa lavoro (la reazione è perpendicolare al moto relativo e il vincolo è fermo).

Se invece il vincolo si muove (superficie scorrevole, fune tirata da un camion), la forza può avere una componente lungo il moto e fare lavoro: “passa” energia da un sistema all’altro.

La reazione del piano è $\perp$ al moto del corpo che scivola $\Rightarrow L=0$. In un ascensore in moto, invece, può avere componente lungo il moto!

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Constraint forces — the tension of a rope, the normal reaction between surfaces — make up the second family. Unlike conservative forces, they do not admit potential energy: they don’t “store” energy in a reservoir, but transfer it directly from one body to another. In the bubble diagram they therefore give rise to no $E_\text{pot}$ bubble, only to an arrow connecting the kinetic energies of two distinct bodies.

Principle — Rule for constraint forces

The work of a constraint force connects the $E_\text{cin}$ bubble of one body with the $E_\text{cin}$ bubble of the other body. No potential-energy bubble appears.

The constraint force does positive work on the body the arrow enters and negative work on the body it leaves. The two works are opposite.

Constraint forces (rope, normal reaction): they transfer kinetic energy directly from one body to another. No $E_\text{pot}$ bubble.

Since the two works are equal and opposite, their sum is zero: the constraint force merely redistributes kinetic energy between the two bodies, without creating or destroying any. But there’s an even simpler case, and a very frequent one in problems: that of the fixed constraint.

Principle — When the work of a constraint force is zero

If the constraint is fixed, the work is zero.

• If one end of the rope is anchored to a stationary wall, the tension at that end does no work (the point of application doesn’t move).
• If the surface the body rests on is stationary, the constraint reaction does no work (the reaction is perpendicular to the relative motion and the constraint is stationary).

If instead the constraint moves (sliding surface, rope pulled by a lorry), the force can have a component along the motion and do work: it “passes” energy from one system to another.

The plane's reaction is $\perp$ to the motion of the body sliding on it $\Rightarrow L=0$. In a moving lift, however, it can have a component along the motion!

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La forza di attrito dinamico è la terza famiglia, e un caso a parte: trasferisce energia dalla cinetica (ordinata) alla termica (disordinata). Il processo è irreversibile: una volta che l’energia è nell’$E_\text{term}$ non torna indietro spontaneamente. È questa irreversibilità a distinguere l’attrito da tutte le altre forze viste finora, le cui frecce potevano puntare in entrambi i versi.

Principio — Regola dell'attrito dinamico

La forza di attrito dinamico fa sempre lavoro negativo: la freccia esce dalla bolla di $E_\text{cin}$ (del corpo che striscia) ed entra nella bolla di $E_\text{term}$ (del corpo stesso o della superficie): $\Delta E_\text{term} = |L_\text{attr}| = F_a\cdot|\Delta\vec{s}|$

L’attrito trasferisce energia solo in un verso: da $E_\text{cin}$ a $E_\text{term}$. L’$E_\text{term}$ è disordinata, non può riconvertirsi spontaneamente in cinetica.

L’energia termica generata è esattamente il valore assoluto del lavoro dell’attrito, cioè la forza di attrito moltiplicata per lo spazio percorso strisciando. Ecco perché più lunga è la strada, più il corpo si scalda: l’attrito non dipende solo dagli estremi del percorso ma da tutto il cammino, ed è proprio questo che gli impedisce di essere conservativo.

Attenzione — Attrito statico vs dinamico

È l’attrito dinamico (quando le superfici strisciano) a fare lavoro negativo sul corpo. L’attrito statico, invece, non fa lavoro se la superficie è ferma (come una reazione vincolare normale). Ma se la superficie si muove, ad esempio i piedi di una persona che cammina, l’attrito statico può fare lavoro positivo sul corpo (è così che camminiamo: è l’attrito statico del pavimento a spingerci in avanti).

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The kinetic friction force is the third family, and a special case: it transfers energy from kinetic (ordered) to thermal (disordered). The process is irreversible: once energy is in $E_\text{term}$ it doesn’t spontaneously go back. This irreversibility is what distinguishes friction from all the other forces seen so far, whose arrows could point either way.

Principle — Rule for kinetic friction

The kinetic friction force always does negative work: the arrow exits the $E_\text{cin}$ bubble (of the sliding body) and enters the $E_\text{term}$ bubble (of the body itself or of the surface): $\Delta E_\text{term} = |L_\text{attr}| = F_a\cdot|\Delta\vec{s}|$

Friction transfers energy only one way: from $E_\text{cin}$ to $E_\text{term}$. $E_\text{term}$ is disordered, and cannot spontaneously convert back into kinetic energy.

The thermal energy generated is exactly the absolute value of the work of friction, that is, the friction force multiplied by the distance travelled while sliding. This is why the longer the path, the more the body heats up: friction doesn’t depend only on the endpoints of the path but on the entire route, and it’s precisely this that prevents it from being conservative.

Warning — Static vs kinetic friction

It’s kinetic friction (when surfaces slide against each other) that does negative work on the body. Static friction, on the other hand, does no work if the surface is stationary (like a normal constraint reaction). But if the surface moves — for example the feet of a person walking — static friction can do positive work on the body (this is how we walk: it’s the floor’s static friction that pushes us forward).

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Le tre famiglie di forze — conservative, vincolari e dissipative — si distinguono per come collegano le bolle e per il segno del lavoro che compiono. Raccogliere le regole in un’unica tabella permette di riconoscere a colpo d’occhio, data una forza, quali bolle disegnare e in che verso puntare la freccia.

La tabella mette in luce la differenza strutturale tra le tre famiglie. Le conservative sono le uniche a introdurre una bolla di energia potenziale, e la loro freccia è reversibile (può andare in entrambi i versi). Le vincolari collegano due energie cinetiche e, nel caso comune di vincolo fisso, non fanno affatto lavoro. L’attrito dinamico è l’unico con una freccia a senso unico: sempre da $E_\text{cin}$ verso $E_\text{term}$, mai al contrario. Tenere a mente questa mappa è il modo più rapido per costruire correttamente un diagramma a bolle a partire dal diagramma di interazione.

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The three families of forces — conservative, constraint and dissipative — are distinguished by how they connect bubbles and by the sign of the work they do. Collecting the rules into a single table lets you recognise, at a glance and given a force, which bubbles to draw and which way the arrow points.

The table highlights the structural difference between the three families. Conservative forces are the only ones that introduce a potential-energy bubble, and their arrow is reversible (it can go either way). Constraint forces connect two kinetic energies and, in the common case of a fixed constraint, do no work at all. Kinetic friction is the only one with a one-way arrow: always from $E_\text{cin}$ towards $E_\text{term}$, never the other way. Keeping this map in mind is the fastest way to correctly build a bubble diagram starting from the interaction diagram.

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Una volta disegnato il diagramma a bolle con tutte le sue frecce, il calcolo diventa quasi meccanico. C’è un’unica regola di bilancio che governa ogni singola bolla, e da essa discendono come casi particolari tutti i teoremi che si incontrano di solito separatamente.

Legge — Bilancio energetico per una bolla

La variazione di energia tra stato finale e iniziale di una qualsiasi bolla è uguale alla somma algebrica dei trasferimenti di energia (valori delle frecce) presi col $+$ se la freccia entra, col $-$ se esce: $\ev{E_{\text{fin}} - E_{\text{ini}} = +|\text{freccia}_1| + |\text{freccia}_2| - |\text{freccia}_3| - \ldots}$

Il potere di questa formulazione sta nella sua universalità: una sola regola, applicata bolla per bolla, sostituisce l’intero arsenale di teoremi specifici. Basta guardare le frecce che toccano una bolla, sommare quelle entranti e sottrarre quelle uscenti, per ottenere la variazione dell’energia di quel tipo.

Questa regola unica include come casi particolari:

• Il teorema dell’energia cinetica: $\Delta E_\text{cin} = L_1 + L_2 + \ldots$ (somma algebrica dei lavori delle forze agenti sul corpo).
• Il teorema dell’energia potenziale: $\Delta E_\text{pot} = -L$ per la forza corrispondente.

Il teorema dell’energia cinetica è semplicemente il bilancio applicato alla bolla $E_\text{cin}$: la sua variazione è la somma dei lavori di tutte le forze che agiscono sul corpo. Il teorema dell’energia potenziale è il bilancio applicato a una bolla $E_\text{pot}$: il segno meno riflette il fatto che, quando la forza fa lavoro positivo (freccia uscente da $E_\text{pot}$), il serbatoio potenziale si svuota.

Attenzione — Come ragionare con lavori incogniti

Se in un problema ci sono lavori di valore sconosciuto, supponili positivi (freccia entrante nell’$E_\text{cin}$) e risolvi le equazioni di bilancio. Se alla fine un lavoro viene negativo, significa che il verso effettivo della freccia era quello opposto: basta invertirla nel diagramma definitivo.

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Once the bubble diagram has been drawn with all its arrows, the calculation becomes almost mechanical. There’s a single balance rule that governs every single bubble, and from it follow, as special cases, all the theorems usually met separately.

Law — Energy balance for a bubble

The change in energy between the final and initial state of any bubble equals the algebraic sum of the energy transfers (arrow values), taken with a $+$ if the arrow enters, with a $-$ if it exits: $\ev{E_{\text{fin}} - E_{\text{ini}} = +|\text{freccia}_1| + |\text{freccia}_2| - |\text{freccia}_3| - \ldots}$

The power of this formulation lies in its universality: a single rule, applied bubble by bubble, replaces the entire arsenal of specific theorems. Just look at the arrows touching a bubble, add up the incoming ones and subtract the outgoing ones, to get the change in that type of energy.

This single rule includes as special cases:

• The kinetic-energy theorem: $\Delta E_\text{cin} = L_1 + L_2 + \ldots$ (algebraic sum of the works of the forces acting on the body).
• The potential-energy theorem: $\Delta E_\text{pot} = -L$ for the corresponding force.

The kinetic-energy theorem is simply the balance applied to the $E_\text{cin}$ bubble: its change is the sum of the works of all the forces acting on the body. The potential-energy theorem is the balance applied to an $E_\text{pot}$ bubble: the minus sign reflects the fact that, when the force does positive work (arrow leaving $E_\text{pot}$), the potential reservoir empties out.

Warning — How to reason with unknown works

If a problem has works of unknown value, assume they are positive (arrow entering $E_\text{cin}$) and solve the balance equations. If a work turns out negative at the end, it means the actual direction of the arrow was the opposite one: simply reverse it in the final diagram.

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Il diagramma a bolle si traduce in una tabella energetica: ogni colonna è un tipo di energia (una bolla), ogni riga è uno stato. È lo strumento di calcolo definitivo, quello in cui il diagramma qualitativo diventa un sistema di numeri pronto per essere risolto.

Si compila la tabella riga per riga, scrivendo il valore (o l’espressione simbolica) di ciascuna energia nello stato A e nello stato B. L’ultima colonna, l’energia totale, è la somma di tutte le altre in quella riga. Il confronto tra le due somme è ciò che risolve il problema.

Principio — Conservazione dell'energia

Se non ci sono frecce che entrano o escono dal sistema (o se la loro somma è zero), allora: $\ev{E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B}$ L’energia totale del sistema si conserva.

Quando l’energia totale si conserva, le due caselle dell’ultima colonna sono uguali: uguagliandole si ottiene l’equazione che lega lo stato A allo stato B, da cui si ricava l’incognita cercata (una velocità, un’altezza, una compressione della molla). È la traduzione operativa, riga per riga, del principio di conservazione dell’energia.

Il numero di colonne nella tabella dipende dal problema: se non c'è molla, niente colonna $E_\text{pot,m}$; se non c'è attrito, niente $E_\text{term}$. Il diagramma di interazione ci dice quali colonne servono!

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The bubble diagram translates into an energy table: each column is a type of energy (a bubble), each row is a state. It’s the definitive computational tool, the one in which the qualitative diagram becomes a system of numbers ready to be solved.

The table is filled in row by row, writing the value (or symbolic expression) of each energy in state A and state B. The last column, the total energy, is the sum of all the others in that row. Comparing the two sums is what solves the problem.

Principle — Conservation of energy

If no arrows enter or leave the system (or if their sum is zero), then: $\ev{E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B}$ The total energy of the system is conserved.

When total energy is conserved, the two cells of the last column are equal: setting them equal gives the equation linking state A to state B, from which the sought unknown (a velocity, a height, a spring compression) is found. It’s the operational, row-by-row translation of the principle of conservation of energy.

The number of columns in the table depends on the problem: if there's no spring, no $E_\text{pot,m}$ column; if there's no friction, no $E_\text{term}$. The interaction diagram tells us which columns are needed!

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