Esercizi — Energia e lavoro

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo e i problemi delle sezioni, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esercizi e problemi nel testo

Esercizio svolto — mela e molla
Esercizio svolto — blocco su piano inclinato con molla e attrito
Due molle e una scatola
Esercizio svolto — altezza minima per il loop
Acqua e olio a temperature diverse
Roccia vulcanica nella Fanta
Blocco su piano inclinato con molla (equilibrio e oscillazioni)
Palla, molla, attrito e volo (4 stati)
Salto con l’elastico

Problemi di fine capitolo

Energia cinetica di un pallone
Vero o falso su lavoro ed energia
Blocco su piano inclinato liscio
Molla compressa da un blocco
Potenza di un ascensore
Lavoro da grafico forza triangolare
Stima energia cinetica di un’auto
Blocco spinto con attrito
Velocità minima nel giro della morte
Due ragazzi spingono una cassa
Ranking energie cinetiche (quattro oggetti)
Discesa della pallina su tre piste
Costante elastica da grafico
Loop della morte
La collana di Stevin
Carrello su pista liscia
Spingere una cassa in moto
Sollevare e riabbassare un libro
Ranking potenze (tre macchine)
Vero o falso su lavoro ed energia cinetica
Proiettile verticale con resistenza
Stima energia per salire le scale
Temperatura dei freni di un’auto
Lavoro della molla da grafico
Scimmia e peso su una carrucola
Lavoro e direzione la valigia
Energia cinetica e velocità doppia
Lavoro della ciclista in salita
Conservazione dell’energia con attrito
Ranking energie cinetiche (auto, palla, bici, golf)
Ranking potenze (quattro sollevamenti)
Lavoro di una forza inclinata
Energia cinetica di un’auto a 80 km orari
Variazione di energia potenziale di una scatola
Pallina lanciata da una molla
Lavoro contro l’attrito
Velocità di un pendolo
Dalla energia cinetica alla velocità
Velocità di una pietra in caduta
Altezza guadagnata da un ascensore
Fantafisica: senza conservazione dell’energia
Fantafisica: gravità doppia
Pendolo balistico
Sintesi: piano inclinato e molla
Bilancio energetico di un motore
Perché il pendolo si ferma
Lettura grafico E(x) di un pendolo
Lettura grafico F(x) di una molla
Stima Fermi: la caloria di una mela
Stima Fermi: potenza di un essere umano
Rendimento di una pala eolica

All the exercises of the chapter, worked step by step, in order of appearance in the chapter: first the guided exercises in the text and the section problems, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, Fermi estimates).

Exercises and problems in the text

Worked exercise — apple and spring
Worked exercise — block on an inclined plane with spring and friction
Two springs and a box
Worked exercise — minimum height for the loop
Water and oil at different temperatures
Volcanic rock in Fanta
Block on an inclined plane with a spring (equilibrium and oscillations)
Ball, spring, friction and flight (4 states)
Bungee jump

End-of-chapter problems

Kinetic energy of a ball
True or false on work and energy
Block on a frictionless inclined plane
Spring compressed by a block
Power of a lift
Work from a triangular force graph
Estimating the kinetic energy of a car
Block pushed with friction
Minimum speed on a loop-the-loop
Two boys pushing a crate
Ranking kinetic energies (four objects)
A ball descending on three tracks
Spring constant from a graph
Loop-the-loop
Stevin’s necklace
Cart on a frictionless track
Pushing a moving crate
Lifting and lowering a book
Ranking powers (three machines)
True or false on work and kinetic energy
Vertical projectile with drag
Estimating the energy to climb stairs
Temperature of a car’s brakes
Work done by a spring from a graph
Monkey and weight on a pulley
Work and direction: the suitcase
Kinetic energy and doubled speed
Work done by a cyclist going uphill
Conservation of energy with friction
Ranking kinetic energies (car, ball, bike, golf)
Ranking powers (four lifts)
Work done by an inclined force
Kinetic energy of a car at 80 km/h
Change in potential energy of a box
A ball launched by a spring
Work done against friction
Speed of a pendulum
From kinetic energy to speed
Speed of a falling stone
Height gained by a lift
Sci-fi physics: without conservation of energy
Sci-fi physics: double gravity
Ballistic pendulum
Synthesis: inclined plane and spring
Energy balance of an engine
Why the pendulum stops
Reading the E(x) graph of a pendulum
Reading the F(x) graph of a spring
Fermi estimate: the calorie of an apple
Fermi estimate: power of a human being
Efficiency of a wind turbine blade

Testo

Una mela ( $m = 0{,}2\;\text{kg}$ ) cade da un’altezza $h = 3\;\text{m}$ su una molla verticale ( $K = 500\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 0{,}4\;\text{m}$ ). Quanto si comprime la molla?

Soluzione

Impostazione. Prendiamo come riferimento la sommità della molla ( $h = 0$ ). Definiamo due stati:

Stato A: la mela è ferma in alto ( $v = 0$ ), a quota $h = 3\;\text{m}$ sopra la molla a riposo.

Stato B: la mela è di nuovo ferma ( $v = 0$ , punto di massima compressione), la molla è compressa di $x$ , quindi la mela si trova alla quota $h_B = -x$ .

In assenza di attrito l’energia meccanica totale si conserva: $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$ .

Tabella energetica (riferimento: sommità della molla):

Stato $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{pot,g}}$ $E_{\text{pot,m}}$ $E_{\text{tot}}$
A $0$ $0{,}2\cdot 9{,}81\cdot 3 = 5{,}89$ $0$ $5{,}89$
B $0$ $-0{,}2\cdot 9{,}81\cdot x = -1{,}96\,x$ $\tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot x^2 = 250\,x^2$ $5{,}89$

Equazione di conservazione. Uguagliando le due energie totali:

$-1{,}96\,x + 250\,x^2 = 5{,}89$

$250\,x^2 - 1{,}96\,x - 5{,}89 = 0$

Risoluzione (formula risolutiva, si prende la radice positiva):

$x = \frac{1{,}96 + \sqrt{1{,}96^2 + 4\cdot 250\cdot 5{,}89}}{2\cdot 250} = \frac{1{,}96 + \sqrt{5893{,}84}}{500} = \frac{1{,}96 + 76{,}77}{500}$

$\ev{x \approx 0{,}158\;\mathrm{m} \approx 16\;\mathrm{cm}}$

Il termine gravitazionale $-1{,}96\,x$ è piccolo rispetto a quello elastico: la molla assorbe quasi tutta l’energia di caduta.

Stato	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$0$	$0{,}2\cdot 9{,}81\cdot 3 = 5{,}89$	$0$	$5{,}89$
B	$0$	$-0{,}2\cdot 9{,}81\cdot x = -1{,}96\,x$	$\tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot x^2 = 250\,x^2$	$5{,}89$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Uso della tabella energetica · Conservazione dell’energia Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla

Problem

An apple ( $m = 0{,}2\;\text{kg}$ ) falls from a height $h = 3\;\text{m}$ onto a vertical spring ( $K = 500\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 0{,}4\;\text{m}$ ). How much does the spring compress?

Solution

Setup. Take the top of the spring as the reference level ( $h = 0$ ). Define two states:

State A: the apple is at rest at the top ( $v = 0$ ), at height $h = 3\;\text{m}$ above the relaxed spring.

State B: the apple is again at rest ( $v = 0$ , point of maximum compression), the spring is compressed by $x$ , so the apple is at height $h_B = -x$ .

In the absence of friction the total mechanical energy is conserved: $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$ .

Energy table (reference: top of the spring):

State $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{pot,g}}$ $E_{\text{pot,m}}$ $E_{\text{tot}}$
A $0$ $0{,}2\cdot 9{,}81\cdot 3 = 5{,}89$ $0$ $5{,}89$
B $0$ $-0{,}2\cdot 9{,}81\cdot x = -1{,}96\,x$ $\tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot x^2 = 250\,x^2$ $5{,}89$

Conservation equation. Equating the two total energies:

$-1{,}96\,x + 250\,x^2 = 5{,}89$

$250\,x^2 - 1{,}96\,x - 5{,}89 = 0$

Solving (quadratic formula, taking the positive root):

$x = \frac{1{,}96 + \sqrt{1{,}96^2 + 4\cdot 250\cdot 5{,}89}}{2\cdot 250} = \frac{1{,}96 + \sqrt{5893{,}84}}{500} = \frac{1{,}96 + 76{,}77}{500}$

$\ev{x \approx 0{,}158\;\mathrm{m} \approx 16\;\mathrm{cm}}$

The gravitational term $-1{,}96\,x$ is small compared with the elastic one: the spring absorbs almost all the energy of the fall.

State	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$0$	$0{,}2\cdot 9{,}81\cdot 3 = 5{,}89$	$0$	$5{,}89$
B	$0$	$-0{,}2\cdot 9{,}81\cdot x = -1{,}96\,x$	$\tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot x^2 = 250\,x^2$	$5{,}89$

Links

Topics: Work and energy Concepts: Gravitational potential energy · Elastic potential energy · Conservation of mechanical energy · Elastic force and Hooke’s law Skills: Using the energy table · Conservation of energy Methods: State-by-state energy table Objects: Spring

Testo

Un blocco di $4\;\text{kg}$ parte da fermo in cima a un piano inclinato a $30^\circ$ lungo $10\;\text{m}$ . In fondo c’è una molla ( $K = 400\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 3\;\text{m}$ ). L’attrito vale $F_a = 10\;\text{N}$ . Il blocco scivola in basso e comprime la molla. Trovare la compressione massima.

Soluzione

Passo 1 — Diagramma di interazione. Il blocco interagisce con la Terra (peso), con la molla (forza elastica) e con il piano (reazione vincolare + attrito). L’attrito non ammette energia potenziale: nel bilancio compare come una freccia verso $E_{\text{term}}$ .

Passo 2 — Tabella energetica. Riferimento gravitazionale alla base del piano. Sia $l_B$ la lunghezza della molla nello stato B (compressa da $\ell_0 = 3\;\text{m}$ ) e $\Delta s_B$ il tratto percorso lungo il piano.

Altezza di partenza: $h_A = 10\cdot\sin 30^\circ = 5\;\text{m}$ , quindi $E_{\text{pot,g}}^A = 4\cdot 9{,}81\cdot 5 = 196{,}2\;\text{J}$ .

Stato $E_{\text{pot,g}}$ $E_{\text{pot,m}}$ $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{term}}$ $E_{\text{tot}}$
A $196{,}2$ $0$ $0$ $0$ $196{,}2$
B $4\cdot 9{,}81\cdot h_B$ $200\,(l_B-3)^2$ $0$ $10\cdot\Delta s_B$ $196{,}2$

Passo 3 — Condizioni geometriche. Il blocco parte in cima e comprime la molla, quindi

$\Delta s_B + l_B = 10\;\text{m}, \qquad h_B = l_B\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\,l_B$

Passo 4 — Equazione di conservazione. $E_{\text{tot}}^B = 196{,}2$ :

$4\cdot 9{,}81\cdot h_B + 200\,(l_B-3)^2 + 10\,(10-l_B) = 196{,}2$

Sostituendo $h_B = l_B/2$ :

$19{,}62\,l_B + 200\,(l_B-3)^2 + 100 - 10\,l_B = 196{,}2$

$200\,l_B^2 - 1190{,}38\,l_B + 1703{,}8 = 0$

Risoluzione.

$l_B = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{1190{,}38^2 - 4\cdot 200\cdot 1703{,}8}}{2\cdot 200} = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{53964{,}5}}{400} = \frac{1190{,}38 \pm 232{,}3}{400}$

Le due radici sono $l_B = 3{,}56\;\text{m}$ e $l_B = 2{,}40\;\text{m}$ . Poiché la molla è compressa, deve valere $l_B < \ell_0 = 3\;\text{m}$ : si sceglie $l_B \approx 2{,}40\;\text{m}$ .

La compressione massima è quindi

$\ev{\ell_0 - l_B = 3 - 2{,}40 \approx 0{,}60\;\text{m}}$

Verifica del bilancio ( $l_B = 2{,}40$ ): $E_{\text{pot,g}} = 4\cdot 9{,}81\cdot 1{,}20 = 47{,}0$ ; $E_{\text{pot,m}} = 200\cdot 0{,}60^2 = 72{,}0$ ; $E_{\text{term}} = 10\cdot 7{,}60 = 76{,}0$ . Somma $\approx 195$ J $\approx E_{\text{tot}}$ . ✓

Stato	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{term}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$196{,}2$	$0$	$0$	$0$	$196{,}2$
B	$4\cdot 9{,}81\cdot h_B$	$200\,(l_B-3)^2$	$0$	$10\cdot\Delta s_B$	$196{,}2$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito · Attrito dinamico · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Uso della tabella energetica · Scomposizione sul piano inclinato Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Piano inclinato · Molla · Blocco

Problem

A block of $4\;\text{kg}$ starts from rest at the top of a $30^\circ$ incline, $10\;\text{m}$ long. At the bottom there is a spring ( $K = 400\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 3\;\text{m}$ ). Friction is $F_a = 10\;\text{N}$ . The block slides down and compresses the spring. Find the maximum compression.

Solution

Step 1 — Interaction diagram. The block interacts with the Earth (weight), with the spring (elastic force), and with the plane (constraint reaction + friction). Friction admits no potential energy: in the balance it appears as an arrow towards $E_{\text{term}}$ .

Step 2 — Energy table. Gravitational reference at the base of the incline. Let $l_B$ be the length of the spring in state B (compressed from $\ell_0 = 3\;\text{m}$ ) and $\Delta s_B$ the distance travelled along the incline.

Starting height: $h_A = 10\cdot\sin 30^\circ = 5\;\text{m}$ , so $E_{\text{pot,g}}^A = 4\cdot 9{,}81\cdot 5 = 196{,}2\;\text{J}$ .

State $E_{\text{pot,g}}$ $E_{\text{pot,m}}$ $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{term}}$ $E_{\text{tot}}$
A $196{,}2$ $0$ $0$ $0$ $196{,}2$
B $4\cdot 9{,}81\cdot h_B$ $200\,(l_B-3)^2$ $0$ $10\cdot\Delta s_B$ $196{,}2$

Step 3 — Geometric conditions. The block starts at the top and compresses the spring, so

$\Delta s_B + l_B = 10\;\text{m}, \qquad h_B = l_B\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\,l_B$

Step 4 — Conservation equation. $E_{\text{tot}}^B = 196{,}2$ :

$4\cdot 9{,}81\cdot h_B + 200\,(l_B-3)^2 + 10\,(10-l_B) = 196{,}2$

Substituting $h_B = l_B/2$ :

$19{,}62\,l_B + 200\,(l_B-3)^2 + 100 - 10\,l_B = 196{,}2$

$200\,l_B^2 - 1190{,}38\,l_B + 1703{,}8 = 0$

Solving.

$l_B = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{1190{,}38^2 - 4\cdot 200\cdot 1703{,}8}}{2\cdot 200} = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{53964{,}5}}{400} = \frac{1190{,}38 \pm 232{,}3}{400}$

The two roots are $l_B = 3{,}56\;\text{m}$ and $l_B = 2{,}40\;\text{m}$ . Since the spring is compressed, we must have $l_B < \ell_0 = 3\;\text{m}$ : we choose $l_B \approx 2{,}40\;\text{m}$ .

The maximum compression is therefore

$\ev{\ell_0 - l_B = 3 - 2{,}40 \approx 0{,}60\;\text{m}}$

Balance check ( $l_B = 2{,}40$ ): $E_{\text{pot,g}} = 4\cdot 9{,}81\cdot 1{,}20 = 47{,}0$ ; $E_{\text{pot,m}} = 200\cdot 0{,}60^2 = 72{,}0$ ; $E_{\text{term}} = 10\cdot 7{,}60 = 76{,}0$ . Sum $\approx 195$ J $\approx E_{\text{tot}}$ . ✓

State	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{term}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$196{,}2$	$0$	$0$	$0$	$196{,}2$
B	$4\cdot 9{,}81\cdot h_B$	$200\,(l_B-3)^2$	$0$	$10\cdot\Delta s_B$	$196{,}2$

Links

Topics: Work and energy Concepts: Gravitational potential energy · Elastic potential energy · Thermal energy from friction · Kinetic friction · Conservation of mechanical energy Skills: Using the energy table · Force resolution on an incline Methods: State-by-state energy table Objects: Inclined plane · Spring · Block

Testo

Una scatola ( $m = 5\;\mathrm{kg}$ , $v_A = 2\;\mathrm{m/s}$ ) si muove orizzontalmente tra due molle: $K_1 = 1000\;\mathrm{N/m}$ ( $\ell_{01} = 2\;\mathrm{m}$ ) e $K_2 = 500\;\mathrm{N/m}$ ( $\ell_{02} = 2{,}5\;\mathrm{m}$ ). La distanza fra le pareti vale $4\;\mathrm{m}$ . Dove si ferma la scatola? Imposta la tabella energetica con il vincolo $l_1 + l_2 = 4$ e risolvi.

Soluzione

Osservazione chiave. Le due molle, attaccate alle pareti e alla scatola, hanno lunghezze a riposo che sommano $\ell_{01} + \ell_{02} = 4{,}5\;\text{m} > 4\;\text{m}$ : entrambe sono quindi sempre compresse e in contatto con la scatola. Il sistema ha un solo grado di libertà, legato dal vincolo

$l_1 + l_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad l_2 = 4 - l_1$

Energia potenziale in funzione di $l_1$ . Il moto è orizzontale, quindi $E_{\text{pot,g}}$ è costante e si ignora. Resta solo l’energia elastica:

$U(l_1) = \tfrac{1}{2}K_1(\ell_{01}-l_1)^2 + \tfrac{1}{2}K_2(\ell_{02}-l_2)^2 = 500\,(2-l_1)^2 + 250\,(l_1-1{,}5)^2$

Sviluppando:

$U(l_1) = 750\,l_1^2 - 2750\,l_1 + 2562{,}5$

Punto di equilibrio (minimo di $U$ , forza netta nulla):

$l_1^{\text{eq}} = \frac{2750}{2\cdot 750} = 1{,}83\;\text{m}, \qquad l_2^{\text{eq}} = 2{,}17\;\text{m}$

$U_{\min} = 2562{,}5 - \frac{2750^2}{4\cdot 750} \approx 41{,}7\;\text{J}$

Tabella energetica. Assumiamo che la scatola passi per l’equilibrio con velocità $v_A = 2\;\text{m/s}$ (stato A) e cerchiamo i punti di inversione (stato B, $v = 0$ ).

Stato $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{pot,el}} = U(l_1)$ $E_{\text{tot}}$
A $\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2^2 = 10$ $U_{\min} = 41{,}7$ $51{,}7$
B $0$ $U(l_1)$ $51{,}7$

Punti di inversione — equazione $U(l_1) = E_{\text{tot}}$ , cioè $750\,(l_1 - 1{,}83)^2 + 41{,}7 = 51{,}7$ :

$750\,(l_1 - 1{,}83)^2 = 10 \quad\Rightarrow\quad (l_1 - 1{,}83)^2 = 0{,}0133 \quad\Rightarrow\quad l_1 = 1{,}83 \pm 0{,}12$

$\ev{l_1 \approx 1{,}72\;\text{m}\ \text{e}\ l_1 \approx 1{,}95\;\text{m}}$

Corrispondentemente $l_2 \approx 2{,}28\;\text{m}$ e $l_2 \approx 2{,}05\;\text{m}$ . Senza attrito la scatola non si ferma davvero: oscilla tra questi due punti di inversione (dove momentaneamente $v = 0$ ), simmetrici rispetto alla posizione di equilibrio $l_1^{\text{eq}} = 1{,}83\;\text{m}$ .

Stato	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{pot,el}} = U(l_1)$	$E_{\text{tot}}$
A	$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2^2 = 10$	$U_{\min} = 41{,}7$	$51{,}7$
B	$0$	$U(l_1)$	$51{,}7$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica · Forze conservative Competenze: Uso della tabella energetica · Impostazione simbolica Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla · Blocco

Problem

A box ( $m = 5\;\mathrm{kg}$ , $v_A = 2\;\mathrm{m/s}$ ) moves horizontally between two springs: $K_1 = 1000\;\mathrm{N/m}$ ( $\ell_{01} = 2\;\mathrm{m}$ ) and $K_2 = 500\;\mathrm{N/m}$ ( $\ell_{02} = 2{,}5\;\mathrm{m}$ ). The distance between the walls is $4\;\mathrm{m}$ . Where does the box come to rest? Set up the energy table with the constraint $l_1 + l_2 = 4$ and solve.

Solution

Key observation. The two springs, attached to the walls and to the box, have natural lengths summing to $\ell_{01} + \ell_{02} = 4{,}5\;\text{m} > 4\;\text{m}$ : both are therefore always compressed and in contact with the box. The system has a single degree of freedom, tied by the constraint

$l_1 + l_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad l_2 = 4 - l_1$

Potential energy as a function of $l_1$ . The motion is horizontal, so $E_{\text{pot,g}}$ is constant and is ignored. Only the elastic energy remains:

$U(l_1) = \tfrac{1}{2}K_1(\ell_{01}-l_1)^2 + \tfrac{1}{2}K_2(\ell_{02}-l_2)^2 = 500\,(2-l_1)^2 + 250\,(l_1-1{,}5)^2$

Expanding:

$U(l_1) = 750\,l_1^2 - 2750\,l_1 + 2562{,}5$

Equilibrium point (minimum of $U$ , zero net force):

$l_1^{\text{eq}} = \frac{2750}{2\cdot 750} = 1{,}83\;\text{m}, \qquad l_2^{\text{eq}} = 2{,}17\;\text{m}$

$U_{\min} = 2562{,}5 - \frac{2750^2}{4\cdot 750} \approx 41{,}7\;\text{J}$

Energy table. Assume the box passes through equilibrium with speed $v_A = 2\;\text{m/s}$ (state A) and look for the turning points (state B, $v = 0$ ).

State $E_{\text{cin}}$ $E_{\text{pot,el}} = U(l_1)$ $E_{\text{tot}}$
A $\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2^2 = 10$ $U_{\min} = 41{,}7$ $51{,}7$
B $0$ $U(l_1)$ $51{,}7$

Turning points — equation $U(l_1) = E_{\text{tot}}$ , i.e. $750\,(l_1 - 1{,}83)^2 + 41{,}7 = 51{,}7$ :

$750\,(l_1 - 1{,}83)^2 = 10 \quad\Rightarrow\quad (l_1 - 1{,}83)^2 = 0{,}0133 \quad\Rightarrow\quad l_1 = 1{,}83 \pm 0{,}12$

$\ev{l_1 \approx 1{,}72\;\text{m}\ \text{and}\ l_1 \approx 1{,}95\;\text{m}}$

Correspondingly $l_2 \approx 2{,}28\;\text{m}$ and $l_2 \approx 2{,}05\;\text{m}$ . Without friction the box does not really stop: it oscillates between these two turning points (where momentarily $v = 0$ ), symmetric about the equilibrium position $l_1^{\text{eq}} = 1{,}83\;\text{m}$ .

State	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{pot,el}} = U(l_1)$	$E_{\text{tot}}$
A	$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2^2 = 10$	$U_{\min} = 41{,}7$	$51{,}7$
B	$0$	$U(l_1)$	$51{,}7$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica · Forze conservative Competenze: Uso della tabella energetica · Impostazione simbolica Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla · Blocco

Testo

Un oggetto parte da fermo a un’altezza $h$ su un piano inclinato e deve completare un loop verticale di raggio $r$ . Trovare $h$ minimo (a) senza attrito e (b) con attrito.

Soluzione

Condizione alla sommità del loop. Nel punto più alto del giro (altezza $2r$ ) la velocità minima perché il corpo resti in contatto con la guida è $v_{\min} = \sqrt{gr}$ (il peso fornisce tutta la forza centripeta: $mg = mv^2/r$ ). Questa è la condizione critica che fissa l’altezza minima di partenza.

(a) Senza attrito. Definiamo:

Stato A (partenza): $v = 0$ , quota $h$ .

Stato B (sommità del loop): $v = \sqrt{gr}$ , quota $2r$ .

Conservazione dell’energia meccanica $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$ :

$mgh = \tfrac{1}{2}m\,v_{\min}^2 + mg(2r) = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r)$

Dividendo per $mg$ :

$h = \tfrac{1}{2}r + 2r \quad\Rightarrow\quad \ev{h_{\min} = \tfrac{5}{2}\,r}$

(b) Con attrito. L’attrito $F_a$ agisce lungo la rampa di discesa, di lunghezza $\ell = h/\sin\theta$ (con $\theta$ inclinazione della rampa). L’energia dissipata è $E_{\text{term}} = F_a\,\ell$ . Il bilancio energetico diventa:

$mgh = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r) + F_a\cdot\frac{h}{\sin\theta}$

Raccogliendo i termini in $h$ :

$mgh - F_a\,\frac{h}{\sin\theta} = \tfrac{5}{2}mgr \quad\Rightarrow\quad h\left(mg - \frac{F_a}{\sin\theta}\right) = \tfrac{5}{2}mgr$

$\ev{h_{\min} = \frac{\tfrac{5}{2}\,mgr}{mg - \dfrac{F_a}{\sin\theta}}}$

L’attrito aumenta l’altezza necessaria: serve più energia potenziale iniziale per compensare quella dissipata in calore lungo la discesa. Nel limite $F_a \to 0$ si ritrova $h_{\min} = \tfrac{5}{2}r$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale · Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica Oggetti: Giro della morte · Piano inclinato

Problem

An object starts from rest at a height $h$ on an inclined plane and must complete a vertical loop of radius $r$ . Find the minimum $h$ (a) without friction and (b) with friction.

Solution

Condition at the top of the loop. At the highest point of the loop (height $2r$ ) the minimum speed for the body to stay in contact with the track is $v_{\min} = \sqrt{gr}$ (the weight supplies the entire centripetal force: $mg = mv^2/r$ ). This is the critical condition that fixes the minimum starting height.

(a) Without friction. Define:

State A (start): $v = 0$ , height $h$ .

State B (top of the loop): $v = \sqrt{gr}$ , height $2r$ .

Conservation of mechanical energy $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$ :

$mgh = \tfrac{1}{2}m\,v_{\min}^2 + mg(2r) = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r)$

Dividing by $mg$ :

$h = \tfrac{1}{2}r + 2r \quad\Rightarrow\quad \ev{h_{\min} = \tfrac{5}{2}\,r}$

(b) With friction. Friction $F_a$ acts along the descending ramp, of length $\ell = h/\sin\theta$ (with $\theta$ the ramp’s inclination). The dissipated energy is $E_{\text{term}} = F_a\,\ell$ . The energy balance becomes:

$mgh = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r) + F_a\cdot\frac{h}{\sin\theta}$

Collecting the terms in $h$ :

$mgh - F_a\,\frac{h}{\sin\theta} = \tfrac{5}{2}mgr \quad\Rightarrow\quad h\left(mg - \frac{F_a}{\sin\theta}\right) = \tfrac{5}{2}mgr$

$\ev{h_{\min} = \frac{\tfrac{5}{2}\,mgr}{mg - \dfrac{F_a}{\sin\theta}}}$

Friction increases the required height: more initial potential energy is needed to compensate for that dissipated as heat along the descent. In the limit $F_a \to 0$ we recover $h_{\min} = \tfrac{5}{2}r$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale · Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica Oggetti: Giro della morte · Piano inclinato

Testo

Un recipiente contiene $2\;\mathrm{kg}$ di acqua a $T_1 = 293\;\mathrm{K}$ ( $c_{s,1} = 4180\;\mathrm{J/(kg\,K)}$ ). Un secondo recipiente contiene $1\;\mathrm{kg}$ di olio a $T_2 = 423\;\mathrm{K}$ ( $c_{s,2} = 2090\;\mathrm{J/(kg\,K)}$ ). Mettendo in comunicazione termica i due recipienti (sistema isolato), trova la temperatura finale di equilibrio.

Soluzione

Impostazione. Il sistema è isolato: l’energia termica ceduta dall’olio (più caldo) è assorbita dall’acqua (più fredda). All’equilibrio entrambi raggiungono la stessa temperatura $T_f$ . Il bilancio calorimetrico impone che la somma delle variazioni di energia termica sia nulla:

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

Risoluzione simbolica per $T_f$ :

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Capacità termiche dei due corpi:

$m_1 c_{s,1} = 2\cdot 4180 = 8360\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 1\cdot 2090 = 2090\;\mathrm{J/K}$

Sostituzione numerica:

$T_f = \frac{8360\cdot 293 + 2090\cdot 423}{8360 + 2090} = \frac{2\,449\,480 + 884\,070}{10\,450} = \frac{3\,333\,550}{10\,450}$

$\ev{T_f \approx 319\;\mathrm{K} \approx 46\;^\circ\mathrm{C}}$

La temperatura di equilibrio è molto più vicina a quella dell’acqua che a quella dell’olio: l’acqua ha una capacità termica quattro volte maggiore (massa doppia e calore specifico doppio), quindi “tira” l’equilibrio verso di sé.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Calore specifico e capacità termica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Equazione calorimetrica · Impostazione simbolica

Problem

A container holds $2\;\mathrm{kg}$ of water at $T_1 = 293\;\mathrm{K}$ ( $c_{s,1} = 4180\;\mathrm{J/(kg\,K)}$ ). A second container holds $1\;\mathrm{kg}$ of oil at $T_2 = 423\;\mathrm{K}$ ( $c_{s,2} = 2090\;\mathrm{J/(kg\,K)}$ ). Bringing the two containers into thermal contact (isolated system), find the final equilibrium temperature.

Solution

Set-up. The system is isolated: the thermal energy given up by the oil (hotter) is absorbed by the water (colder). At equilibrium both reach the same temperature $T_f$ . The calorimetric balance requires the sum of the thermal energy changes to be zero:

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

Symbolic solution for $T_f$ :

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Heat capacities of the two bodies:

$m_1 c_{s,1} = 2\cdot 4180 = 8360\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 1\cdot 2090 = 2090\;\mathrm{J/K}$

Numerical substitution:

$T_f = \frac{8360\cdot 293 + 2090\cdot 423}{8360 + 2090} = \frac{2\,449\,480 + 884\,070}{10\,450} = \frac{3\,333\,550}{10\,450}$

$\ev{T_f \approx 319\;\mathrm{K} \approx 46\;^\circ\mathrm{C}}$

The equilibrium temperature is much closer to that of the water than that of the oil: the water has four times the heat capacity (double the mass and double the specific heat), so it “pulls” the equilibrium towards itself.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Specific heat and heat capacity · Thermal energy from friction · Conservation of mechanical energy Competenze: Calorimetric equation · Symbolic set-up

Testo

Un sasso vulcanico ( $4\;\mathrm{kg}$ , $c_s = 300\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ) a $400\;^\circ\mathrm{C}$ viene immerso in $8$ litri di Fanta ( $c_s = 30\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ , densità $1{,}5\;\mathrm{kg/l}$ ) a $-50\;^\circ\mathrm{C}$ . Trova la temperatura di equilibrio. (Attenzione: lavora in kelvin.)

Soluzione

Conversione in kelvin (indispensabile per l’energia termica $E = m\,c_s\,T_K$ ):

$T_{1} = 400 + 273 = 673\;\mathrm{K} \quad(\text{sasso}), \qquad T_{2} = -50 + 273 = 223\;\mathrm{K} \quad(\text{Fanta})$

Massa della Fanta dal volume e dalla densità:

$m_2 = 8\;\mathrm{l} \cdot 1{,}5\;\mathrm{kg/l} = 12\;\mathrm{kg}$

Bilancio calorimetrico (sistema isolato, energia termica conservata):

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Capacità termiche:

$m_1 c_{s,1} = 4\cdot 300 = 1200\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 12\cdot 30 = 360\;\mathrm{J/K}$

Sostituzione numerica:

$T_f = \frac{1200\cdot 673 + 360\cdot 223}{1200 + 360} = \frac{807\,600 + 80\,280}{1560} = \frac{887\,880}{1560}$

$\ev{T_f \approx 569\;\mathrm{K} \approx 296\;^\circ\mathrm{C}}$

Nonostante gli $8$ litri di Fanta, il sasso vince: la sua capacità termica ( $1200\;\mathrm{J/K}$ ) è più del triplo di quella della Fanta ( $360\;\mathrm{J/K}$ ), perché il calore specifico della roccia è dieci volte maggiore. L’equilibrio resta quindi bollente.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Calore specifico e capacità termica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Equazione calorimetrica · Impostazione simbolica

Problem

A volcanic rock ( $4\;\mathrm{kg}$ , $c_s = 300\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ) at $400\;^\circ\mathrm{C}$ is dropped into $8$ litres of Fanta ( $c_s = 30\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ , density $1{,}5\;\mathrm{kg/l}$ ) at $-50\;^\circ\mathrm{C}$ . Find the equilibrium temperature. (Careful: work in kelvin.)

Solution

Conversion to kelvin (essential for the thermal energy $E = m\,c_s\,T_K$ ):

$T_{1} = 400 + 273 = 673\;\mathrm{K} \quad(\text{rock}), \qquad T_{2} = -50 + 273 = 223\;\mathrm{K} \quad(\text{Fanta})$

Mass of the Fanta from volume and density:

$m_2 = 8\;\mathrm{l} \cdot 1{,}5\;\mathrm{kg/l} = 12\;\mathrm{kg}$

Calorimetric balance (isolated system, thermal energy conserved):

$m_1 c_{s,1}\,(T_f - T_1) + m_2 c_{s,2}\,(T_f - T_2) = 0$

$T_f = \frac{m_1 c_{s,1} T_1 + m_2 c_{s,2} T_2}{m_1 c_{s,1} + m_2 c_{s,2}}$

Heat capacities:

$m_1 c_{s,1} = 4\cdot 300 = 1200\;\mathrm{J/K}, \qquad m_2 c_{s,2} = 12\cdot 30 = 360\;\mathrm{J/K}$

Numerical substitution:

$T_f = \frac{1200\cdot 673 + 360\cdot 223}{1200 + 360} = \frac{807\,600 + 80\,280}{1560} = \frac{887\,880}{1560}$

$\ev{T_f \approx 569\;\mathrm{K} \approx 296\;^\circ\mathrm{C}}$

Despite the $8$ litres of Fanta, the rock wins out: its heat capacity ( $1200\;\mathrm{J/K}$ ) is more than three times that of the Fanta ( $360\;\mathrm{J/K}$ ), because the rock’s specific heat is ten times greater. The equilibrium therefore remains scalding hot.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Specific heat and heat capacity · Thermal energy from friction · Conservation of mechanical energy Competenze: Calorimetric equation · Symbolic setup

Testo

Un blocco ( $m = 5\;\mathrm{kg}$ ) è legato a una molla ( $K = 500\;\mathrm{N/m}$ , $\ell_0 = 5\;\mathrm{m}$ ) su un piano inclinato di $30^\circ$ alto $10\;\mathrm{m}$ . Usando come coordinata $x$ la base orizzontale, trova: (a) il punto di equilibrio; (b) i punti di inversione per $E_\text{mecc} = 2000\;\mathrm{J}$ ; (c) la velocità massima; (d) il periodo delle piccole oscillazioni. Suggerimento: scrivi $E_\text{pot}(x)$ come parabola in $x$ .

Soluzione

Suggerimento chiave: scrivere $E_\text{pot}(x)$ come parabola. La coordinata $x$ è la proiezione orizzontale della posizione del blocco (misurata dalla base del piano). Se $d$ è la distanza percorsa lungo il piano, allora $x = d\cos 30^\circ$ , cioè $d = x/\cos 30^\circ = 1{,}1547\,x$ .

Energia potenziale gravitazionale (riferimento alla base, $h = d\sin 30^\circ = x\tan 30^\circ$ ):

$E_\text{pot,g} = mg\,x\tan 30^\circ = 5\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5774\,x = 28{,}3\,x$

Energia potenziale elastica (deformazione della molla $d - \ell_0 = 1{,}1547\,x - 5$ ):

$E_\text{pot,m} = \tfrac{1}{2}K\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 250\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 333{,}3\,x^2 - 2886{,}8\,x + 6250$

Sommando, si ottiene la parabola dell’energia potenziale:

$E_\text{pot}(x) = 333{,}3\,x^2 - 2858{,}4\,x + 6250 \qquad (a = 333{,}3,\ b = -2858{,}4,\ c = 6250)$

(a) Punto di equilibrio — vertice della parabola ( $x_\text{eq} = -b/2a$ ):

$\ev{x_\text{eq} = \frac{2858{,}4}{2\cdot 333{,}3} \approx 4{,}29\;\mathrm{m}}$

Il minimo dell’energia potenziale vale $E_\text{pot,min} = c - \dfrac{b^2}{4a} \approx 6250 - 6128 \approx 122\;\mathrm{J}$ .

(b) Punti di inversione per $E_\text{mecc} = 2000\;\mathrm{J}$ — sono i punti dove $E_\text{pot}(x) = E_\text{mecc}$ , cioè $E_\text{cin} = 0$ :

$333{,}3\,(x - 4{,}29)^2 + 122 = 2000 \quad\Rightarrow\quad (x - 4{,}29)^2 = \frac{1878}{333{,}3} = 5{,}63$

$x - 4{,}29 = \pm 2{,}37 \quad\Rightarrow\quad \ev{x_1 \approx 1{,}91\;\mathrm{m}, \quad x_2 \approx 6{,}66\;\mathrm{m}}$

(c) Velocità massima — si ha all’equilibrio, dove l’energia cinetica è massima:

$E_\text{cin,max} = E_\text{mecc} - E_\text{pot,min} = 2000 - 122 = 1878\;\mathrm{J}$

$\tfrac{1}{2}m\,v_\text{max}^2 = 1878 \quad\Rightarrow\quad v_\text{max} = \sqrt{\frac{2\cdot 1878}{5}} = \sqrt{751{,}2}$

$\ev{v_\text{max} \approx 27{,}4\;\mathrm{m/s}}$

(d) Periodo delle piccole oscillazioni. Con $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + \dots$ e $\alpha = 30^\circ$ (angolo tra la direzione del moto, lungo il piano, e la coordinata orizzontale $x$ ):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{2\cdot 333{,}3\cdot\cos^2 30^\circ}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{500}} = 2\pi\cdot 0{,}1$

$\ev{T \approx 0{,}628\;\mathrm{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Energia potenziale gravitazionale · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke · Forze conservative Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni · Lettura dei grafici · Scomposizione sul piano inclinato · Impostazione simbolica Oggetti: Piano inclinato · Molla · Blocco

Problem

A block ( $m = 5\;\mathrm{kg}$ ) is attached to a spring ( $K = 500\;\mathrm{N/m}$ , $\ell_0 = 5\;\mathrm{m}$ ) on a $30^\circ$ inclined plane $10\;\mathrm{m}$ high. Using the horizontal base as the coordinate $x$ , find: (a) the equilibrium point; (b) the turning points for $E_\text{mech} = 2000\;\mathrm{J}$ ; (c) the maximum speed; (d) the period of small oscillations. Hint: write $E_\text{pot}(x)$ as a parabola in $x$ .

Solution

Key hint: write $E_\text{pot}(x)$ as a parabola. The coordinate $x$ is the horizontal projection of the block’s position (measured from the base of the plane). If $d$ is the distance travelled along the plane, then $x = d\cos 30^\circ$ , i.e. $d = x/\cos 30^\circ = 1{,}1547\,x$ .

Gravitational potential energy (reference at the base, $h = d\sin 30^\circ = x\tan 30^\circ$ ):

$E_\text{pot,g} = mg\,x\tan 30^\circ = 5\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5774\,x = 28{,}3\,x$

Elastic potential energy (spring deformation $d - \ell_0 = 1{,}1547\,x - 5$ ):

$E_\text{pot,m} = \tfrac{1}{2}K\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 250\,(1{,}1547\,x - 5)^2 = 333{,}3\,x^2 - 2886{,}8\,x + 6250$

Adding these gives the parabola of the potential energy:

$E_\text{pot}(x) = 333{,}3\,x^2 - 2858{,}4\,x + 6250 \qquad (a = 333{,}3,\ b = -2858{,}4,\ c = 6250)$

(a) Equilibrium point — vertex of the parabola ( $x_\text{eq} = -b/2a$ ):

$\ev{x_\text{eq} = \frac{2858{,}4}{2\cdot 333{,}3} \approx 4{,}29\;\mathrm{m}}$

The minimum of the potential energy is $E_\text{pot,min} = c - \dfrac{b^2}{4a} \approx 6250 - 6128 \approx 122\;\mathrm{J}$ .

(b) Turning points for $E_\text{mech} = 2000\;\mathrm{J}$ — these are the points where $E_\text{pot}(x) = E_\text{mech}$ , i.e. $E_\text{kin} = 0$ :

$333{,}3\,(x - 4{,}29)^2 + 122 = 2000 \quad\Rightarrow\quad (x - 4{,}29)^2 = \frac{1878}{333{,}3} = 5{,}63$

$x - 4{,}29 = \pm 2{,}37 \quad\Rightarrow\quad \ev{x_1 \approx 1{,}91\;\mathrm{m}, \quad x_2 \approx 6{,}66\;\mathrm{m}}$

(c) Maximum speed — occurs at equilibrium, where kinetic energy is maximum:

$E_\text{kin,max} = E_\text{mech} - E_\text{pot,min} = 2000 - 122 = 1878\;\mathrm{J}$

$\tfrac{1}{2}m\,v_\text{max}^2 = 1878 \quad\Rightarrow\quad v_\text{max} = \sqrt{\frac{2\cdot 1878}{5}} = \sqrt{751{,}2}$

$\ev{v_\text{max} \approx 27{,}4\;\mathrm{m/s}}$

(d) Period of small oscillations. With $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + \dots$ and $\alpha = 30^\circ$ (the angle between the direction of motion, along the plane, and the horizontal coordinate $x$ ):

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{2\cdot 333{,}3\cdot\cos^2 30^\circ}} = 2\pi\sqrt{\frac{5}{500}} = 2\pi\cdot 0{,}1$

$\ev{T \approx 0{,}628\;\mathrm{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Work and energy Concetti: Elastic potential energy · Gravitational potential energy · Conservation of mechanical energy · Elastic force and Hooke’s law · Conservative forces Competenze: Small-oscillation approximation · Reading graphs · Resolving forces on an inclined plane · Symbolic setup Oggetti: Inclined plane · Spring · Block

Testo

Una palla ( $8\;\mathrm{kg}$ ) parte da ferma compressa contro una molla (stato A); la molla la lancia lungo un piano inclinato con attrito (stato B); la palla sale e decelera fino a C; poi decolla e prosegue in volo libero fino a D. Imposta, transizione per transizione, la tabella energetica: indica per ciascun passaggio quali colonne servono ( $E_\text{cin}$ , $E_\text{pot,g}$ , $E_\text{pot,m}$ , $E_\text{term}$ ) e perché.

Soluzione

Principio guida. Si applica la conservazione dell’energia stato per stato: i valori finali di una transizione diventano i valori iniziali della successiva. In ogni tabella si tengono solo le colonne che effettivamente cambiano o intervengono in quella transizione; le altre sono nulle o costanti e si possono omettere.

Transizione A → B (la molla lancia la palla).

Colonne necessarie: $E_\text{pot,m}$ , $E_\text{cin}$ , $E_\text{pot,g}$ .

In A la palla è ferma ( $E_\text{cin} = 0$ ) e la molla è compressa: tutta l’energia è $E_\text{pot,m}$ . Rilasciando, la molla si scarica ( $E_\text{pot,m} \to 0$ ) e l’energia diventa cinetica; se la palla comincia già a salire lungo la rampa compare anche $E_\text{pot,g}$ .

Questa transizione introduce la colonna $E_\text{pot,m}$ (energia elastica), che nelle successive non serve più (la palla ha lasciato la molla).

$E_\text{pot,m}^A = E_\text{cin}^B + E_\text{pot,g}^B$

Transizione B → C (salita sulla rampa con attrito).

Colonne necessarie: $E_\text{cin}$ , $E_\text{pot,g}$ , $E_\text{term}$ .

La palla sale e decelera: $E_\text{cin}$ si converte in $E_\text{pot,g}$ (aumento di quota) e in parte è dissipata dall’attrito.

Questa transizione aggiunge la colonna $E_\text{term}$ : l’attrito compie lavoro negativo e trasferisce energia in calore, $E_\text{term} = F_a\cdot\Delta s$ . La molla non è più in gioco, quindi $E_\text{pot,m}$ sparisce.

$E_\text{cin}^B + E_\text{pot,g}^B = E_\text{cin}^C + E_\text{pot,g}^C + E_\text{term}$

Transizione C → D (decollo e volo libero).

Colonne necessarie: solo $E_\text{cin}$ e $E_\text{pot,g}$ .

In volo non c’è più contatto con la rampa: niente attrito (nessuna nuova $E_\text{term}$ ) e niente molla. L’energia meccanica si conserva puramente: la palla scambia $E_\text{cin}$ e $E_\text{pot,g}$ lungo la parabola di volo.

$E_\text{cin}^C + E_\text{pot,g}^C = E_\text{cin}^D + E_\text{pot,g}^D$

Sintesi — quali colonne per ogni transizione:

Transizione $E_\text{cin}$ $E_\text{pot,g}$ $E_\text{pot,m}$ $E_\text{term}$
A → B (molla) ✓ ✓ ✓ (introdotta) —
B → C (attrito) ✓ ✓ — ✓ (aggiunta)
C → D (volo) ✓ ✓ — —

$\ev{\text{A}\!\to\!\text{B: introduce } E_\text{pot,m};\ \ \text{B}\!\to\!\text{C: aggiunge } E_\text{term};\ \ \text{C}\!\to\!\text{D: solo } E_\text{cin}+E_\text{pot,g}}$

Il cuore del problema è la disciplina contabile: ogni colonna appare solo quando la relativa interazione è attiva, e l’energia dissipata in $E_\text{term}$ non torna più indietro (trasformazione irreversibile).

Transizione	$E_\text{cin}$	$E_\text{pot,g}$	$E_\text{pot,m}$	$E_\text{term}$
A → B (molla)	✓	✓	✓ (introdotta)	—
B → C (attrito)	✓	✓	—	✓ (aggiunta)
C → D (volo)	✓	✓	—	—

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Uso della tabella energetica · Bilancio energetico a bolle Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Molla · Piano inclinato

Problem

A ball ( $8\;\mathrm{kg}$ ) starts from rest compressed against a spring (state A); the spring launches it along an inclined plane with friction (state B); the ball goes up and decelerates until C; then it takes off and continues in free flight up to D. Set up, transition by transition, the energy table: for each step state which columns are needed ( $E_\text{kin}$ , $E_\text{pot,g}$ , $E_\text{pot,m}$ , $E_\text{therm}$ ) and why.

Solution

Guiding principle. We apply energy conservation state by state: the final values of one transition become the initial values of the next. In each table we keep only the columns that actually change or come into play in that transition; the others are zero or constant and can be omitted.

Transition A → B (the spring launches the ball).

Columns needed: $E_\text{pot,m}$ , $E_\text{kin}$ , $E_\text{pot,g}$ .

In A the ball is at rest ( $E_\text{kin} = 0$ ) and the spring is compressed: all the energy is $E_\text{pot,m}$ . On release, the spring unloads ( $E_\text{pot,m} \to 0$ ) and the energy becomes kinetic; if the ball already starts climbing the ramp, $E_\text{pot,g}$ also appears.

This transition introduces the column $E_\text{pot,m}$ (elastic energy), which is no longer needed in the following ones (the ball has left the spring).

$E_\text{pot,m}^A = E_\text{kin}^B + E_\text{pot,g}^B$

Transition B → C (climbing the ramp with friction).

Columns needed: $E_\text{kin}$ , $E_\text{pot,g}$ , $E_\text{therm}$ .

The ball rises and decelerates: $E_\text{kin}$ converts into $E_\text{pot,g}$ (rise in height) and is partly dissipated by friction.

This transition adds the column $E_\text{therm}$ : friction does negative work and transfers energy into heat, $E_\text{therm} = F_a\cdot\Delta s$ . The spring is no longer involved, so $E_\text{pot,m}$ disappears.

$E_\text{kin}^B + E_\text{pot,g}^B = E_\text{kin}^C + E_\text{pot,g}^C + E_\text{therm}$

Transition C → D (take-off and free flight).

Columns needed: only $E_\text{kin}$ and $E_\text{pot,g}$ .

In flight there is no longer contact with the ramp: no friction (no new $E_\text{therm}$ ) and no spring. Mechanical energy is purely conserved: the ball exchanges $E_\text{kin}$ and $E_\text{pot,g}$ along the flight parabola.

$E_\text{kin}^C + E_\text{pot,g}^C = E_\text{kin}^D + E_\text{pot,g}^D$

Summary — which columns for each transition:

Transition $E_\text{kin}$ $E_\text{pot,g}$ $E_\text{pot,m}$ $E_\text{therm}$
A → B (spring) ✓ ✓ ✓ (introduced) —
B → C (friction) ✓ ✓ — ✓ (added)
C → D (flight) ✓ ✓ — —

$\ev{\text{A}\!\to\!\text{B: introduces } E_\text{pot,m};\ \ \text{B}\!\to\!\text{C: adds } E_\text{therm};\ \ \text{C}\!\to\!\text{D: only } E_\text{kin}+E_\text{pot,g}}$

The heart of the problem is bookkeeping discipline: each column appears only when the corresponding interaction is active, and the energy dissipated into $E_\text{therm}$ never comes back (an irreversible transformation).

Transition	$E_\text{kin}$	$E_\text{pot,g}$	$E_\text{pot,m}$	$E_\text{therm}$
A → B (spring)	✓	✓	✓ (introduced)	—
B → C (friction)	✓	✓	—	✓ (added)
C → D (flight)	✓	✓	—	—

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Argomenti: Work and energy Concetti: Kinetic energy · Gravitational potential energy · Elastic potential energy · Thermal energy from friction · Conservation of mechanical energy Competenze: Using the energy table · Bubble-diagram energy balance Metodi: State-by-state energy table Oggetti: Spring · Inclined plane

Testo

Una persona ( $80\;\mathrm{kg}$ ) si lancia da una piattaforma posta a $100\;\mathrm{m}$ di altezza con un elastico ( $K = 16\;\mathrm{N/m}$ , $\ell_0 = 0$ ). A che profondità si trova al punto più basso del salto? Imposta il bilancio fra energia potenziale gravitazionale ed elastica e usa il vincolo geometrico $h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$ .

Soluzione

Impostazione. Definiamo due stati:

Stato A (partenza): la persona è ferma sulla piattaforma, $v = 0$ , elastico a riposo ( $\ell_0 = 0$ , quindi $E_\text{pot,m} = 0$ ).

Stato B (punto più basso): la persona è di nuovo ferma ( $v = 0$ , massima estensione dell’elastico), l’elastico è teso di $\ell_B$ e la persona si trova a quota $h_B$ dal suolo.

Poiché $\ell_0 = 0$ , l’elastico comincia a tendersi appena la persona lascia la piattaforma: la sua lunghezza al punto più basso coincide con il tratto di caduta. Il vincolo geometrico lega le due quote:

$h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$

Bilancio energetico (nessun attrito, $v = 0$ in A e in B). La caduta gravitazionale converte tutta la sua energia in energia elastica dell’elastico. Prendendo il suolo come riferimento:

$mg\cdot(100) = mg\cdot h_B + \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Poiché $100 - h_B = \ell_B$ , il termine gravitazionale netto è $mg\,\ell_B$ :

$mg\,\ell_B = \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Equazione di secondo grado in $\ell_B$ :

$\tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2 - mg\,\ell_B = 0 \quad\Rightarrow\quad \ell_B\left(\tfrac{1}{2}K\,\ell_B - mg\right) = 0$

La soluzione $\ell_B = 0$ è quella di partenza; quella fisica è:

$\ell_B = \frac{2mg}{K} = \frac{2\cdot 80\cdot 9{,}81}{16} = \frac{1569{,}6}{16} \approx 98{,}1\;\mathrm{m}$

Risultato. L’elastico si tende di circa $98{,}1\;\mathrm{m}$ : il punto più basso è quindi a

$\ev{\ell_B \approx 98{,}1\;\mathrm{m}\ \text{sotto la piattaforma}, \qquad h_B = 100 - 98{,}1 \approx 1{,}9\;\mathrm{m}\ \text{dal suolo}}$

La persona si ferma appena $1{,}9\;\mathrm{m}$ sopra il terreno: un salto ben tarato. Si noti che nel punto più basso la velocità è nulla ma l’accelerazione no — la forza elastica ( $K\ell_B \approx 1570\;\mathrm{N}$ ) supera il peso ( $mg \approx 785\;\mathrm{N}$ ), quindi la persona viene richiamata verso l’alto.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Problem

A person ( $80\;\mathrm{kg}$ ) jumps from a platform $100\;\mathrm{m}$ high with a bungee cord ( $K = 16\;\mathrm{N/m}$ , $\ell_0 = 0$ ). How deep is the lowest point of the jump? Set up the balance between gravitational and elastic potential energy and use the geometric constraint $h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$ .

Solution

Setup. We define two states:

State A (start): the person is at rest on the platform, $v = 0$ , the cord is slack ( $\ell_0 = 0$ , so $E_\text{pot,m} = 0$ ).

State B (lowest point): the person is again at rest ( $v = 0$ , maximum stretch of the cord), the cord is stretched by $\ell_B$ and the person is at height $h_B$ from the ground.

Since $\ell_0 = 0$ , the cord begins to stretch as soon as the person leaves the platform: its length at the lowest point coincides with the distance fallen. The geometric constraint links the two heights:

$h_B + \ell_B = 100\;\mathrm{m}$

Energy balance (no friction, $v = 0$ at both A and B). The gravitational fall converts all of its energy into elastic energy of the cord. Taking the ground as reference:

$mg\cdot(100) = mg\cdot h_B + \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Since $100 - h_B = \ell_B$ , the net gravitational term is $mg\,\ell_B$ :

$mg\,\ell_B = \tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2$

Quadratic equation in $\ell_B$ :

$\tfrac{1}{2}K\,\ell_B^2 - mg\,\ell_B = 0 \quad\Rightarrow\quad \ell_B\left(\tfrac{1}{2}K\,\ell_B - mg\right) = 0$

The solution $\ell_B = 0$ is the starting one; the physical one is:

$\ell_B = \frac{2mg}{K} = \frac{2\cdot 80\cdot 9{,}81}{16} = \frac{1569{,}6}{16} \approx 98{,}1\;\mathrm{m}$

Result. The cord stretches by about $98{,}1\;\mathrm{m}$ : the lowest point is therefore at

$\ev{\ell_B \approx 98{,}1\;\mathrm{m}\ \text{below the platform}, \qquad h_B = 100 - 98{,}1 \approx 1{,}9\;\mathrm{m}\ \text{above the ground}}$

The person stops just $1{,}9\;\mathrm{m}$ above the ground: a well-tuned jump. Note that at the lowest point the velocity is zero but the acceleration is not — the elastic force ( $K\ell_B \approx 1570\;\mathrm{N}$ ) exceeds the weight ( $mg \approx 785\;\mathrm{N}$ ), so the person is pulled back upwards.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Gravitational potential energy · Elastic potential energy · Conservation of mechanical energy · Elastic force and Hooke’s law Competenze: Conservation of energy · Symbolic setup Oggetti: Spring

Testo

Un pallone di massa $m = 0{,}40\;\mathrm{kg}$ è calciato a $v = 20\;\mathrm{m/s}$ . Calcola la sua energia cinetica.

Soluzione

L’energia cinetica di un corpo di massa $m$ che si muove con velocità di modulo $v$ è $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ Sostituendo i dati: $E_k = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\;\mathrm{kg}\cdot (20\;\mathrm{m/s})^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 400\;\mathrm{J}$ $\ev{E_k = 80\;\mathrm{J}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Blocco

Problem

A ball of mass $m = 0{,}40\;\mathrm{kg}$ is kicked at $v = 20\;\mathrm{m/s}$ . Calculate its kinetic energy.

Solution

The kinetic energy of a body of mass $m$ moving with speed $v$ is $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ Substituting the data: $E_k = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\;\mathrm{kg}\cdot (20\;\mathrm{m/s})^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}40\cdot 400\;\mathrm{J}$ $\ev{E_k = 80\;\mathrm{J}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Kinetic energy Skills: Symbolic setup Objects: Block

Testo

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta: (a) il lavoro di una forza perpendicolare allo spostamento è sempre nullo; (b) l’energia cinetica può essere negativa; (c) se la risultante delle forze è nulla, il lavoro totale è nullo; (d) due oggetti con la stessa quantità di moto hanno sempre la stessa energia cinetica.

Soluzione

Il lavoro di una forza costante è $L = F\,s\,\cos\theta$ , dove $\theta$ è l’angolo tra forza e spostamento; l’energia cinetica è $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ .

(a) VERO. Se la forza è perpendicolare allo spostamento, $\theta = 90^\circ$ e $\cos 90^\circ = 0$ , quindi $L = 0$ . È il caso, per esempio, della forza centripeta in un moto circolare uniforme o della forza normale su un piano orizzontale: non compiono lavoro.

(b) FALSO. L’energia cinetica è $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ : massa positiva e quadrato della velocità non negativo danno sempre $E_k \geq 0$ . Non può essere negativa.

(c) VERO. Se la risultante $\vv{F}$ è nulla, il lavoro totale è quello della risultante, $L_\text{tot} = \vv{F}\cdot\vv{s} = 0$ . Coerentemente, per il teorema dell’energia cinetica $L_\text{tot} = \Delta E_k = 0$ : senza forza netta la velocità (in modulo) non cambia.

(d) FALSO. Con quantità di moto $p = mv$ si ha $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{p^2}{2m}$ . A parità di $p$ , l’energia cinetica dipende dalla massa: l’oggetto più leggero ha energia cinetica maggiore. Stessa $p$ non implica stessa $E_k$ .

$\ev{\text{(a) V}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) V}\quad\text{(d) F}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

State whether the following statements are true or false, justifying your answer: (a) the work done by a force perpendicular to the displacement is always zero; (b) kinetic energy can be negative; (c) if the resultant of the forces is zero, the total work is zero; (d) two objects with the same momentum always have the same kinetic energy.

Solution

The work done by a constant force is $L = F\,s\,\cos\theta$ , where $\theta$ is the angle between the force and the displacement; kinetic energy is $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ .

(a) TRUE. If the force is perpendicular to the displacement, $\theta = 90^\circ$ and $\cos 90^\circ = 0$ , so $L = 0$ . This is the case, for example, of the centripetal force in uniform circular motion or of the normal force on a horizontal plane: they do no work.

(b) FALSE. Kinetic energy is $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ : positive mass and a non-negative square of the speed always give $E_k \geq 0$ . It cannot be negative.

(c) TRUE. If the resultant $\vv{F}$ is zero, the total work is that of the resultant, $L_\text{tot} = \vv{F}\cdot\vv{s} = 0$ . Consistently, by the work-energy theorem $L_\text{tot} = \Delta E_k = 0$ : with no net force the speed (in magnitude) does not change.

(d) FALSE. With momentum $p = mv$ we have $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{p^2}{2m}$ . For equal $p$ , the kinetic energy depends on the mass: the lighter object has greater kinetic energy. Equal $p$ does not imply equal $E_k$ .

$\ev{\text{(a) T}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) T}\quad\text{(d) F}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Work done by a force · Kinetic energy Skills: Ranking reasoning

Testo

Un blocco di massa $m = 2{,}0\;\mathrm{kg}$ scivola senza attrito lungo un piano inclinato partendo da fermo da un’altezza $h = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . Calcola la velocità del blocco alla base del piano usando la conservazione dell’energia meccanica.

Soluzione

Il piano è liscio, quindi l’energia meccanica si conserva: l’energia potenziale gravitazionale iniziale si trasforma tutta in energia cinetica alla base. $E_\text{mecc,iniziale} = E_\text{mecc,finale}$ Partendo da fermo ( $E_k = 0$ ) alla quota $h$ e arrivando alla base (quota zero): $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ La massa si semplifica: la velocità finale non dipende da $m$ . $v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m}} = \sqrt{39{,}2}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Piano inclinato

Problem

A block of mass $m = 2{,}0\;\mathrm{kg}$ slides without friction down an incline, starting from rest at a height $h = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . Calculate the block’s speed at the bottom of the incline using conservation of mechanical energy.

Solution

The plane is frictionless, so mechanical energy is conserved: the initial gravitational potential energy is entirely converted into kinetic energy at the bottom. $E_\text{mecc,iniziale} = E_\text{mecc,finale}$ Starting from rest ( $E_k = 0$ ) at height $h$ and arriving at the bottom (height zero): $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ The mass cancels: the final speed does not depend on $m$ . $v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m}} = \sqrt{39{,}2}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy Skills: Conservation of energy Objects: Inclined plane

Testo

Una molla di costante $k = 250\;\mathrm{N/m}$ viene compressa orizzontalmente da un blocco di massa $m = 0{,}50\;\mathrm{kg}$ che viaggia a $v = 3{,}0\;\mathrm{m/s}$ . Trascurando l’attrito, trova la massima compressione della molla.

Soluzione

Alla massima compressione il blocco è momentaneamente fermo: tutta l’energia cinetica iniziale si è trasformata in energia potenziale elastica della molla. $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\,k\,x^2$ Ricavo la compressione $x$ : $x = v\,\sqrt{\frac{m}{k}} = 3{,}0\;\mathrm{m/s}\cdot\sqrt{\frac{0{,}50\;\mathrm{kg}}{250\;\mathrm{N/m}}} = 3{,}0\cdot\sqrt{2{,}0\cdot 10^{-3}}\;\mathrm{m}$ $x = 3{,}0\cdot 0{,}0447\;\mathrm{m}$ $\ev{x \approx 0{,}14\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Problem

A spring of constant $k = 250\;\mathrm{N/m}$ is compressed horizontally by a block of mass $m = 0{,}50\;\mathrm{kg}$ travelling at $v = 3{,}0\;\mathrm{m/s}$ . Neglecting friction, find the maximum compression of the spring.

Solution

At maximum compression the block is momentarily at rest: all the initial kinetic energy has been converted into elastic potential energy of the spring. $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\,k\,x^2$ Solving for the compression $x$ : $x = v\,\sqrt{\frac{m}{k}} = 3{,}0\;\mathrm{m/s}\cdot\sqrt{\frac{0{,}50\;\mathrm{kg}}{250\;\mathrm{N/m}}} = 3{,}0\cdot\sqrt{2{,}0\cdot 10^{-3}}\;\mathrm{m}$ $x = 3{,}0\cdot 0{,}0447\;\mathrm{m}$ $\ev{x \approx 0{,}14\;\mathrm{m}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Elastic potential energy · Conservation of mechanical energy Skills: Conservation of energy Objects: Spring

Testo

Un ascensore di massa complessiva $500\;\mathrm{kg}$ (cabina + passeggeri) sale a velocità costante di $1{,}2\;\mathrm{m/s}$ . Calcola la potenza meccanica erogata dal motore, trascurando gli attriti.

Soluzione

A velocità costante l’accelerazione è nulla, quindi la forza del motore bilancia esattamente il peso: $F = m\,g$ . La potenza meccanica è forza per velocità: $P = F\,v = m\,g\,v$ Sostituendo i dati: $P = 500\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}2\;\mathrm{m/s} = 5880\;\mathrm{W}$ $\ev{P \approx 5{,}9\cdot 10^3\;\mathrm{W}}$

Cioè circa $5{,}9\;\mathrm{kW}$ : il motore deve compiere ogni secondo il lavoro necessario a sollevare $500\;\mathrm{kg}$ di $1{,}2\;\mathrm{m}$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza · Lavoro di una forza Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Ascensore

Problem

A lift of total mass $500\;\mathrm{kg}$ (cabin + passengers) rises at a constant speed of $1{,}2\;\mathrm{m/s}$ . Calculate the mechanical power delivered by the motor, neglecting friction.

Solution

At constant speed the acceleration is zero, so the motor’s force exactly balances the weight: $F = m\,g$ . Mechanical power is force times speed: $P = F\,v = m\,g\,v$ Substituting the data: $P = 500\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 1{,}2\;\mathrm{m/s} = 5880\;\mathrm{W}$ $\ev{P \approx 5{,}9\cdot 10^3\;\mathrm{W}}$

That is roughly $5{,}9\;\mathrm{kW}$ : each second the motor must do the work needed to lift $500\;\mathrm{kg}$ by $1{,}2\;\mathrm{m}$ .

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Topics: Work and energy Concepts: Power · Work done by a force Skills: Symbolic setup Objects: Lift

Testo

Il grafico della componente $F_x$ di una forza applicata a un corpo in funzione della posizione $x$ ha la forma di un triangolo con base da $x = 0$ a $x = 4{,}0\;\mathrm{m}$ e altezza massima $F_{\max} = 10\;\mathrm{N}$ in $x = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . Calcola il lavoro compiuto dalla forza tra $x = 0$ e $x = 4{,}0\;\mathrm{m}$ e spiega il metodo usato.

Soluzione

Quando la forza varia con la posizione, il lavoro è l’area sotto la curva $F_x(x)$ : $L = \int_0^{x_f} F_x\,\dd x = \text{area sotto il grafico}$ Qui il grafico è un triangolo di base $b = 4{,}0\;\mathrm{m}$ (da $x=0$ a $x=4{,}0\;\mathrm{m}$ ) e altezza $F_{\max} = 10\;\mathrm{N}$ . L’area del triangolo è $L = \frac{1}{2}\,b\,F_{\max} = \frac{1}{2}\cdot 4{,}0\;\mathrm{m}\cdot 10\;\mathrm{N}$ $\ev{L = 20\;\mathrm{J}}$

Il metodo dell’area vale anche quando la forza cresce e poi decresce (come qui): basta calcolare l’area geometrica racchiusa tra la curva e l’asse $x$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza Competenze: Lettura dei grafici

Problem

The graph of the component $F_x$ of a force applied to a body, as a function of position $x$ , has the shape of a triangle with base from $x = 0$ to $x = 4{,}0\;\mathrm{m}$ and maximum height $F_{\max} = 10\;\mathrm{N}$ at $x = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . Calculate the work done by the force between $x = 0$ and $x = 4{,}0\;\mathrm{m}$ and explain the method used.

Solution

When the force varies with position, the work is the area under the curve $F_x(x)$ : $L = \int_0^{x_f} F_x\,\dd x = \text{area under the graph}$ Here the graph is a triangle with base $b = 4{,}0\;\mathrm{m}$ (from $x=0$ to $x=4{,}0\;\mathrm{m}$ ) and height $F_{\max} = 10\;\mathrm{N}$ . The area of the triangle is $L = \frac{1}{2}\,b\,F_{\max} = \frac{1}{2}\cdot 4{,}0\;\mathrm{m}\cdot 10\;\mathrm{N}$ $\ev{L = 20\;\mathrm{J}}$

The area method also holds when the force increases and then decreases (as here): one simply has to compute the geometric area enclosed between the curve and the $x$ -axis.

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Topics: Work and energy Concepts: Work done by a force Skills: Reading graphs

Testo

Stima l’energia cinetica di un’automobile utilitaria che procede a $50\;\mathrm{km/h}$ in città. Confrontala con l’energia potenziale gravitazionale che avrebbe la stessa auto sollevata a un’altezza di $15\;\mathrm{m}$ .

Soluzione

Dati stimati. Massa di un’utilitaria: $m \approx 1000\;\mathrm{kg}$ . Velocità: $v = 50\;\mathrm{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} \approx 13{,}9\;\mathrm{m/s}$ .

Energia cinetica. $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\cdot 1000\;\mathrm{kg}\cdot (13{,}9\;\mathrm{m/s})^2 \approx 9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}$ $\ev{E_k \sim 10^5\;\mathrm{J}}$

Confronto con l’energia potenziale. Sollevata di $h = 15\;\mathrm{m}$ : $E_p = m\,g\,h = 1000\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 15\;\mathrm{m} \approx 1{,}5\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

I due valori sono dello stesso ordine di grandezza: viaggiare a $50\;\mathrm{km/h}$ immagazzina all’incirca la stessa energia che servirebbe per sollevare l’auto in cima a un palazzo di $\sim 5$ piani. Ecco perché frenare da quella velocità dissipa tanta energia (in calore) quanto un tuffo da $15\;\mathrm{m}$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Stime di Fermi

Problem

Estimate the kinetic energy of a small city car travelling at $50\;\mathrm{km/h}$ . Compare it with the gravitational potential energy the same car would have if lifted to a height of $15\;\mathrm{m}$ .

Solution

Estimated data. Mass of a small car: $m \approx 1000\;\mathrm{kg}$ . Speed: $v = 50\;\mathrm{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} \approx 13{,}9\;\mathrm{m/s}$ .

Kinetic energy. $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\cdot 1000\;\mathrm{kg}\cdot (13{,}9\;\mathrm{m/s})^2 \approx 9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}$ $\ev{E_k \sim 10^5\;\mathrm{J}}$

Comparison with potential energy. Lifted by $h = 15\;\mathrm{m}$ : $E_p = m\,g\,h = 1000\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 15\;\mathrm{m} \approx 1{,}5\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

The two values are of the same order of magnitude: travelling at $50\;\mathrm{km/h}$ stores roughly the same energy that would be needed to lift the car to the top of a building of about $5$ storeys. This is why braking from that speed dissipates as much energy (as heat) as a fall from $15\;\mathrm{m}$ .

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Topics: Work and energy Concepts: Kinetic energy · Gravitational potential energy Skills: Fermi estimates

Testo

Un blocco di massa $m = 3{,}0\;\mathrm{kg}$ viene spinto su un piano orizzontale da una forza costante $F = 20\;\mathrm{N}$ parallela al piano, per una distanza $d = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . Il coefficiente di attrito dinamico vale $\mu_d = 0{,}30$ . Usando il bilancio energetico, determina la velocità finale del blocco partendo da fermo.

Soluzione

Bilancio energetico. Il lavoro della forza applicata alimenta sia l’energia cinetica del blocco sia l’energia dissipata dall’attrito: $L_F = \Delta E_k + L_\text{attr}$ Forza di attrito. Sul piano orizzontale la normale bilancia il peso, $N = m\,g$ , quindi $F_a = \mu_d\,N = \mu_d\,m\,g = 0{,}30\cdot 3{,}0\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2} = 8{,}82\;\mathrm{N}$ Energia cinetica finale. Partendo da fermo, $\Delta E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ , e il lavoro netto è $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = (F - F_a)\,d = (20 - 8{,}82)\;\mathrm{N}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m} = 22{,}4\;\mathrm{J}$ Ricavo $v$ : $v = \sqrt{\frac{2\cdot 22{,}4\;\mathrm{J}}{3{,}0\;\mathrm{kg}}} = \sqrt{14{,}9}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 3{,}9\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Bilancio energetico a bolle Oggetti: Blocco

Problem

A block of mass $m = 3{,}0\;\mathrm{kg}$ is pushed across a horizontal surface by a constant force $F = 20\;\mathrm{N}$ parallel to the surface, over a distance $d = 2{,}0\;\mathrm{m}$ . The coefficient of kinetic friction is $\mu_d = 0{,}30$ . Using the energy balance, determine the block’s final speed, starting from rest.

Solution

Energy balance. The work of the applied force feeds both the block’s kinetic energy and the energy dissipated by friction: $L_F = \Delta E_k + L_\text{attr}$ Friction force. On the horizontal surface the normal force balances the weight, $N = m\,g$ , so $F_a = \mu_d\,N = \mu_d\,m\,g = 0{,}30\cdot 3{,}0\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2} = 8{,}82\;\mathrm{N}$ Final kinetic energy. Starting from rest, $\Delta E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ , and the net work is $\frac{1}{2}\,m\,v^2 = (F - F_a)\,d = (20 - 8{,}82)\;\mathrm{N}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m} = 22{,}4\;\mathrm{J}$ Solving for $v$ : $v = \sqrt{\frac{2\cdot 22{,}4\;\mathrm{J}}{3{,}0\;\mathrm{kg}}} = \sqrt{14{,}9}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 3{,}9\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Thermal energy from friction · Kinetic friction Skills: Bubble-diagram energy balance Objects: Block

Testo

Dimostra che la velocità minima che una pallina (puntiforme) deve avere nel punto più basso di un giro della morte circolare di raggio $R$ per completare il giro in assenza di attrito vale $v = \sqrt{5gR}$ . Parti dalla condizione nel punto più alto.

Soluzione

Condizione nel punto più alto. Nel punto più alto dell’anello la pallina si stacca se la sola gravità non basta a fornire l’accelerazione centripeta. La condizione limite (contatto sul punto di annullarsi, forza normale $N = 0$ ) è che il peso faccia tutta la forza centripeta: $m\,g = \frac{m\,v_\text{alto}^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v_\text{alto}^2 = g\,R$ Questa è la minima velocità possibile in cima: sotto di essa la pallina cade staccandosi dalla pista.

Conservazione dell’energia tra il punto più basso (quota $0$ ) e il punto più alto (quota $2R$ ), assenza di attrito: $\frac{1}{2}\,m\,v_\text{basso}^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_\text{alto}^2 + m\,g\,(2R)$ Semplifico $m$ e sostituisco $v_\text{alto}^2 = gR$ : $v_\text{basso}^2 = v_\text{alto}^2 + 4gR = gR + 4gR = 5gR$ $\ev{v = \sqrt{5gR}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Giro della morte

Problem

Show that the minimum speed a (point-like) ball must have at the lowest point of a circular loop-the-loop of radius $R$ , in order to complete the loop with no friction, is $v = \sqrt{5gR}$ . Start from the condition at the highest point.

Solution

Condition at the highest point. At the highest point of the loop the ball leaves the track if gravity alone is not enough to supply the centripetal acceleration. The limiting condition (contact about to vanish, normal force $N = 0$ ) is that the weight alone provides the entire centripetal force: $m\,g = \frac{m\,v_\text{alto}^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v_\text{alto}^2 = g\,R$ This is the smallest possible speed at the top: below it the ball falls away from the track.

Conservation of energy between the lowest point (height $0$ ) and the highest point (height $2R$ ), with no friction: $\frac{1}{2}\,m\,v_\text{basso}^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_\text{alto}^2 + m\,g\,(2R)$ Cancel $m$ and substitute $v_\text{alto}^2 = gR$ : $v_\text{basso}^2 = v_\text{alto}^2 + 4gR = gR + 4gR = 5gR$ $\ev{v = \sqrt{5gR}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy Skills: Conservation of energy Objects: Loop-the-loop

Testo

Due ragazzi spingono una cassa su un pavimento con attrito: il primo la fa percorrere $2\;\mathrm{m}$ a velocità costante, il secondo la fa percorrere $4\;\mathrm{m}$ accelerando uniformemente partendo da fermo. Discuti, per ciascun caso, quale lavoro è compiuto dalla forza di spinta, quale dall’attrito e come si ripartisce l’energia scambiata.

Soluzione

Vale sempre il bilancio energetico $L_\text{spinta} + L_\text{attr} = \Delta E_\text{cin}$ , con $L_\text{attr} < 0$ (l’attrito si oppone al moto) e $|L_\text{attr}| = F_a\cdot d$ energia che diventa calore.

Caso 1 — velocità costante ( $d = 2\;\mathrm{m}$ ). Se la velocità è costante l’energia cinetica non cambia: $\Delta E_\text{cin} = 0$ . Quindi $L_\text{spinta} + L_\text{attr} = 0 \quad\Rightarrow\quad L_\text{spinta} = |L_\text{attr}| = F_a\cdot 2\;\mathrm{m}$ Il ragazzo deve spingere con forza esattamente pari all’attrito. Tutta l’energia che spende si trasforma in energia termica (calore per attrito tra cassa e pavimento): nulla resta come energia di moto.

Caso 2 — moto accelerato da fermo ( $d = 4\;\mathrm{m}$ ). Ora la cassa acquista velocità, quindi $\Delta E_\text{cin} > 0$ . La spinta deve superare l’attrito: $L_\text{spinta} = |L_\text{attr}| + \Delta E_\text{cin} \quad\Rightarrow\quad L_\text{spinta} > |L_\text{attr}|$ L’energia spesa si ripartisce in due parti: una quota $|L_\text{attr}| = F_a\cdot 4\;\mathrm{m}$ diventa calore, l’eccedenza $\Delta E_\text{cin}$ diventa energia cinetica della cassa in moto.

$\ev{\text{Caso 1: tutta } L_\text{spinta}\to\text{calore};\quad \text{Caso 2: } L_\text{spinta}=|L_\text{attr}|+\Delta E_\text{cin}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Lavoro di una forza Competenze: Bilancio energetico a bolle Oggetti: Blocco

Problem

Two boys push a crate across a floor with friction: the first one moves it $2\;\mathrm{m}$ at constant speed, the second one moves it $4\;\mathrm{m}$ while accelerating uniformly from rest. Discuss, for each case, what work is done by the pushing force, what work is done by friction, and how the exchanged energy is distributed.

Solution

The energy balance $L_\text{spinta} + L_\text{attr} = \Delta E_\text{cin}$ always holds, with $L_\text{attr} < 0$ (friction opposes the motion) and $|L_\text{attr}| = F_a\cdot d$ the energy that becomes heat.

Case 1 — constant speed ( $d = 2\;\mathrm{m}$ ). If the speed is constant, kinetic energy does not change: $\Delta E_\text{cin} = 0$ . Hence $L_\text{spinta} + L_\text{attr} = 0 \quad\Rightarrow\quad L_\text{spinta} = |L_\text{attr}| = F_a\cdot 2\;\mathrm{m}$ The boy must push with a force exactly equal to friction. All the energy he spends is converted into thermal energy (heat from friction between crate and floor): none remains as energy of motion.

Case 2 — accelerated motion from rest ( $d = 4\;\mathrm{m}$ ). Now the crate gains speed, so $\Delta E_\text{cin} > 0$ . The push must exceed friction: $L_\text{spinta} = |L_\text{attr}| + \Delta E_\text{cin} \quad\Rightarrow\quad L_\text{spinta} > |L_\text{attr}|$ The energy spent is split into two parts: a share $|L_\text{attr}| = F_a\cdot 4\;\mathrm{m}$ becomes heat, while the surplus $\Delta E_\text{cin}$ becomes kinetic energy of the moving crate.

$\ev{\text{Case 1: all } L_\text{spinta}\to\text{heat};\quad \text{Case 2: } L_\text{spinta}=|L_\text{attr}|+\Delta E_\text{cin}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Thermal energy from friction · Work done by a force Skills: Bubble-diagram energy balance Objects: Block

Testo

Ranking. Quattro oggetti hanno le seguenti masse $m$ e velocità $v$ : (A) $m = 2\;\mathrm{kg}$ , $v = 3\;\mathrm{m/s}$ . (B) $m = 4\;\mathrm{kg}$ , $v = 1\;\mathrm{m/s}$ . (C) $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $v = 5\;\mathrm{m/s}$ . (D) $m = 3\;\mathrm{kg}$ , $v = \sqrt{6}\;\mathrm{m/s}$ . Ordina le energie cinetiche dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

Calcolo per ciascun oggetto $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ : $E_A = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^2 = 9\;\mathrm{J}$ $E_B = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2 = 2\;\mathrm{J}$ $E_C = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 5^2 = 12{,}5\;\mathrm{J}$ $E_D = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot (\sqrt{6})^2 = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9\;\mathrm{J}$ Confronto: $E_B = 2\;\mathrm{J}$ , $E_A = E_D = 9\;\mathrm{J}$ , $E_C = 12{,}5\;\mathrm{J}$ . Nota che A e D hanno la stessa energia cinetica, pur avendo masse e velocità diverse: la maggiore massa di D compensa la sua minore velocità. $\ev{E_B < E_A = E_D < E_C}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Ranking. Four objects have the following masses $m$ and speeds $v$ : (A) $m = 2\;\mathrm{kg}$ , $v = 3\;\mathrm{m/s}$ . (B) $m = 4\;\mathrm{kg}$ , $v = 1\;\mathrm{m/s}$ . (C) $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $v = 5\;\mathrm{m/s}$ . (D) $m = 3\;\mathrm{kg}$ , $v = \sqrt{6}\;\mathrm{m/s}$ . Rank the kinetic energies from smallest to largest.

Solution

Compute for each object $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ : $E_A = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^2 = 9\;\mathrm{J}$ $E_B = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1^2 = 2\;\mathrm{J}$ $E_C = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 5^2 = 12{,}5\;\mathrm{J}$ $E_D = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot (\sqrt{6})^2 = \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9\;\mathrm{J}$ Comparison: $E_B = 2\;\mathrm{J}$ , $E_A = E_D = 9\;\mathrm{J}$ , $E_C = 12{,}5\;\mathrm{J}$ . Note that A and D have the same kinetic energy, despite having different masses and speeds: D’s greater mass compensates for its smaller speed. $\ev{E_B < E_A = E_D < E_C}$

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Topics: Work and energy Concepts: Kinetic energy Skills: Ranking reasoning

Testo

Discesa della pallina. Una pallina è lasciata cadere lungo tre piste diverse tutte partenti dalla stessa altezza $h$ e terminanti allo stesso livello basso: (A) un piano inclinato liscio; (B) una pista curva a forma di “montagna russa”; (C) un salto libero in caduta verticale. In quale caso la pallina arriva a terra con velocità maggiore? Spiega sulla base della sola conservazione dell’energia meccanica.

Soluzione

In tutti e tre i casi non c’è attrito, quindi l’energia meccanica si conserva. La pallina parte da ferma dalla stessa quota $h$ e arriva alla stessa quota bassa, perciò la variazione di energia potenziale è identica: $\Delta E_p = m\,g\,h \quad\text{(uguale per A, B, C)}$ Questa energia si converte interamente in energia cinetica alla base: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh}$ Il risultato non dipende dalla forma della pista né dal percorso seguito: dipende solo dal dislivello $h$ . Quindi la pallina arriva a terra con la stessa velocità in tutti e tre i casi (A, B e C).

Attenzione: è uguale il modulo della velocità, non il tempo di percorrenza né la direzione di arrivo. La caduta verticale (C) è la più rapida, ma la velocità finale in modulo è identica. $\ev{v_A = v_B = v_C = \sqrt{2gh}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Piano inclinato

Problem

Descent of the ball. A ball is released along three different tracks, all starting from the same height $h$ and ending at the same low level: (A) a frictionless incline; (B) a curved “roller-coaster” track; (C) a free vertical fall. In which case does the ball reach the ground with the greatest speed? Explain based solely on conservation of mechanical energy.

Solution

In all three cases there is no friction, so mechanical energy is conserved. The ball starts from rest at the same height $h$ and reaches the same low level, so the change in potential energy is identical: $\Delta E_p = m\,g\,h \quad\text{(the same for A, B, C)}$ This energy is converted entirely into kinetic energy at the bottom: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh}$ The result does not depend on the shape of the track nor on the path followed: it depends only on the height drop $h$ . So the ball reaches the ground with the same speed in all three cases (A, B and C).

Note: it is the magnitude of the speed that is equal, not the time taken nor the direction of arrival. The vertical fall (C) is the fastest, but the final speed’s magnitude is identical. $\ev{v_A = v_B = v_C = \sqrt{2gh}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy Skills: Analysis of limiting cases and thought experiments Objects: Inclined plane

Testo

Il grafico in figura rappresenta la forza esercitata da una molla deformata di $x$ dalla sua lunghezza a riposo. Deduci la costante elastica e calcola il lavoro necessario per comprimere la molla da $x=0$ a $x = 0{,}12\;\mathrm{m}$ valutando l’area sotto la curva.

Soluzione

Costante elastica. Il grafico è una retta per l’origine: la molla segue la legge di Hooke $F = k\,x$ , e $k$ è la pendenza. Leggo un punto estremo: in $x = 12\;\mathrm{cm} = 0{,}12\;\mathrm{m}$ la forza vale $F = 24\;\mathrm{N}$ (l’altezza $4{,}8$ cade tra i segni $20$ e $25\;\mathrm{N}$ ). Quindi $k = \frac{F}{x} = \frac{24\;\mathrm{N}}{0{,}12\;\mathrm{m}} = 200\;\mathrm{N/m}$ $\ev{k \approx 200\;\mathrm{N/m}}$

Lavoro (area sotto la curva). Il lavoro per comprimere da $0$ a $x = 0{,}12\;\mathrm{m}$ è l’area del triangolo di base $x$ e altezza $F = k\,x$ : $W = \frac{1}{2}\,x\,F = \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\cdot 200\;\mathrm{N/m}\cdot (0{,}12\;\mathrm{m})^2$ $\ev{W \approx 1{,}4\;\mathrm{J}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Energia potenziale elastica Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

Problem

The graph shows the force exerted by a spring deformed by $x$ from its rest length. Deduce the spring constant and calculate the work needed to compress the spring from $x=0$ to $x = 0{,}12\;\mathrm{m}$ , evaluating the area under the curve.

Solution

Spring constant. The graph is a straight line through the origin: the spring follows Hooke’s law $F = k\,x$ , and $k$ is the slope. Reading off an endpoint: at $x = 12\;\mathrm{cm} = 0{,}12\;\mathrm{m}$ the force is $F = 24\;\mathrm{N}$ (the height $4{,}8$ falls between the $20$ and $25\;\mathrm{N}$ marks). So $k = \frac{F}{x} = \frac{24\;\mathrm{N}}{0{,}12\;\mathrm{m}} = 200\;\mathrm{N/m}$ $\ev{k \approx 200\;\mathrm{N/m}}$

Work (area under the curve). The work needed to compress from $0$ to $x = 0{,}12\;\mathrm{m}$ is the area of the triangle with base $x$ and height $F = k\,x$ : $W = \frac{1}{2}\,x\,F = \frac{1}{2}\,k\,x^2 = \frac{1}{2}\cdot 200\;\mathrm{N/m}\cdot (0{,}12\;\mathrm{m})^2$ $\ev{W \approx 1{,}4\;\mathrm{J}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Elastic force and Hooke’s law · Elastic potential energy Skills: Reading graphs Objects: Spring

Testo

Loop della morte. Una pallina parte da ferma in cima a una pista liscia di altezza $h$ e percorre un anello verticale di raggio $R$ , come in figura. Ricava la velocità nel punto più alto dell’anello e la condizione minima su $h$ affinché la pallina non si stacchi dalla pista.

Soluzione

Velocità nel punto più alto. La pista è liscia: l’energia meccanica si conserva. La pallina parte da ferma dalla quota $h$ ; il punto più alto dell’anello è alla quota $2R$ . Conservazione dell’energia tra partenza e cima dell’anello: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,(2R)$ Semplifico $m$ e ricavo $v$ : $v^2 = 2g\,(h - 2R) \quad\Rightarrow\quad \ev{v = \sqrt{2g(h-2R)}}$

Condizione minima su $h$ . Nel punto più alto la pallina resta a contatto con la pista finché la forza centripeta richiesta è almeno pari al peso. Il caso limite (normale $N=0$ ) è $m\,g = \frac{m\,v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v^2 \geq g\,R$ Sostituisco $v^2 = 2g(h-2R)$ : $2g\,(h - 2R) \geq g\,R \quad\Rightarrow\quad 2h - 4R \geq R \quad\Rightarrow\quad h \geq \frac{5R}{2}$ $\ev{h_\text{min} = \frac{5R}{2}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Giro della morte

Problem

Loop-the-loop. A ball starts from rest at the top of a frictionless track of height $h$ and travels around a vertical loop of radius $R$ , as shown in the figure. Derive the speed at the highest point of the loop and the minimum condition on $h$ for the ball not to leave the track.

Solution

Speed at the highest point. The track is frictionless: mechanical energy is conserved. The ball starts from rest at height $h$ ; the highest point of the loop is at height $2R$ . Conservation of energy between the start and the top of the loop: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,(2R)$ Cancel $m$ and solve for $v$ : $v^2 = 2g\,(h - 2R) \quad\Rightarrow\quad \ev{v = \sqrt{2g(h-2R)}}$

Minimum condition on $h$ . At the highest point the ball stays in contact with the track as long as the required centripetal force is at least equal to the weight. The limiting case (normal force $N=0$ ) is $m\,g = \frac{m\,v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v^2 \geq g\,R$ Substitute $v^2 = 2g(h-2R)$ : $2g\,(h - 2R) \geq g\,R \quad\Rightarrow\quad 2h - 4R \geq R \quad\Rightarrow\quad h \geq \frac{5R}{2}$ $\ev{h_\text{min} = \frac{5R}{2}}$

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Topics: Work and energy Concepts: Conservation of mechanical energy Skills: Conservation of energy Objects: Loop-the-loop

Testo

La collana di Stevin. Simon Stevin (1548–1620), un secolo prima di Newton, volle dimostrare che il moto perpetuo è impossibile e in tal modo trovò un metodo per analizzare i piani inclinati. Immaginò una catena di palline identiche, drappeggiata su un prisma formato da due piani inclinati di pendenza diversa, e lasciò che la parte inferiore pendesse simmetricamente come una ghirlanda. Domanda di Stevin: la catena si mette in moto da sola? E se no, qual è il rapporto tra i pesi sui due piani? Argomenta con il principio di conservazione dell’energia (cosa accadrebbe all’energia totale se la catena ruotasse di un anellino?) e ricava da qui la legge del piano inclinato. Spunto da (Povey 2015, §7.1).

Soluzione

L’argomento di Stevin (per assurdo). Supponiamo che la catena si metta in moto da sola, scivolando di un anellino attorno al prisma. Dopo lo spostamento la configurazione della catena è identica a quella di partenza: ogni pallina ha semplicemente preso il posto della successiva. Quindi l’altezza del baricentro non è cambiata e l’energia potenziale totale è la stessa di prima.

Se però la catena continuasse a girare, avremmo un movimento perpetuo che non consuma né restituisce energia: la catena acquisterebbe energia cinetica dal nulla, violando la conservazione dell’energia. È impossibile. Conclusione: la catena non si mette in moto, resta in equilibrio.

La ghirlanda inferiore. La parte che pende sotto il prisma è simmetrica: pesi uguali a sinistra e a destra si bilanciano e possono essere rimossi senza alterare l’equilibrio. Restano solo le palline appoggiate sui due piani inclinati, e queste da sole devono essere in equilibrio.

Legge del piano inclinato. Su un piano di lunghezza $\ell$ e inclinazione $\theta$ il numero di palline è proporzionale alla lunghezza, $n \propto \ell$ . La componente del peso di ciascuna pallina lungo il piano è $m\,g\,\sin\theta$ . La spinta totale lungo il piano vale quindi $F_\parallel \propto n\cdot m\,g\,\sin\theta \propto \ell\,\sin\theta$ Poiché i due piani condividono la stessa altezza $H$ del prisma, per ciascun lato $\ell\,\sin\theta = H$ (uguale per entrambi). Dunque le due spinte lungo i piani sono uguali e si bilanciano: equilibrio confermato.

Ne segue la legge del piano inclinato: la forza che tiene un peso lungo un piano liscio è proporzionale a $\sin\theta$ , e il numero di palline (cioè i pesi appoggiati) sta nel rapporto delle lunghezze dei piani: $\ev{\dfrac{W_1}{W_2} = \dfrac{\ell_1}{\ell_2} = \dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Piano inclinato

Problem

Stevin’s necklace. Simon Stevin (1548–1620), a century before Newton, wanted to show that perpetual motion is impossible, and in doing so found a method for analysing inclined planes. He imagined a chain of identical balls, draped over a prism formed by two inclined planes of different slope, letting the lower part hang symmetrically like a garland. Stevin’s question: does the chain set itself in motion? If not, what is the ratio between the weights on the two planes? Argue using the principle of conservation of energy (what would happen to the total energy if the chain rotated by one bead?) and derive from this the law of the inclined plane. Adapted from (Povey 2015, §7.1).

Solution

Stevin’s argument (by contradiction). Suppose the chain sets itself in motion, sliding by one bead around the prism. After the shift the configuration of the chain is identical to the starting one: each ball has simply taken the place of the next. So the height of the centre of mass has not changed, and the total potential energy is the same as before.

But if the chain kept turning, we would have perpetual motion that neither consumes nor returns energy: the chain would gain kinetic energy from nothing, violating conservation of energy. That is impossible. Conclusion: the chain does not set itself in motion, it stays in equilibrium.

The lower garland. The part hanging below the prism is symmetric: equal weights on the left and right balance each other and can be removed without altering the equilibrium. Only the balls resting on the two inclined planes remain, and these alone must be in equilibrium.

Law of the inclined plane. On a plane of length $\ell$ and inclination $\theta$ the number of balls is proportional to the length, $n \propto \ell$ . The component of each ball’s weight along the plane is $m\,g\,\sin\theta$ . The total push along the plane is therefore $F_\parallel \propto n\cdot m\,g\,\sin\theta \propto \ell\,\sin\theta$ Since the two planes share the same height $H$ of the prism, for each side $\ell\,\sin\theta = H$ (the same for both). Hence the two pushes along the planes are equal and balance: equilibrium confirmed.

This gives the law of the inclined plane: the force that holds a weight on a smooth plane is proportional to $\sin\theta$ , and the number of balls (i.e. the weights resting) is in the ratio of the lengths of the planes: $\ev{\dfrac{W_1}{W_2} = \dfrac{\ell_1}{\ell_2} = \dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Piano inclinato

Testo

Un carrello da $50\;\mathrm{kg}$ parte da fermo dalla cima di una pista alta $5{,}0\;\mathrm{m}$ e scende lungo una superficie liscia. Qual è la sua velocità alla base?

Soluzione

Pista liscia: l’energia meccanica si conserva. L’energia potenziale gravitazionale iniziale diventa tutta energia cinetica alla base: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ La massa si semplifica (il risultato non dipende dai $50\;\mathrm{kg}$ ): $v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m}} = \sqrt{98}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 9{,}9\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Blocco

Problem

A $50\;\mathrm{kg}$ cart starts from rest at the top of a track $5{,}0\;\mathrm{m}$ high and descends along a smooth surface. What is its speed at the bottom?

Solution

Smooth track: mechanical energy is conserved. The initial gravitational potential energy all becomes kinetic energy at the bottom: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2$ The mass cancels out (the result does not depend on the $50\;\mathrm{kg}$ ): $v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m}} = \sqrt{98}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 9{,}9\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Blocco

Testo

Supponendo che la cassa sia già in moto, spingila di massa $30\;\mathrm{kg}$ per $5{,}0\;\mathrm{m}$ sul pavimento, applicando una forza orizzontale di $18\;\mathrm{N}$ . Il coefficiente di attrito dinamico vale $\mu_d = 0{,}10$ . Calcola: (a) il lavoro fatto da te; (b) il lavoro fatto dall’attrito; (c) la variazione di energia cinetica.

Soluzione

(a) Lavoro della spinta. Forza parallela allo spostamento ( $\theta = 0$ ): $L_\text{spinta} = F\,d = 18\;\mathrm{N}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m} = 90\;\mathrm{J}$ $\ev{L_\text{spinta} = 90\;\mathrm{J}}$

(b) Lavoro dell’attrito. La forza d’attrito è $F_a = \mu_d\,m\,g = 0{,}10\cdot 30\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2} = 29{,}4\;\mathrm{N}$ , opposta allo spostamento ( $\theta = 180^\circ$ ), quindi il suo lavoro è negativo: $L_\text{attr} = -F_a\,d = -29{,}4\;\mathrm{N}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m} = -147\;\mathrm{J}$ $\ev{L_\text{attr} \approx -1{,}5\cdot 10^2\;\mathrm{J}}$

(c) Variazione di energia cinetica. Per il teorema dell’energia cinetica, $\Delta E_\text{cin}$ è il lavoro totale: $\Delta E_\text{cin} = L_\text{spinta} + L_\text{attr} = 90\;\mathrm{J} - 147\;\mathrm{J} = -57\;\mathrm{J}$ $\ev{\Delta E_\text{cin} \approx -57\;\mathrm{J}}$ L’energia cinetica diminuisce: la spinta di $18\;\mathrm{N}$ non basta a vincere l’attrito di $29{,}4\;\mathrm{N}$ , quindi la cassa rallenta.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Bilancio energetico a bolle Oggetti: Blocco

Problem

Assuming the crate is already moving, push it — mass $30\;\mathrm{kg}$ — for $5{,}0\;\mathrm{m}$ along the floor, applying a horizontal force of $18\;\mathrm{N}$ . The coefficient of kinetic friction is $\mu_d = 0{,}10$ . Find: (a) the work done by you; (b) the work done by friction; (c) the change in kinetic energy.

Solution

(a) Work of the push. Force parallel to the displacement ( $\theta = 0$ ): $L_\text{spinta} = F\,d = 18\;\mathrm{N}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m} = 90\;\mathrm{J}$ $\ev{L_\text{spinta} = 90\;\mathrm{J}}$

(b) Work of friction. The friction force is $F_a = \mu_d\,m\,g = 0{,}10\cdot 30\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2} = 29{,}4\;\mathrm{N}$ , opposite to the displacement ( $\theta = 180^\circ$ ), so its work is negative: $L_\text{attr} = -F_a\,d = -29{,}4\;\mathrm{N}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m} = -147\;\mathrm{J}$ $\ev{L_\text{attr} \approx -1{,}5\cdot 10^2\;\mathrm{J}}$

(c) Change in kinetic energy. By the work–energy theorem, $\Delta E_\text{cin}$ is the total work: $\Delta E_\text{cin} = L_\text{spinta} + L_\text{attr} = 90\;\mathrm{J} - 147\;\mathrm{J} = -57\;\mathrm{J}$ $\ev{\Delta E_\text{cin} \approx -57\;\mathrm{J}}$ The kinetic energy decreases: the $18\;\mathrm{N}$ push is not enough to overcome the $29{,}4\;\mathrm{N}$ friction, so the crate slows down.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Bilancio energetico a bolle Oggetti: Blocco

Testo

Sollevi un libro da $1\;\mathrm{kg}$ dal pavimento al tavolo e poi lo riporti giù nella stessa posizione. Qual è il lavoro totale che hai fatto? E qual è l’energia spesa dai tuoi muscoli? Spiega la differenza.

Soluzione

Lavoro meccanico totale. Chiamo $h$ l’altezza del tavolo. Nel sollevare il libro la tua forza è verso l’alto e lo spostamento verso l’alto: lavoro positivo $+m\,g\,h$ . Nel riabbassarlo lentamente la tua forza è ancora verso l’alto (lo sostieni) ma lo spostamento è verso il basso: lavoro negativo $-m\,g\,h$ . Sommando: $L_\text{tot} = +m\,g\,h - m\,g\,h = 0$ $\ev{L_\text{tot} = 0}$ Coerente col fatto che il libro torna nella posizione iniziale con energia cinetica nulla: la forza peso è conservativa e su un percorso chiuso il lavoro netto è zero.

Energia dei muscoli. L’energia metabolica che spendi è invece maggiore di zero. I muscoli consumano energia (ATP) anche quando compiono lavoro negativo o semplicemente per restare in tensione: non funzionano come una molla che immagazzina e restituisce energia. Il “lavoro negativo” della discesa non viene recuperato come energia utile, ma dissipato come calore nel corpo.

La differenza. Il bilancio meccanico sul libro è nullo (parte e torna fermo alla stessa quota), ma il bilancio biologico no: i muscoli hanno un rendimento limitato e in ogni fase, salita e discesa, bruciano energia che finisce in calore. Zero lavoro sul libro, ma energia muscolare positiva.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Forze conservative Competenze: Impostazione simbolica

Problem

You lift a $1\;\mathrm{kg}$ book from the floor to the table and then bring it back down to the same position. What is the total work you did? And what is the energy spent by your muscles? Explain the difference.

Solution

Total mechanical work. Call $h$ the height of the table. When lifting the book your force is upward and the displacement is upward: positive work $+m\,g\,h$ . When lowering it slowly your force is still upward (you support it) but the displacement is downward: negative work $-m\,g\,h$ . Adding: $L_\text{tot} = +m\,g\,h - m\,g\,h = 0$ $\ev{L_\text{tot} = 0}$ Consistent with the fact that the book returns to its starting position with zero kinetic energy: the weight force is conservative, and on a closed path the net work is zero.

Muscle energy. The metabolic energy you spend, however, is greater than zero. Muscles consume energy (ATP) even when doing negative work or simply staying under tension: they do not act like a spring that stores and returns energy. The “negative work” of the descent is not recovered as useful energy, but dissipated as heat in the body.

The difference. The mechanical balance on the book is zero (it starts and ends at rest at the same height), but the biological balance is not: the muscles have limited efficiency and in every phase, rising and falling, burn energy that ends up as heat. Zero work on the book, but positive muscular energy.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Forze conservative Competenze: Impostazione simbolica

Testo

Tre macchine sollevano oggetti diversi:

A: $20\;\mathrm{kg}$ sollevati di $3\;\mathrm{m}$ in $5\;\mathrm{s}$ ;

B: $50\;\mathrm{kg}$ sollevati di $2\;\mathrm{m}$ in $20\;\mathrm{s}$ ;

C: $10\;\mathrm{kg}$ sollevati di $5\;\mathrm{m}$ in $2\;\mathrm{s}$ .

Ordina le potenze impiegate dal più piccolo al più grande.

Soluzione

La potenza è il lavoro (qui $L = m\,g\,h$ ) diviso il tempo: $P = \frac{m\,g\,h}{t}$ Calcolo per ciascuna macchina (uso $g = 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}$ ): $P_A = \frac{20\cdot 9{,}8\cdot 3}{5} = \frac{588}{5} \approx 118\;\mathrm{W}$ $P_B = \frac{50\cdot 9{,}8\cdot 2}{20} = \frac{980}{20} = 49\;\mathrm{W}$ $P_C = \frac{10\cdot 9{,}8\cdot 5}{2} = \frac{490}{2} = 245\;\mathrm{W}$ Ordinando: $P_B \approx 49\;\mathrm{W} < P_A \approx 118\;\mathrm{W} < P_C \approx 245\;\mathrm{W}$ . La macchina C compie meno lavoro totale di B, ma lo fa in molto meno tempo: è la più potente. $\ev{P_C > P_A > P_B}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Three machines lift different objects:

A: $20\;\mathrm{kg}$ lifted $3\;\mathrm{m}$ in $5\;\mathrm{s}$ ;

B: $50\;\mathrm{kg}$ lifted $2\;\mathrm{m}$ in $20\;\mathrm{s}$ ;

C: $10\;\mathrm{kg}$ lifted $5\;\mathrm{m}$ in $2\;\mathrm{s}$ .

Rank the powers used from smallest to largest.

Solution

Power is the work (here $L = m\,g\,h$ ) divided by time: $P = \frac{m\,g\,h}{t}$ Calculating for each machine (using $g = 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}$ ): $P_A = \frac{20\cdot 9{,}8\cdot 3}{5} = \frac{588}{5} \approx 118\;\mathrm{W}$ $P_B = \frac{50\cdot 9{,}8\cdot 2}{20} = \frac{980}{20} = 49\;\mathrm{W}$ $P_C = \frac{10\cdot 9{,}8\cdot 5}{2} = \frac{490}{2} = 245\;\mathrm{W}$ Ranking: $P_B \approx 49\;\mathrm{W} < P_A \approx 118\;\mathrm{W} < P_C \approx 245\;\mathrm{W}$ . Machine C does less total work than B, but does it in much less time: it is the most powerful. $\ev{P_C > P_A > P_B}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza Competenze: Ragionamento di ranking

Testo

Vero o falso?

(a) Il lavoro può essere negativo.

(b) L’energia cinetica può essere negativa.

(c) Una forza perpendicolare allo spostamento compie lavoro nullo.

(d) Se l’energia cinetica raddoppia, anche la velocità raddoppia.

Soluzione

Ricordo: $L = F\,s\,\cos\theta$ e $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ .

(a) VERO. Quando la forza ha una componente opposta allo spostamento ( $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ ), $\cos\theta < 0$ e il lavoro è negativo. È il caso tipico dell’attrito, o della forza frenante: sottraggono energia cinetica al corpo.

(b) FALSO. $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ con $m > 0$ e $v^2 \geq 0$ : l’energia cinetica è sempre positiva o nulla, mai negativa.

(c) VERO. Se $\theta = 90^\circ$ allora $\cos 90^\circ = 0$ , quindi $L = 0$ . Una forza perpendicolare allo spostamento (per esempio la centripeta) non compie lavoro.

(d) FALSO. L’energia cinetica dipende dal quadrato della velocità: $E_k \propto v^2$ . Se $E_k$ raddoppia, allora $v^2$ raddoppia e la velocità diventa $v\sqrt{2} \approx 1{,}41\,v$ , cioè aumenta solo di circa il $41\%$ . Per raddoppiare la velocità servirebbe quadruplicare l’energia cinetica.

$\ev{\text{(a) V}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) V}\quad\text{(d) F}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

True or false?

(a) Work can be negative.

(b) Kinetic energy can be negative.

(c) A force perpendicular to the displacement does zero work.

(d) If kinetic energy doubles, so does the speed.

Solution

Recall: $L = F\,s\,\cos\theta$ and $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ .

(a) TRUE. When the force has a component opposite to the displacement ( $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$ ), $\cos\theta < 0$ and the work is negative. This is the typical case of friction, or of a braking force: they subtract kinetic energy from the body.

(b) FALSE. $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ with $m > 0$ and $v^2 \geq 0$ : kinetic energy is always positive or zero, never negative.

(c) TRUE. If $\theta = 90^\circ$ then $\cos 90^\circ = 0$ , so $L = 0$ . A force perpendicular to the displacement (for example, the centripetal force) does no work.

(d) FALSE. Kinetic energy depends on the square of the speed: $E_k \propto v^2$ . If $E_k$ doubles, then $v^2$ doubles and the speed becomes $v\sqrt{2} \approx 1{,}41\,v$ , i.e. it increases by only about $41\%$ . To double the speed you would need to quadruple the kinetic energy.

$\ev{\text{(a) T}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) T}\quad\text{(d) F}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Testo

Un proiettile di $20\;\mathrm{g}$ viene sparato verticalmente verso l’alto con velocità iniziale $15\;\mathrm{m/s}$ . Trascurando la resistenza dell’aria, a quale altezza arriva? Se invece la resistenza dell’aria dissipa il $30\%$ dell’energia cinetica iniziale, a quale altezza arriva?

Soluzione

Caso ideale (senza resistenza). L’energia meccanica si conserva: nel punto più alto la velocità è nulla e tutta l’energia cinetica iniziale è diventata potenziale. $\frac{1}{2}\,m\,v_0^2 = m\,g\,h_1 \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(15\;\mathrm{m/s})^2}{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}} = \frac{225}{19{,}6}\;\mathrm{m}$ $\ev{h_1 \approx 11{,}5\;\mathrm{m}}$ (La massa si semplifica, quindi il risultato non dipende dai $20\;\mathrm{g}$ .)

Caso reale (con resistenza). La resistenza dell’aria dissipa il $30\%$ dell’energia cinetica iniziale: solo il $70\%$ si converte in energia potenziale. $m\,g\,h_2 = 0{,}70\cdot \frac{1}{2}\,m\,v_0^2 = 0{,}70\cdot m\,g\,h_1$ $h_2 = 0{,}70\cdot h_1 = 0{,}70\cdot 11{,}5\;\mathrm{m}$ $\ev{h_2 \approx 8{,}0\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia termica da attrito Competenze: Conservazione dell’energia

Problem

A $20\;\mathrm{g}$ projectile is fired vertically upward with initial speed $15\;\mathrm{m/s}$ . Neglecting air resistance, how high does it go? If instead air resistance dissipates $30\%$ of the initial kinetic energy, how high does it go?

Solution

Ideal case (no drag). Mechanical energy is conserved: at the highest point the speed is zero and all the initial kinetic energy has become potential. $\frac{1}{2}\,m\,v_0^2 = m\,g\,h_1 \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(15\;\mathrm{m/s})^2}{2\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}} = \frac{225}{19{,}6}\;\mathrm{m}$ $\ev{h_1 \approx 11{,}5\;\mathrm{m}}$ (The mass cancels out, so the result does not depend on the $20\;\mathrm{g}$ .)

Real case (with drag). Air resistance dissipates $30\%$ of the initial kinetic energy: only $70\%$ converts into potential energy. $m\,g\,h_2 = 0{,}70\cdot \frac{1}{2}\,m\,v_0^2 = 0{,}70\cdot m\,g\,h_1$ $h_2 = 0{,}70\cdot h_1 = 0{,}70\cdot 11{,}5\;\mathrm{m}$ $\ev{h_2 \approx 8{,}0\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia termica da attrito Competenze: Conservazione dell’energia

Testo

Stima quanta energia spendi salendo a piedi cinque rampe di scale (un piano $\sim 3\;\mathrm{m}$ ). Esprimi il risultato anche in chilocalorie ( $1\;\mathrm{kcal} \approx 4{,}2\;\mathrm{kJ}$ ). Confronta con una merendina ( $\sim 100\;\mathrm{kcal}$ ). Bastano le scale per smaltirla?

Soluzione

Dati stimati. Massa di una persona: $m \approx 70\;\mathrm{kg}$ . Dislivello: cinque piani da $3\;\mathrm{m}$ , cioè $h \approx 5\cdot 3 = 15\;\mathrm{m}$ .

Lavoro meccanico (energia potenziale acquisita). $E_\text{mecc} = m\,g\,h = 70\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 15\;\mathrm{m} \approx 1{,}0\cdot 10^4\;\mathrm{J}$

Energia metabolica. I muscoli hanno un rendimento di circa il $25\%$ : per ogni joule “utile” ne bruci circa $4$ . Quindi l’energia effettivamente spesa dal corpo è $E \approx \frac{E_\text{mecc}}{0{,}25} \approx 4\cdot 10^4\;\mathrm{J}$ $\ev{E \sim 4\cdot 10^4\;\mathrm{J}}$

In chilocalorie. $E \approx \frac{4\cdot 10^4\;\mathrm{J}}{4{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{J/kcal}} \approx 10\;\mathrm{kcal}$

Confronto. Una merendina fornisce $\sim 100\;\mathrm{kcal}$ , cioè circa dieci volte l’energia di questa salita. Le scale da sole non bastano: per smaltire la merendina dovresti salire quei cinque piani una decina di volte.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Stime di Fermi

Problem

Estimate how much energy you spend climbing five flights of stairs on foot (one storey $\sim 3\;\mathrm{m}$ ). Also express the result in kilocalories ( $1\;\mathrm{kcal} \approx 4{,}2\;\mathrm{kJ}$ ). Compare with a snack ( $\sim 100\;\mathrm{kcal}$ ). Is climbing the stairs enough to burn it off?

Solution

Estimated data. Mass of a person: $m \approx 70\;\mathrm{kg}$ . Height gain: five storeys of $3\;\mathrm{m}$ , i.e. $h \approx 5\cdot 3 = 15\;\mathrm{m}$ .

Mechanical work (potential energy gained). $E_\text{mecc} = m\,g\,h = 70\;\mathrm{kg}\cdot 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}\cdot 15\;\mathrm{m} \approx 1{,}0\cdot 10^4\;\mathrm{J}$

Metabolic energy. Muscles have an efficiency of about $25\%$ : for every “useful” joule you burn about $4$ . So the energy actually spent by the body is $E \approx \frac{E_\text{mecc}}{0{,}25} \approx 4\cdot 10^4\;\mathrm{J}$ $\ev{E \sim 4\cdot 10^4\;\mathrm{J}}$

In kilocalories. $E \approx \frac{4\cdot 10^4\;\mathrm{J}}{4{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{J/kcal}} \approx 10\;\mathrm{kcal}$

Comparison. A snack provides $\sim 100\;\mathrm{kcal}$ , i.e. about ten times the energy of this climb. The stairs alone are not enough: to burn off the snack you would need to climb those five flights about ten times.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Stime di Fermi

Testo

Un’auto da $1000\;\mathrm{kg}$ che viaggia a $50\;\mathrm{km/h}$ frena bruscamente fino a fermarsi. Dove va a finire l’energia cinetica iniziale? Stima la temperatura raggiunta dai dischi dei freni se la loro massa totale è $20\;\mathrm{kg}$ ( $c_\text{acciaio} \approx 450\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ).

Soluzione

Dove va l’energia. Durante la frenata l’attrito tra pastiglie e dischi trasforma l’energia cinetica dell’auto in energia termica: i dischi si scaldano. (Una parte minore va nell’aria, nei pneumatici e nell’asfalto; qui stimiamo il caso in cui quasi tutta finisce nei dischi.)

Energia cinetica iniziale. $v = 50\;\mathrm{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} \approx 13{,}9\;\mathrm{m/s}$ . $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\cdot 1000\;\mathrm{kg}\cdot (13{,}9\;\mathrm{m/s})^2 \approx 9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}$

Aumento di temperatura dei dischi. Il calore assorbito è $Q = m_\text{d}\,c\,\Delta T$ . Ponendo $Q = E_k$ : $\Delta T = \frac{E_k}{m_\text{d}\,c} = \frac{9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}}{20\;\mathrm{kg}\cdot 450\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}} = \frac{9{,}6\cdot 10^4}{9000}\;\mathrm{K}$ $\ev{\Delta T \approx 11\;\mathrm{K}}$

Discussione. Una singola frenata scalda i dischi di una decina di gradi: poco. Ma in una lunga discesa, con frenate ripetute, il calore si accumula e i freni possono raggiungere centinaia di gradi, rischiando il fading (perdita di efficacia). Ecco perché in discesa conviene usare il freno motore.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Calore specifico e capacità termica · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi

Problem

A $1000\;\mathrm{kg}$ car travelling at $50\;\mathrm{km/h}$ brakes sharply to a stop. Where does the initial kinetic energy end up? Estimate the temperature reached by the brake discs if their total mass is $20\;\mathrm{kg}$ ( $c_\text{acciaio} \approx 450\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ).

Solution

Where the energy goes. During braking, friction between the pads and discs converts the car’s kinetic energy into thermal energy: the discs heat up. (A smaller part goes into the air, the tyres and the road; here we estimate the case where almost all of it ends up in the discs.)

Initial kinetic energy. $v = 50\;\mathrm{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} \approx 13{,}9\;\mathrm{m/s}$ . $E_k = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{1}{2}\cdot 1000\;\mathrm{kg}\cdot (13{,}9\;\mathrm{m/s})^2 \approx 9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}$

Temperature rise of the discs. The heat absorbed is $Q = m_\text{d}\,c\,\Delta T$ . Setting $Q = E_k$ : $\Delta T = \frac{E_k}{m_\text{d}\,c} = \frac{9{,}6\cdot 10^4\;\mathrm{J}}{20\;\mathrm{kg}\cdot 450\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}} = \frac{9{,}6\cdot 10^4}{9000}\;\mathrm{K}$ $\ev{\Delta T \approx 11\;\mathrm{K}}$

Discussion. A single braking event heats the discs by about ten degrees: not much. But on a long descent, with repeated braking, the heat builds up and the brakes can reach hundreds of degrees, risking fading (loss of effectiveness). This is why on a descent it is better to use engine braking.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Calore specifico e capacità termica · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi

Testo

Il grafico mostra la forza esercitata da una molla in funzione dell’allungamento. Calcola graficamente il lavoro fatto dalla forza per allungare la molla da $0$ a $0{,}10\;\mathrm{m}$ .

Soluzione

Lettura del grafico. La retta passa per l’origine (legge di Hooke, $F = k\,x$ ). L’estremo tracciato è nel punto $x = 0{,}04\;\mathrm{m}$ , $F = 30\;\mathrm{N}$ . La pendenza è la costante elastica: $k = \frac{F}{x} = \frac{30\;\mathrm{N}}{0{,}04\;\mathrm{m}} = 750\;\mathrm{N/m}$ Prolungando la retta fino a $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ , la forza vale $F = k\,x = 750\cdot 0{,}10 = 75\;\mathrm{N}$ .

Lavoro = area sotto la curva. Il lavoro per allungare la molla da $0$ a $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ è l’area del triangolo di base $x$ e altezza $F$ : $W = \frac{1}{2}\,x\,F = \frac{1}{2}\cdot 0{,}10\;\mathrm{m}\cdot 75\;\mathrm{N}$ $\ev{W \approx 3{,}8\;\mathrm{J}}$ Equivalentemente $W = \tfrac{1}{2}k\,x^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 750\cdot (0{,}10)^2 = 3{,}75\;\mathrm{J}$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Lavoro di una forza Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

Problem

The graph shows the force exerted by a spring as a function of extension. Graphically calculate the work done by the force to stretch the spring from $0$ to $0{,}10\;\mathrm{m}$ .

Solution

Reading the graph. The line passes through the origin (Hooke’s law, $F = k\,x$ ). The plotted endpoint is at $x = 0{,}04\;\mathrm{m}$ , $F = 30\;\mathrm{N}$ . The slope is the spring constant: $k = \frac{F}{x} = \frac{30\;\mathrm{N}}{0{,}04\;\mathrm{m}} = 750\;\mathrm{N/m}$ Extending the line to $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ , the force is $F = k\,x = 750\cdot 0{,}10 = 75\;\mathrm{N}$ .

Work = area under the curve. The work to stretch the spring from $0$ to $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ is the area of the triangle with base $x$ and height $F$ : $W = \frac{1}{2}\,x\,F = \frac{1}{2}\cdot 0{,}10\;\mathrm{m}\cdot 75\;\mathrm{N}$ $\ev{W \approx 3{,}8\;\mathrm{J}}$ Equivalently $W = \tfrac{1}{2}k\,x^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 750\cdot (0{,}10)^2 = 3{,}75\;\mathrm{J}$ .

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Lavoro di una forza Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

Testo

Una scimmia si arrampica su una corda passante per una carrucola fissa, all’altro estremo della quale c’è un peso esattamente uguale alla massa della scimmia. Quando la scimmia sale di $2\;\mathrm{m}$ , di quanto sale il peso?

Soluzione

Simmetria del sistema. La corda è inestensibile e la carrucola priva di attrito, quindi la tensione $T$ è la stessa lungo tutta la corda e agisce ugualmente sulla scimmia e sul contrappeso. Le masse sono uguali ( $m_\text{scimmia} = m_\text{peso}$ ), quindi le due estremità della corda sono soggette a forze identiche: il sistema è perfettamente bilanciato.

Ragionamento sull’accelerazione. Per la scimmia: $T - m g = m\,a_\text{s}$ . Per il peso: $T - m g = m\,a_\text{p}$ . Le due equazioni sono identiche, quindi in ogni istante $a_\text{s} = a_\text{p}$ : la scimmia e il peso hanno sempre la stessa accelerazione e la stessa velocità verticale. Qualunque sforzo faccia la scimmia per salire, tira la corda e fa salire il contrappeso esattamente allo stesso modo.

Conclusione. Se la scimmia sale di $2\;\mathrm{m}$ rispetto al suolo, il peso sale anch’esso di $2\;\mathrm{m}$ : la loro distanza dalla carrucola diminuisce in ugual misura sui due lati. (Coerente con la conservazione dell’energia: entrambi guadagnano la stessa energia potenziale, alimentata dal lavoro muscolare della scimmia.) $\ev{\text{il peso sale di } 2\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Puleggia

Problem

A monkey climbs a rope running over a fixed pulley, at the other end of which hangs a weight exactly equal to the monkey’s mass. When the monkey climbs $2\;\mathrm{m}$ , by how much does the weight rise?

Solution

Symmetry of the system. The rope is inextensible and the pulley frictionless, so the tension $T$ is the same throughout the rope and acts equally on the monkey and on the counterweight. The masses are equal ( $m_\text{scimmia} = m_\text{peso}$ ), so the two ends of the rope are subject to identical forces: the system is perfectly balanced.

Reasoning about acceleration. For the monkey: $T - m g = m\,a_\text{s}$ . For the weight: $T - m g = m\,a_\text{p}$ . The two equations are identical, so at every instant $a_\text{s} = a_\text{p}$ : the monkey and the weight always have the same acceleration and the same vertical speed. Whatever effort the monkey makes to climb, it pulls the rope and raises the counterweight in exactly the same way.

Conclusion. If the monkey climbs $2\;\mathrm{m}$ relative to the ground, the weight also rises by $2\;\mathrm{m}$ : their distance from the pulley decreases by the same amount on both sides. (Consistent with conservation of energy: both gain the same potential energy, supplied by the monkey’s muscular work.) $\ev{\text{the weight rises by } 2\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Puleggia

Lavoro e direzione. Una persona porta una valigia di $20\;\mathrm{kg}$ per $50\;\mathrm{m}$ su un percorso orizzontale, mantenendola a quota costante. Quanto lavoro ha fatto contro la gravità? Spiega perché il braccio si stanca anche se il lavoro meccanico è nullo.

Soluzione

Dati: $m = 20\;\mathrm{kg}$ , spostamento $s = 50\;\mathrm{m}$ orizzontale, quota costante ( $\Delta h = 0$ ).

Il lavoro di una forza vale $W = \vv{F}\cdot\vv{s} = F\,s\cos\alpha$ , dove $\alpha$ è l’angolo fra forza e spostamento.

La forza-peso $\vv{F}_g$ è verticale (verso il basso), lo spostamento $\vv{s}$ è orizzontale: fra loro c’è un angolo di $90^\circ$ , quindi il prodotto scalare è nullo.

$W_{\text{gravità}} = F_g\,s\cos 90^\circ = mg\,s\cdot 0 = 0$

$\ev{W_{\text{gravità}} = 0}$

Perché il braccio si stanca. Il muscolo non è un gancio rigido. Per restare contratto compie continui cicli microscopici di attacco-distacco dei ponti actina-miosina, ciascuno dei quali consuma ATP che si degrada in calore. È tensione statica interna, non lavoro meccanico macroscopico: il punto di applicazione della forza non avanza nella direzione della forza, perciò $W = 0$ ; l’energia metabolica spesa è però reale e viene dissipata come calore. Lavoro meccanico nullo non significa sforzo nullo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza Competenze: Impostazione simbolica

Work and direction. A person carries a $20\;\mathrm{kg}$ suitcase for $50\;\mathrm{m}$ along a horizontal path, keeping it at constant height. How much work did they do against gravity? Explain why the arm gets tired even though the mechanical work is zero.

Solution

Data: $m = 20\;\mathrm{kg}$ , horizontal displacement $s = 50\;\mathrm{m}$ , constant height ( $\Delta h = 0$ ).

The work of a force is $W = \vv{F}\cdot\vv{s} = F\,s\cos\alpha$ , where $\alpha$ is the angle between the force and the displacement.

The weight force $\vv{F}_g$ is vertical (downward), the displacement $\vv{s}$ is horizontal: between them there is a $90^\circ$ angle, so the scalar product is zero.

$W_{\text{gravità}} = F_g\,s\cos 90^\circ = mg\,s\cdot 0 = 0$

$\ev{W_{\text{gravità}} = 0}$

Why the arm gets tired. A muscle is not a rigid hook. To stay contracted it performs continuous microscopic cycles of attachment and detachment of the actin-myosin bridges, each of which consumes ATP that degrades into heat. This is internal static tension, not macroscopic mechanical work: the point of application of the force does not move forward in the direction of the force, so $W = 0$ ; the metabolic energy spent is nevertheless real and is dissipated as heat. Zero mechanical work does not mean zero effort.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza Competenze: Impostazione simbolica

Energia cinetica e velocità doppia. Spiega perché raddoppiare la velocità di un'auto quadruplica l'energia cinetica, ma raddoppia solo la quantità di moto.

Soluzione

Le due grandezze dipendono dalla velocità in modo diverso:

$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 \qquad p = mv$

L’energia cinetica è quadratica in $v$ : se $v \to 2v$ a massa costante,

$E_k' = \tfrac{1}{2}m(2v)^2 = 4\cdot\tfrac{1}{2}mv^2 = 4\,E_k$

quindi $E_k$ quadruplica. La quantità di moto è invece lineare in $v$ :

$p' = m(2v) = 2\,mv = 2\,p$

quindi $p$ raddoppia.

$\ev{E_k \propto v^2 \ \Rightarrow\ \times 4; \qquad p \propto v \ \Rightarrow\ \times 2}$

Conseguenza pratica. Fermare un’auto significa dissipare tutta la sua $E_k$ tramite i freni. Passare da $50$ a $100\;\mathrm{km/h}$ raddoppia la velocità ma quadruplica l’energia da smaltire: lo spazio di frenata (a decelerazione costante, $E_k = F\,d$ ) diventa quattro volte più lungo. È la ragione fisica per cui l’alta velocità è così pericolosa.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Kinetic energy and doubled speed. Explain why doubling a car's speed quadruples its kinetic energy, but only doubles its momentum.

Solution

The two quantities depend on speed differently:

$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 \qquad p = mv$

Kinetic energy is quadratic in $v$ : if $v \to 2v$ at constant mass,

$E_k' = \tfrac{1}{2}m(2v)^2 = 4\cdot\tfrac{1}{2}mv^2 = 4\,E_k$

so $E_k$ quadruples. Momentum, on the other hand, is linear in $v$ :

$p' = m(2v) = 2\,mv = 2\,p$

so $p$ doubles.

$\ev{E_k \propto v^2 \ \Rightarrow\ \times 4; \qquad p \propto v \ \Rightarrow\ \times 2}$

Practical consequence. Stopping a car means dissipating all of its $E_k$ through the brakes. Going from $50$ to $100\;\mathrm{km/h}$ doubles the speed but quadruples the energy to be disposed of: the braking distance (at constant deceleration, $E_k = F\,d$ ) becomes four times longer. This is the physical reason why high speed is so dangerous.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Lavoro per ciclisti. Spiega perché una ciclista che pedala a velocità costante in salita compie lavoro positivo, e dove va a finire l'energia muscolare.

Soluzione

Il lavoro è positivo. La ciclista spinge sui pedali per avanzare: la forza muscolare (trasmessa alla ruota) è concorde con lo spostamento, cioè con la velocità $\vv{v}$ . Con angolo $\alpha \approx 0$ fra forza motrice e spostamento,

$W_{\text{musc}} = F_{\text{musc}}\,s\cos\alpha > 0$

Dove va l’energia. La velocità è costante, quindi l’energia cinetica non cambia:

$\Delta E_k = 0$

L’energia muscolare non si accumula come moto più veloce; per il bilancio energetico si distribuisce in due canali:

$\ev{W_{\text{musc}} = \Delta E_p + Q = mgh + Q}$

cioè una parte diventa energia potenziale gravitazionale $mgh$ (la ciclista sale di quota $h$ ) e una parte diventa calore dissipato dagli attriti (catena, cuscinetti, resistenza dell’aria, deformazione delle gomme). A regime, tutta la potenza sviluppata dai muscoli eguaglia la somma della potenza spesa per salire e di quella dissipata: nessuna accelerazione, ma lavoro reale e continuo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Bilancio energetico a bolle

Work for cyclists. Explain why a cyclist pedalling at constant speed uphill does positive work, and where the muscular energy ends up.

Solution

The work is positive. The cyclist pushes on the pedals to move forward: the muscular force (transmitted to the wheel) is in the same direction as the displacement, i.e. as the velocity $\vv{v}$ . With angle $\alpha \approx 0$ between the driving force and the displacement,

$W_{\text{musc}} = F_{\text{musc}}\,s\cos\alpha > 0$

Where the energy goes. The speed is constant, so the kinetic energy does not change:

$\Delta E_k = 0$

The muscular energy does not accumulate as faster motion; by the energy balance it splits into two channels:

$\ev{W_{\text{musc}} = \Delta E_p + Q = mgh + Q}$

that is, part becomes gravitational potential energy $mgh$ (the cyclist rises in height $h$ ) and part becomes heat dissipated by friction (chain, bearings, air resistance, tyre deformation). At steady state, all the power developed by the muscles equals the sum of the power spent climbing and that dissipated: no acceleration, but real and continuous work.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Bilancio energetico a bolle

Conservazione e attrito. Un blocco scivola giù un piano inclinato con attrito. Spiega come l'energia totale si conserva, indicando dove va il calore prodotto.

Soluzione

Il blocco parte da quota $h$ e scende lungo il piano per un tratto $L$ . Senza attrito tutta l’energia potenziale diventerebbe cinetica ( $mgh = \tfrac12 mv_f^2$ ). L’attrito dinamico, forza $f = \mu_d N = \mu_d mg\cos\theta$ , compie lavoro negativo sul tratto $L$ e sottrae l’energia

$Q = f\,L = \mu_d\,mg\cos\theta\;L$

Il bilancio energetico completo alla base del piano è quindi:

$\ev{mgh = \tfrac{1}{2}mv_f^2 + Q}$

Dove va il calore. L’energia totale si conserva sempre: non sparisce nulla. Ciò che l’attrito fa è trasformare energia cinetica macroscopica ordinata (il blocco che scende compatto) in energia cinetica microscopica disordinata: le molecole della superficie del blocco, del piano e dell’aria circostante vibrano più intensamente. Questo è il calore $Q$ : temperatura leggermente più alta di blocco e piano nella zona di contatto. La conservazione vale, ma quella quota di energia diventa inaccessibile — non si può recuperarla integralmente come moto ordinato (è la freccia del tempo della termodinamica).

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato · Blocco

Conservation and friction. A block slides down an inclined plane with friction. Explain how the total energy is conserved, indicating where the heat produced goes.

Solution

The block starts at height $h$ and descends along the plane over a stretch $L$ . Without friction all the potential energy would become kinetic ( $mgh = \tfrac12 mv_f^2$ ). Kinetic friction, force $f = \mu_d N = \mu_d mg\cos\theta$ , does negative work over the stretch $L$ and removes the energy

$Q = f\,L = \mu_d\,mg\cos\theta\;L$

The complete energy balance at the base of the plane is therefore:

$\ev{mgh = \tfrac{1}{2}mv_f^2 + Q}$

Where the heat goes. The total energy is always conserved: nothing disappears. What friction does is transform ordered macroscopic kinetic energy (the block descending as a whole) into disordered microscopic kinetic energy: the molecules at the surface of the block, the plane and the surrounding air vibrate more intensely. This is the heat $Q$ : a slightly higher temperature of block and plane in the contact zone. Conservation holds, but that share of energy becomes inaccessible — it cannot be fully recovered as ordered motion (this is thermodynamics’ arrow of time).

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato · Blocco

Ranking: energie cinetiche. Quattro oggetti in moto: (A) auto $1500\;\mathrm{kg}$ a $20\;\mathrm{m/s}$ ; (B) palla $0{,}1\;\mathrm{kg}$ a $30\;\mathrm{m/s}$ ; (C) bici + ciclista $80\;\mathrm{kg}$ a $10\;\mathrm{m/s}$ ; (D) pallina da golf $0{,}05\;\mathrm{kg}$ a $80\;\mathrm{m/s}$ . Ordina le energie cinetiche dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

Si applica $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ a ciascun oggetto. Attenzione: la velocità entra al quadrato, quindi anche masse piccolissime con velocità alte non recuperano il divario rispetto a masse grandi.

$E_k^{(A)} = \tfrac{1}{2}(1500)(20)^2 = \tfrac{1}{2}(1500)(400) = 3{,}0\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

$E_k^{(B)} = \tfrac{1}{2}(0{,}1)(30)^2 = \tfrac{1}{2}(0{,}1)(900) = 45\;\mathrm{J}$

$E_k^{(C)} = \tfrac{1}{2}(80)(10)^2 = \tfrac{1}{2}(80)(100) = 4{,}0\cdot 10^3\;\mathrm{J}$

$E_k^{(D)} = \tfrac{1}{2}(0{,}05)(80)^2 = \tfrac{1}{2}(0{,}05)(6400) = 160\;\mathrm{J}$

Ordinando i valori $45 < 160 < 4000 < 300000$ :

$\ev{B < D < C < A}$

Lettura fisica. L’auto domina perché ha sia massa grande sia velocità elevata (e $v^2 = 400$ ). La pallina da golf (D), pur velocissima, resta ben sotto la bici (C): la sua massa minuscola ( $0{,}05\;\mathrm{kg}$ ) non basta a compensare. La palla (B) è la più bassa: piccola massa e velocità moderata.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Ranking: kinetic energies. Four moving objects: (A) car $1500\;\mathrm{kg}$ at $20\;\mathrm{m/s}$ ; (B) ball $0{,}1\;\mathrm{kg}$ at $30\;\mathrm{m/s}$ ; (C) bicycle + cyclist $80\;\mathrm{kg}$ at $10\;\mathrm{m/s}$ ; (D) golf ball $0{,}05\;\mathrm{kg}$ at $80\;\mathrm{m/s}$ . Rank the kinetic energies from smallest to largest.

Solution

Apply $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ to each object. Note: speed enters squared, so even very small masses with high speeds do not close the gap with large masses.

$E_k^{(A)} = \tfrac{1}{2}(1500)(20)^2 = \tfrac{1}{2}(1500)(400) = 3{,}0\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

$E_k^{(B)} = \tfrac{1}{2}(0{,}1)(30)^2 = \tfrac{1}{2}(0{,}1)(900) = 45\;\mathrm{J}$

$E_k^{(C)} = \tfrac{1}{2}(80)(10)^2 = \tfrac{1}{2}(80)(100) = 4{,}0\cdot 10^3\;\mathrm{J}$

$E_k^{(D)} = \tfrac{1}{2}(0{,}05)(80)^2 = \tfrac{1}{2}(0{,}05)(6400) = 160\;\mathrm{J}$

Ranking the values $45 < 160 < 4000 < 300000$ :

$\ev{B < D < C < A}$

Physical reading. The car dominates because it has both large mass and high speed (and $v^2 = 400$ ). The golf ball (D), although very fast, remains well below the bicycle (C): its tiny mass ( $0{,}05\;\mathrm{kg}$ ) is not enough to compensate. The ball (B) is lowest: small mass and moderate speed.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica Competenze: Ragionamento di ranking

Ranking: potenze. Quattro lavori realizzati in tempi diversi: (A) sollevare $100\;\mathrm{kg}$ di $1\;\mathrm{m}$ in $10\;\mathrm{s}$ ; (B) sollevare $50\;\mathrm{kg}$ di $5\;\mathrm{m}$ in $20\;\mathrm{s}$ ; (C) sollevare $10\;\mathrm{kg}$ di $10\;\mathrm{m}$ in $5\;\mathrm{s}$ ; (D) sollevare $1\;\mathrm{kg}$ di $100\;\mathrm{m}$ in $200\;\mathrm{s}$ . Ordina le potenze dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

La potenza è lavoro diviso tempo. Il lavoro di sollevamento è $W = mgh$ , quindi

$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} \qquad (g = 9{,}81\;\mathrm{m/s^2})$

$P_A = \frac{100\cdot 9{,}81\cdot 1}{10} = 98{,}1\;\mathrm{W}$

$P_B = \frac{50\cdot 9{,}81\cdot 5}{20} = \frac{2452{,}5}{20} = 122{,}6\;\mathrm{W}$

$P_C = \frac{10\cdot 9{,}81\cdot 10}{5} = \frac{981}{5} = 196{,}2\;\mathrm{W}$

$P_D = \frac{1\cdot 9{,}81\cdot 100}{200} = \frac{981}{200} = 4{,}9\;\mathrm{W}$

Ordinando $4{,}9 < 98{,}1 < 122{,}6 < 196{,}2$ :

$\ev{D < A < B < C}$

Lettura fisica. Tutti i casi hanno un lavoro totale confrontabile (circa $980\;\mathrm{J}$ , tranne B che ne fa $2450$ ): è il tempo a decidere. C vince perché fa un lavoro grande nel tempo più breve ( $5\;\mathrm{s}$ ); D perde perché diluisce il lavoro su $200\;\mathrm{s}$ . La potenza misura la rapidità con cui si trasferisce energia, non la quantità totale.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza Competenze: Ragionamento di ranking

Ranking: powers. Four jobs carried out in different times: (A) lifting $100\;\mathrm{kg}$ by $1\;\mathrm{m}$ in $10\;\mathrm{s}$ ; (B) lifting $50\;\mathrm{kg}$ by $5\;\mathrm{m}$ in $20\;\mathrm{s}$ ; (C) lifting $10\;\mathrm{kg}$ by $10\;\mathrm{m}$ in $5\;\mathrm{s}$ ; (D) lifting $1\;\mathrm{kg}$ by $100\;\mathrm{m}$ in $200\;\mathrm{s}$ . Rank the powers from smallest to largest.

Solution

Power is work divided by time. The work of lifting is $W = mgh$ , so

$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t} \qquad (g = 9{,}81\;\mathrm{m/s^2})$

$P_A = \frac{100\cdot 9{,}81\cdot 1}{10} = 98{,}1\;\mathrm{W}$

$P_B = \frac{50\cdot 9{,}81\cdot 5}{20} = \frac{2452{,}5}{20} = 122{,}6\;\mathrm{W}$

$P_C = \frac{10\cdot 9{,}81\cdot 10}{5} = \frac{981}{5} = 196{,}2\;\mathrm{W}$

$P_D = \frac{1\cdot 9{,}81\cdot 100}{200} = \frac{981}{200} = 4{,}9\;\mathrm{W}$

Ordering $4{,}9 < 98{,}1 < 122{,}6 < 196{,}2$ :

$\ev{D < A < B < C}$

Physical reading. All cases have a comparable total work (about $980\;\mathrm{J}$ , except B which does $2450$ ): it is time that decides. C wins because it does a large amount of work in the shortest time ( $5\;\mathrm{s}$ ); D loses because it spreads the work over $200\;\mathrm{s}$ . Power measures the rate at which energy is transferred, not the total amount.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Power Competenze: Ranking reasoning

Lavoro di una forza. Una forza di $50\;\mathrm{N}$ è applicata a un blocco per $5\;\mathrm{m}$ . Calcola il lavoro se la forza è parallela allo spostamento, poi se forma un angolo di $60^\circ$ con esso.

Soluzione

Dati: $F = 50\;\mathrm{N}$ , $s = 5\;\mathrm{m}$ . Il lavoro è $W = F\,s\cos\theta$ , con $\theta$ angolo fra forza e spostamento.

Caso 1 — forza parallela ( $\theta = 0$ ):

$W = F\,s\cos 0^\circ = 50\cdot 5\cdot 1 = 250\;\mathrm{J}$

$\ev{W = 250\;\mathrm{J}}$

Caso 2 — forza a $60^\circ$ :

$W = F\,s\cos 60^\circ = 50\cdot 5\cdot 0{,}5 = 125\;\mathrm{J}$

$\ev{W = 125\;\mathrm{J}}$

Lettura fisica. Solo la componente della forza lungo lo spostamento ( $F\cos\theta$ ) compie lavoro; la componente perpendicolare non contribuisce. A $60^\circ$ il coseno vale esattamente $1/2$ , quindi il lavoro si dimezza rispetto al caso parallelo, pur essendo la forza e lo spostamento identici in modulo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Lavoro di una forza Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Blocco

Work of a force. A force of $50\;\mathrm{N}$ is applied to a block over $5\;\mathrm{m}$ . Calculate the work if the force is parallel to the displacement, then if it makes an angle of $60^\circ$ with it.

Solution

Data: $F = 50\;\mathrm{N}$ , $s = 5\;\mathrm{m}$ . The work is $W = F\,s\cos\theta$ , where $\theta$ is the angle between the force and the displacement.

Case 1 — parallel force ( $\theta = 0$ ):

$W = F\,s\cos 0^\circ = 50\cdot 5\cdot 1 = 250\;\mathrm{J}$

$\ev{W = 250\;\mathrm{J}}$

Case 2 — force at $60^\circ$ :

$W = F\,s\cos 60^\circ = 50\cdot 5\cdot 0{,}5 = 125\;\mathrm{J}$

$\ev{W = 125\;\mathrm{J}}$

Physical reading. Only the component of the force along the displacement ( $F\cos\theta$ ) does work; the perpendicular component contributes nothing. At $60^\circ$ the cosine is exactly $1/2$ , so the work is halved compared with the parallel case, even though the force and displacement are identical in magnitude.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Work of a force Competenze: Symbolic set-up Oggetti: Block

Energia cinetica di un'auto. Calcola l'energia cinetica di un'auto da $1200\;\mathrm{kg}$ che viaggia a $80\;\mathrm{km/h}$ . A quale altezza di caduta corrisponde la stessa energia?

Soluzione

Dati: $m = 1200\;\mathrm{kg}$ , $v = 80\;\mathrm{km/h}$ . Converto la velocità in unità SI:

$v = \frac{80}{3{,}6} = 22{,}2\;\mathrm{m/s}$

Energia cinetica:

$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}(1200)(22{,}2)^2 = 600\cdot 493{,}8 \approx 2{,}96\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

$\ev{E_k \approx 2{,}96\cdot 10^5\;\mathrm{J}}$

Altezza equivalente. Cerco la quota $h$ da cui l’auto, cadendo nel vuoto, acquisterebbe la stessa energia: $mgh = E_k$ , cioè $h = E_k/(mg) = v^2/(2g)$ :

$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(22{,}2)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{493{,}8}{19{,}62} \approx 25{,}2\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 25\;\mathrm{m}}$

Lettura fisica. Schiantarsi a $80\;\mathrm{km/h}$ equivale a cadere da circa $25\;\mathrm{m}$ , cioè da un palazzo di 8-9 piani. La conversione rende tangibile quanta energia sia in gioco in un impatto stradale.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Impostazione simbolica

Kinetic energy of a car. Calculate the kinetic energy of a $1200\;\mathrm{kg}$ car travelling at $80\;\mathrm{km/h}$ . What fall height corresponds to the same energy?

Solution

Data: $m = 1200\;\mathrm{kg}$ , $v = 80\;\mathrm{km/h}$ . Convert the speed to SI units:

$v = \frac{80}{3{,}6} = 22{,}2\;\mathrm{m/s}$

Kinetic energy:

$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2}(1200)(22{,}2)^2 = 600\cdot 493{,}8 \approx 2{,}96\cdot 10^5\;\mathrm{J}$

$\ev{E_k \approx 2{,}96\cdot 10^5\;\mathrm{J}}$

Equivalent height. Find the height $h$ from which the car, falling freely, would gain the same energy: $mgh = E_k$ , i.e. $h = E_k/(mg) = v^2/(2g)$ :

$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(22{,}2)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{493{,}8}{19{,}62} \approx 25{,}2\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 25\;\mathrm{m}}$

Physical reading. Crashing at $80\;\mathrm{km/h}$ is equivalent to falling from about $25\;\mathrm{m}$ , i.e. from an 8-9 storey building. The conversion makes tangible how much energy is involved in a road impact.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Kinetic energy · Gravitational potential energy Competenze: Symbolic set-up

Energia potenziale gravitazionale. Una scatola di $5\;\mathrm{kg}$ viene sollevata da uno sgabello alto $50\;\mathrm{cm}$ a una mensola alta $1{,}8\;\mathrm{m}$ . Calcola la variazione di energia potenziale.

Soluzione

Dati: $m = 5\;\mathrm{kg}$ , quota iniziale $h_i = 0{,}50\;\mathrm{m}$ , quota finale $h_f = 1{,}8\;\mathrm{m}$ .

La variazione di energia potenziale gravitazionale dipende solo dal dislivello, non dal percorso:

$\Delta h = h_f - h_i = 1{,}8 - 0{,}50 = 1{,}3\;\mathrm{m}$

$\Delta E_p = mg\,\Delta h = 5\cdot 9{,}81\cdot 1{,}3 = 63{,}8\;\mathrm{J}$

$\ev{\Delta E_p \approx 63{,}8\;\mathrm{J}}$

Lettura fisica. Il valore è positivo perché la scatola sale: acquista energia potenziale a spese di chi la solleva. Conta solo la differenza di quota $\Delta h = 1{,}3\;\mathrm{m}$ : lo zero dell’energia potenziale (pavimento, sgabello o mensola) è arbitrario e si semplifica sempre nella differenza.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Impostazione simbolica

Gravitational potential energy. A $5\;\mathrm{kg}$ box is lifted from a stool $50\;\mathrm{cm}$ high onto a shelf $1{,}8\;\mathrm{m}$ high. Calculate the change in potential energy.

Solution

Data: $m = 5\;\mathrm{kg}$ , initial height $h_i = 0{,}50\;\mathrm{m}$ , final height $h_f = 1{,}8\;\mathrm{m}$ .

The change in gravitational potential energy depends only on the height difference, not on the path:

$\Delta h = h_f - h_i = 1{,}8 - 0{,}50 = 1{,}3\;\mathrm{m}$

$\Delta E_p = mg\,\Delta h = 5\cdot 9{,}81\cdot 1{,}3 = 63{,}8\;\mathrm{J}$

$\ev{\Delta E_p \approx 63{,}8\;\mathrm{J}}$

Physical reading. The value is positive because the box rises: it gains potential energy at the expense of whoever lifts it. Only the height difference $\Delta h = 1{,}3\;\mathrm{m}$ matters: the zero of potential energy (floor, stool or shelf) is arbitrary and always cancels in the difference.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Gravitational potential energy Competenze: Symbolic set-up

Molla compressa. Una molla con $k = 200\;\mathrm{N/m}$ viene compressa di $10\;\mathrm{cm}$ . Calcola l'energia immagazzinata e la velocità di una pallina di $50\;\mathrm{g}$ lanciata dalla molla quando torna alla posizione di equilibrio.

Soluzione

Dati: $k = 200\;\mathrm{N/m}$ , $x = 10\;\mathrm{cm} = 0{,}10\;\mathrm{m}$ , $m = 50\;\mathrm{g} = 0{,}05\;\mathrm{kg}$ .

Energia elastica immagazzinata:

$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0{,}10)^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0{,}01) = 1{,}0\;\mathrm{J}$

$\ev{U = 1{,}0\;\mathrm{J}}$

Velocità di lancio. Quando la molla torna all’equilibrio, tutta l’energia elastica è diventata energia cinetica della pallina (trascuro attriti):

$U = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2U}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}0}{0{,}05}} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}}$

Lettura fisica. La molla funziona da serbatoio di energia: assorbe $1\;\mathrm{J}$ durante la compressione e lo restituisce interamente come moto. Essendo $v \propto 1/\sqrt{m}$ , una pallina più leggera partirebbe più veloce a parità di energia.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Forza elastica e legge di Hooke · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Compressed spring. A spring with $k = 200\;\mathrm{N/m}$ is compressed by $10\;\mathrm{cm}$ . Calculate the stored energy and the speed of a $50\;\mathrm{g}$ ball launched by the spring as it returns to the equilibrium position.

Solution

Data: $k = 200\;\mathrm{N/m}$ , $x = 10\;\mathrm{cm} = 0{,}10\;\mathrm{m}$ , $m = 50\;\mathrm{g} = 0{,}05\;\mathrm{kg}$ .

Stored elastic energy:

$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0{,}10)^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0{,}01) = 1{,}0\;\mathrm{J}$

$\ev{U = 1{,}0\;\mathrm{J}}$

Launch speed. When the spring returns to equilibrium, all the elastic energy has become kinetic energy of the ball (neglecting friction):

$U = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2U}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}0}{0{,}05}} = \sqrt{40} \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 6{,}3\;\mathrm{m/s}}$

Physical reading. The spring acts as an energy reservoir: it absorbs $1\;\mathrm{J}$ during compression and returns it entirely as motion. Since $v \propto 1/\sqrt{m}$ , a lighter ball would leave faster for the same energy.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Elastic potential energy · Elastic force and Hooke’s law · Conservation of mechanical energy Competenze: Conservation of energy Oggetti: Spring

Lavoro contro l'attrito. Una scatola di $20\;\mathrm{kg}$ viene trascinata su un pavimento orizzontale per $10\;\mathrm{m}$ , con $\mu_d = 0{,}3$ . Calcola il lavoro fatto contro l'attrito. Quanta di quell'energia è recuperabile come moto?

Soluzione

Dati: $m = 20\;\mathrm{kg}$ , $s = 10\;\mathrm{m}$ , $\mu_d = 0{,}3$ . Su piano orizzontale la reazione normale eguaglia il peso: $N = mg$ .

Forza di attrito dinamico:

$f = \mu_d N = \mu_d\,mg = 0{,}3\cdot 20\cdot 9{,}81 = 58{,}9\;\mathrm{N}$

Lavoro fatto contro l’attrito (per vincerlo, la forza applicata percorre $s$ opponendosi a $f$ ):

$W = f\,s = 58{,}9\cdot 10 \approx 589\;\mathrm{J}$

$\ev{W \approx 589\;\mathrm{J}}$

Energia recuperabile come moto:

$\ev{0\;\mathrm{J}}$

Lettura fisica. L’attrito dinamico è una forza dissipativa, non conservativa: tutti i $589\;\mathrm{J}$ si trasformano in calore che scalda scatola e pavimento e si disperde nell’ambiente. Nessuna parte è recuperabile come energia cinetica ordinata: a differenza di una molla, l’attrito non ha un serbatoio da cui restituire energia. È il prezzo termico dello spostamento.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Lavoro di una forza · Attrito dinamico Oggetti: Blocco

Work against friction. A $20\;\mathrm{kg}$ box is dragged across a horizontal floor over $10\;\mathrm{m}$ , with $\mu_d = 0{,}3$ . Calculate the work done against friction. How much of that energy is recoverable as motion?

Solution

Data: $m = 20\;\mathrm{kg}$ , $s = 10\;\mathrm{m}$ , $\mu_d = 0{,}3$ . On a horizontal surface the normal reaction equals the weight: $N = mg$ .

Kinetic friction force:

$f = \mu_d N = \mu_d\,mg = 0{,}3\cdot 20\cdot 9{,}81 = 58{,}9\;\mathrm{N}$

Work done against friction (to overcome it, the applied force travels $s$ opposing $f$ ):

$W = f\,s = 58{,}9\cdot 10 \approx 589\;\mathrm{J}$

$\ev{W \approx 589\;\mathrm{J}}$

Energy recoverable as motion:

$\ev{0\;\mathrm{J}}$

Physical reading. Kinetic friction is a dissipative, non-conservative force: all $589\;\mathrm{J}$ turn into heat that warms the box and the floor and disperses into the environment. None of it is recoverable as ordered kinetic energy: unlike a spring, friction has no reservoir from which to return energy. It is the thermal price of displacement.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Thermal energy from friction · Work of a force · Kinetic friction Oggetti: Block

Pendolo da un'altezza. Un pendolo di lunghezza $L = 1\;\mathrm{m}$ è tirato a $60^\circ$ rispetto alla verticale e lasciato libero. Calcola la velocità al punto più basso. La massa influisce?

Soluzione

Dati: $L = 1\;\mathrm{m}$ , angolo iniziale $\theta = 60^\circ$ dalla verticale, partenza da fermo.

Dislivello. Nella posizione iniziale la massa è più alta del punto più basso di

$h = L(1 - \cos\theta) = 1\cdot(1 - \cos 60^\circ) = 1\cdot(1 - 0{,}5) = 0{,}5\;\mathrm{m}$

Conservazione dell’energia meccanica (filo ideale, nessun attrito). Tutta l’energia potenziale del punto di partenza diventa cinetica in fondo:

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}}$

La massa influisce?

$\ev{\text{No: } m \text{ si semplifica}}$

Nell’equazione $mgh = \tfrac12 mv^2$ la massa compare a entrambi i membri e si elide: $v = \sqrt{2gh}$ dipende solo da $g$ e dal dislivello. È lo stesso principio della caduta libera: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla massa.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Pendolo semplice

Pendulum from a height. A pendulum of length $L = 1\;\mathrm{m}$ is pulled to $60^\circ$ from the vertical and released. Calculate the speed at the lowest point. Does the mass matter?

Solution

Data: $L = 1\;\mathrm{m}$ , initial angle $\theta = 60^\circ$ from the vertical, starting from rest.

Height difference. In the initial position the mass is higher than the lowest point by

$h = L(1 - \cos\theta) = 1\cdot(1 - \cos 60^\circ) = 1\cdot(1 - 0{,}5) = 0{,}5\;\mathrm{m}$

Conservation of mechanical energy (ideal string, no friction). All the potential energy at the starting point becomes kinetic energy at the bottom:

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}}$

Does the mass matter?

$\ev{\text{No: } m \text{ cancels out}}$

In the equation $mgh = \tfrac12 mv^2$ the mass appears on both sides and cancels: $v = \sqrt{2gh}$ depends only on $g$ and the height difference. It is the same principle as free fall: all bodies fall with the same acceleration, regardless of mass.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Conservation of mechanical energy · Gravitational potential energy Competenze: Conservation of energy Oggetti: Simple pendulum

Da $E_k$ alla velocità. Una palla di $0{,}5\;\mathrm{kg}$ ha energia cinetica $E_k = 100\;\mathrm{J}$ . Calcola la sua velocità.

Soluzione

Dati: $m = 0{,}5\;\mathrm{kg}$ , $E_k = 100\;\mathrm{J}$ .

Inverto la definizione di energia cinetica $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ per ricavare $v$ :

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 100}{0{,}5}} = \sqrt{400} = 20\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v = 20\;\mathrm{m/s}}$

Lettura fisica. Il conto è esatto: $\sqrt{400} = 20$ senza approssimazioni. Nota la dipendenza $v \propto \sqrt{E_k}$ : per raddoppiare la velocità servirebbe quadruplicare l’energia cinetica.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

From $E_k$ to speed. A $0{,}5\;\mathrm{kg}$ ball has kinetic energy $E_k = 100\;\mathrm{J}$ . Calculate its speed.

Solution

Data: $m = 0{,}5\;\mathrm{kg}$ , $E_k = 100\;\mathrm{J}$ .

Invert the definition of kinetic energy $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ to obtain $v$ :

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 100}{0{,}5}} = \sqrt{400} = 20\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v = 20\;\mathrm{m/s}}$

Physical reading. The calculation is exact: $\sqrt{400} = 20$ with no approximation. Note the dependence $v \propto \sqrt{E_k}$ : to double the speed you would need to quadruple the kinetic energy.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Kinetic energy Competenze: Symbolic set-up

Dalla quota alla velocità all'urto. Una pietra cade da $h = 10\;\mathrm{m}$ nel vuoto. Calcola la velocità con cui tocca terra.

Soluzione

Dati: $h = 10\;\mathrm{m}$ , caduta nel vuoto (nessun attrito dell’aria), partenza da fermo.

Conservazione dell’energia meccanica. L’energia potenziale iniziale diventa tutta cinetica all’arrivo:

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 10} = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}0\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 14{,}0\;\mathrm{m/s} \approx 50\;\mathrm{km/h}}$

Lettura fisica. La massa non compare: qualsiasi pietra, leggera o pesante, arriva a terra a $14\;\mathrm{m/s}$ (nel vuoto). Convertendo, $14{,}0\cdot 3{,}6 \approx 50\;\mathrm{km/h}$ : cadere da $10\;\mathrm{m}$ (terzo piano) equivale a essere investiti a velocità urbana.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione dell’energia

From height to impact speed. A stone falls from $h = 10\;\mathrm{m}$ in a vacuum. Calculate the speed at which it hits the ground.

Solution

Data: $h = 10\;\mathrm{m}$ , fall in a vacuum (no air resistance), starting from rest.

Conservation of mechanical energy. The initial potential energy becomes entirely kinetic on arrival:

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 10} = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}0\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 14{,}0\;\mathrm{m/s} \approx 50\;\mathrm{km/h}}$

Physical reading. The mass does not appear: any stone, light or heavy, reaches the ground at $14\;\mathrm{m/s}$ (in a vacuum). Converting, $14{,}0\cdot 3{,}6 \approx 50\;\mathrm{km/h}$ : falling from $10\;\mathrm{m}$ (third floor) is equivalent to being hit at urban speed.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Conservation of mechanical energy · Gravitational potential energy Competenze: Conservation of energy

Motore d'ascensore. Un motore da $1500\;\mathrm{W}$ eroga lavoro su un ascensore per $30\;\mathrm{s}$ . Sapendo che porta $400\;\mathrm{kg}$ , calcola l'altezza guadagnata.

Soluzione

Dati: $P = 1500\;\mathrm{W}$ , $t = 30\;\mathrm{s}$ , $m = 400\;\mathrm{kg}$ .

Lavoro erogato dal motore (potenza per tempo):

$W = P\,t = 1500\cdot 30 = 45\,000\;\mathrm{J}$

Altezza. Assumendo che tutto il lavoro diventi energia potenziale gravitazionale ( $W = mgh$ ):

$h = \frac{W}{mg} = \frac{45\,000}{400\cdot 9{,}81} = \frac{45\,000}{3924} \approx 11{,}5\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 11{,}5\;\mathrm{m} \ (\sim 4\ \text{piani})}$

Lettura fisica. In $30\;\mathrm{s}$ un motore modesto solleva $400\;\mathrm{kg}$ di circa 4 piani. Il conto è un limite ideale: nella realtà attriti delle guide e resistenze riducono l’altezza effettiva, quindi $11{,}5\;\mathrm{m}$ è il massimo teorico.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza · Energia potenziale gravitazionale Oggetti: Ascensore

Lift motor. A $1500\;\mathrm{W}$ motor delivers work to a lift for $30\;\mathrm{s}$ . Knowing it carries $400\;\mathrm{kg}$ , calculate the height gained.

Solution

Data: $P = 1500\;\mathrm{W}$ , $t = 30\;\mathrm{s}$ , $m = 400\;\mathrm{kg}$ .

Work delivered by the motor (power times time):

$W = P\,t = 1500\cdot 30 = 45\,000\;\mathrm{J}$

Height. Assuming all the work becomes gravitational potential energy ( $W = mgh$ ):

$h = \frac{W}{mg} = \frac{45\,000}{400\cdot 9{,}81} = \frac{45\,000}{3924} \approx 11{,}5\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 11{,}5\;\mathrm{m} \ (\sim 4\ \text{storeys})}$

Physical reading. In $30\;\mathrm{s}$ a modest motor lifts $400\;\mathrm{kg}$ by about 4 storeys. The calculation is an ideal limit: in reality, guide friction and resistances reduce the actual height, so $11{,}5\;\mathrm{m}$ is the theoretical maximum.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Power · Gravitational potential energy Oggetti: Lift

Fantafisica: senza conservazione dell'energia. Che cosa cambierebbe nel mondo se l'energia non si conservasse? Discuti, citando almeno una macchina o un fenomeno che oggi sarebbe possibile.

Soluzione

Se l’energia non si conservasse, cadrebbe il primo principio della termodinamica, che afferma $\Delta U = Q - W$ con l’energia totale costante in un sistema isolato.

Cosa diventerebbe possibile. Il moto perpetuo di prima specie: una macchina che produce lavoro dal nulla, senza consumare alcuna sorgente di energia. Esempi che oggi sono impossibili:

una ruota che gira all’infinito e aziona un generatore senza carburante né batteria;

scaldare una stanza gratis, creando calore senza bruciare nulla;

un’automobile che accelera indefinitamente senza serbatoio.

Conseguenze. Centrali elettriche, batterie, carburanti e reti energetiche sarebbero inutili: l’energia si potrebbe generare in casa dal nulla. L’intera economia e la fisica come le conosciamo crollerebbero.

Perché non accade. Il primo principio non è un teorema dimostrato a priori: è una legge empirica. Nasce dal fatto sperimentale che, in secoli di tentativi, nessuna macchina con $W > Q$ ha mai funzionato. Ogni volta che l’energia sembrava sparire, si è scoperto un serbatoio nascosto (calore, energia interna, massa-energia). La conservazione è la generalizzazione di questo fallimento sistematico del moto perpetuo.

$\ev{\text{Senza conservazione} \Rightarrow \text{moto perpetuo di prima specie}}$

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Speculative physics: without energy conservation. What would change in the world if energy were not conserved? Discuss, citing at least one machine or phenomenon that would be possible today.

Solution

If energy were not conserved, the first law of thermodynamics would fall, which states $\Delta U = Q - W$ with the total energy constant in an isolated system.

What would become possible. Perpetual motion of the first kind: a machine that produces work out of nothing, without consuming any energy source. Examples that are impossible today:

a wheel that spins forever and drives a generator with no fuel or battery;

heating a room for free, creating heat without burning anything;

a car that accelerates indefinitely with no fuel tank.

Consequences. Power plants, batteries, fuels and energy grids would be useless: energy could be generated at home from nothing. The whole economy and physics as we know it would collapse.

Why it doesn’t happen. The first law is not a theorem proved a priori: it is an empirical law. It arises from the experimental fact that, over centuries of attempts, no machine with $W > Q$ has ever worked. Every time energy seemed to disappear, a hidden reservoir was discovered (heat, internal energy, mass-energy). Conservation is the generalisation of this systematic failure of perpetual motion.

$\ev{\text{Without conservation} \Rightarrow \text{perpetual motion of the first kind}}$

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Argomenti: Work and energy Concetti: Conservation of mechanical energy Competenze: Analysis of limiting cases and speculative physics

Fantafisica: gravità doppia. Se $g$ raddoppiasse, come cambierebbero l'energia potenziale, la velocità di caduta e l'altezza massima di un salto? Discuti.

Soluzione

Analizzo le tre grandezze in funzione di $g$ , tenendo fissi massa $m$ , quota $h$ e velocità iniziale di salto $v_0$ .

Energia potenziale. $E_p = mgh$ è lineare in $g$ : se $g \to 2g$ ,

$E_p' = m(2g)h = 2\,mgh = 2\,E_p \quad\Rightarrow\quad \text{raddoppia}$

Velocità di caduta. Da $mgh = \tfrac12 mv^2$ segue $v_\text{caduta} = \sqrt{2gh}$ , che va come $\sqrt{g}$ :

$v' = \sqrt{2(2g)h} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2gh} = \sqrt{2}\;v_\text{caduta} \quad\Rightarrow\quad \times\sqrt{2} \approx \times 1{,}41$

Altezza massima di un salto. Data la spinta iniziale $v_0$ , il corpo sale finché $\tfrac12 mv_0^2 = mg\,h_\text{max}$ , cioè $h_\text{max} = v_0^2/(2g)$ , che va come $1/g$ :

$h_\text{max}' = \frac{v_0^2}{2(2g)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{v_0^2}{2g} = \tfrac12\,h_\text{max} \quad\Rightarrow\quad \text{si dimezza}$

$\ev{E_p:\ \times 2; \qquad v_\text{caduta}:\ \times\sqrt{2}; \qquad h_\text{max}:\ \times\tfrac12}$

Lettura fisica. Un mondo a gravità doppia sarebbe molto più ostile ai movimenti: si salterebbe la metà in altezza e le cadute sarebbero molto più violente (energia d’impatto $E_p$ doppia, velocità $\times 1{,}41$ ). La biologia dei movimenti animali — ossa, muscoli, andature — ne uscirebbe stravolta.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Speculative physics: double gravity. If $g$ doubled, how would the potential energy, the fall speed and the maximum height of a jump change? Discuss.

Solution

Analyse the three quantities as functions of $g$ , keeping the mass $m$ , the height $h$ and the initial jump speed $v_0$ fixed.

Potential energy. $E_p = mgh$ is linear in $g$ : if $g \to 2g$ ,

$E_p' = m(2g)h = 2\,mgh = 2\,E_p \quad\Rightarrow\quad \text{doubles}$

Fall speed. From $mgh = \tfrac12 mv^2$ it follows that $v_\text{fall} = \sqrt{2gh}$ , which goes as $\sqrt{g}$ :

$v' = \sqrt{2(2g)h} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2gh} = \sqrt{2}\;v_\text{fall} \quad\Rightarrow\quad \times\sqrt{2} \approx \times 1{,}41$

Maximum jump height. Given the initial push $v_0$ , the body rises until $\tfrac12 mv_0^2 = mg\,h_\text{max}$ , i.e. $h_\text{max} = v_0^2/(2g)$ , which goes as $1/g$ :

$h_\text{max}' = \frac{v_0^2}{2(2g)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{v_0^2}{2g} = \tfrac12\,h_\text{max} \quad\Rightarrow\quad \text{is halved}$

$\ev{E_p:\ \times 2; \qquad v_\text{fall}:\ \times\sqrt{2}; \qquad h_\text{max}:\ \times\tfrac12}$

Physical reading. A world with double gravity would be much more hostile to movement: you would jump half as high and falls would be much more violent (impact energy $E_p$ doubled, speed $\times 1{,}41$ ). The biology of animal movement — bones, muscles, gaits — would be thoroughly upended.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Gravitational potential energy Competenze: Analysis of limiting cases and speculative physics

Pendolo balistico. Una pallottola di $20\;\mathrm{g}$ a $400\;\mathrm{m/s}$ si conficca in un blocco di $2\;\mathrm{kg}$ appeso a un filo. Combinando conservazione della quantità di moto nell'urto e conservazione dell'energia meccanica dopo, calcola l'altezza a cui sale il blocco.

Soluzione

Dati: pallottola $m = 20\;\mathrm{g} = 0{,}02\;\mathrm{kg}$ , $v_0 = 400\;\mathrm{m/s}$ ; blocco $M = 2\;\mathrm{kg}$ .

Il problema ha due fasi che richiedono principi diversi.

Fase 1 — urto anelastico (conservazione della quantità di moto). L’urto è brevissimo: pallottola e blocco restano uniti. L’energia cinetica non si conserva (parte diventa calore e deformazione), ma la quantità di moto sì:

$m v_0 = (m + M)\,v_f \quad\Rightarrow\quad v_f = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{0{,}02\cdot 400}{0{,}02 + 2} = \frac{8}{2{,}02} \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v_f \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}}$

Fase 2 — salita (conservazione dell’energia meccanica). Dopo l’urto il blocco+pallottola oscilla verso l’alto: l’energia cinetica appena acquisita diventa potenziale:

$\tfrac{1}{2}(m+M)v_f^2 = (m+M)gh \quad\Rightarrow\quad h = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{(3{,}96)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{15{,}7}{19{,}62} \approx 0{,}80\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 0{,}80\;\mathrm{m}}$

Lettura fisica. L’errore classico è applicare la conservazione dell’energia anche all’urto: sbagliato, perché l’urto anelastico dissipa energia cinetica (qui oltre il $99\%$ : da $\tfrac12 m v_0^2 = 1600\;\mathrm{J}$ a $\tfrac12(m+M)v_f^2 \approx 15{,}8\;\mathrm{J}$ ). La quantità di moto invece si conserva nell’urto perché non agiscono forze esterne orizzontali impulsive. Misurando $h$ si risale a $v_0$ : è così che funziona il pendolo balistico per misurare la velocità dei proiettili.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Quantità di moto · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Pendolo balistico

Ballistic pendulum. A $20\;\mathrm{g}$ bullet at $400\;\mathrm{m/s}$ embeds itself in a $2\;\mathrm{kg}$ block hanging from a string. Combining conservation of momentum in the collision and conservation of mechanical energy afterwards, calculate the height to which the block rises.

Solution

Data: bullet $m = 20\;\mathrm{g} = 0{,}02\;\mathrm{kg}$ , $v_0 = 400\;\mathrm{m/s}$ ; block $M = 2\;\mathrm{kg}$ .

The problem has two stages requiring different principles.

Stage 1 — inelastic collision (conservation of momentum). The collision is extremely brief: the bullet and block stick together. Kinetic energy is not conserved (part becomes heat and deformation), but momentum is:

$m v_0 = (m + M)\,v_f \quad\Rightarrow\quad v_f = \frac{m v_0}{m + M} = \frac{0{,}02\cdot 400}{0{,}02 + 2} = \frac{8}{2{,}02} \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v_f \approx 3{,}96\;\mathrm{m/s}}$

Stage 2 — rise (conservation of mechanical energy). After the collision the block+bullet swings upward: the kinetic energy just gained becomes potential energy:

$\tfrac{1}{2}(m+M)v_f^2 = (m+M)gh \quad\Rightarrow\quad h = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{(3{,}96)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{15{,}7}{19{,}62} \approx 0{,}80\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 0{,}80\;\mathrm{m}}$

Physical reading. The classic mistake is to apply conservation of energy to the collision as well: wrong, because the inelastic collision dissipates kinetic energy (here over $99\%$ : from $\tfrac12 m v_0^2 = 1600\;\mathrm{J}$ to $\tfrac12(m+M)v_f^2 \approx 15{,}8\;\mathrm{J}$ ). Momentum, however, is conserved in the collision because no impulsive external horizontal forces act. Measuring $h$ lets you work back to $v_0$ : this is how the ballistic pendulum is used to measure projectile speeds.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Momentum · Conservation of mechanical energy Competenze: Conservation of momentum Oggetti: Ballistic pendulum

Sintesi: piano inclinato e molla. Un blocco di $1\;\mathrm{kg}$ parte da fermo in cima a un piano inclinato di $30^\circ$ alto $2\;\mathrm{m}$ , scivola giù con $\mu_d = 0{,}2$ , e in fondo urta una molla con $k = 500\;\mathrm{N/m}$ . Calcola la compressione massima.

Soluzione

Dati: $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $\theta = 30^\circ$ , altezza $h = 2\;\mathrm{m}$ , $\mu_d = 0{,}2$ , $k = 500\;\mathrm{N/m}$ .

Lunghezza del piano. Il blocco scende lungo il piano per un tratto

$L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\;\mathrm{m}$

Bilancio energetico. L’energia potenziale gravitazionale iniziale in parte è dissipata dall’attrito lungo il piano, in parte finisce nella molla come energia elastica. La forza d’attrito sul piano è $f = \mu_d N = \mu_d\,mg\cos\theta$ , e compie lavoro dissipativo $Q = f\,L$ :

$mgh = Q + \tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2, \qquad Q = \mu_d\,mg\cos\theta\;L$

Calcolo dei termini (uso $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$ ):

$mgh = 1\cdot 9{,}81\cdot 2 = 19{,}62\;\mathrm{J}$

$Q = 0{,}2\cdot 1\cdot 9{,}81\cdot 0{,}866\cdot 4 = 6{,}80\;\mathrm{J}$

Energia disponibile per la molla:

$\tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2 = mgh - Q = 19{,}62 - 6{,}80 = 12{,}82\;\mathrm{J}$

Compressione massima:

$x_\text{max} = \sqrt{\frac{2(mgh - Q)}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot 12{,}82}{500}} = \sqrt{0{,}0513} \approx 0{,}227\;\mathrm{m}$

$\ev{x_\text{max} \approx 0{,}227\;\mathrm{m} \approx 22{,}7\;\mathrm{cm}}$

Lettura fisica. Senza attrito la molla immagazzinerebbe tutti i $19{,}62\;\mathrm{J}$ (compressione maggiore); l’attrito ne sottrae circa $6{,}8\;\mathrm{J}$ come calore, riducendo la compressione. Il problema unisce tre serbatoi di energia — gravitazionale, termico (attrito) ed elastico — in un unico bilancio.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato · Molla

Synthesis: inclined plane and spring. A $1\;\mathrm{kg}$ block starts from rest at the top of a $30^\circ$ inclined plane that is $2\;\mathrm{m}$ high, slides down with $\mu_d = 0{,}2$ , and at the bottom hits a spring with $k = 500\;\mathrm{N/m}$ . Calculate the maximum compression.

Solution

Data: $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $\theta = 30^\circ$ , height $h = 2\;\mathrm{m}$ , $\mu_d = 0{,}2$ , $k = 500\;\mathrm{N/m}$ .

Length of the plane. The block travels down the plane over a stretch

$L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{0{,}5} = 4\;\mathrm{m}$

Energy balance. The initial gravitational potential energy is partly dissipated by friction along the plane, and partly ends up in the spring as elastic energy. The friction force on the plane is $f = \mu_d N = \mu_d\,mg\cos\theta$ , and it does dissipative work $Q = f\,L$ :

$mgh = Q + \tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2, \qquad Q = \mu_d\,mg\cos\theta\;L$

Calculating the terms (using $\cos 30^\circ \approx 0{,}866$ ):

$mgh = 1\cdot 9{,}81\cdot 2 = 19{,}62\;\mathrm{J}$

$Q = 0{,}2\cdot 1\cdot 9{,}81\cdot 0{,}866\cdot 4 = 6{,}80\;\mathrm{J}$

Energy available for the spring:

$\tfrac{1}{2}k x_\text{max}^2 = mgh - Q = 19{,}62 - 6{,}80 = 12{,}82\;\mathrm{J}$

Maximum compression:

$x_\text{max} = \sqrt{\frac{2(mgh - Q)}{k}} = \sqrt{\frac{2\cdot 12{,}82}{500}} = \sqrt{0{,}0513} \approx 0{,}227\;\mathrm{m}$

$\ev{x_\text{max} \approx 0{,}227\;\mathrm{m} \approx 22{,}7\;\mathrm{cm}}$

Physical reading. Without friction the spring would store all $19{,}62\;\mathrm{J}$ (greater compression); friction removes about $6{,}8\;\mathrm{J}$ of it as heat, reducing the compression. The problem combines three energy reservoirs — gravitational, thermal (friction) and elastic — in a single balance.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Conservation of mechanical energy · Elastic potential energy · Thermal energy from friction Competenze: Resolution on the inclined plane Oggetti: Inclined plane · Spring

Bilancio del motore. Spiega il bilancio energetico di un'auto a velocità costante in pianura: dove va a finire l'energia chimica del carburante? Indica almeno tre canali di dissipazione.

Soluzione

Punto di partenza: velocità costante. In pianura a velocità costante l’auto non accelera e non cambia quota, quindi

$\Delta E_k = 0 \qquad \Delta E_p = 0$

Nessuna energia si accumula come moto o come quota: tutta l’energia chimica del carburante finisce, prima o poi, dispersa nell’ambiente come calore. Il bilancio dice come si ripartisce.

I canali (valori tipici di un motore a combustione):

Calore diretto del motore ( $\sim 60$ – $70\%$ ). La combustione è un processo termico a rendimento limitato: gran parte dell’energia esce come calore nei gas di scarico e nel liquido di raffreddamento. È la voce dominante.

Lavoro meccanico utile ( $\sim 25$ – $30\%$ ). Muove l’auto, ma a velocità costante serve solo a vincere le resistenze: attrito volvente delle gomme e, soprattutto, resistenza dell’aria (che cresce con $v^2$ ). Anche questo lavoro diventa quindi calore nell’ambiente.

Accessori ( $\sim 5\%$ ). Alternatore, climatizzatore, pompe, elettronica. Ancora energia che termina come calore.

Sintesi del bilancio:

$\ev{E_\text{chimica} \to \underbrace{Q_\text{motore}}_{\sim 65\%} + \underbrace{W_\text{meccanico}}_{\sim 27\%} + \underbrace{E_\text{accessori}}_{\sim 5\%} \ \to\ \text{tutto calore}}$

Lettura fisica. A regime l’auto è una macchina che converte energia chimica in calore ambientale, passando per una piccola frazione di lavoro meccanico che serve solo a mantenere il moto contro gli attriti. Il rendimento complessivo basso ( $\sim 25\%$ ) è una conseguenza del secondo principio, non un difetto costruttivo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito Competenze: Bilancio energetico a bolle

Engine balance. Explain the energy balance of a car travelling at constant speed on flat ground: where does the chemical energy of the fuel end up? Give at least three dissipation channels.

Solution

Starting point: constant speed. On flat ground at constant speed the car neither accelerates nor changes height, so

$\Delta E_k = 0 \qquad \Delta E_p = 0$

No energy accumulates as motion or as height: all the fuel’s chemical energy ends up, sooner or later, dispersed into the environment as heat. The balance describes how it is distributed.

The channels (typical values for a combustion engine):

Direct engine heat ( $\sim 60$ – $70\%$ ). Combustion is a thermal process with limited efficiency: most of the energy leaves as heat in the exhaust gases and coolant. This is the dominant share.

Useful mechanical work ( $\sim 25$ – $30\%$ ). Moves the car, but at constant speed it only serves to overcome resistances: rolling friction of the tyres and, above all, air resistance (which grows with $v^2$ ). This work too therefore becomes heat in the environment.

Accessories ( $\sim 5\%$ ). Alternator, air conditioning, pumps, electronics. Again energy that ends up as heat.

Summary of the balance:

$\ev{E_\text{chemical} \to \underbrace{Q_\text{engine}}_{\sim 65\%} + \underbrace{W_\text{mechanical}}_{\sim 27\%} + \underbrace{E_\text{accessories}}_{\sim 5\%} \ \to\ \text{all heat}}$

Physical reading. At cruising speed the car is a machine that converts chemical energy into ambient heat, passing through a small fraction of mechanical work that only serves to sustain motion against friction. The low overall efficiency ( $\sim 25\%$ ) is a consequence of the second law, not a design flaw.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Thermal energy from friction Competenze: Bubble energy balance

Pendolo che si ferma. Spiega perché un pendolo reale, prima o poi, si ferma, in termini di bilancio energetico.

Soluzione

Il pendolo ideale non si fermerebbe mai. Con conservazione dell’energia meccanica, l’energia si scambia continuamente fra le due forme senza perdite:

$E_\text{mecc} = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{costante}$

In fondo tutta cinetica, agli estremi tutta potenziale: oscillerebbe con la stessa ampiezza per sempre.

Il pendolo reale ha forze dissipative. A ogni oscillazione due attriti sottraggono energia meccanica:

la resistenza dell’aria sul filo e sulla massa;

l’attrito nel perno di sospensione.

Entrambi compiono lavoro negativo e trasformano energia meccanica in calore. Quindi $E_\text{mecc}$ non è più costante ma decresce a ogni passaggio:

$\ev{E_\text{mecc} = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh \ \searrow\ \text{convertendosi in calore}}$

Conclusione. L’ampiezza delle oscillazioni si riduce progressivamente (moto smorzato) finché tutta l’energia meccanica iniziale è diventata calore disperso: il pendolo si ferma nel punto più basso, il suo punto di equilibrio stabile, dove l’energia potenziale è minima. L’energia totale si conserva sempre — semplicemente è migrata dalla forma meccanica ordinata a quella termica disordinata.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia termica da attrito · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Bilancio energetico a bolle Oggetti: Pendolo semplice

Pendulum that stops. Explain why a real pendulum, sooner or later, stops, in terms of energy balance.

Solution

The ideal pendulum would never stop. With conservation of mechanical energy, energy is continuously exchanged between the two forms with no losses:

$E_\text{mecc} = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{constant}$

Entirely kinetic at the bottom, entirely potential at the extremes: it would swing with the same amplitude forever.

The real pendulum has dissipative forces. On every swing two friction effects remove mechanical energy:

air resistance on the string and the mass;

friction at the pivot of the suspension.

Both do negative work and turn mechanical energy into heat. So $E_\text{mecc}$ is no longer constant but decreases on every pass:

$\ev{E_\text{mecc} = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh \ \searrow\ \text{converting into heat}}$

Conclusion. The amplitude of the oscillations progressively shrinks (damped motion) until all the initial mechanical energy has become dispersed heat: the pendulum stops at the lowest point, its stable equilibrium point, where the potential energy is minimum. Total energy is always conserved — it has simply migrated from the ordered mechanical form to the disordered thermal one.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Thermal energy from friction · Conservation of mechanical energy Competenze: Bubble energy balance Oggetti: Simple pendulum

Lettura grafico: $E(x)$ in pendolo. Il grafico mostra $E_k$ e $E_p$ in funzione della posizione $x$ di un pendolo: $E_p$ è una parabola con minimo in $x = 0$ , $E_k$ è la sua riflessa. Identifica $E_\text{tot}$ sul grafico e discuti la conservazione.

Soluzione

Identificazione di $E_\text{tot}$ . L’energia meccanica totale è la somma punto per punto delle due curve:

$E_\text{tot}(x) = E_k(x) + E_p(x)$

Nel grafico $E_p$ è la parabola $E_p \propto x^2$ (minimo al centro) ed $E_k$ è la sua riflessa. Sommandole, il termine in $x^2$ si cancella: il risultato è una linea orizzontale (tratteggiata, sopra entrambe le curve). Questa retta costante è $E_\text{tot}$ .

Lettura punto per punto:

Al centro ( $x = 0$ ): $E_p$ è minima (zero), quindi $E_k$ è massima. Il pendolo passa dal punto più basso alla massima velocità.

Agli estremi (punti di inversione): $E_k = 0$ (il pendolo è fermo un istante), quindi $E_p$ è massima. Qui il moto inverte.

In ogni punto intermedio: ciò che una curva perde, l’altra guadagna, e la somma resta la stessa.

Conservazione:

$\ev{E_\text{tot} = E_k(x) + E_p(x) = \text{costante} \ \Rightarrow\ \text{retta orizzontale}}$

Lettura fisica. Il grafico visualizza la conservazione dell’energia meccanica: l’energia non si crea né si distrugge, si travasa continuamente fra cinetica e potenziale mentre il pendolo oscilla. La linea orizzontale di $E_\text{tot}$ è la firma grafica di questa conservazione (valida per il pendolo ideale, senza attriti).

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Pendolo semplice

Graph reading: $E(x)$ for a pendulum. The graph shows $E_k$ and $E_p$ as functions of the position $x$ of a pendulum: $E_p$ is a parabola with a minimum at $x = 0$ , $E_k$ is its reflection. Identify $E_\text{tot}$ on the graph and discuss conservation.

Solution

Identifying $E_\text{tot}$ . The total mechanical energy is the point-by-point sum of the two curves:

$E_\text{tot}(x) = E_k(x) + E_p(x)$

In the graph $E_p$ is the parabola $E_p \propto x^2$ (minimum at the centre) and $E_k$ is its reflection. Adding them, the $x^2$ term cancels: the result is a horizontal line (dashed, above both curves). This constant line is $E_\text{tot}$ .

Point-by-point reading:

At the centre ( $x = 0$ ): $E_p$ is minimum (zero), so $E_k$ is maximum. The pendulum passes through the lowest point at maximum speed.

At the extremes (turning points): $E_k = 0$ (the pendulum is momentarily at rest), so $E_p$ is maximum. Here the motion reverses.

At every intermediate point: whatever one curve loses, the other gains, and the sum stays the same.

Conservation:

$\ev{E_\text{tot} = E_k(x) + E_p(x) = \text{constant} \ \Rightarrow\ \text{horizontal line}}$

Physical reading. The graph visualises conservation of mechanical energy: energy is neither created nor destroyed, it is continuously transferred between kinetic and potential as the pendulum swings. The horizontal line of $E_\text{tot}$ is the graphical signature of this conservation (valid for the ideal pendulum, with no friction).

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Argomenti: Work and energy Concetti: Conservation of mechanical energy Competenze: Reading graphs Oggetti: Simple pendulum

Lettura grafico: $F(x)$ di una molla. Il grafico mostra la forza esercitata da una molla in funzione dell'allungamento: una retta passante per l'origine, $F = kx$ , con $k = 100\;\mathrm{N/m}$ . Calcola l'energia elastica accumulata per $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ come area sotto la curva, e verifica con la formula $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ .

Soluzione

Dati: $k = 100\;\mathrm{N/m}$ , $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ . La forza elastica segue la legge di Hooke $F = kx$ : nel grafico è una retta per l’origine.

Metodo 1 — area sotto la curva. Il lavoro fatto sulla molla (energia accumulata) è l’area fra la retta $F(x)$ e l’asse $x$ , cioè un triangolo. La forza massima raggiunta a $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ vale

$F_\text{max} = kx = 100\cdot 0{,}10 = 10\;\mathrm{N}$

L’area del triangolo (base $= x$ , altezza $= F_\text{max}$ ):

$U = \tfrac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altezza} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}10\cdot 10 = 0{,}5\;\mathrm{J}$

Metodo 2 — formula. Verifica con $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ :

$U = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}10)^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}01) = 0{,}5\;\mathrm{J}$

I due metodi coincidono:

$\ev{U = \tfrac{1}{2}kx^2 = 0{,}5\;\mathrm{J}}$

Lettura fisica. La formula $U = \tfrac12 kx^2$ è l’area del triangolo sotto la retta $F = kx$ : geometria e algebra dicono la stessa cosa. Poiché la forza non è costante ma cresce linearmente, non si usa il rettangolo $F_\text{max}\cdot x$ (darebbe il doppio), bensì il triangolo. Il fattore $\tfrac12$ nella formula elastica ha proprio origine geometrica.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

Reading a graph: $F(x)$ of a spring. The graph shows the force exerted by a spring as a function of extension: a straight line through the origin, $F = kx$ , with $k = 100\;\mathrm{N/m}$ . Calculate the elastic energy stored for $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ as the area under the curve, and check it with the formula $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ .

Solution

Data: $k = 100\;\mathrm{N/m}$ , $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ . The elastic force follows Hooke’s law $F = kx$ : on the graph it is a straight line through the origin.

Method 1 — area under the curve. The work done on the spring (stored energy) is the area between the line $F(x)$ and the $x$ axis, i.e. a triangle. The maximum force reached at $x = 0{,}10\;\mathrm{m}$ is

$F_\text{max} = kx = 100\cdot 0{,}10 = 10\;\mathrm{N}$

The area of the triangle (base $= x$ , height $= F_\text{max}$ ):

$U = \tfrac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{height} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}10\cdot 10 = 0{,}5\;\mathrm{J}$

Method 2 — formula. Check with $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ :

$U = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}10)^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0{,}01) = 0{,}5\;\mathrm{J}$

The two methods agree:

$\ev{U = \tfrac{1}{2}kx^2 = 0{,}5\;\mathrm{J}}$

Physical reading. The formula $U = \tfrac12 kx^2$ is the area of the triangle under the line $F = kx$ : geometry and algebra say the same thing. Since the force is not constant but grows linearly, we do not use the rectangle $F_\text{max}\cdot x$ (that would give double), but the triangle. The factor $\tfrac12$ in the elastic formula has precisely this geometric origin.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Elastic potential energy · Elastic force and Hooke’s law Competenze: Reading graphs Oggetti: Spring

Stima Fermi: la caloria di una mela. A quale altezza dovresti sollevare la tua massa per spendere l'energia di una mela ( $\sim 80$ kcal $\approx 335\;\mathrm{kJ}$ ), assumendo $m = 70\;\mathrm{kg}$ ? Confronta con un edificio noto.

Soluzione

Dati: energia mela $E \approx 335\;\mathrm{kJ} = 335\,000\;\mathrm{J}$ , massa $m = 70\;\mathrm{kg}$ .

Impostazione. L’energia spesa per sollevarsi di una quota $h$ è $E = mgh$ . Ricavo $h$ :

$h = \frac{E}{mg} = \frac{335\,000}{70\cdot 9{,}81} = \frac{335\,000}{686{,}7} \approx 488\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 488\;\mathrm{m}}$

Confronto. $488\;\mathrm{m}$ corrisponde a un grattacielo altissimo: l’Empire State Building ( $\sim 380\;\mathrm{m}$ al tetto, oltre 100 piani) o poco più. Per bruciare una sola mela dovresti salire a piedi circa 130 piani.

Lettura fisica. La stima svela un fatto sorprendente: l’energia chimica del cibo è densissima rispetto all’energia meccanica gravitazionale. Una piccola mela contiene tanta energia quanta ne serve per issare 70 kg fino a mezzo chilometro d’altezza. Ecco perché è molto più facile ingerire calorie che smaltirle con l’attività fisica.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale Competenze: Stime di Fermi

Fermi estimate: the calorie of an apple. To what height would you have to lift your own mass to spend the energy of an apple ( $\sim 80$ kcal $\approx 335\;\mathrm{kJ}$ ), assuming $m = 70\;\mathrm{kg}$ ? Compare with a well-known building.

Solution

Data: apple energy $E \approx 335\;\mathrm{kJ} = 335\,000\;\mathrm{J}$ , mass $m = 70\;\mathrm{kg}$ .

Setup. The energy spent lifting oneself by a height $h$ is $E = mgh$ . Solving for $h$ :

$h = \frac{E}{mg} = \frac{335\,000}{70\cdot 9{,}81} = \frac{335\,000}{686{,}7} \approx 488\;\mathrm{m}$

$\ev{h \approx 488\;\mathrm{m}}$

Comparison. $488\;\mathrm{m}$ corresponds to a very tall skyscraper: the Empire State Building ( $\sim 380\;\mathrm{m}$ to the roof, over 100 storeys) or a little more. To burn off a single apple you would have to climb roughly 130 storeys.

Physical reading. The estimate reveals a surprising fact: the chemical energy of food is extremely dense compared with gravitational mechanical energy. A small apple contains as much energy as is needed to hoist 70 kg up to half a kilometre in height. That is why it is far easier to take in calories than to burn them off through physical activity.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Gravitational potential energy Competenze: Fermi estimates

Stima Fermi: potenza di un essere umano. Sapendo che il consumo metabolico medio è $\sim 2000$ kcal/giorno $\sim 8{,}4\;\mathrm{MJ}$ /giorno, stima la potenza media di un essere umano in attività normale. Confronta con un elettrodomestico e indica l'ordine di grandezza dei picchi sportivi.

Soluzione

Dati: energia giornaliera $E \approx 8{,}4\;\mathrm{MJ} = 8{,}4\cdot 10^6\;\mathrm{J}$ ; durata di un giorno $t = 24\cdot 3600 = 86\,400\;\mathrm{s}$ .

Potenza media (energia diviso tempo):

$P = \frac{E}{t} = \frac{8{,}4\cdot 10^6}{86\,400} \approx 97\;\mathrm{W}$

$\ev{P \approx 97\;\mathrm{W}}$

Confronto. Circa $100\;\mathrm{W}$ : la potenza di una vecchia lampadina a incandescenza. Un corpo umano a riposo o in attività leggera irradia in ambiente all’incirca la stessa energia di una lampadina accesa — motivo per cui un’aula piena di persone si scalda sensibilmente.

Picchi sportivi. Nello sforzo intenso e breve (uno sprint, una volata in bici) un atleta può erogare potenze molto maggiori, dell’ordine di $\sim 10^3\;\mathrm{W}$ (qualche centinaio fino a oltre mille watt di picco). Ma è insostenibile a lungo: la media giornaliera resta di $\sim 100\;\mathrm{W}$ .

Lettura fisica. La stima colloca l’essere umano su una scala di potenza intuitiva ( $\sim 10^2\;\mathrm{W}$ ) e mostra il divario fra potenza media sostenibile e potenza di picco (fattore $\sim 10$ ), un tema centrale nella fisiologia dello sforzo.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza Competenze: Stime di Fermi

Fermi estimate: power of a human being. Given that average metabolic consumption is $\sim 2000$ kcal/day $\sim 8{,}4\;\mathrm{MJ}$ /day, estimate the average power of a human being in normal activity. Compare with a household appliance and give the order of magnitude of sporting peaks.

Solution

Data: daily energy $E \approx 8{,}4\;\mathrm{MJ} = 8{,}4\cdot 10^6\;\mathrm{J}$ ; duration of one day $t = 24\cdot 3600 = 86\,400\;\mathrm{s}$ .

Average power (energy divided by time):

$P = \frac{E}{t} = \frac{8{,}4\cdot 10^6}{86\,400} \approx 97\;\mathrm{W}$

$\ev{P \approx 97\;\mathrm{W}}$

Comparison. About $100\;\mathrm{W}$ : the power of an old incandescent light bulb. A human body at rest or in light activity radiates into the environment roughly the same energy as a lit bulb — which is why a room full of people warms up noticeably.

Sporting peaks. In an intense, brief effort (a sprint, a cycling breakaway) an athlete can deliver much greater power, of the order of $\sim 10^3\;\mathrm{W}$ (a few hundred up to over a thousand watts at peak). But this cannot be sustained for long: the daily average remains around $\sim 100\;\mathrm{W}$ .

Physical reading. The estimate places human beings on an intuitive power scale ( $\sim 10^2\;\mathrm{W}$ ) and shows the gap between sustainable average power and peak power (a factor of $\sim 10$ ), a central theme in the physiology of effort.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Power Competenze: Fermi estimates

Sfida: rendimento di una pala eolica. Una pala eolica ha rotore di raggio $50\;\mathrm{m}$ e produce $1\;\mathrm{MW}$ in un vento di $10\;\mathrm{m/s}$ ( $\rho_\text{aria} = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$ ). Stima il suo rendimento e confrontalo con il limite di Betz ( $\eta_\text{max} = 0{,}593$ ).

Soluzione

Dati: $r = 50\;\mathrm{m}$ , $P_\text{out} = 1\;\mathrm{MW} = 10^6\;\mathrm{W}$ , $v = 10\;\mathrm{m/s}$ , $\rho = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$ .

Area spazzata dal rotore:

$A = \pi r^2 = \pi\cdot 50^2 = \pi\cdot 2500 \approx 7854\;\mathrm{m^2}$

Potenza del vento che attraversa il rotore. La massa d’aria che passa al secondo è $\dot m = \rho A v$ , e la sua energia cinetica per unità di tempo è $P_\text{vento} = \tfrac{1}{2}\dot m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\rho A v^3$ (dipende dal cubo della velocità):

$P_\text{vento} = \tfrac{1}{2}\rho A v^3 = \tfrac{1}{2}(1{,}2)(7854)(10)^3 = 0{,}6\cdot 7854\cdot 1000 \approx 4{,}7\cdot 10^6\;\mathrm{W}$

$\ev{P_\text{vento} \approx 4{,}7\;\mathrm{MW}}$

Rendimento della pala:

$\eta = \frac{P_\text{out}}{P_\text{vento}} = \frac{1{,}0\cdot 10^6}{4{,}7\cdot 10^6} \approx 0{,}21 = 21\%$

$\ev{\eta \approx 21\%}$

Confronto con il limite di Betz. Nessuna turbina può estrarre più del $59{,}3\%$ dell’energia del vento (altrimenti l’aria si fermerebbe del tutto dietro il rotore, impedendo il flusso). Il rapporto fra rendimento reale e limite teorico:

$\frac{\eta}{\eta_\text{Betz}} = \frac{0{,}21}{0{,}593} \approx 0{,}36 = 36\%$

$\ev{\eta/\eta_\text{Betz} \approx 36\%}$

Lettura fisica. La turbina cattura circa il $21\%$ dell’energia del vento, cioè poco più di un terzo del massimo fisicamente consentito da Betz. Il resto sfugge perché l’aria deve continuare a fluire (non può fermarsi) e per le inevitabili perdite aerodinamiche e meccaniche. La forte dipendenza $P_\text{vento}\propto v^3$ spiega perché i siti ventosi valgono tanto: raddoppiare il vento moltiplica per otto la potenza disponibile.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Potenza · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi

Challenge: efficiency of a wind turbine. A wind turbine has a rotor of radius $50\;\mathrm{m}$ and produces $1\;\mathrm{MW}$ in a wind of $10\;\mathrm{m/s}$ ( $\rho_\text{air} = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$ ). Estimate its efficiency and compare it with the Betz limit ( $\eta_\text{max} = 0{,}593$ ).

Solution

Data: $r = 50\;\mathrm{m}$ , $P_\text{out} = 1\;\mathrm{MW} = 10^6\;\mathrm{W}$ , $v = 10\;\mathrm{m/s}$ , $\rho = 1{,}2\;\mathrm{kg/m^3}$ .

Area swept by the rotor:

$A = \pi r^2 = \pi\cdot 50^2 = \pi\cdot 2500 \approx 7854\;\mathrm{m^2}$

Power of the wind passing through the rotor. The mass of air passing per second is $\dot m = \rho A v$ , and its kinetic energy per unit time is $P_\text{wind} = \tfrac{1}{2}\dot m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\rho A v^3$ (depends on the cube of the speed):

$P_\text{wind} = \tfrac{1}{2}\rho A v^3 = \tfrac{1}{2}(1{,}2)(7854)(10)^3 = 0{,}6\cdot 7854\cdot 1000 \approx 4{,}7\cdot 10^6\;\mathrm{W}$

$\ev{P_\text{wind} \approx 4{,}7\;\mathrm{MW}}$

Blade efficiency:

$\eta = \frac{P_\text{out}}{P_\text{wind}} = \frac{1{,}0\cdot 10^6}{4{,}7\cdot 10^6} \approx 0{,}21 = 21\%$

$\ev{\eta \approx 21\%}$

Comparison with the Betz limit. No turbine can extract more than $59{,}3\%$ of the wind’s energy (otherwise the air would come to a complete stop behind the rotor, blocking the flow). The ratio between actual efficiency and theoretical limit:

$\frac{\eta}{\eta_\text{Betz}} = \frac{0{,}21}{0{,}593} \approx 0{,}36 = 36\%$

$\ev{\eta/\eta_\text{Betz} \approx 36\%}$

Physical reading. The turbine captures about $21\%$ of the wind’s energy, a little over a third of the maximum physically allowed by Betz. The rest escapes because the air must keep flowing (it cannot stop) and because of unavoidable aerodynamic and mechanical losses. The strong dependence $P_\text{wind}\propto v^3$ explains why windy sites are so valuable: doubling the wind speed multiplies the available power by eight.

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Argomenti: Work and energy Concetti: Power · Kinetic energy Competenze: Fermi estimates

Fisica — Liceo

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Esercizi — Energia e lavoro

Esercizi e problemi nel testo

Problemi di fine capitolo

Exercises and problems in the text

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