Il pendolo semplice

Una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile oscilla in un piano verticale sotto l’azione della gravità. Scomponendo il peso lungo la tangente alla traiettoria si ottiene l’equazione del moto; per piccole ampiezze essa si linearizza in quella di un oscillatore armonico, con un periodo che dipende solo dalla lunghezza del filo e da $g$. Per ampiezze grandi l’isocronia si rompe.

• Forze ed equazione del pendolo
• Piccole oscillazioni e periodo
• Grandi ampiezze: correzione al periodo

Prova tu — simulazione interattiva

Cambia lunghezza, massa e gravità e verifica che per piccole oscillazioni il periodo dipende solo dalla lunghezza, non dall’ampiezza né dalla massa.

A point mass hanging from an inextensible string oscillates in a vertical plane under gravity. Resolving the weight along the tangent to the trajectory gives the equation of motion; for small amplitudes it linearises into that of a harmonic oscillator, with a period that depends only on the length of the string and on $g$. For large amplitudes the isochronism breaks down.

• Forces and the equation of the pendulum
• Small oscillations and period
• Large amplitudes: correction to the period

Try it — interactive simulation

Change length, mass and gravity and verify that for small oscillations the period depends only on length, not on amplitude or mass.

Un pendolo semplice è una massa puntiforme $m$ appesa a un filo inestensibile di lunghezza $\ell$, libera di oscillare in un piano verticale. Per scriverne l’equazione del moto tracciamo il diagramma delle forze sulla massa e scomponiamo il peso lungo due direzioni comode: quella del filo (bilanciata dalla tensione $\vv T$) e quella tangente alla traiettoria (responsabile del moto).

Il peso $m\vv g$ scomposto lungo il filo e lungo la tangente. Solo la componente tangenziale $-mg\sin\theta$ muove la massa; la tensione $\vv T$ e la componente radiale del peso si bilanciano (a meno della forza centripeta).

La componente tangenziale del peso è $F_t = -m g\sin\theta$ (negativa perché richiama verso l’equilibrio). Chiamando $s = \ell\theta$ la lunghezza d’arco percorsa, la seconda legge lungo la traiettoria è $m\ddot s = -mg\sin\theta$, cioè $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$. La massa si semplifica e resta

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\,\sin\theta$

Questa equazione non è ancora quella di un oscillatore armonico: il termine $\sin\theta$ la rende non lineare. Il moto è comunque periodico, ma per ottenere il moto armonico serve un passo in più, la linearizzazione per piccole oscillazioni.

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A simple pendulum is a point mass $m$ hanging from an inextensible string of length $\ell$, free to swing in a vertical plane. To write its equation of motion we draw the force diagram on the mass and resolve the weight along two convenient directions: the one along the string (balanced by the tension $\vv T$) and the one tangent to the trajectory (responsible for the motion).

The weight $m\vv g$ resolved along the string and along the tangent. Only the tangential component $-mg\sin\theta$ moves the mass; the tension $\vv T$ and the radial component of the weight balance each other (except for the centripetal force).

The tangential component of the weight is $F_t = -m g\sin\theta$ (negative because it pulls back towards equilibrium). Calling $s = \ell\theta$ the arc length travelled, Newton’s second law along the trajectory is $m\ddot s = -mg\sin\theta$, i.e. $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$. The mass cancels out and we are left with

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\,\sin\theta$

This equation is not yet that of a harmonic oscillator: the term $\sin\theta$ makes it non-linear. The motion is nonetheless periodic, but to obtain harmonic motion one more step is needed: linearisation for small oscillations.

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L’equazione del pendolo $\ddot\theta = -\dfrac{g}{\ell}\sin\theta$ diventa maneggevole se l’angolo è piccolo. Per $\theta \ll 1$ rad (circa $10^\circ$ o meno) vale l’approssimazione $\sin\theta \approx \theta$, e l’equazione si linearizza:

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\,\theta$

Ora è esattamente la forma del moto armonico semplice $\ddot\theta = -\omega^2\theta$. Confrontando i coefficienti leggiamo pulsazione e periodo:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}$

Principio — Periodo del pendolo semplice

Il periodo del pendolo semplice di lunghezza $\ell$ non dipende dalla massa, né dall’ampiezza (per piccole oscillazioni), ma solo dalla lunghezza del filo e dalla gravità locale (French 1971). Vedi Riferimenti bibliografici.

Galileo a Pisa

Due pendoli con palle di legno e di piombo, di uguale lunghezza, oscillano in sincronia: la massa non c’entra, è $\sqrt{\ell/g}$ a comandare. È lo stesso isocronismo che rende il pendolo un ottimo regolatore per gli orologi.

Il fatto che $T$ dipenda da $g$ ha una conseguenza pratica notevole: il pendolo è un gravimetro. A parità di lunghezza $\ell$, misurando il periodo si risale al valore locale di $g$ — sulla Terra, sulla Luna o su un altro pianeta.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni Oggetti: Pendolo semplice

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The pendulum equation $\ddot\theta = -\dfrac{g}{\ell}\sin\theta$ becomes manageable if the angle is small. For $\theta \ll 1$ rad (roughly $10^\circ$ or less) the approximation $\sin\theta \approx \theta$ holds, and the equation becomes linear:

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\,\theta$

This is now exactly the form of simple harmonic motion $\ddot\theta = -\omega^2\theta$. Comparing coefficients we read off the angular frequency and the period:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}$

Principle — Period of the simple pendulum

The period of a simple pendulum of length $\ell$ does not depend on the mass, nor on the amplitude (for small oscillations), but only on the length of the string and the local gravity (French 1971). See Riferimenti bibliografici.

Galileo in Pisa

Two pendulums with wooden and lead balls, of equal length, swing in sync: the mass is irrelevant, it is $\sqrt{\ell/g}$ that governs. It is the same isochronism that makes the pendulum an excellent regulator for clocks.

The fact that $T$ depends on $g$ has a notable practical consequence: the pendulum is a gravimeter. For a given length $\ell$, measuring the period lets us work back to the local value of $g$ — on Earth, on the Moon, or on another planet.

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Argomenti: Oscillations and harmonic motion Concetti: Simple pendulum · Period and frequency Competenze: Small-oscillation approximation Metodi: Linear approximation of small oscillations Oggetti: Simple pendulum

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L’isocronia del pendolo vale solo finché $\sin\theta \approx \theta$. Quando l’ampiezza non è più “piccola”, questa approssimazione salta e il periodo comincia a dipendere dall’ampiezza $\theta_0$. La correzione si scrive come uno sviluppo in serie:

$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \cdots\right)$

Il termine dominante $\theta_0^2/16$ dice che il periodo cresce con l’ampiezza. Qualche numero: a $\theta_0 = 30^\circ \approx 0{,}52$ rad la correzione è già circa $1{,}7\%$; a $90^\circ$ arriva a quasi $20\%$.

Perché il periodo aumenta

A grande ampiezza la forza di richiamo vera ($-mg\sin\theta$) è più debole di quella lineare ($-mg\theta$), perché $\sin\theta < \theta$. Una molla “più molle” del previsto trattiene meno il corpo, che impiega più tempo a completare l’oscillazione.

Questa è la ragione per cui gli orologi a pendolo, prima dei sistemi a fuga di Huygens che mantengono l’ampiezza costante, dovevano oscillare con ampiezza molto piccola: solo lì il periodo è davvero indipendente dall’ampiezza e l’orologio non ritarda quando la spinta cala.

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The isochronism of the pendulum holds only as long as $\sin\theta \approx \theta$. When the amplitude is no longer “small”, this approximation breaks down and the period starts to depend on the amplitude $\theta_0$. The correction can be written as a series expansion:

$T \approx 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \cdots\right)$

The dominant term $\theta_0^2/16$ tells us that the period increases with the amplitude. Some figures: at $\theta_0 = 30^\circ \approx 0{,}52$ rad the correction is already about $1{,}7\%$; at $90^\circ$ it reaches almost $20\%$.

Why the period increases

At large amplitude the true restoring force ($-mg\sin\theta$) is weaker than the linear one ($-mg\theta$), because $\sin\theta < \theta$. A spring “softer” than expected holds the body back less, so it takes longer to complete the oscillation.

This is why pendulum clocks, before Huygens’s escapement mechanisms that keep the amplitude constant, had to swing with a very small amplitude: only there is the period genuinely independent of the amplitude, so the clock does not run slow when the drive weakens.

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