Esercizi — Oscillazioni e moto armonico

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esercizi svolti nel testo

• Trovare A e φ dalle condizioni iniziali
• Velocità massima da energia
• Pendolo che batte il secondo
• Pendolo su Marte
• Due pendoli accoppiati da un filo
• Molla verticale con bilancio energetico

Problemi di fine capitolo

• Pendolo che misura g
• Energia e ampiezza
• Bicchiere d’acqua sull’altalena
• Massa su due molle in parallelo
• Periodo e frequenza massa-molla
• Lunghezza del pendolo che batte il secondo
• Pendoli di piombo e sughero
• Velocità e accelerazione massime
• Orologio a pendolo e temperatura
• Grafici di posizione, velocità e accelerazione
• Massa fra due molle, K equivalente
• Frequenza propria di un grattacielo
• Ampiezza e periodo dell’altalena
• Oggetto in una ciotola sferica
• Smorzamento e isocronismo
• Ranking di pendoli
• Ranking di molle e masse
• Pendolo da orologio
• Oscillatore armonico semplice (250 g)
• Dato il grafico, trova k
• Dall’ampiezza al k
• Pendolo sulla Stazione Spaziale
• Gravità doppia
• Massa, molla e smorzamento
• Risonanza del bicchiere
• Due altalene accoppiate
• Lettura grafico oscillazione smorzata
• Passi sul ponte
• Pendolo non isocrono
• Massa appesa con sospensione molla
• Pendolo bagnato
• Vibrazioni del Sole
• Scrosci ritmati e ponti
• Pendolo composto
• Dalle misure di un’oscillazione smorzata al Q
• Oscillazione senza smorzamento

All the exercises in the chapter, worked through step by step, in the order they appear in the chapter: first the guided exercises in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, ranking, graphical, Fermi estimates).

Worked exercises in the text

• Finding A and φ from initial conditions
• Maximum speed from energy
• The seconds pendulum
• Pendulum on Mars
• Two pendulums coupled by a string
• Vertical spring with energy balance

End-of-chapter problems

• Pendulum that measures g
• Energy and amplitude
• Glass of water on the swing
• Mass on two springs in parallel
• Period and frequency of a mass-spring system
• Length of the seconds pendulum
• Lead and cork pendulums
• Maximum speed and acceleration
• Pendulum clock and temperature
• Graphs of position, velocity and acceleration
• Mass between two springs, equivalent K
• Natural frequency of a skyscraper
• Amplitude and period of the swing
• Object in a spherical bowl
• Damping and isochronism
• Ranking pendulums
• Ranking springs and masses
• Clock pendulum
• Simple harmonic oscillator (250 g)
• Given the graph, find k
• From amplitude to k
• Pendulum on the Space Station
• Double gravity
• Mass, spring and damping
• Resonance of the glass
• Two coupled swings
• Reading a damped oscillation graph
• Footsteps on the bridge
• Non-isochronous pendulum
• Mass hanging on a spring suspension
• Wet pendulum
• Vibrations of the Sun
• Rhythmic clapping and bridges
• Compound pendulum
• From measurements of a damped oscillation to Q
• Oscillation without damping

Testo

Una massa $m = 0{,}2$ kg attaccata a una molla $K = 50$ N/m parte da $x_0 = 5$ cm dalla posizione di equilibrio con velocità iniziale $v_0 = -1$ m/s (verso l’equilibrio). Determinare $A$, $\varphi$, $T$ e la posizione a $t = 0{,}1$ s.

Soluzione

Pulsazione e periodo. $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{50/0{,}2} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ rad/s, quindi $T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 0{,}40 \ \text{s}$

Ampiezza. La conservazione dell’energia lega ampiezza, posizione e velocità iniziali: $\tfrac{1}{2}K A^2 = \tfrac{1}{2}K x_0^2 + \tfrac{1}{2}m v_0^2$, da cui $A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = (0{,}05)^2 + \frac{(1)^2}{250} = 0{,}0025 + 0{,}004 = 0{,}0065$ $\ev{A \approx 0{,}081 \ \text{m} = 8{,}1 \ \text{cm}}$

Fase iniziale. Da $x_0 = A\cos\varphi$ si ha $\cos\varphi = 0{,}05/0{,}081 \approx 0{,}617$, quindi $\varphi = \pm 51{,}9^\circ \approx \pm 0{,}906$ rad. Il segno si decide dalla velocità: $v_0 = -A\omega\sin\varphi$, e siccome $v_0 < 0$ deve essere $\sin\varphi > 0$, quindi $\ev{\varphi \approx +0{,}906 \ \text{rad}}$

Posizione a $t = 0{,}1$ s. $x(0{,}1) = 0{,}081\cos(15{,}8\cdot 0{,}1 + 0{,}906) = 0{,}081\cos(2{,}49) \approx \ev{-0{,}065 \ \text{m}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Problem

A mass $m = 0{,}2$ kg attached to a spring $K = 50$ N/m starts from $x_0 = 5$ cm from the equilibrium position with initial velocity $v_0 = -1$ m/s (towards equilibrium). Determine $A$, $\varphi$, $T$ and the position at $t = 0{,}1$ s.

Solution

Angular frequency and period. $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{50/0{,}2} = \sqrt{250} \approx 15{,}8$ rad/s, hence $T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 0{,}40 \ \text{s}$

Amplitude. Conservation of energy relates amplitude, position and initial velocity: $\tfrac{1}{2}K A^2 = \tfrac{1}{2}K x_0^2 + \tfrac{1}{2}m v_0^2$, hence $A^2 = x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = (0{,}05)^2 + \frac{(1)^2}{250} = 0{,}0025 + 0{,}004 = 0{,}0065$ $\ev{A \approx 0{,}081 \ \text{m} = 8{,}1 \ \text{cm}}$

Initial phase. From $x_0 = A\cos\varphi$ we get $\cos\varphi = 0{,}05/0{,}081 \approx 0{,}617$, hence $\varphi = \pm 51{,}9^\circ \approx \pm 0{,}906$ rad. The sign is decided by the velocity: $v_0 = -A\omega\sin\varphi$, and since $v_0 < 0$ we need $\sin\varphi > 0$, hence $\ev{\varphi \approx +0{,}906 \ \text{rad}}$

Position at $t = 0{,}1$ s. $x(0{,}1) = 0{,}081\cos(15{,}8\cdot 0{,}1 + 0{,}906) = 0{,}081\cos(2{,}49) \approx \ev{-0{,}065 \ \text{m}}$

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion · Conservation of mechanical energy Skills: Symbolic set-up Objects: Spring

Testo

Stessa massa-molla dell’esercizio precedente ($K = 50$ N/m, $A = 8{,}1$ cm, $m = 0{,}2$ kg, $\omega \approx 15{,}8$ rad/s). Calcolare l’energia totale e la velocità massima, verificando la coerenza del bilancio energetico.

Soluzione

Energia totale. Dipende solo dall’ampiezza: $E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 50\cdot (0{,}081)^2 \approx \ev{0{,}164 \ \text{J}}$

Velocità massima. Si raggiunge al passaggio per l’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica: $v_\text{max} = A\omega = 0{,}081\cdot 15{,}8 \approx \ev{1{,}28 \ \text{m/s}}$

Verifica del bilancio. All’equilibrio $E = \tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2$: $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}2\cdot (1{,}28)^2 \approx 0{,}164 \ \text{J}$ Lo stesso valore trovato come $\tfrac{1}{2}K A^2$: il bilancio chiude, l’energia si scambia integralmente fra forma elastica (agli estremi) e cinetica (all’equilibrio).

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Problem

Same mass-spring system as the previous exercise ($K = 50$ N/m, $A = 8{,}1$ cm, $m = 0{,}2$ kg, $\omega \approx 15{,}8$ rad/s). Calculate the total energy and the maximum velocity, checking the consistency of the energy balance.

Solution

Total energy. It depends only on the amplitude: $E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 50\cdot (0{,}081)^2 \approx \ev{0{,}164 \ \text{J}}$

Maximum velocity. It is reached at the passage through equilibrium, where all the energy is kinetic: $v_\text{max} = A\omega = 0{,}081\cdot 15{,}8 \approx \ev{1{,}28 \ \text{m/s}}$

Balance check. At equilibrium $E = \tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2$: $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}2\cdot (1{,}28)^2 \approx 0{,}164 \ \text{J}$ The same value found as $\tfrac{1}{2}K A^2$: the balance closes, the energy is exchanged entirely between elastic form (at the extremes) and kinetic (at equilibrium).

Links

Topics: Oscillazioni e moto armonico Concepts: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Skills: Conservazione dell’energia Objects: Molla

Testo

Un pendolo che batte il secondo è tarato in modo che il periodo sia $T = 2$ s (un secondo per andare, un secondo per tornare). Quanto deve essere lungo?

Soluzione

Impostazione. Dal periodo del pendolo semplice $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ ricaviamo la lunghezza: $\ell = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Sostituzione numerica ($g = 9{,}81$ m/s$^2$, $T = 2$ s): $\ell = \frac{9{,}81\cdot 4}{4\pi^2} \approx \ev{0{,}994 \ \text{m}}$

Circa un metro: è la lunghezza tradizionale dei pendoli negli orologi da salotto del primo Ottocento.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Pendolo semplice

Problem

A seconds pendulum is calibrated so that the period is $T = 2$ s (one second to go, one second to return). How long must it be?

Solution

Set-up. From the simple pendulum period $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ we obtain the length: $\ell = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Numerical substitution ($g = 9{,}81$ m/s$^2$, $T = 2$ s): $\ell = \frac{9{,}81\cdot 4}{4\pi^2} \approx \ev{0{,}994 \ \text{m}}$

About a metre: this is the traditional length of pendulums in early nineteenth-century mantel clocks.

Links

Topics: Oscillazioni e moto armonico Concepts: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Objects: Pendolo semplice

Testo

Lo stesso pendolo di un metro ($\ell = 1$ m), lasciato oscillare sulla superficie di Marte (dove $g_M = 3{,}71$ m/s$^2$), che periodo ha?

Soluzione

Applicazione della formula $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ con la gravità marziana: $T_M = 2\pi\sqrt{\frac{1}{3{,}71}} \approx \ev{3{,}26 \ \text{s}}$

Quasi il doppio rispetto alla Terra (dove sarebbe $\approx 2{,}0$ s): la gravità più debole richiama più pigramente la massa.

Interpretazione. Il pendolo è un gravimetro: la lunghezza $\ell$ resta costante, quindi misurando il periodo si risale a $g$ del luogo. Portandolo in giro per il sistema solare, ogni pianeta si “firma” con il proprio periodo.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice

Problem

The same one-metre pendulum ($\ell = 1$ m), left to oscillate on the surface of Mars (where $g_M = 3{,}71$ m/s$^2$), what period does it have?

Solution

Applying the formula $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ with Martian gravity: $T_M = 2\pi\sqrt{\frac{1}{3{,}71}} \approx \ev{3{,}26 \ \text{s}}$

Almost double that on Earth (where it would be $\approx 2{,}0$ s): the weaker gravity restores the mass more lazily.

Interpretation. The pendulum is a gravimeter: the length $\ell$ stays constant, so measuring the period gives $g$ at that location. Carrying it around the Solar System, each planet “signs” itself with its own period.

Links

Topics: Oscillations and simple harmonic motion Concepts: Simple pendulum · Period and frequency Skills: Analysis of limiting cases and thought experiments Objects: Simple pendulum

Testo

Due pendoli identici di lunghezza $\ell = 1$ m sono appesi a uno stesso filo orizzontale. L’accoppiamento per torsione del filo fornisce una costante $\kappa$ piccola ($\kappa \ll K$). Trovare i due modi normali e descrivere il moto quando si sposta solo il primo pendolo.

Soluzione

Modo simmetrico (in fase). I due pendoli oscillano insieme, il filo non si torce: la frequenza è quella del pendolo isolato, $\omega_+ = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1}} \approx 3{,}13 \ \text{rad/s} \quad (T \approx 2{,}0 \ \text{s})$

Modo antisimmetrico (in controfase). I pendoli oscillano opposti, il filo si torce e aggiunge un piccolo richiamo: $\omega_- \approx \omega_+\left(1 + \frac{\kappa}{K}\right)$ leggermente maggiore di $\omega_+$.

Moto con un solo pendolo spostato. Spostando solo il primo e lasciandolo andare, lo stato iniziale è la sovrapposizione dei due modi. Poiché $\omega_-$ e $\omega_+$ differiscono di poco, i modi sfasano lentamente: l’energia migra dal primo pendolo al secondo, poi torna al primo, con periodo di battimento $\ev{T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+} \propto \frac{K}{\kappa}}$ tanto più lungo quanto più debole è l’accoppiamento. È un’esperienza facilmente riproducibile in laboratorio scolastico, e prelude alla coppia di livelli vicini della meccanica quantistica.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali · Battimenti · Pendolo semplice Oggetti: Pendolo semplice

Problem

Two identical pendulums of length $\ell = 1$ m hang from the same horizontal wire. The torsional coupling of the wire provides a small constant $\kappa$ ($\kappa \ll K$). Find the two normal modes and describe the motion when only the first pendulum is displaced.

Solution

Symmetric mode (in phase). The two pendulums oscillate together, the wire does not twist: the frequency is that of the isolated pendulum, $\omega_+ = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1}} \approx 3{,}13 \ \text{rad/s} \quad (T \approx 2{,}0 \ \text{s})$

Antisymmetric mode (out of phase). The pendulums oscillate in opposition, the wire twists and adds a small restoring effect: $\omega_- \approx \omega_+\left(1 + \frac{\kappa}{K}\right)$ slightly greater than $\omega_+$.

Motion with only one pendulum displaced. Displacing only the first and releasing it, the initial state is the superposition of the two modes. Since $\omega_-$ and $\omega_+$ differ only slightly, the modes slowly dephase: the energy migrates from the first pendulum to the second, then back to the first, with a beat period $\ev{T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+} \propto \frac{K}{\kappa}}$ the weaker the coupling, the longer the period. This is an experience that is easily reproducible in a school laboratory, and foreshadows the pair of nearby levels of quantum mechanics.

Collegamenti

Argomenti: Oscillations and simple harmonic motion Concetti: Normal modes · Beats · Simple pendulum Oggetti: Simple pendulum

Testo

Una massa $m = 0{,}5$ kg appesa a una molla verticale ($K = 200$ N/m) viene tirata $3$ cm verso il basso dalla posizione di equilibrio (già abbassata dal peso) e lasciata libera con velocità nulla. Determinare: $T$, $A$, $v_\text{max}$, $a_\text{max}$, energia totale.

Soluzione

Pulsazione e periodo. $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}} = 20 \ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{20} \approx 0{,}314 \ \text{s}$

Perché il peso non conta. La posizione di equilibrio statico tiene già conto del peso ($K x_\text{eq} = mg$). Rispetto a quella posizione l’oscillazione è quella di una molla ideale: il peso sposta solo il centro dell’oscillazione, non ne cambia la dinamica. Quindi l’ampiezza è lo spostamento imposto, $A = 0{,}03 \ \text{m}$

Grandezze massime ed energia. $v_\text{max} = A\omega = 0{,}03\cdot 20 = 0{,}6 \ \text{m/s}$ $a_\text{max} = A\omega^2 = 0{,}03\cdot 400 = 12 \ \text{m/s}^2$ $\ev{E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 200\cdot (0{,}03)^2 = 0{,}09 \ \text{J}}$

Verifica. Lo stesso valore si ritrova come $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}5\cdot (0{,}6)^2 = 0{,}09$ J: l’energia oscilla fra forma elastica e cinetica senza perdite.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Energia potenziale elastica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Problem

A mass $m = 0{,}5$ kg hanging from a vertical spring ($K = 200$ N/m) is pulled $3$ cm below the equilibrium position (already lowered by the weight) and released from rest. Determine: $T$, $A$, $v_\text{max}$, $a_\text{max}$, total energy.

Solution

Angular frequency and period. $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0{,}5}} = 20 \ \text{rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{20} \approx 0{,}314 \ \text{s}$

Why the weight doesn’t matter. The static equilibrium position already accounts for the weight ($K x_\text{eq} = mg$). Relative to that position, the oscillation is that of an ideal spring: the weight only shifts the centre of oscillation, it does not change its dynamics. So the amplitude is the imposed displacement, $A = 0{,}03 \ \text{m}$

Maximum quantities and energy. $v_\text{max} = A\omega = 0{,}03\cdot 20 = 0{,}6 \ \text{m/s}$ $a_\text{max} = A\omega^2 = 0{,}03\cdot 400 = 12 \ \text{m/s}^2$ $\ev{E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 200\cdot (0{,}03)^2 = 0{,}09 \ \text{J}}$

Check. The same value is found as $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}5\cdot (0{,}6)^2 = 0{,}09$ J: the energy oscillates between elastic and kinetic form without losses.

Collegamenti

Argomenti: Oscillations and simple harmonic motion Concetti: Simple harmonic motion · Elastic potential energy · Conservation of mechanical energy Competenze: Conservation of energy Oggetti: Spring

Testo

Un pendolo di lunghezza $\ell = 1{,}50\;\text{m}$ compie $20$ oscillazioni complete in $49{,}2\;\text{s}$. Stima il valore locale di $g$ a partire dalla misura del periodo.

Soluzione

Il periodo si ricava dividendo il tempo totale per il numero di oscillazioni:

$T = \frac{49{,}2\;\text{s}}{20} = 2{,}46\;\text{s}$

Per il pendolo semplice a piccole oscillazioni vale $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. Isolando $g$:

$g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 1{,}50}{(2{,}46)^2}\;\text{m/s}^2$

Sostituendo i numeri:

$g = \frac{59{,}22}{6{,}05}\;\text{m/s}^2 \approx 9{,}79\;\text{m/s}^2$

$\ev{g \approx 9{,}79\;\text{m/s}^2}$

Il pendolo funziona quindi come gravimetro: misurando lunghezza e periodo si risale al valore locale di $g$, che dipende da latitudine e quota.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Oggetti: Pendolo semplice

Problem

A pendulum of length $\ell = 1{,}50\;\text{m}$ completes $20$ full oscillations in $49{,}2\;\text{s}$. Estimate the local value of $g$ from the period measurement.

Solution

The period is obtained by dividing the total time by the number of oscillations:

$T = \frac{49{,}2\;\text{s}}{20} = 2{,}46\;\text{s}$

For the simple pendulum at small oscillations, $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$. Isolating $g$:

$g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 1{,}50}{(2{,}46)^2}\;\text{m/s}^2$

Substituting the numbers:

$g = \frac{59{,}22}{6{,}05}\;\text{m/s}^2 \approx 9{,}79\;\text{m/s}^2$

$\ev{g \approx 9{,}79\;\text{m/s}^2}$

The pendulum thus works as a gravimeter: by measuring length and period one can recover the local value of $g$, which depends on latitude and altitude.

Collegamenti

Argomenti: Oscillations and simple harmonic motion Concetti: Simple pendulum · Period and frequency Competenze: Small-oscillation approximation Oggetti: Simple pendulum

Testo

Vogliamo che un oscillatore armonico ($m = 2\;\text{kg}$, $K = 800\;\text{N/m}$) abbia energia totale $E = 25\;\text{J}$. Quale ampiezza, quale velocità massima?

Soluzione

L’energia totale di un oscillatore armonico coincide con l’energia potenziale nel punto di massima elongazione, dove tutta l’energia è elastica:

$E = \tfrac{1}{2}K A^2 \;\Rightarrow\; A = \sqrt{\frac{2E}{K}} = \sqrt{\frac{50}{800}} = \sqrt{0{,}0625}\;\text{m}$

$\ev{A = 0{,}25\;\text{m}}$

Nel passaggio per l’equilibrio tutta l’energia è cinetica, quindi:

$E = \tfrac{1}{2}m\, v_{\max}^2 \;\Rightarrow\; v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}\;\text{m/s}$

$\ev{v_{\max} = 5\;\text{m/s}}$

Verifica con $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{800/2} = 20\;\text{rad/s}$: infatti $v_{\max} = A\omega = 0{,}25 \cdot 20 = 5\;\text{m/s}$. ✓

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Problem

We want a simple harmonic oscillator ($m = 2\;\text{kg}$, $K = 800\;\text{N/m}$) to have total energy $E = 25\;\text{J}$. What amplitude, what maximum speed?

Solution

The total energy of a simple harmonic oscillator coincides with the potential energy at the point of maximum displacement, where all the energy is elastic:

$E = \tfrac{1}{2}K A^2 \;\Rightarrow\; A = \sqrt{\frac{2E}{K}} = \sqrt{\frac{50}{800}} = \sqrt{0{,}0625}\;\text{m}$

$\ev{A = 0{,}25\;\text{m}}$

When passing through equilibrium all the energy is kinetic, so:

$E = \tfrac{1}{2}m\, v_{\max}^2 \;\Rightarrow\; v_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25}\;\text{m/s}$

$\ev{v_{\max} = 5\;\text{m/s}}$

Check with $\omega = \sqrt{K/m} = \sqrt{800/2} = 20\;\text{rad/s}$: indeed $v_{\max} = A\omega = 0{,}25 \cdot 20 = 5\;\text{m/s}$. ✓

Links

Topics: Oscillations and simple harmonic motion Concepts: Elastic potential energy · Kinetic energy · Conservation of mechanical energy Skills: Conservation of energy Objects: Spring

Testo

Un bambino sta su un’altalena di lunghezza $\ell = 2{,}5\;\text{m}$. Sotto al sedile pende un altro filo, di $0{,}5\;\text{m}$, con un bicchiere d’acqua. Quale dei due “pendoli” oscilla più velocemente? Di quanto? Discuti l’effetto della sovrapposizione dei due ritmi sul contenuto del bicchiere.

Soluzione

Entrambi i sistemi sono pendoli semplici, con periodo $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$.

Altalena:

$T_a = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}505\;\text{s} \approx 3{,}17\;\text{s}$

$\ev{T_a \approx 3{,}17\;\text{s}}$

Bicchiere:

$T_b = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}226\;\text{s} \approx 1{,}42\;\text{s}$

$\ev{T_b \approx 1{,}42\;\text{s}}$

Il rapporto dei periodi dipende solo dal rapporto delle lunghezze:

$\frac{T_a}{T_b} = \sqrt{\frac{2{,}5}{0{,}5}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$

Il bicchiere oscilla circa 2,2 volte più velocemente dell’altalena.

Discussione: i due ritmi hanno frequenze diverse e non commensurabili tra loro; la sovrapposizione dei due movimenti fa sciabordare l’acqua in modo irregolare. L’altalena potrebbe “eccitare” fortemente il bicchiere solo se le due frequenze fossero vicine (risonanza), ma qui sono molto diverse, quindi il travaso di energia dall’altalena al bicchiere resta modesto.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Pendolo semplice

Problem

A child is sitting on a swing of length $\ell = 2{,}5\;\text{m}$. Under the seat hangs another string, $0{,}5\;\text{m}$ long, with a glass of water. Which of the two “pendulums” oscillates faster? By how much? Discuss the effect of the superposition of the two rhythms on the contents of the glass.

Solution

Both systems are simple pendulums, with period $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$.

Swing:

$T_a = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}505\;\text{s} \approx 3{,}17\;\text{s}$

$\ev{T_a \approx 3{,}17\;\text{s}}$

Glass:

$T_b = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}226\;\text{s} \approx 1{,}42\;\text{s}$

$\ev{T_b \approx 1{,}42\;\text{s}}$

The ratio of the periods depends only on the ratio of the lengths:

$\frac{T_a}{T_b} = \sqrt{\frac{2{,}5}{0{,}5}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$

The glass oscillates about 2,2 times faster than the swing.

Discussion: the two rhythms have frequencies that are different and not commensurable with each other; the superposition of the two movements makes the water slosh about irregularly. The swing could “excite” the glass strongly only if the two frequencies were close together (resonance), but here they are very different, so the transfer of energy from the swing to the glass remains modest.

Links

Topics: Oscillations and simple harmonic motion Concepts: Simple pendulum · Period and frequency Objects: Simple pendulum

Testo

Una massa $m = 1\;\text{kg}$ è tenuta in mezzo a due molle uguali ($K = 100\;\text{N/m}$ ciascuna) attaccate a due muri opposti, a riposo nella configurazione iniziale. Determina la pulsazione delle oscillazioni lungo l’asse delle molle.

Soluzione

Spostiamo la massa di una quantità $x$ lungo l’asse. Una molla si allunga di $x$ e tira indietro con forza $-Kx$; l’altra si comprime di $x$ e spinge indietro con forza $-Kx$. Le due forze puntano nello stesso verso (richiamo), quindi si sommano:

$F = -Kx - Kx = -2Kx$

Il sistema è equivalente a una singola molla con costante efficace $K_\text{eq} = 2K = 200\;\text{N/m}$. La pulsazione è:

$\omega = \sqrt{\frac{K_\text{eq}}{m}} = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{200}{1}}\;\text{rad/s}$

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{2K}{m}} \approx 14{,}14\;\text{rad/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Problem

A mass $m = 1\;\text{kg}$ is held between two identical springs ($K = 100\;\text{N/m}$ each) attached to two opposite walls, at rest in the initial configuration. Determine the angular frequency of the oscillations along the axis of the springs.

Solution

We displace the mass by an amount $x$ along the axis. One spring stretches by $x$ and pulls back with force $-Kx$; the other compresses by $x$ and pushes back with force $-Kx$. The two forces point in the same direction (restoring), so they add up:

$F = -Kx - Kx = -2Kx$

The system is equivalent to a single spring with effective constant $K_\text{eq} = 2K = 200\;\text{N/m}$. The angular frequency is:

$\omega = \sqrt{\frac{K_\text{eq}}{m}} = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{200}{1}}\;\text{rad/s}$

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{2K}{m}} \approx 14{,}14\;\text{rad/s}}$

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion · Elastic force and Hooke’s law Skills: Symbolic set-up Objects: Spring

Testo

Una massa $m = 0{,}40\;\text{kg}$ è attaccata a una molla di costante elastica $K = 40\;\text{N/m}$. Calcola periodo e frequenza delle piccole oscillazioni.

Soluzione

La pulsazione del sistema massa-molla è:

$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0{,}40}} = \sqrt{100} = 10\;\text{rad/s}$

Il periodo è $T = 2\pi/\omega$:

$T = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}628\;\text{s}$

$\ev{T \approx 0{,}628\;\text{s}}$

La frequenza è l’inverso del periodo:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}628}\;\text{Hz} \approx 1{,}59\;\text{Hz}$

$\ev{f \approx 1{,}59\;\text{Hz}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Molla

Problem

A mass $m = 0{,}40\;\text{kg}$ is attached to a spring of elastic constant $K = 40\;\text{N/m}$. Calculate the period and frequency of the small oscillations.

Solution

The angular frequency of the mass-spring system is:

$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{40}{0{,}40}} = \sqrt{100} = 10\;\text{rad/s}$

The period is $T = 2\pi/\omega$:

$T = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}628\;\text{s}$

$\ev{T \approx 0{,}628\;\text{s}}$

The frequency is the inverse of the period:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}628}\;\text{Hz} \approx 1{,}59\;\text{Hz}$

$\ev{f \approx 1{,}59\;\text{Hz}}$

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion · Period and frequency Objects: Spring

Testo

Vogliamo costruire un pendolo che batta il secondo, cioè con periodo $T = 1{,}0\;\text{s}$. Quale deve essere la sua lunghezza? Usa $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

Soluzione

Partiamo dalla formula del periodo del pendolo semplice $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ e isoliamo la lunghezza:

$\ell = \frac{g\, T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}8 \cdot (1{,}0)^2}{4\pi^2}\;\text{m}$

Sostituendo i numeri:

$\ell = \frac{9{,}8}{39{,}48}\;\text{m} \approx 0{,}248\;\text{m}$

$\ev{\ell \approx 0{,}248\;\text{m}}$

Nota: qui “battere il secondo” significa periodo $T = 1{,}0\;\text{s}$. È diverso dal classico pendolo da orologio, che ha periodo $T = 2\;\text{s}$ (un secondo per ogni semi-oscillazione) e lunghezza vicina a $1\;\text{m}$.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Oggetti: Pendolo semplice

Problem

We want to build a pendulum that “beats the second”, i.e. with period $T = 1{,}0\;\text{s}$. What must its length be? Use $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.

Solution

We start from the period formula of the simple pendulum $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ and isolate the length:

$\ell = \frac{g\, T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}8 \cdot (1{,}0)^2}{4\pi^2}\;\text{m}$

Substituting the numbers:

$\ell = \frac{9{,}8}{39{,}48}\;\text{m} \approx 0{,}248\;\text{m}$

$\ev{\ell \approx 0{,}248\;\text{m}}$

Note: here “beating the second” means period $T = 1{,}0\;\text{s}$. This is different from the classic pendulum clock, which has period $T = 2\;\text{s}$ (one second per half-oscillation) and a length close to $1\;\text{m}$.

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple pendulum · Period and frequency Objects: Simple pendulum

Testo

Due pendoli identici per lunghezza, ma uno ha una sfera di piombo e l’altro una sfera di sughero di stessa dimensione. Quale oscilla con periodo maggiore? Perché il risultato cambia se l’ampiezza non è piccola? Discuti quale ruolo gioca l’attrito dell’aria.

Soluzione

Caso ideale (piccole oscillazioni, no attrito). Il periodo del pendolo semplice è:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

Non compare la massa: la massa inerziale che frena e la massa gravitazionale che tira si semplificano. Quindi, a parità di lunghezza, i due pendoli hanno lo stesso periodo:

$\ev{T_\text{piombo} = T_\text{sughero}}$

Ruolo dell’attrito dell’aria. La resistenza dell’aria dipende dalla forma e dalla dimensione della sfera, non dalla sua massa. A parità di area, la stessa forza frenante agisce su una massa piccola (sughero) e su una massa grande (piombo). Sul sughero l’effetto relativo è molto più forte: il sughero perde ampiezza rapidamente e si ferma prima. Se lo smorzamento è forte, il periodo effettivo del sughero aumenta leggermente rispetto al valore ideale.

Ampiezza non piccola. Per ampiezze grandi il periodo cresce rispetto al valore delle piccole oscillazioni, con la correzione approssimata:

$T \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$

Questo effetto vale per entrambi. Però il sughero, smorzandosi in fretta, riduce presto la propria ampiezza: il suo periodo tende quindi a tornare rapidamente verso il valore delle piccole oscillazioni, mentre il piombo mantiene più a lungo ampiezze grandi.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice

Problem

Two pendulums identical in length, but one has a lead sphere and the other a cork sphere of the same size. Which oscillates with the greater period? Why does the result change if the amplitude is not small? Discuss what role air friction plays.

Solution

Ideal case (small oscillations, no friction). The period of the simple pendulum is:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$

The mass does not appear: the inertial mass that resists and the gravitational mass that pulls cancel out. Hence, for equal length, the two pendulums have the same period:

$\ev{T_\text{piombo} = T_\text{sughero}}$

Role of air friction. Air resistance depends on the shape and size of the sphere, not on its mass. For equal area, the same braking force acts on a small mass (cork) and on a large mass (lead). On the cork the relative effect is much stronger: the cork loses amplitude quickly and stops sooner. If the damping is strong, the effective period of the cork increases slightly relative to the ideal value.

Non-small amplitude. For large amplitudes the period increases relative to the small-oscillation value, with the approximate correction:

$T \approx T_0 \left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)$

This effect holds for both. However, the cork, damping quickly, soon reduces its own amplitude: its period therefore tends to return rapidly towards the small-oscillation value, while the lead retains large amplitudes for longer.

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple pendulum Skills: Limiting-case and thought-experiment analysis Objects: Simple pendulum

Testo

Un oscillatore armonico ha massa $m = 0{,}50\;\text{kg}$, costante elastica $K = 18\;\text{N/m}$ e ampiezza $A = 0{,}050\;\text{m}$. Determina velocità massima e accelerazione massima del moto.

Soluzione

La pulsazione del sistema è:

$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{18}{0{,}50}} = \sqrt{36} = 6\;\text{rad/s}$

La velocità massima si ha nel passaggio per l’equilibrio e vale $v_{\max} = A\omega$:

$v_{\max} = 0{,}050 \cdot 6\;\text{m/s} = 0{,}30\;\text{m/s}$

$\ev{v_{\max} = 0{,}30\;\text{m/s}}$

L’accelerazione massima si ha agli estremi del moto e vale $a_{\max} = A\omega^2$:

$a_{\max} = 0{,}050 \cdot 36\;\text{m/s}^2 = 1{,}8\;\text{m/s}^2$

$\ev{a_{\max} = 1{,}8\;\text{m/s}^2}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice Oggetti: Molla

Problem

A harmonic oscillator has mass $m = 0{,}50\;\text{kg}$, elastic constant $K = 18\;\text{N/m}$ and amplitude $A = 0{,}050\;\text{m}$. Determine the maximum velocity and maximum acceleration of the motion.

Solution

The angular frequency of the system is:

$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{18}{0{,}50}} = \sqrt{36} = 6\;\text{rad/s}$

The maximum velocity occurs at the passage through equilibrium and equals $v_{\max} = A\omega$:

$v_{\max} = 0{,}050 \cdot 6\;\text{m/s} = 0{,}30\;\text{m/s}$

$\ev{v_{\max} = 0{,}30\;\text{m/s}}$

The maximum acceleration occurs at the endpoints of the motion and equals $a_{\max} = A\omega^2$:

$a_{\max} = 0{,}050 \cdot 36\;\text{m/s}^2 = 1{,}8\;\text{m/s}^2$

$\ev{a_{\max} = 1{,}8\;\text{m/s}^2}$

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion Objects: Spring

Testo

Un orologio a pendolo è tarato a una temperatura di $20\;^\circ$C, con asta di lunghezza $\ell_0 = 0{,}500\;\text{m}$ e periodo $T_0 = 1{,}419\;\text{s}$. Se la temperatura sale a $30\;^\circ$C, l’asta si dilata (coeff. di dilatazione $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\;\text{K}^{-1}$). Il periodo aumenta o diminuisce? Di quanto in percentuale?

Soluzione

Il periodo del pendolo dipende dalla radice della lunghezza: $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, cioè $T \propto \sqrt{\ell}$.

La dilatazione termica dell’asta per $\Delta\theta = 30 - 20 = 10\;\text{K}$ dà una variazione relativa di lunghezza:

$\frac{\Delta\ell}{\ell} = \alpha\, \Delta\theta = 1{,}2\cdot 10^{-5} \cdot 10 = 1{,}2\cdot 10^{-4}$

Poiché $T \propto \sqrt{\ell}$, la variazione relativa del periodo è la metà di quella della lunghezza:

$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2}\,\frac{\Delta\ell}{\ell} = \frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-4} = 6\cdot 10^{-5}$

L’asta si allunga, quindi il pendolo diventa più lento e il periodo aumenta:

$\ev{\frac{\Delta T}{T} \approx +6\cdot 10^{-5} \approx +0{,}006\%}$

Nota: un periodo più lungo significa che l’orologio conta i secondi troppo lentamente: col caldo l’orologio a pendolo ritarda leggermente.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Dilatazione termica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice

Problem

A pendulum clock is calibrated at a temperature of $20\;^\circ$C, with a rod of length $\ell_0 = 0{,}500\;\text{m}$ and period $T_0 = 1{,}419\;\text{s}$. If the temperature rises to $30\;^\circ$C, the rod expands (expansion coefficient $\alpha = 1{,}2\cdot 10^{-5}\;\text{K}^{-1}$). Does the period increase or decrease? By how much, in percentage?

Solution

The period of the pendulum depends on the square root of the length: $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, i.e. $T \propto \sqrt{\ell}$.

The thermal expansion of the rod for $\Delta\theta = 30 - 20 = 10\;\text{K}$ gives a relative change in length:

$\frac{\Delta\ell}{\ell} = \alpha\, \Delta\theta = 1{,}2\cdot 10^{-5} \cdot 10 = 1{,}2\cdot 10^{-4}$

Since $T \propto \sqrt{\ell}$, the relative change in the period is half that of the length:

$\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2}\,\frac{\Delta\ell}{\ell} = \frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 10^{-4} = 6\cdot 10^{-5}$

The rod lengthens, so the pendulum becomes slower and the period increases:

$\ev{\frac{\Delta T}{T} \approx +6\cdot 10^{-5} \approx +0{,}006\%}$

Note: a longer period means the clock counts seconds too slowly: in the heat, the pendulum clock runs slow.

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple pendulum · Thermal expansion Skills: Limiting-case and thought-experiment analysis Objects: Simple pendulum

Testo

Disegna in un unico piano cartesiano i grafici di posizione, velocità e accelerazione di un oscillatore armonico semplice di ampiezza $A$, pulsazione $\omega$, fase iniziale nulla. Indica chiaramente dove si trovano i massimi e gli zeri di ciascuna grandezza, e spiega in parole come ricavare $v$ e $a$ dal grafico di $x(t)$.

Soluzione

Con fase iniziale nulla, posizione, velocità e accelerazione si ottengono derivando successivamente:

$\begin{aligned} x(t) &= A\cos\omega t \\ v(t) &= \dot{x} = -A\omega\sin\omega t \\ a(t) &= \ddot{x} = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x \end{aligned}$

Come leggere il grafico. La velocità è la pendenza (derivata) della curva di $x(t)$: dove $x$ passa per lo zero (equilibrio) la sua curva è più ripida, quindi $|v|$ è massima e vale $A\omega$; dove $x$ è agli estremi la curva è piatta, quindi $v = 0$.

L’accelerazione è la pendenza di $v(t)$, ed è anche proporzionale a $-x$: è massima in modulo agli estremi (punti di inversione), dove vale $A\omega^2$, ed è nulla all’equilibrio. Da qui la sfasatura: $v$ è in anticipo di un quarto di periodo su $x$, e $a$ è in opposizione di fase con $x$.

$\ev{v_{\max} = A\omega \text{ agli zeri di } x,\quad a_{\max} = A\omega^2 \text{ ai punti di inversione}}$

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice Competenze: Lettura dei grafici

Problem

Draw, on a single set of axes, the graphs of position, velocity and acceleration of a simple harmonic oscillator with amplitude $A$, angular frequency $\omega$, zero initial phase. Clearly indicate where the maxima and zeros of each quantity are, and explain in words how to derive $v$ and $a$ from the graph of $x(t)$.

Solution

With zero initial phase, position, velocity and acceleration are obtained by successive differentiation:

$\begin{aligned} x(t) &= A\cos\omega t \\ v(t) &= \dot{x} = -A\omega\sin\omega t \\ a(t) &= \ddot{x} = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x \end{aligned}$

How to read the graph. The velocity is the slope (derivative) of the $x(t)$ curve: where $x$ passes through zero (equilibrium) its curve is steepest, so $|v|$ is maximum and equals $A\omega$; where $x$ is at the endpoints the curve is flat, so $v = 0$.

The acceleration is the slope of $v(t)$, and is also proportional to $-x$: it is maximum in magnitude at the endpoints (turning points), where it equals $A\omega^2$, and is zero at equilibrium. Hence the phase shift: $v$ leads $x$ by a quarter period, and $a$ is in phase opposition with $x$.

$\ev{v_{\max} = A\omega \text{ at the zeros of } x,\quad a_{\max} = A\omega^2 \text{ at the turning points}}$

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion Skills: Graph reading

Testo

Una massa $m$ è collegata in mezzo a due molle di costanti $K_1$ e $K_2$, fissate a due pareti opposte. Dimostra, partendo dal bilancio delle forze in un piccolo spostamento $x$, che il moto risulta armonico con costante elastica equivalente $K_\text{eq} = K_1 + K_2$. Confronta con il risultato per due molle in serie.

Soluzione

Spostiamo la massa di $x$ dalla posizione di equilibrio. La molla 1 viene deformata e reagisce con una forza $-K_1 x$; la molla 2 pure reagisce con $-K_2 x$. Una molla tira e l’altra spinge, ma entrambe puntano verso l’equilibrio, quindi le forze si sommano: $F = -K_1 x - K_2 x = -(K_1 + K_2)\, x$ La seconda legge di Newton dà $m\,\ddx = -(K_1 + K_2)\, x$ che è l’equazione del moto armonico $\ddx = -\omega^2 x$ con $\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ Le due molle così disposte agiscono in parallelo, con costante equivalente $\ev{K_\text{eq} = K_1 + K_2}$ Se invece le molle fossero in serie (una dopo l’altra), la stessa forza le attraversa entrambe e gli allungamenti si sommano: $1/K_\text{eq} = 1/K_1 + 1/K_2$, cioè $K_\text{eq}^\text{serie} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ che è più piccola della più piccola delle due: il sistema in serie è più morbido, quello in parallelo più rigido.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Moto armonico semplice Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Problem

A mass $m$ is connected between two springs of constants $K_1$ and $K_2$, fixed to two opposite walls. Show, starting from the force balance for a small displacement $x$, that the motion is harmonic with equivalent elastic constant $K_\text{eq} = K_1 + K_2$. Compare with the result for two springs in series.

Solution

We displace the mass by $x$ from the equilibrium position. Spring 1 is deformed and reacts with a force $-K_1 x$; spring 2 likewise reacts with $-K_2 x$. One spring pulls and the other pushes, but both point towards equilibrium, so the forces add up: $F = -K_1 x - K_2 x = -(K_1 + K_2)\, x$ Newton’s second law gives $m\,\ddx = -(K_1 + K_2)\, x$ which is the equation of harmonic motion $\ddx = -\omega^2 x$ with $\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ The two springs arranged this way act in parallel, with equivalent constant $\ev{K_\text{eq} = K_1 + K_2}$ If instead the springs were in series (one after the other), the same force passes through both and the extensions add up: $1/K_\text{eq} = 1/K_1 + 1/K_2$, i.e. $K_\text{eq}^\text{serie} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ which is smaller than the smaller of the two: the series system is softer, the parallel one stiffer.

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Elastic force and Hooke’s law · Simple harmonic motion Skills: Symbolic set-up Objects: Spring

Testo

Stima la frequenza propria di oscillazione orizzontale di un grattacielo alto $h \approx 200\;\text{m}$, modellandolo come una trave flessibile analoga a un pendolo invertito. Discuti perché ingegneri civili si preoccupano di evitare la risonanza con le onde sismiche e il vento.

Soluzione

Una regola empirica di ingegneria strutturale stima il periodo fondamentale come $T \approx N/10$ secondi, con $N$ numero di piani. Un edificio di $200\;\text{m}$ ha circa $60$ piani, quindi $T \approx \frac{60}{10} = 6\;\text{s}$ Un modello a trave dà lo stesso ordine di grandezza: per travi geometricamente simili la frequenza scala come $f \propto 1/h$, quindi un edificio alto oscilla lentamente. In ogni caso il risultato cade nella banda $\ev{f \sim 10^{-2}\text{–}10^{-1}\;\text{Hz}}$ cioè periodi da qualche frazione di secondo a diversi secondi.

Perché conta: le onde sismiche di lungo periodo e le raffiche di vento hanno contenuto spettrale proprio in questa banda. Se una forzante esterna coincide con la frequenza propria, si ha risonanza e le ampiezze crescono fino a danneggiare la struttura. Per questo gli ingegneri progettano l’edificio in modo da spostare il modo fondamentale fuori dalle bande pericolose e installano smorzatori di massa accordati (come il grande pendolo del Taipei 101), che assorbono energia e riducono l’ampiezza.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Risonanza · Periodo e frequenza Competenze: Stime di Fermi · Approssimazione delle piccole oscillazioni

Problem

Estimate the natural frequency of horizontal oscillation of a skyscraper of height $h \approx 200\;\text{m}$, modelling it as a flexible beam analogous to an inverted pendulum. Discuss why civil engineers worry about avoiding resonance with seismic waves and wind.

Solution

A rule of thumb in structural engineering estimates the fundamental period as $T \approx N/10$ seconds, with $N$ the number of storeys. A $200\;\text{m}$ building has about $60$ storeys, hence $T \approx \frac{60}{10} = 6\;\text{s}$ A beam model gives the same order of magnitude: for geometrically similar beams the frequency scales as $f \propto 1/h$, so a tall building oscillates slowly. In any case the result falls in the band $\ev{f \sim 10^{-2}\text{–}10^{-1}\;\text{Hz}}$ that is, periods from a fraction of a second to several seconds.

Why it matters: long-period seismic waves and wind gusts have spectral content precisely in this band. If an external driving force coincides with the natural frequency, resonance occurs and the amplitudes grow until they damage the structure. This is why engineers design the building so as to shift the fundamental mode out of the dangerous bands and install tuned mass dampers (such as the large pendulum in Taipei 101), which absorb energy and reduce the amplitude.

Links

Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion · Resonance · Period and frequency Skills: Fermi estimation · Small-oscillation approximation

Testo

Un bambino su un’altalena oscilla con periodo $T$. Spinto più forte, raggiunge ampiezza doppia. Il periodo $T$ resta lo stesso, cresce o diminuisce? Spiega in tre righe perché, usando la formula del periodo del pendolo.

Soluzione

Il periodo del pendolo per piccole oscillazioni è $T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ e non contiene l’ampiezza: quindi $\ev{T \text{ resta lo stesso}}$ È l’isocronismo galileiano. Ad ampiezza doppia il bambino percorre più strada, ma passa anche più velocemente dal punto più basso: i due effetti si compensano esattamente. Vale finché l’ampiezza è piccola; a grandi angoli il periodo cresce leggermente, secondo la correzione $T \approx T_0\left(1 + \theta_0^2/16\right)$.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Pendolo semplice

Problem

A child on a swing oscillates with period $T$. Pushed harder, they reach double the amplitude. Does the period $T$ stay the same, increase or decrease? Explain in three lines why, using the formula for the period of the pendulum.

Solution

The period of the pendulum for small oscillations is $T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$ and it does not contain the amplitude: so $\ev{T \text{ stays the same}}$ This is Galilean isochronism. At double amplitude the child travels more distance, but also passes through the lowest point faster: the two effects compensate exactly. This holds as long as the amplitude is small; at large angles the period increases slightly, according to the correction $T \approx T_0\left(1 + \theta_0^2/16\right)$.

Links

Topics: Oscillazioni e moto armonico Concepts: Pendolo semplice · Periodo e frequenza Skills: Analisi di casi limite e fantafisica Objects: Pendolo semplice

Testo

Un piccolo oggetto è appoggiato in una ciotola sferica di raggio $R$, liscia. Spostato di poco dal fondo, oscilla. Spiega perché il moto è armonico per piccoli angoli, e da cosa dipende il periodo. Confronta con il pendolo semplice.

Soluzione

L’oggetto sul fondo di una ciotola di raggio $R$ si muove lungo un arco di cerchio, esattamente come una massa appesa a un filo di lunghezza $\ell = R$: il centro della sfera fa da punto di sospensione. Spostato di un angolo $\theta$, la componente tangenziale del peso è la forza di richiamo: $F_t = -mg\sin\theta \approx -mg\,\theta \qquad (\theta \ll 1)$ Per piccoli angoli $\sin\theta \approx \theta$, quindi il richiamo è proporzionale allo spostamento e il moto è armonico. Con lo spostamento lungo l’arco $s = R\theta$ si ottiene $m\,\ddt s = -\frac{mg}{R}\,s \quad\Rightarrow\quad \ev{\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}}$ e quindi $T = 2\pi\sqrt{R/g}$. È identico a un pendolo semplice di lunghezza $\ell = R$: il periodo dipende solo dal raggio e da $g$, non dalla massa dell’oggetto.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Pendolo semplice Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni

Problem

A small object rests in a smooth spherical bowl of radius $R$. Displaced slightly from the bottom, it oscillates. Explain why the motion is harmonic for small angles, and what the period depends on. Compare with the simple pendulum.