Quantità di moto e impulso

La quantità di moto $\vv{p} = m\vv{v}$ è la grandezza vettoriale che gioca, per il moto, il ruolo che l’energia gioca per gli scambi scalari. Come l’energia si trasferisce col lavoro, la quantità di moto si trasferisce con l’impulso $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$. Questa sezione introduce le due grandezze, il teorema dell’impulso, il diagramma del recinto e le radici storiche dello studio degli urti.

• Quantità di moto
• Impulso
• Teorema dell’impulso e diagramma del recinto
• Huygens e le leggi degli urti

Momentum $\vv{p} = m\vv{v}$ is the vector quantity that plays, for motion, the role energy plays for scalar exchanges. Just as energy is transferred by work, momentum is transferred by impulse $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$. This section introduces both quantities, the impulse theorem, the fence diagram, and the historical roots of the study of collisions.

• Quantità di moto
• Impulso
• Teorema dell’impulso e diagramma del recinto
• Huygens e le leggi degli urti

La quantità di moto di un corpo è il prodotto della sua massa per la sua velocità. È un vettore: ha lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso della velocità, ma “pesato” dalla massa. Un TIR lento e una pallina veloce possono avere velocità molto diverse, eppure quantità di moto confrontabili, perché ciò che conta è il prodotto $m\vv{v}$: è la misura di “quanto moto” un corpo trascina con sé, e quindi di quanto è difficile fermarlo.

Principio — Quantità di moto

$\ev{\vv{p} = m\,\vv{v}}$

La quantità di moto è il gemello vettoriale dell’energia cinetica. Entrambe crescono con la massa e con la velocità, ma in modo diverso: $\vv{p}$ è lineare in $\vv{v}$ e porta con sé la direzione del moto, mentre $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}m|\vv{v}|^2$ è quadratica nel modulo e non ha direzione. Questa differenza è la ragione profonda per cui, negli urti, le due grandezze danno equazioni indipendenti e complementari.

Il modo migliore di vedere l’analogia è pensare a ciascuna grandezza come a un “serbatoio” che cambia solo per effetto di trasferimenti esterni: l’impulso riempie o svuota il serbatoio della quantità di moto, esattamente come il lavoro (e il calore) fanno con quello dell’energia.

Quantità di moto ed energia si trattano con la stessa logica: un “serbatoio” che cambia per effetto dei trasferimenti esterni (impulso per $\vv{p}$, lavoro/calore per $E$).

Formule chiave

$\vv{p} = m\vv{v}$ $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$ $\Delta\vv{p}_\text{sistema} = \sum\vv{I}_\text{esterne}$

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The momentum of a body is the product of its mass and its velocity. It is a vector: it has the same magnitude, the same direction and the same sense as the velocity, but “weighted” by the mass. A slow lorry and a fast ball can have very different velocities, yet comparable momenta, because what matters is the product $m\vv{v}$: it is the measure of “how much motion” a body carries with it, and hence of how hard it is to stop.

Principle — Momentum

$\ev{\vv{p} = m\,\vv{v}}$

Momentum is the vector twin of kinetic energy. Both grow with mass and with speed, but in different ways: $\vv{p}$ is linear in $\vv{v}$ and carries with it the direction of motion, while $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}m|\vv{v}|^2$ is quadratic in the magnitude and has no direction. This difference is the deep reason why, in collisions, the two quantities give independent and complementary equations.

The best way to see the analogy is to think of each quantity as a “reservoir” that changes only as a result of external transfers: impulse fills or empties the reservoir of momentum, exactly as work (and heat) do with that of energy.

Momentum and energy are treated with the same logic: a “reservoir” that changes as a result of external transfers (impulse for $\vv{p}$, work/heat for $E$).

Key formulae

$\vv{p} = m\vv{v}$ $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$ $\Delta\vv{p}_\text{sistema} = \sum\vv{I}_\text{esterne}$

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L’impulso di una forza costante è il prodotto della forza per il tempo durante cui essa agisce:

Formula chiave

$\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$

L’impulso è ciò che trasferisce quantità di moto da un corpo all’altro, così come il lavoro trasferisce energia. È un vettore, diretto come la forza, e si misura in $\text{N}\cdot\text{s}$ (equivalenti a $\text{kg}\cdot\text{m/s}$, le stesse unità di $\vv{p}$: non è un caso).

L’intuizione utile è che lo stesso cambiamento di quantità di moto può essere ottenuto in molti modi: una forza grande per un tempo breve, oppure una forza piccola per un tempo lungo, purché il prodotto $\vv{F}\,\Delta t$ sia lo stesso. È il principio che sta dietro a materassi, airbag, guantoni da boxe e paraurti deformabili: allungando $\Delta t$ si riduce la forza massima $F = \Delta p/\Delta t$ a parità di variazione di quantità di moto.

Quando la forza non è costante, l’impulso è l’area sotto il grafico $F(t)$; la formula $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$ vale allora con $\vv{F}$ inteso come forza media nell’intervallo.

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The impulse of a constant force is the product of the force and the time during which it acts:

Key formula

$\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$

Impulse is what transfers momentum from one body to another, just as work transfers energy. It is a vector, directed like the force, and is measured in $\text{N}\cdot\text{s}$ (equivalent to $\text{kg}\cdot\text{m/s}$, the same units as $\vv{p}$: this is no coincidence).

The useful intuition is that the same change in momentum can be obtained in many ways: a large force for a short time, or a small force for a long time, provided the product $\vv{F}\,\Delta t$ is the same. This is the principle behind mattresses, airbags, boxing gloves and deformable bumpers: by lengthening $\Delta t$ you reduce the maximum force $F = \Delta p/\Delta t$ for the same change in momentum.

When the force is not constant, the impulse is the area under the graph $F(t)$; the formula $\vv{I} = \vv{F}\,\Delta t$ then holds with $\vv{F}$ taken to mean the average force over the interval.

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Per un sistema di corpi, la variazione della quantità di moto totale è uguale alla somma degli impulsi delle sole forze esterne:

Legge — Teorema dell'impulso

$\vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{fin}} - \vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{ini}} = \sum \vv{I}_{\text{esterne}}$

La ragione per cui contano solo le forze esterne è la terza legge di Newton: gli impulsi delle forze interne si cancellano a coppie, perché ogni azione dentro il sistema ha la sua reazione uguale e contraria, anch’essa dentro il sistema.

Il diagramma del recinto è l’analogo, per la quantità di moto, del diagramma di interazione per le forze e del diagramma a bolle per l’energia. Si disegnano i corpi come diamanti o cerchi dentro un recinto (il confine del sistema) e gli impulsi come frecce. Le frecce interne — tra corpi entrambi dentro il recinto — si annullano; solo le frecce che attraversano il confine cambiano $\vv{p}_\text{tot}$.

Diagramma del “recinto”: gli impulsi interni si cancellano; solo quelli che attraversano il confine cambiano $\vv{p}_\text{tot}$. Stessa logica del diagramma di interazione e del diagramma a bolle.

Perché è la seconda legge in incognito

Il teorema dell’impulso è in realtà la seconda legge di Newton riscritta in forma integrale: $\vv{F} = m\vv{a} = m\frac{\Delta\vv{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vv{p}}{\Delta t}$ Moltiplicando per $\Delta t$ si ottiene $\vv{F}\,\Delta t = \Delta\vv{p}$, cioè impulso uguale a variazione di quantità di moto.

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For a system of bodies, the change in the total momentum equals the sum of the impulses of the external forces only:

Law — Impulse theorem

$\vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{fin}} - \vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{ini}} = \sum \vv{I}_{\text{esterne}}$

The reason only external forces count is Newton’s third law: the impulses of the internal forces cancel in pairs, because every action inside the system has its equal and opposite reaction, itself also inside the system.

The fence diagram is the momentum analogue of the interaction diagram for forces and the bubble diagram for energy. The bodies are drawn as diamonds or circles inside a fence (the system boundary), and the impulses as arrows. The internal arrows — between bodies both inside the fence — cancel out; only arrows that cross the boundary change $\vv{p}_\text{tot}$.

Fence diagram: internal impulses cancel; only those crossing the boundary change $\vv{p}_\text{tot}$. Same logic as the interaction diagram and the bubble diagram.

Why it is the second law in disguise

The impulse theorem is really Newton’s second law rewritten in integral form: $\vv{F} = m\vv{a} = m\frac{\Delta\vv{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vv{p}}{\Delta t}$ Multiplying by $\Delta t$ gives $\vv{F}\,\Delta t = \Delta\vv{p}$, that is, impulse equals change in momentum.

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Contesto storico

Il primo studio sistematico degli urti fu condotto dall’olandese Christiaan Huygens (1629–1695) nel 1668, presentato alla Royal Society di Londra. Huygens scoprì che negli urti elastici si conservano due grandezze: la quantità di moto $mv$ e la “forza viva” $mv^2$ (ciò che oggi chiamiamo energia cinetica). La sua intuizione chiave fu di analizzare gli urti dal punto di vista di un osservatore in moto, anticipando di due secoli il concetto di sistema di riferimento del centro di massa (Simonyi 2012, cap. 3).

Newton, nei Principia, generalizzò queste scoperte formulando la terza legge e il principio di conservazione della quantità di moto per sistemi isolati (Einstein e Infeld 1938, cap. 1).

Che negli urti elastici si conservino contemporaneamente quantità di moto ed energia cinetica non è un dettaglio tecnico: è ciò che rende il problema risolubile. Due leggi di conservazione indipendenti forniscono abbastanza equazioni per determinare le velocità finali di entrambi i corpi. L’idea di Huygens di guardare l’urto dal riferimento in cui il baricentro è fermo — dove tutto diventa simmetrico — è ancora oggi il trucco più elegante per trattare gli urti.

Per l’elenco completo delle opere citate: Riferimenti bibliografici.

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Historical context

The first systematic study of collisions was carried out by the Dutchman Christiaan Huygens (1629–1695) in 1668, presented to the Royal Society of London. Huygens discovered that in elastic collisions two quantities are conserved: momentum $mv$ and “living force” $mv^2$ (what we today call kinetic energy). His key insight was to analyse collisions from the point of view of a moving observer, anticipating by two centuries the concept of the centre-of-mass reference frame (Simonyi 2012, ch. 3).

Newton, in the Principia, generalised these discoveries by formulating the third law and the principle of conservation of momentum for isolated systems (Einstein and Infeld 1938, ch. 1).

The fact that in elastic collisions momentum and kinetic energy are conserved simultaneously is not a technical detail: it is what makes the problem solvable. Two independent conservation laws provide enough equations to determine the final velocities of both bodies. Huygens’s idea of viewing the collision from the frame in which the centre of mass is at rest — where everything becomes symmetric — is still today the most elegant trick for handling collisions.

For the full list of works cited: Riferimenti bibliografici.

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