Esercizi — Quantità di moto e urti

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo e i problemi delle sezioni, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esercizi e problemi nel testo

Esercizio svolto — esplosione in due frammenti
Saltare dalla finestra
Esercizio svolto — urto elastico 1D
Esercizio svolto — urto parzialmente anelastico
Esplosione 2D con tre frammenti
Esercizio svolto — collisione tramite molla

Problemi di fine capitolo

Quantità di moto di un’auto
Cadere sul materasso
Impulso sulla palla da tennis
Bambino che salta sul carrello
Urto elastico tra due biglie
Crash test con airbag
Vero o falso sugli urti
Pendolo balistico (altezza)
Dimostrazione urto elastico 1D
Rinculo su ghiaccio
Ranking quantità di moto (mv)
Bowling contro birillo
Elastotennis
Carrello e persona che corre
Rinculo del cannone
Auto contro camion
Tre palline contro il muro
Vero o falso (impulso e urti)
Salto dalla panchina
Perché gli airbag salvano vite
Dischi da hockey
Conservazione e cambio di riferimento
La culla di Newton
Razzo nel vuoto
Ranking delle quantità di moto
Ranking delle energie cinetiche
Urto elastico tra masse diverse
Urto anelastico camion-auto
Rinculo di una pistola
Urto 2D perpendicolare
Sterzata brusca (impulso)
Velocità dalla quantità di moto totale
Terzo principio rotto
Massa che dimezza
Razzo a stadi
Pendolo balistico (velocità)
Ammortizzatori salvavita
La palla che torna
Grafico F(t) triangolare
Grafico p(t) di un razzo
Stima Fermi: calcio a una palla
Stima Fermi: massa del proiettile
Stima Fermi: deviare un asteroide
Tre corpi in cascata

All the chapter’s worked exercises, step by step, in order of appearance in the chapter: first the guided exercises in the text and the section problems, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphs, Fermi estimates).

Exercises and problems in the text

Worked example — explosion into two fragments
Jumping out of the window
Worked example — 1D elastic collision
Worked example — partially inelastic collision
2D explosion with three fragments
Worked example — collision via a spring

End-of-chapter problems

Momentum of a car
Falling onto a mattress
Impulse on a tennis ball
Child jumping onto a trolley
Elastic collision between two marbles
Crash test with airbag
True or false about collisions
Ballistic pendulum (height)
Proof of the 1D elastic collision formulas
Recoil on ice
Ranking momentum (mv)
Bowling ball against a pin
Elastic tennis
Trolley and a running person
Recoil of a cannon
Car against lorry
Three balls against the wall
True or false (impulse and collisions)
Jumping off the bench
Why airbags save lives
Hockey pucks
Conservation and change of reference frame
Newton’s cradle
Rocket in a vacuum
Ranking momenta
Ranking kinetic energies
Elastic collision between different masses
Inelastic lorry-car collision
Recoil of a pistol
Perpendicular 2D collision
Sudden swerve (impulse)
Velocity from the total momentum
Broken third law
Mass that halves
Staged rocket
Ballistic pendulum (velocity)
Life-saving shock absorbers
The ball that comes back
Triangular F(t) graph
p(t) graph of a rocket
Fermi estimate: kicking a ball
Fermi estimate: mass of the bullet
Fermi estimate: deflecting an asteroid
Three bodies in cascade

Testo

Un petardo ( $m_{\text{tot}} = 2\;\text{kg}$ ) esplode liberando $E_{\text{scoppio}} = 500\;\text{J}$ e dividendosi in due frammenti di massa $m_1 = 0{,}5\;\text{kg}$ e $m_2 = 1{,}5\;\text{kg}$ . Calcolare le velocità.

Soluzione

Conservazione di $\vv{p}$ (il petardo è inizialmente fermo, quindi $p_\text{tot} = 0$ prima e dopo): $0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,v_1 = -\frac{0{,}5}{1{,}5}\,v_1 = -\frac{1}{3}\,v_1$ I due frammenti partono in versi opposti (il segno meno).

Bilancio energetico: tutta l’energia liberata diventa energia cinetica dei frammenti: $E_{\text{scoppio}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2$ Sostituendo $v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1$ : $500 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot v_1^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}5\cdot \frac{v_1^2}{9} = v_1^2\!\left(\frac{0{,}5}{2} + \frac{1{,}5}{18}\right) = \frac{v_1^2}{3}$ Risoluzione: $v_1 = \sqrt{1500} \approx 38{,}7\;\text{m/s}, \qquad v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1 \approx -12{,}9\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 38{,}7\;\mathrm{m/s},\quad v_2 \approx -12{,}9\;\mathrm{m/s}}$ Il frammento più leggero va tre volte più veloce: pur avendo la stessa quantità di moto (in modulo) dell’altro, porta via gran parte dell’energia cinetica.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Esplosione · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto · Metodo delle due tabelle

Problem

A firecracker ( $m_{\text{tot}} = 2\;\text{kg}$ ) explodes releasing $E_{\text{scoppio}} = 500\;\text{J}$ and splits into two fragments of mass $m_1 = 0{,}5\;\text{kg}$ and $m_2 = 1{,}5\;\text{kg}$ . Calculate the velocities.

Solution

Conservation of $\vv{p}$ (the firecracker is initially at rest, so $p_\text{tot} = 0$ before and after): $0 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,v_1 = -\frac{0{,}5}{1{,}5}\,v_1 = -\frac{1}{3}\,v_1$ The two fragments fly off in opposite directions (the minus sign).

Energy balance: all the released energy becomes kinetic energy of the fragments: $E_{\text{scoppio}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2$ Substituting $v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1$ : $500 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot v_1^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}5\cdot \frac{v_1^2}{9} = v_1^2\!\left(\frac{0{,}5}{2} + \frac{1{,}5}{18}\right) = \frac{v_1^2}{3}$ Solving: $v_1 = \sqrt{1500} \approx 38{,}7\;\text{m/s}, \qquad v_2 = -\tfrac{1}{3}v_1 \approx -12{,}9\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 38{,}7\;\mathrm{m/s},\quad v_2 \approx -12{,}9\;\mathrm{m/s}}$ The lighter fragment goes three times faster: despite having the same momentum (in magnitude) as the other, it carries away most of the kinetic energy.

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Esplosione · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Skills: Conservazione della quantità di moto · Metodo delle due tabelle

Testo

Una persona di $75\;\text{kg}$ si lancia da $h = 5\;\text{m}$ . Trattando il sistema persona più Terra come un‘“esplosione” (l’energia potenziale gravitazionale si trasforma in cinetica), stima la velocità di rinculo della Terra e commenta perché non la percepiamo. Massa della Terra $M_\oplus \approx 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ .

Soluzione

Velocità della persona a fine caduta (conservazione dell’energia, si trascura il minuscolo contributo cinetico della Terra): $\tfrac{1}{2}m v_1^2 = m g h \quad\Rightarrow\quad v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 5} \approx 9{,}9\;\text{m/s}$

Conservazione di $\vv{p}$ (sistema persona + Terra inizialmente fermo, come un’esplosione a due frammenti): $0 = m v_1 + M_\oplus v_\text{Terra} \quad\Rightarrow\quad v_\text{Terra} = -\frac{m\,v_1}{M_\oplus}$ $v_\text{Terra} = -\frac{75\cdot 9{,}9}{6\cdot 10^{24}} \approx -1{,}2\cdot 10^{-22}\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 9{,}9\;\mathrm{m/s},\qquad v_\text{Terra} \approx 1{,}2\cdot 10^{-22}\;\mathrm{m/s}}$ Commento. La quantità di moto della Terra è uguale e opposta a quella della persona, ma la sua massa è $\sim 10^{23}$ volte più grande: la velocità di rinculo è impercettibile, $\sim 10^{-22}\;\text{m/s}$ , molte volte più piccola del diametro di un nucleo atomico al secondo. Per questo la Terra ci sembra un riferimento immobile.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

A person of $75\;\text{kg}$ jumps from $h = 5\;\text{m}$ . Treating the person-plus-Earth system as an “explosion” (gravitational potential energy transforms into kinetic energy), estimate the recoil velocity of the Earth and comment on why we do not notice it. Mass of the Earth $M_\oplus \approx 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ .

Solution

Velocity of the person at the end of the fall (conservation of energy, neglecting the tiny kinetic contribution of the Earth): $\tfrac{1}{2}m v_1^2 = m g h \quad\Rightarrow\quad v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 5} \approx 9{,}9\;\text{m/s}$

Conservation of $\vv{p}$ (person + Earth system initially at rest, like a two-fragment explosion): $0 = m v_1 + M_\oplus v_\text{Terra} \quad\Rightarrow\quad v_\text{Terra} = -\frac{m\,v_1}{M_\oplus}$ $v_\text{Terra} = -\frac{75\cdot 9{,}9}{6\cdot 10^{24}} \approx -1{,}2\cdot 10^{-22}\;\text{m/s}$ $\ev{v_1 \approx 9{,}9\;\mathrm{m/s},\qquad v_\text{Terra} \approx 1{,}2\cdot 10^{-22}\;\mathrm{m/s}}$ Comment. The Earth’s momentum is equal and opposite to the person’s, but its mass is $\sim 10^{23}$ times larger: the recoil velocity is imperceptible, $\sim 10^{-22}\;\text{m/s}$ , many times smaller than the diameter of an atomic nucleus per second. This is why the Earth seems like a stationary reference frame to us.

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Esplosione · Energia potenziale gravitazionale Skills: Conservazione della quantità di moto

Testo

Un corpo ( $m_1 = 3\;\text{kg}$ , $v_1 = 25\;\text{m/s}$ ) urta un corpo fermo ( $m_2 = 5\;\text{kg}$ , $v_2 = 0$ ). L’urto è elastico. Trovare le velocità finali.

Soluzione

Trucco dell’urto elastico (la velocità relativa si inverte): $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ , cioè $25 - 0 = v_2' - v_1' \quad\Rightarrow\quad v_2' = v_1' + 25$

Conservazione di $\vv{p}$ : $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 25 = 3v_1' + 5v_2'$ Sostituendo $v_2' = v_1' + 25$ : $75 = 3v_1' + 5(v_1' + 25) = 8v_1' + 125 \quad\Rightarrow\quad v_1' = -\frac{50}{8} = -6{,}25\;\text{m/s}$ $v_2' = v_1' + 25 = -6{,}25 + 25 = 18{,}75\;\text{m/s}$ $\ev{v_1' = -6{,}25\;\mathrm{m/s},\quad v_2' = 18{,}75\;\mathrm{m/s}}$ Il corpo 1 (più leggero) rimbalza all’indietro (velocità negativa), il corpo 2 (più pesante) parte in avanti. Verifica dell’energia cinetica: prima $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 25^2 = 937{,}5\;\text{J}$ ; dopo $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6{,}25^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 18{,}75^2 = 58{,}6 + 878{,}9 = 937{,}5\;\text{J}$ : si conserva, come deve.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Problem

A body ( $m_1 = 3\;\text{kg}$ , $v_1 = 25\;\text{m/s}$ ) collides with a body at rest ( $m_2 = 5\;\text{kg}$ , $v_2 = 0$ ). The collision is elastic. Find the final velocities.

Solution

Elastic-collision trick (the relative velocity reverses): $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ , i.e. $25 - 0 = v_2' - v_1' \quad\Rightarrow\quad v_2' = v_1' + 25$

Conservation of $\vv{p}$ : $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 25 = 3v_1' + 5v_2'$ Substituting $v_2' = v_1' + 25$ : $75 = 3v_1' + 5(v_1' + 25) = 8v_1' + 125 \quad\Rightarrow\quad v_1' = -\frac{50}{8} = -6{,}25\;\text{m/s}$ $v_2' = v_1' + 25 = -6{,}25 + 25 = 18{,}75\;\text{m/s}$ $\ev{v_1' = -6{,}25\;\mathrm{m/s},\quad v_2' = 18{,}75\;\mathrm{m/s}}$ Body 1 (lighter) bounces backwards (negative velocity), body 2 (heavier) moves forward. Kinetic energy check: before $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 25^2 = 937{,}5\;\text{J}$ ; after $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6{,}25^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 18{,}75^2 = 58{,}6 + 878{,}9 = 937{,}5\;\text{J}$ : it is conserved, as it must be.

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Elastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy Skills: Symbolic setup

Testo

Due palline ( $m_1 = 3\;\text{kg}$ , $v_{1A} = 4\;\text{m/s}$ ; $m_2 = 5\;\text{kg}$ , $v_{2A} = -7\;\text{m/s}$ ) collidono. Il 30% dell’energia cinetica interna diventa calore. Trovare le velocità finali.

Soluzione

Tabella di $\vv{p}$ (1D, componente $x$ ; $p$ in $\text{kg m/s}$ ):

$p_1$ $p_2$ $p_\text{tot}$
A $12$ $-35$ $-23$
B $3v_{1B}$ $5v_{2B}$ $-23$

$3v_{1B} + 5v_{2B} = -23 \qquad\text{(I)}$

Velocità del centro di massa (si conserva): $v_\text{CM} = \frac{p_\text{tot}}{M_\text{tot}} = \frac{-23}{8} = -2{,}875\;\text{m/s}$

Energia cinetica interna (la sola parte che può diventare calore, cioè quella del moto relativo al centro di massa). Energia cinetica totale e del CM: $E_\text{cin,tot} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7^2 = 24 + 122{,}5 = 146{,}5\;\text{J}$ $E_\text{cin,CM} = \tfrac{1}{2}\,M_\text{tot}\,v_\text{CM}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2{,}875^2 = 33{,}1\;\text{J}$ $E_\text{cin,int} = E_\text{cin,tot} - E_\text{cin,CM} = 146{,}5 - 33{,}1 = 113{,}4\;\text{J}$

Il 30% diventa calore: $E_\text{term} = 0{,}3\cdot 113{,}4 = 34{,}0\;\text{J}$

Tabella di $E$ ( $E$ in $\text{J}$ ):

$E_{\text{cin},1}$ $E_{\text{cin},2}$ $E_\text{term}$ $E_\text{tot}$
A $24$ $122{,}5$ $0$ $146{,}5$
B $\tfrac{3}{2}v_{1B}^2$ $\tfrac{5}{2}v_{2B}^2$ $34{,}0$ $146{,}5$

$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2 + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 146{,}5 - 34{,}0 = 112{,}5 \qquad\text{(II)}$

Risoluzione del sistema (I)–(II). Da (I): $v_{1B} = \dfrac{-23 - 5v_{2B}}{3}$ . Sostituendo in (II) si ottiene un’equazione di secondo grado in $v_{2B}$ : $\tfrac{3}{2}\!\left(\frac{-23 - 5v_{2B}}{3}\right)^{\!2} + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 112{,}5$ $20v_{2B}^2 + 115\,v_{2B} - 73 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{2B} = \frac{-115 \pm \sqrt{115^2 + 4\cdot 20\cdot 73}}{2\cdot 20}$ $v_{2B} = \frac{-115 \pm 138{,}1}{40}$ Le due radici corrispondono a “prima” e “dopo” l’urto; quella fisica (i corpi si separano, con la velocità relativa che si inverte) è $\ev{v_{2B} \approx 0{,}58\;\mathrm{m/s},\quad v_{1B} \approx -8{,}63\;\mathrm{m/s}}$ L’altra radice ( $v_{2B} \approx -6{,}33$ , $v_{1B} \approx 2{,}88$ ), con i corpi ancora in avvicinamento, è la soluzione “prima dell’urto”: si scarta. Il metodo delle due tabelle ha fornito le due equazioni (I) e (II) necessarie a chiudere il problema.

	$p_1$	$p_2$	$p_\text{tot}$
A	$12$	$-35$	$-23$
B	$3v_{1B}$	$5v_{2B}$	$-23$

	$E_{\text{cin},1}$	$E_{\text{cin},2}$	$E_\text{term}$	$E_\text{tot}$
A	$24$	$122{,}5$	$0$	$146{,}5$
B	$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2$	$\tfrac{5}{2}v_{2B}^2$	$34{,}0$	$146{,}5$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Centro di massa Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Problem

Two balls ( $m_1 = 3\;\text{kg}$ , $v_{1A} = 4\;\text{m/s}$ ; $m_2 = 5\;\text{kg}$ , $v_{2A} = -7\;\text{m/s}$ ) collide. 30% of the internal kinetic energy becomes heat. Find the final velocities.

Solution

Table of $\vv{p}$ (1D, $x$ component; $p$ in $\text{kg m/s}$ ):

$p_1$ $p_2$ $p_\text{tot}$
A $12$ $-35$ $-23$
B $3v_{1B}$ $5v_{2B}$ $-23$

$3v_{1B} + 5v_{2B} = -23 \qquad\text{(I)}$

Velocity of the centre of mass (conserved): $v_\text{CM} = \frac{p_\text{tot}}{M_\text{tot}} = \frac{-23}{8} = -2{,}875\;\text{m/s}$

Internal kinetic energy (the only part that can become heat, i.e. that of the motion relative to the centre of mass). Total kinetic energy and that of the CM: $E_\text{kin,tot} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7^2 = 24 + 122{,}5 = 146{,}5\;\text{J}$ $E_\text{kin,CM} = \tfrac{1}{2}\,M_\text{tot}\,v_\text{CM}^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2{,}875^2 = 33{,}1\;\text{J}$ $E_\text{kin,int} = E_\text{kin,tot} - E_\text{kin,CM} = 146{,}5 - 33{,}1 = 113{,}4\;\text{J}$

30% becomes heat: $E_\text{heat} = 0{,}3\cdot 113{,}4 = 34{,}0\;\text{J}$

Table of $E$ ( $E$ in $\text{J}$ ):

$E_{\text{kin},1}$ $E_{\text{kin},2}$ $E_\text{heat}$ $E_\text{tot}$
A $24$ $122{,}5$ $0$ $146{,}5$
B $\tfrac{3}{2}v_{1B}^2$ $\tfrac{5}{2}v_{2B}^2$ $34{,}0$ $146{,}5$

$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2 + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 146{,}5 - 34{,}0 = 112{,}5 \qquad\text{(II)}$

Solving the system (I)–(II). From (I): $v_{1B} = \dfrac{-23 - 5v_{2B}}{3}$ . Substituting into (II) gives a second-degree equation in $v_{2B}$ : $\tfrac{3}{2}\!\left(\frac{-23 - 5v_{2B}}{3}\right)^{\!2} + \tfrac{5}{2}v_{2B}^2 = 112{,}5$ $20v_{2B}^2 + 115\,v_{2B} - 73 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_{2B} = \frac{-115 \pm \sqrt{115^2 + 4\cdot 20\cdot 73}}{2\cdot 20}$ $v_{2B} = \frac{-115 \pm 138{,}1}{40}$ The two roots correspond to “before” and “after” the collision; the physical one (the bodies separate, with the relative velocity reversing) is $\ev{v_{2B} \approx 0{,}58\;\mathrm{m/s},\quad v_{1B} \approx -8{,}63\;\mathrm{m/s}}$ The other root ( $v_{2B} \approx -6{,}33$ , $v_{1B} \approx 2{,}88$ ), with the bodies still approaching, is the “before-collision” solution: it is discarded. The two-table method provided the two equations (I) and (II) needed to close the problem.

	$p_1$	$p_2$	$p_\text{tot}$
A	$12$	$-35$	$-23$
B	$3v_{1B}$	$5v_{2B}$	$-23$

	$E_{\text{kin},1}$	$E_{\text{kin},2}$	$E_\text{heat}$	$E_\text{tot}$
A	$24$	$122{,}5$	$0$	$146{,}5$
B	$\tfrac{3}{2}v_{1B}^2$	$\tfrac{5}{2}v_{2B}^2$	$34{,}0$	$146{,}5$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Inelastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy · Centre of mass Skills: Two-table method Methods: Parallel two-table method

Testo

Un oggetto fermo di $10\;\text{kg}$ esplode in tre frammenti di masse $m_1 = 2$ , $m_2 = 3$ , $m_3 = 5\;\text{kg}$ . Il frammento 1 parte con velocità $\vv{v}_1 = (10;\, 0)\;\text{m/s}$ , il frammento 2 con $\vv{v}_2 = (0;\, -8)\;\text{m/s}$ . Trova $\vv{v}_3$ e l’energia liberata nello scoppio.

Soluzione

Conservazione di $\vv{p}$ (l’oggetto è fermo, $\vv{p}_\text{tot} = \vv{0}$ prima e dopo), componente per componente: $m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} + m_3 v_{3x} = 0 \;\Rightarrow\; 2\cdot 10 + 3\cdot 0 + 5\,v_{3x} = 0 \;\Rightarrow\; v_{3x} = -4\;\text{m/s}$ $m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} + m_3 v_{3y} = 0 \;\Rightarrow\; 2\cdot 0 + 3\cdot(-8) + 5\,v_{3y} = 0 \;\Rightarrow\; v_{3y} = +4{,}8\;\text{m/s}$ $\ev{\vv{v}_3 = (-4;\, 4{,}8)\;\mathrm{m/s}}$ Modulo: $\lvert v_3\rvert = \sqrt{4^2 + 4{,}8^2} = \sqrt{39{,}04} \approx 6{,}25\;\text{m/s}$ .

Energia liberata nello scoppio = energia cinetica totale dei frammenti: $E_\text{scoppio} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 + \tfrac{1}{2}m_3 v_3^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 100 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 64 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 39{,}04$ $E_\text{scoppio} = 100 + 96 + 97{,}6 \approx 294\;\text{J}$ $\ev{E_\text{scoppio} \approx 294\;\mathrm{J}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Esplosione · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

A stationary $10\;\text{kg}$ object explodes into three fragments of masses $m_1 = 2$ , $m_2 = 3$ , $m_3 = 5\;\text{kg}$ . Fragment 1 leaves with velocity $\vv{v}_1 = (10;\, 0)\;\text{m/s}$ , fragment 2 with $\vv{v}_2 = (0;\, -8)\;\text{m/s}$ . Find $\vv{v}_3$ and the energy released in the blast.

Solution

Conservation of $\vv{p}$ (the object is at rest, $\vv{p}_\text{tot} = \vv{0}$ before and after), component by component: $m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} + m_3 v_{3x} = 0 \;\Rightarrow\; 2\cdot 10 + 3\cdot 0 + 5\,v_{3x} = 0 \;\Rightarrow\; v_{3x} = -4\;\text{m/s}$ $m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y} + m_3 v_{3y} = 0 \;\Rightarrow\; 2\cdot 0 + 3\cdot(-8) + 5\,v_{3y} = 0 \;\Rightarrow\; v_{3y} = +4{,}8\;\text{m/s}$ $\ev{\vv{v}_3 = (-4;\, 4{,}8)\;\mathrm{m/s}}$ Magnitude: $\lvert v_3\rvert = \sqrt{4^2 + 4{,}8^2} = \sqrt{39{,}04} \approx 6{,}25\;\text{m/s}$ .

Energy released in the blast = total kinetic energy of the fragments: $E_\text{blast} = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 + \tfrac{1}{2}m_3 v_3^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 100 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 64 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 39{,}04$ $E_\text{blast} = 100 + 96 + 97{,}6 \approx 294\;\text{J}$ $\ev{E_\text{blast} \approx 294\;\mathrm{J}}$

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Testo

Palla 1 ( $3\;\text{kg}$ , $v = 6\;\text{m/s}$ ) si avvicina a palla 2 ( $5\;\text{kg}$ , $v = -2\;\text{m/s}$ ). Tra di loro c’è una molla ( $K = 200\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 5\;\text{m}$ , $\ell_A = \ell_0$ ). Trovare la massima compressione della molla.

Soluzione

Velocità del centro di massa (si conserva per tutto il processo): $v_\text{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{3\cdot 6 + 5\cdot(-2)}{8} = \frac{18 - 10}{8} = 1\;\text{m/s}$

Stato B (massima compressione). In quell’istante i due corpi si muovono alla stessa velocità $v_\text{CM}$ : l’energia cinetica interna (del moto relativo) è nulla e si è tutta trasferita nella molla.

Tabella di energia (da A a B; $E$ in $\text{J}$ ):

$E_\text{cin,CM}$ $E_\text{cin,int}$ $E_\text{pot,m}$ $E_\text{tot}$
A $\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 1^2 = 4$ $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 = 60$ $0$ $64$
B $4$ $0$ $100(\ell_B - 5)^2$ $64$

(in A le velocità relative al CM sono $6-1 = 5$ e $-2-1 = -3$ , da cui $E_\text{cin,int} = 37{,}5 + 22{,}5 = 60\;\text{J}$ ; l’energia della molla è $\tfrac{1}{2}K x^2 = 100\,x^2$ con $x = \lvert\ell_B - 5\rvert$ ).

Compressione massima: $100(\ell_B - 5)^2 = 60 \;\Rightarrow\; \lvert\ell_B - 5\rvert = \sqrt{0{,}6} = 0{,}77\;\text{m}$ $\ev{5 - \ell_B \approx 0{,}77\;\mathrm{m}}$

Da A a C (la molla torna a $\ell_0$ e restituisce tutta l’energia): il processo complessivo è un urto elastico, quindi vale il trucco $v_{1A} + v_{1C} = v_{2A} + v_{2C}$ , con cui — insieme alla conservazione di $\vv{p}$ — si ricavano le velocità finali di separazione $v_{1C}$ e $v_{2C}$ .

	$E_\text{cin,CM}$	$E_\text{cin,int}$	$E_\text{pot,m}$	$E_\text{tot}$
A	$\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 1^2 = 4$	$\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 = 60$	$0$	$64$
B	$4$	$0$	$100(\ell_B - 5)^2$	$64$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale elastica · Centro di massa Competenze: Metodo delle due tabelle Oggetti: Molla

Problem

Ball 1 ( $3\;\text{kg}$ , $v = 6\;\text{m/s}$ ) approaches ball 2 ( $5\;\text{kg}$ , $v = -2\;\text{m/s}$ ). Between them there is a spring ( $K = 200\;\text{N/m}$ , $\ell_0 = 5\;\text{m}$ , $\ell_A = \ell_0$ ). Find the maximum compression of the spring.

Solution

Velocity of the centre of mass (conserved throughout the process): $v_\text{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{3\cdot 6 + 5\cdot(-2)}{8} = \frac{18 - 10}{8} = 1\;\text{m/s}$

State B (maximum compression). At that instant the two bodies move at the same velocity $v_\text{CM}$ : the internal kinetic energy (of relative motion) is zero and has all been transferred to the spring.

Energy table (from A to B; $E$ in $\text{J}$ ):

$E_\text{kin,CM}$ $E_\text{kin,int}$ $E_\text{pot,spring}$ $E_\text{tot}$
A $\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 1^2 = 4$ $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 = 60$ $0$ $64$
B $4$ $0$ $100(\ell_B - 5)^2$ $64$

(in A the velocities relative to the CM are $6-1 = 5$ and $-2-1 = -3$ , giving $E_\text{kin,int} = 37{,}5 + 22{,}5 = 60\;\text{J}$ ; the spring energy is $\tfrac{1}{2}K x^2 = 100\,x^2$ with $x = \lvert\ell_B - 5\rvert$ ).

Maximum compression: $100(\ell_B - 5)^2 = 60 \;\Rightarrow\; \lvert\ell_B - 5\rvert = \sqrt{0{,}6} = 0{,}77\;\text{m}$ $\ev{5 - \ell_B \approx 0{,}77\;\mathrm{m}}$

From A to C (the spring returns to $\ell_0$ and gives back all its energy): the overall process is an elastic collision, so the trick $v_{1A} + v_{1C} = v_{2A} + v_{2C}$ applies, and together with conservation of $\vv{p}$ gives the final separation velocities $v_{1C}$ and $v_{2C}$ .

	$E_\text{kin,CM}$	$E_\text{kin,int}$	$E_\text{pot,spring}$	$E_\text{tot}$
A	$\tfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 1^2 = 4$	$\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 = 60$	$0$	$64$
B	$4$	$0$	$100(\ell_B - 5)^2$	$64$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale elastica · Centro di massa Skills: Metodo delle due tabelle Objects: Molla

Testo

Un’auto di massa $m = 1200\;\mathrm{kg}$ viaggia a $v = 45\;\mathrm{km/h}$ . Calcola il modulo della quantità di moto (ricorda di convertire la velocità in m/s).

Soluzione

La quantità di moto è $p = m\,v$ , ma la velocità va prima convertita nelle unità SI. Un’ora ha $3600$ s e un chilometro ha $1000$ m, quindi si divide per $3{,}6$ : $v = 45\;\mathrm{km/h} = \frac{45}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} = 12{,}5\;\mathrm{m/s}$ Ora applico la definizione di modulo della quantità di moto: $p = m\,v = 1200\;\mathrm{kg}\cdot 12{,}5\;\mathrm{m/s}$ $p = 1{,}5\cdot 10^4\;\mathrm{kg\,m/s}$ $\ev{p = 1{,}5\cdot 10^4\;\mathrm{kg\,m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Problem

A car of mass $m = 1200\;\mathrm{kg}$ travels at $v = 45\;\mathrm{km/h}$ . Calculate the magnitude of its momentum (remember to convert the velocity to m/s).

Solution

Momentum is $p = m\,v$ , but the velocity must first be converted to SI units. An hour has $3600$ s and a kilometre has $1000$ m, so we divide by $3{,}6$ : $v = 45\;\mathrm{km/h} = \frac{45}{3{,}6}\;\mathrm{m/s} = 12{,}5\;\mathrm{m/s}$ Now applying the definition of the magnitude of momentum: $p = m\,v = 1200\;\mathrm{kg}\cdot 12{,}5\;\mathrm{m/s}$ $p = 1{,}5\cdot 10^4\;\mathrm{kg\,m/s}$ $\ev{p = 1{,}5\cdot 10^4\;\mathrm{kg\,m/s}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Quantità di moto Skills: Impostazione simbolica

Testo

Spiega perché è più pericoloso cadere da una certa altezza su un pavimento rigido rispetto a cadere dalla stessa altezza su un materasso, anche se la velocità di impatto è la stessa. Usa il teorema dell’impulso per motivare la risposta.

Soluzione

Il teorema dell’impulso lega la forza media che agisce durante l’urto alla variazione di quantità di moto: $\vv{F}_{\text{media}}\,\Delta t = \Delta \vv{p}$ In entrambi i casi il corpo arriva con la stessa velocità di impatto $v$ e si ferma ( $v_f = 0$ ). La variazione di quantità di moto è quindi identica nei due casi: $\Delta p = m\,(0 - v) = -m\,v \qquad (\text{stesso valore per pavimento e materasso})$ A parità di $\Delta p$ , la forza media dipende solo dal tempo di arresto $\Delta t$ : $F_{\text{media}} = \frac{\abs{\Delta p}}{\Delta t} = \frac{m\,v}{\Delta t}$ Il pavimento rigido ferma il corpo quasi istantaneamente: $\Delta t$ è piccolissimo, quindi $F_{\text{media}}$ è enorme. Il materasso invece si deforma e allunga il tempo di arresto: $\Delta t$ grande, quindi $F_{\text{media}}$ piccola. È la forza (non la variazione di quantità di moto) a causare i danni, perciò il materasso è più sicuro. $\ev{\text{A parità di }\Delta p,\ \text{il materasso allunga }\Delta t\ \text{e riduce }F = \Delta p/\Delta t}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto

Problem

Explain why it is more dangerous to fall from a certain height onto a rigid floor than to fall from the same height onto a mattress, even though the impact velocity is the same. Use the impulse–momentum theorem to justify your answer.

Solution

The impulse–momentum theorem relates the average force acting during the collision to the change in momentum: $\vv{F}_{\text{average}}\,\Delta t = \Delta \vv{p}$ In both cases the body arrives with the same impact velocity $v$ and comes to rest ( $v_f = 0$ ). The change in momentum is therefore identical in the two cases: $\Delta p = m\,(0 - v) = -m\,v \qquad (\text{same value for floor and mattress})$ For the same $\Delta p$ , the average force depends only on the stopping time $\Delta t$ : $F_{\text{average}} = \frac{\abs{\Delta p}}{\Delta t} = \frac{m\,v}{\Delta t}$ The rigid floor stops the body almost instantaneously: $\Delta t$ is tiny, so $F_{\text{average}}$ is huge. The mattress, instead, deforms and lengthens the stopping time: $\Delta t$ large, so $F_{\text{average}}$ small. It is the force (not the change in momentum) that causes injury, so the mattress is safer. $\ev{\text{For the same }\Delta p,\ \text{the mattress lengthens }\Delta t\ \text{and reduces }F = \Delta p/\Delta t}$

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Testo

Una palla da tennis di massa $m = 60\;\mathrm{g}$ arriva verso una racchetta a $v_i = 25\;\mathrm{m/s}$ e rimbalza indietro a $v_f = 30\;\mathrm{m/s}$ nella direzione opposta. Calcola il modulo dell’impulso trasferito alla palla.

Soluzione

L’impulso è uguale alla variazione della quantità di moto (teorema dell’impulso): $J = \Delta p = m\,(v_f - v_i)$ Poiché la palla rimbalza indietro, le due velocità hanno verso opposto. Scelgo come positivo il verso di arrivo: allora $v_i = +25\;\mathrm{m/s}$ e $v_f = -30\;\mathrm{m/s}$ . Converto la massa: $m = 60\;\mathrm{g} = 0{,}060\;\mathrm{kg}$ . $J = 0{,}060\;\mathrm{kg}\cdot\big(-30 - (+25)\big)\;\mathrm{m/s} = 0{,}060\cdot(-55)\;\mathrm{kg\,m/s}$ $J = -3{,}3\;\mathrm{kg\,m/s}$ Il segno negativo indica che l’impulso è diretto verso la racchetta (verso opposto all’arrivo). Il modulo richiesto è: $\ev{\abs{J} \approx 3{,}3\;\mathrm{kg\,m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto

Problem

A tennis ball of mass $m = 60\;\mathrm{g}$ arrives at a racket at $v_i = 25\;\mathrm{m/s}$ and bounces back at $v_f = 30\;\mathrm{m/s}$ in the opposite direction. Calculate the magnitude of the impulse transferred to the ball.

Solution

The impulse equals the change in momentum (impulse–momentum theorem): $J = \Delta p = m\,(v_f - v_i)$ Since the ball bounces back, the two velocities have opposite directions. Take the incoming direction as positive: then $v_i = +25\;\mathrm{m/s}$ and $v_f = -30\;\mathrm{m/s}$ . Convert the mass: $m = 60\;\mathrm{g} = 0{,}060\;\mathrm{kg}$ . $J = 0{,}060\;\mathrm{kg}\cdot\big(-30 - (+25)\big)\;\mathrm{m/s} = 0{,}060\cdot(-55)\;\mathrm{kg\,m/s}$ $J = -3{,}3\;\mathrm{kg\,m/s}$ The negative sign indicates that the impulse is directed towards the racket (opposite to the incoming direction). The required magnitude is: $\ev{\abs{J} \approx 3{,}3\;\mathrm{kg\,m/s}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Impulso · Quantità di moto

Testo

Un carrello di massa $M = 4{,}0\;\mathrm{kg}$ è fermo su un binario orizzontale privo di attrito. Un bambino di massa $m = 20\;\mathrm{kg}$ salta sul carrello con una velocità orizzontale di $v_0 = 0{,}80\;\mathrm{m/s}$ . Trova la velocità comune di bambino e carrello dopo il salto.

Soluzione

Il binario è privo di attrito e le forze esterne orizzontali sono nulle: la quantità di moto orizzontale si conserva. Il bambino atterra sul carrello e i due proseguono insieme (urto completamente anelastico), quindi hanno una velocità comune $v$ . Prima dell’urto si muove solo il bambino; dopo l’urto si muovono insieme: $m\,v_0 = (m + M)\,v$ Isolo la velocità comune: $v = \frac{m\,v_0}{m + M} = \frac{20\;\mathrm{kg}\cdot 0{,}80\;\mathrm{m/s}}{20\;\mathrm{kg} + 4{,}0\;\mathrm{kg}} = \frac{16}{24}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Urto anelastico Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Blocco

Problem

A cart of mass $M = 4{,}0\;\mathrm{kg}$ is at rest on a frictionless horizontal track. A child of mass $m = 20\;\mathrm{kg}$ jumps onto the cart with a horizontal velocity of $v_0 = 0{,}80\;\mathrm{m/s}$ . Find the common velocity of the child and cart after the jump.

Solution

The track is frictionless and the horizontal external forces are zero: horizontal momentum is conserved. The child lands on the cart and the two move on together (totally inelastic collision), so they have a common velocity $v$ . Before the collision only the child is moving; after the collision they move together: $m\,v_0 = (m + M)\,v$ Solving for the common velocity: $v = \frac{m\,v_0}{m + M} = \frac{20\;\mathrm{kg}\cdot 0{,}80\;\mathrm{m/s}}{20\;\mathrm{kg} + 4{,}0\;\mathrm{kg}} = \frac{16}{24}\;\mathrm{m/s}$ $\ev{v \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Urto anelastico Skills: Conservazione della quantità di moto Objects: Blocco

Testo

Una biglia di massa $m_1 = 0{,}20\;\mathrm{kg}$ che viaggia a $v_1 = 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ urta frontalmente ed elasticamente una seconda biglia ferma di massa $m_2 = 0{,}10\;\mathrm{kg}$ . Trova le velocità delle due biglie dopo l’urto.

Soluzione

In un urto elastico 1D con bersaglio fermo ( $v_2 = 0$ ) si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Risolvendo il sistema si ottengono le formule standard: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \qquad v_2' = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$ Sostituisco i dati. La somma delle masse è $m_1 + m_2 = 0{,}30\;\mathrm{kg}$ . $v_1' = \frac{0{,}20 - 0{,}10}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s} = \frac{0{,}10}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ $v_1' \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s}$ $v_2' = \frac{2\cdot 0{,}20}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s} = \frac{0{,}40}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ $v_2' \approx 2{,}7\;\mathrm{m/s}$ Entrambe le biglie proseguono in avanti (la prima è più pesante e non rimbalza indietro). $\ev{v_1' \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s};\quad v_2' \approx 2{,}7\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

A marble of mass $m_1 = 0{,}20\;\mathrm{kg}$ travelling at $v_1 = 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ strikes head-on and elastically a second, stationary marble of mass $m_2 = 0{,}10\;\mathrm{kg}$ . Find the velocities of the two marbles after the collision.

Solution

In a 1D elastic collision with a stationary target ( $v_2 = 0$ ), both momentum and kinetic energy are conserved. Solving the system gives the standard formulas: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 \qquad v_2' = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$ Substituting the data. The sum of the masses is $m_1 + m_2 = 0{,}30\;\mathrm{kg}$ . $v_1' = \frac{0{,}20 - 0{,}10}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s} = \frac{0{,}10}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ $v_1' \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s}$ $v_2' = \frac{2\cdot 0{,}20}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s} = \frac{0{,}40}{0{,}30}\cdot 2{,}0\;\mathrm{m/s}$ $v_2' \approx 2{,}7\;\mathrm{m/s}$ Both marbles continue forwards (the first is heavier and does not bounce back). $\ev{v_1' \approx 0{,}67\;\mathrm{m/s};\quad v_2' \approx 2{,}7\;\mathrm{m/s}}$

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Testo

Durante un test di sicurezza, un’auto di $1\,200\;\mathrm{kg}$ urta un muro a $5{,}0\;\mathrm{m/s}$ e si ferma in $0{,}50\;\mathrm{s}$ . L’airbag riduce però il tempo di arresto per il guidatore ( $75\;\mathrm{kg}$ ) a circa $0{,}30\;\mathrm{s}$ , contro i $0{,}10\;\mathrm{s}$ senza airbag. Stima la forza media agente sul guidatore con l’airbag e valuta il guadagno.

Soluzione

Concentro l’analisi sul guidatore, di massa $m = 75\;\mathrm{kg}$ , che passa da $v = 5{,}0\;\mathrm{m/s}$ a fermo. La sua variazione di quantità di moto (in modulo) è: $\abs{\Delta p} = m\,v = 75\;\mathrm{kg}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m/s} = 375\;\mathrm{kg\,m/s}$ Per il teorema dell’impulso la forza media è $F = \abs{\Delta p}/\Delta t$ . Con l’airbag ( $\Delta t = 0{,}30\;\mathrm{s}$ ): $F_{\text{airbag}} = \frac{375\;\mathrm{kg\,m/s}}{0{,}30\;\mathrm{s}} = 1{,}25\cdot 10^3\;\mathrm{N} \approx 1{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ Senza airbag ( $\Delta t = 0{,}10\;\mathrm{s}$ ): $F_{\text{senza}} = \frac{375\;\mathrm{kg\,m/s}}{0{,}10\;\mathrm{s}} = 3{,}75\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ Il guadagno è il rapporto tra le due forze: $\frac{F_{\text{senza}}}{F_{\text{airbag}}} = \frac{0{,}30}{0{,}10} = 3$ L’airbag, triplicando il tempo di arresto, riduce a un terzo la forza media sul guidatore. $\ev{F \approx 1{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{N}\ \ (\text{circa 3 volte minore che senza airbag})}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Problem

During a safety test, a car of $1\,200\;\mathrm{kg}$ hits a wall at $5{,}0\;\mathrm{m/s}$ and stops in $0{,}50\;\mathrm{s}$ . The airbag, however, reduces the stopping time for the driver ( $75\;\mathrm{kg}$ ) to about $0{,}30\;\mathrm{s}$ , against $0{,}10\;\mathrm{s}$ without the airbag. Estimate the average force acting on the driver with the airbag and evaluate the benefit.

Solution

I focus the analysis on the driver, of mass $m = 75\;\mathrm{kg}$ , who goes from $v = 5{,}0\;\mathrm{m/s}$ to rest. Their change in momentum (in magnitude) is: $\abs{\Delta p} = m\,v = 75\;\mathrm{kg}\cdot 5{,}0\;\mathrm{m/s} = 375\;\mathrm{kg\,m/s}$ By the impulse-momentum theorem the average force is $F = \abs{\Delta p}/\Delta t$ . With the airbag ( $\Delta t = 0{,}30\;\mathrm{s}$ ): $F_{\text{airbag}} = \frac{375\;\mathrm{kg\,m/s}}{0{,}30\;\mathrm{s}} = 1{,}25\cdot 10^3\;\mathrm{N} \approx 1{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ Without the airbag ( $\Delta t = 0{,}10\;\mathrm{s}$ ): $F_{\text{senza}} = \frac{375\;\mathrm{kg\,m/s}}{0{,}10\;\mathrm{s}} = 3{,}75\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ The gain is the ratio between the two forces: $\frac{F_{\text{senza}}}{F_{\text{airbag}}} = \frac{0{,}30}{0{,}10} = 3$ The airbag, by tripling the stopping time, reduces the average force on the driver to a third. $\ev{F \approx 1{,}2\cdot 10^3\;\mathrm{N}\ \ (\text{about 3 times less than without the airbag})}$

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Testo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente: (a) in un urto elastico si conserva la quantità di moto ma non l’energia cinetica; (b) in un urto completamente anelastico i due corpi si muovono insieme; (c) in un urto la forza esterna di attrito invalida sempre la conservazione della quantità di moto; (d) un sistema isolato conserva la quantità di moto totale anche durante un’esplosione.

Soluzione

(a) FALSA. La definizione stessa di urto elastico è che si conserva l’energia cinetica totale, oltre alla quantità di moto. L’affermazione nega proprio ciò che caratterizza l’urto elastico. (b) VERA. In un urto completamente anelastico i corpi restano attaccati e proseguono con un’unica velocità comune. È il caso in cui si perde la massima energia cinetica compatibile con la conservazione della quantità di moto. (c) FALSA. Durante l’urto le forze interne (impulsive) sono enormi e agiscono per un tempo brevissimo; l’impulso dell’attrito esterno, essendo forza finita per $\Delta t \to 0$ , è trascurabile. Quindi la quantità di moto si conserva con ottima approssimazione durante l’urto, anche in presenza di attrito. L’attrito conta invece sui tempi lunghi (prima e dopo). (d) VERA. In un sistema isolato la risultante delle forze esterne è nulla, quindi la quantità di moto totale si conserva. Nell’esplosione le forze sono tutte interne: i frammenti partono in direzioni tali che la quantità di moto totale resta uguale a quella iniziale (nulla, se il sistema era fermo). $\ev{\text{(a) F};\quad \text{(b) V};\quad \text{(c) F};\quad \text{(d) V}}$

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Problem

State whether the following statements are true or false, briefly justifying your answer: (a) in an elastic collision momentum is conserved but not kinetic energy; (b) in a perfectly inelastic collision the two bodies move together; (c) in a collision the external friction force always invalidates conservation of momentum; (d) an isolated system conserves total momentum even during an explosion.

Solution

(a) FALSE. The very definition of an elastic collision is that total kinetic energy is conserved, in addition to momentum. The statement denies exactly what characterises an elastic collision. (b) TRUE. In a perfectly inelastic collision the bodies stick together and continue with a single common velocity. This is the case in which the maximum kinetic energy compatible with conservation of momentum is lost. (c) FALSE. During the collision the internal (impulsive) forces are enormous and act for a very short time; the impulse of the external friction, being a finite force as $\Delta t \to 0$ , is negligible. So momentum is conserved to a very good approximation during the collision, even in the presence of friction. Friction matters instead over long times (before and after). (d) TRUE. In an isolated system the resultant of the external forces is zero, so total momentum is conserved. In the explosion the forces are all internal: the fragments move off in such directions that the total momentum stays equal to the initial one (zero, if the system was at rest). $\ev{\text{(a) F};\quad \text{(b) T};\quad \text{(c) F};\quad \text{(d) T}}$

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Testo

Un proiettile di massa $m = 10\;\mathrm{g}$ e velocità $v = 300\;\mathrm{m/s}$ si conficca in un blocco di legno di massa $M = 1{,}5\;\mathrm{kg}$ appeso a un filo (pendolo balistico). Calcola l’altezza massima raggiunta dal blocco (con il proiettile dentro) dopo l’urto.

Soluzione

Il problema ha due fasi da trattare separatamente. Fase 1 — urto (anelastico). Il proiettile si conficca nel blocco: si conserva la quantità di moto, non l’energia cinetica. Subito dopo l’urto il sistema (blocco + proiettile) ha velocità comune $V$ . Con $m = 0{,}010\;\mathrm{kg}$ : $m\,v = (m + M)\,V \;\Rightarrow\; V = \frac{m\,v}{m + M} = \frac{0{,}010\cdot 300}{0{,}010 + 1{,}5}\;\mathrm{m/s} = \frac{3{,}0}{1{,}51}\;\mathrm{m/s} \approx 1{,}99\;\mathrm{m/s}$ Fase 2 — risalita (conservazione dell’energia). Dopo l’urto il blocco sale come un pendolo: l’energia cinetica si trasforma in energia potenziale gravitazionale. La massa si semplifica: $\tfrac{1}{2}(m+M)\,V^2 = (m+M)\,g\,h \;\Rightarrow\; h = \frac{V^2}{2g}$ Sostituisco con $g = 9{,}81\;\mathrm{m/s^2}$ : $h = \frac{(1{,}99)^2}{2\cdot 9{,}81}\;\mathrm{m} = \frac{3{,}95}{19{,}62}\;\mathrm{m}$ $\ev{h \approx 0{,}20\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Pendolo balistico · Proiettile

Problem

A projectile of mass $m = 10\;\mathrm{g}$ and velocity $v = 300\;\mathrm{m/s}$ embeds itself in a wooden block of mass $M = 1{,}5\;\mathrm{kg}$ hanging from a string (ballistic pendulum). Calculate the maximum height reached by the block (with the projectile inside) after the collision.

Solution

The problem has two phases to be treated separately. Phase 1 — collision (inelastic). The projectile embeds itself in the block: momentum is conserved, not kinetic energy. Immediately after the collision the system (block + projectile) has common velocity $V$ . With $m = 0{,}010\;\mathrm{kg}$ : $m\,v = (m + M)\,V \;\Rightarrow\; V = \frac{m\,v}{m + M} = \frac{0{,}010\cdot 300}{0{,}010 + 1{,}5}\;\mathrm{m/s} = \frac{3{,}0}{1{,}51}\;\mathrm{m/s} \approx 1{,}99\;\mathrm{m/s}$ Phase 2 — rise (conservation of energy). After the collision the block rises like a pendulum: kinetic energy transforms into gravitational potential energy. The mass cancels out: $\tfrac{1}{2}(m+M)\,V^2 = (m+M)\,g\,h \;\Rightarrow\; h = \frac{V^2}{2g}$ Substituting with $g = 9{,}81\;\mathrm{m/s^2}$ : $h = \frac{(1{,}99)^2}{2\cdot 9{,}81}\;\mathrm{m} = \frac{3{,}95}{19{,}62}\;\mathrm{m}$ $\ev{h \approx 0{,}20\;\mathrm{m}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Skills: Conservazione della quantità di moto Objects: Pendolo balistico · Proiettile

Testo

Dimostra che, in un urto elastico unidimensionale tra una massa $m_1$ con velocità iniziale $v_1$ e una massa $m_2$ inizialmente ferma, la velocità della prima massa dopo l’urto vale $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1$ . Commenta i casi limite $m_1 \gg m_2$ e $m_1 \ll m_2$ .

Soluzione

Con $m_2$ ferma ( $v_2 = 0$ ), scrivo le due leggi di conservazione dell’urto elastico. Quantità di moto: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ Energia cinetica: $\tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2$ Riscrivo entrambe portando i termini di $m_1$ a sinistra: $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 v_2'$ $m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 v_2'^2$ Nella (2’) scompongo la differenza di quadrati: $v_1^2 - v_1'^2 = (v_1 - v_1')(v_1 + v_1')$ . Divido membro a membro la (2’) per la (1’) (lecito perché l’urto avviene, quindi $v_1 \neq v_1'$ e $v_2' \neq 0$ ): $v_1 + v_1' = v_2'$ Questa è la relazione sulle velocità relative. Sostituisco la (3) nella (1’): $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_1 + v_1')$ $m_1 v_1 - m_1 v_1' = m_2 v_1 + m_2 v_1'$ Raccolgo $v_1'$ a destra e $v_1$ a sinistra: $v_1 (m_1 - m_2) = v_1' (m_1 + m_2)$ $\ev{v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1}$ Casi limite.

$m_1 \gg m_2$ : la frazione tende a $+1$ , quindi $v_1' \approx v_1$ . La massa pesante prosegue quasi indisturbata (come un TIR che colpisce una pallina).

$m_1 \ll m_2$ : la frazione tende a $-1$ , quindi $v_1' \approx -v_1$ . La massa leggera rimbalza indietro quasi alla stessa velocità (come una pallina contro un muro).

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Prove that, in a one-dimensional elastic collision between a mass $m_1$ with initial velocity $v_1$ and a mass $m_2$ initially at rest, the velocity of the first mass after the collision is $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1$ . Comment on the limiting cases $m_1 \gg m_2$ and $m_1 \ll m_2$ .

Solution

With $m_2$ at rest ( $v_2 = 0$ ), I write the two conservation laws of the elastic collision. Momentum: $m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ Kinetic energy: $\tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2'^2$ I rewrite both, bringing the $m_1$ terms to the left: $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 v_2'$ $m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 v_2'^2$ In (2’) I factor the difference of squares: $v_1^2 - v_1'^2 = (v_1 - v_1')(v_1 + v_1')$ . I divide (2’) by (1’) term by term (legitimate because the collision occurs, so $v_1 \neq v_1'$ and $v_2' \neq 0$ ): $v_1 + v_1' = v_2'$ This is the relation on the relative velocities. I substitute (3) into (1’): $m_1 (v_1 - v_1') = m_2 (v_1 + v_1')$ $m_1 v_1 - m_1 v_1' = m_2 v_1 + m_2 v_1'$ I collect $v_1'$ on the right and $v_1$ on the left: $v_1 (m_1 - m_2) = v_1' (m_1 + m_2)$ $\ev{v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1}$ Limiting cases.

$m_1 \gg m_2$ : the fraction tends to $+1$ , so $v_1' \approx v_1$ . The heavy mass carries on almost undisturbed (like a lorry hitting a small ball).

$m_1 \ll m_2$ : the fraction tends to $-1$ , so $v_1' \approx -v_1$ . The light mass bounces back almost at the same speed (like a ball against a wall).

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Skills: Impostazione simbolica

Testo

Stima la velocità di rinculo di una persona di $70\;\mathrm{kg}$ in piedi su una superficie ghiacciata priva di attrito quando lancia orizzontalmente una palla da basket ( $0{,}6\;\mathrm{kg}$ ) a una velocità tipica di lancio.

Soluzione

È una stima alla Fermi. Serve prima una velocità tipica di lancio: un passaggio a due mani si fa a circa $v_p \sim 10$ – $12\;\mathrm{m/s}$ ; assumo $v_p \approx 12\;\mathrm{m/s}$ . Il sistema persona + palla è inizialmente fermo e non ci sono forze esterne orizzontali (ghiaccio senza attrito): la quantità di moto totale orizzontale resta nulla. Questo è di fatto una “esplosione” a due corpi. Chiamo $M = 70\;\mathrm{kg}$ (persona), $m = 0{,}6\;\mathrm{kg}$ (palla), $V$ la velocità di rinculo: $0 = M\,V - m\,v_p \;\Rightarrow\; V = \frac{m\,v_p}{M}$ Sostituisco: $V = \frac{0{,}6\;\mathrm{kg}\cdot 12\;\mathrm{m/s}}{70\;\mathrm{kg}} = \frac{7{,}2}{70}\;\mathrm{m/s} \approx 0{,}10\;\mathrm{m/s}$ La persona rincula lentamente, dell’ordine di dieci centimetri al secondo, nel verso opposto al lancio. $\ev{V \sim 10\;\mathrm{cm/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Competenze: Stime di Fermi · Conservazione della quantità di moto

Problem

Estimate the recoil velocity of a $70\;\mathrm{kg}$ person standing on a frictionless icy surface when they throw a basketball ( $0{,}6\;\mathrm{kg}$ ) horizontally at a typical throwing speed.

Solution

This is a Fermi estimate. First I need a typical throwing speed: a two-handed pass is made at about $v_p \sim 10$ – $12\;\mathrm{m/s}$ ; I assume $v_p \approx 12\;\mathrm{m/s}$ . The person + ball system is initially at rest and there are no horizontal external forces (frictionless ice): the total horizontal momentum stays zero. This is effectively a two-body “explosion”. I call $M = 70\;\mathrm{kg}$ (person), $m = 0{,}6\;\mathrm{kg}$ (ball), $V$ the recoil velocity: $0 = M\,V - m\,v_p \;\Rightarrow\; V = \frac{m\,v_p}{M}$ Substituting: $V = \frac{0{,}6\;\mathrm{kg}\cdot 12\;\mathrm{m/s}}{70\;\mathrm{kg}} = \frac{7{,}2}{70}\;\mathrm{m/s} \approx 0{,}10\;\mathrm{m/s}$ The person recoils slowly, of the order of ten centimetres per second, in the direction opposite to the throw. $\ev{V \sim 10\;\mathrm{cm/s}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Skills: Stime di Fermi · Conservazione della quantità di moto

Testo

Ranking. Quattro oggetti si muovono con massa $m$ e velocità $v$ : (A) $m = 2\;\mathrm{kg}$ , $v = 6\;\mathrm{m/s}$ . (B) $m = 4\;\mathrm{kg}$ , $v = 2\;\mathrm{m/s}$ . (C) $m = 3\;\mathrm{kg}$ , $v = 4\;\mathrm{m/s}$ . (D) $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $v = 5\;\mathrm{m/s}$ . Ordina i moduli della quantità di moto $p = mv$ dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

Calcolo $p = m\,v$ per ciascun oggetto: $\begin{aligned} p_A &= 2\cdot 6 = 12\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_B &= 4\cdot 2 = 8\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_C &= 3\cdot 4 = 12\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_D &= 1\cdot 5 = 5\;\mathrm{kg\,m/s} \end{aligned}$ Ordino i valori dal più piccolo al più grande: $5 < 8 < 12 = 12$ . Gli oggetti A e C hanno la stessa quantità di moto (entrambi $12\;\mathrm{kg\,m/s}$ ). $\ev{D < B < A = C}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Ranking. Four objects move with mass $m$ and velocity $v$ : (A) $m = 2\;\mathrm{kg}$ , $v = 6\;\mathrm{m/s}$ . (B) $m = 4\;\mathrm{kg}$ , $v = 2\;\mathrm{m/s}$ . (C) $m = 3\;\mathrm{kg}$ , $v = 4\;\mathrm{m/s}$ . (D) $m = 1\;\mathrm{kg}$ , $v = 5\;\mathrm{m/s}$ . Order the magnitudes of momentum $p = mv$ from smallest to largest.

Solution

I calculate $p = m\,v$ for each object: $\begin{aligned} p_A &= 2\cdot 6 = 12\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_B &= 4\cdot 2 = 8\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_C &= 3\cdot 4 = 12\;\mathrm{kg\,m/s} \\ p_D &= 1\cdot 5 = 5\;\mathrm{kg\,m/s} \end{aligned}$ I order the values from smallest to largest: $5 < 8 < 12 = 12$ . Objects A and C have the same momentum (both $12\;\mathrm{kg\,m/s}$ ). $\ev{D < B < A = C}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Quantità di moto Skills: Ragionamento di ranking

Testo

Lo scontro elastico. Una palla da bowling di massa $M$ urta elasticamente in linea retta un birillo di massa $m \ll M$ inizialmente fermo. (a) Dopo l’urto, come si muove la palla? (b) Come si muove il birillo? (c) E se i ruoli fossero invertiti (pallino leggero contro birillo pesantissimo)? Rispondi qualitativamente ragionando sui limiti delle formule dell’urto elastico 1D.

Soluzione

Formule urto elastico 1D, con bersaglio fermo ( $v_2 = 0$ ) e palla incidente a velocità $V$ : $\begin{aligned} v_1' &= \frac{M-m}{M+m}\,V \\ v_2' &= \frac{2M}{M+m}\,V \end{aligned}$

(a) Palla ( $M$ grande, $m \ll M$ ). Nel limite $m/M \to 0$ : $v_1' = \frac{M-m}{M+m}\,V \;\longrightarrow\; V$ La palla prosegue quasi con la stessa velocità (rallenta pochissimo).

(b) Birillo. Sempre con $m \ll M$ : $v_2' = \frac{2M}{M+m}\,V \;\longrightarrow\; 2V$ Il birillo schizza in avanti a circa il doppio della velocità della palla.

(c) Ruoli invertiti: pallino leggero $m$ contro birillo pesantissimo $M$ , ora è il pallino l’oggetto incidente. Con $m \ll M$ : $v_\text{pallino}' = \frac{m-M}{m+M}\,v \;\longrightarrow\; -v, \qquad v_\text{birillo}' = \frac{2m}{m+M}\,v \;\longrightarrow\; 0$ Il pallino rimbalza indietro quasi con la stessa velocità; il birillo pesante resta praticamente fermo.

Risultato finale: $\ev{\text{(a) palla} \approx V;\quad \text{(b) birillo} \approx 2V;\quad \text{(c) pallino} \to -v,\ \text{birillo} \to 0}$

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Problem

The elastic collision. A bowling ball of mass $M$ elastically strikes, in a straight line, a pin of mass $m \ll M$ initially at rest. (a) After the collision, how does the ball move? (b) How does the pin move? (c) What if the roles were reversed (light ball against a very heavy pin)? Answer qualitatively, reasoning about the limits of the 1D elastic collision formulas.

Solution

1D elastic collision formulas, with the target at rest ( $v_2 = 0$ ) and the incoming ball at velocity $V$ : $\begin{aligned} v_1' &= \frac{M-m}{M+m}\,V \\ v_2' &= \frac{2M}{M+m}\,V \end{aligned}$

(a) Ball ( $M$ large, $m \ll M$ ). In the limit $m/M \to 0$ : $v_1' = \frac{M-m}{M+m}\,V \;\longrightarrow\; V$ The ball carries on at almost the same speed (it slows down very little).

(b) Pin. Again with $m \ll M$ : $v_2' = \frac{2M}{M+m}\,V \;\longrightarrow\; 2V$ The pin shoots forward at about twice the ball’s speed.

(c) Roles reversed: light ball $m$ against a very heavy pin $M$ , now the ball is the incoming object. With $m \ll M$ : $v_\text{pallino}' = \frac{m-M}{m+M}\,v \;\longrightarrow\; -v, \qquad v_\text{birillo}' = \frac{2m}{m+M}\,v \;\longrightarrow\; 0$ The ball bounces back at almost the same speed; the heavy pin remains practically still.

Final result: $\ev{\text{(a) ball} \approx V;\quad \text{(b) pin} \approx 2V;\quad \text{(c) ball} \to -v,\ \text{pin} \to 0}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Quantità di moto Skills: Impostazione simbolica

Testo

Elastotennis. Due studenti immaginano una partita di “elastotennis”: sia la pallina sia la racchetta sono perfettamente elastiche (coefficiente di restituzione $e = 1$ ) e prive di attrito. Uno dei due sostiene che, con un colpo abbastanza secco, la pallina può non rimbalzare sulla racchetta e restare incollata ad essa. L’altro nega energicamente. (a) Chi ha ragione? (b) Mostra che, in un urto elastico unidimensionale tra una pallina di massa $m$ e una racchetta di massa $M$ , la velocità relativa si inverte sempre: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$ . (c) Concludi: con $e = 1$ è impossibile che la pallina “segua” la racchetta.

Problema rielaborato da (Povey 2015, §4.2).

Soluzione

(a) Ha ragione chi nega: la pallina rimbalza sempre. Lo dimostriamo dalle leggi di conservazione.

(b) Chiamiamo $v_1, v_2$ le velocità prima dell’urto (pallina $m$ e racchetta $M$ ) e $v_1', v_2'$ quelle dopo. Valgono conservazione di quantità di moto ed energia cinetica: $\begin{aligned} m v_1 + M v_2 &= m v_1' + M v_2' \\ \tfrac{1}{2}m v_1^2 + \tfrac{1}{2}M v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m v_1'^2 + \tfrac{1}{2}M v_2'^2 \end{aligned}$ Riscrivo raggruppando per massa: $\begin{aligned} m(v_1 - v_1') &= M(v_2' - v_2) \\ m(v_1^2 - v_1'^2) &= M(v_2'^2 - v_2^2) \end{aligned}$ Divido la seconda per la prima (fattorizzando le differenze di quadrati): $\frac{m(v_1-v_1')(v_1+v_1')}{m(v_1-v_1')} = \frac{M(v_2'-v_2)(v_2'+v_2)}{M(v_2'-v_2)}$ $v_1 + v_1' = v_2' + v_2 \;\Longrightarrow\; v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$ Cioè la velocità relativa si inverte: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$

(c) “Restare incollata” significherebbe $v_1' = v_2'$ , ossia $v_\text{rel,dopo} = 0$ . Ma dalla (b), con $e = 1$ , $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima} \neq 0$ (la pallina arriva con velocità relativa non nulla). Quindi è impossibile: la pallina si stacca sempre.

Risultato finale: $\ev{v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}\ \Rightarrow\ \text{la pallina rimbalza sempre}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Elastic tennis. Two students imagine a game of “elastic tennis”: both the ball and the racket are perfectly elastic (coefficient of restitution $e = 1$ ) and frictionless. One of them claims that, with a sharp enough stroke, the ball can fail to bounce off the racket and stay stuck to it. The other firmly disagrees. (a) Who is right? (b) Show that, in a one-dimensional elastic collision between a ball of mass $m$ and a racket of mass $M$ , the relative velocity always reverses: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$ . (c) Conclude: with $e = 1$ it is impossible for the ball to “follow” the racket.

Problem adapted from (Povey 2015, §4.2).

Solution

(a) The one who disagrees is right: the ball always bounces off. We prove it from the conservation laws.

(b) Let $v_1, v_2$ be the velocities before the collision (ball $m$ and racket $M$ ) and $v_1', v_2'$ those after. Conservation of momentum and kinetic energy hold: $\begin{aligned} m v_1 + M v_2 &= m v_1' + M v_2' \\ \tfrac{1}{2}m v_1^2 + \tfrac{1}{2}M v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m v_1'^2 + \tfrac{1}{2}M v_2'^2 \end{aligned}$ I rewrite grouping by mass: $\begin{aligned} m(v_1 - v_1') &= M(v_2' - v_2) \\ m(v_1^2 - v_1'^2) &= M(v_2'^2 - v_2^2) \end{aligned}$ I divide the second by the first (factoring the differences of squares): $\frac{m(v_1-v_1')(v_1+v_1')}{m(v_1-v_1')} = \frac{M(v_2'-v_2)(v_2'+v_2)}{M(v_2'-v_2)}$ $v_1 + v_1' = v_2' + v_2 \;\Longrightarrow\; v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$ That is, the relative velocity reverses: $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}$

(c) “Staying stuck” would mean $v_1' = v_2'$ , i.e. $v_\text{rel,dopo} = 0$ . But from (b), with $e = 1$ , $v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima} \neq 0$ (the ball arrives with a non-zero relative velocity). So it is impossible: the ball always separates.

Final result: $\ev{v_\text{rel,dopo} = -v_\text{rel,prima}\ \Rightarrow\ \text{the ball always bounces off}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Quantità di moto · Energia cinetica Skills: Impostazione simbolica

Testo

Un carrello da $200$ kg viaggia a $2{,}0$ m/s. Una persona di $80$ kg salta su di esso correndo a $5{,}0$ m/s nella stessa direzione. Qual è la velocità finale del sistema?

Soluzione

La persona atterra sul carrello e i due proseguono insieme: urto perfettamente anelastico. Si conserva la quantità di moto totale (nessuna forza esterna orizzontale).

massa (kg) $v$ prima (m/s) $v$ dopo (m/s)
carrello $200$ $2{,}0$ $v$
persona $80$ $5{,}0$ $v$

Conservazione: $m_c v_c + m_p v_p = (m_c + m_p)\,v$ $v = \frac{m_c v_c + m_p v_p}{m_c + m_p} = \frac{200 \cdot 2{,}0 + 80 \cdot 5{,}0}{200 + 80}$ $v = \frac{400 + 400}{280} = \frac{800}{280} \approx 2{,}9\ \mathrm{m/s}$

Risultato finale: $\ev{v \approx 2{,}9\ \mathrm{m/s}}$

	massa (kg)	$v$ prima (m/s)	$v$ dopo (m/s)
carrello	$200$	$2{,}0$	$v$
persona	$80$	$5{,}0$	$v$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Urto anelastico Competenze: Conservazione della quantità di moto Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Problem

A $200$ kg cart travels at $2{,}0$ m/s. An $80$ kg person jumps onto it while running at $5{,}0$ m/s in the same direction. What is the final velocity of the system?

Solution

The person lands on the cart and the two carry on together: a perfectly inelastic collision. Total momentum is conserved (no horizontal external force).

mass (kg) $v$ before (m/s) $v$ after (m/s)
cart $200$ $2{,}0$ $v$
person $80$ $5{,}0$ $v$

Conservation: $m_c v_c + m_p v_p = (m_c + m_p)\,v$ $v = \frac{m_c v_c + m_p v_p}{m_c + m_p} = \frac{200 \cdot 2{,}0 + 80 \cdot 5{,}0}{200 + 80}$ $v = \frac{400 + 400}{280} = \frac{800}{280} \approx 2{,}9\ \mathrm{m/s}$

Final result: $\ev{v \approx 2{,}9\ \mathrm{m/s}}$

	mass (kg)	$v$ before (m/s)	$v$ after (m/s)
cart	$200$	$2{,}0$	$v$
person	$80$	$5{,}0$	$v$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Urto anelastico Skills: Conservazione della quantità di moto Methods: Metodo delle due tabelle parallele

Testo

Un cannone di $500$ kg, fermo, spara un proiettile di $4{,}0$ kg con velocità $10$ m/s. Calcola la velocità di rinculo del cannone (sistema isolato lungo l’asse del tiro).

Soluzione

Il sistema cannone + proiettile è isolato lungo l’asse del tiro: la quantità di moto totale si conserva. Prima dello sparo tutto è fermo, quindi la quantità di moto iniziale è nulla (è un’esplosione). $p_\text{iniziale} = 0 = m_c v_c + m_p v_p$ Ricavo la velocità del cannone $v_c$ : $v_c = -\frac{m_p v_p}{m_c} = -\frac{4{,}0 \cdot 10}{500} = -\frac{40}{500} = -0{,}080\ \mathrm{m/s}$ Il segno meno indica che il cannone rincula nella direzione opposta al proiettile.

Risultato finale: $\ev{v_c = -0{,}080\ \mathrm{m/s}\ \text{(rinculo)}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

A $500$ kg cannon, at rest, fires a $4{,}0$ kg projectile with velocity $10$ m/s. Calculate the recoil velocity of the cannon (isolated system along the firing axis).

Solution

The cannon + projectile system is isolated along the firing axis: total momentum is conserved. Before firing everything is at rest, so the initial momentum is zero (it is an explosion). $p_\text{iniziale} = 0 = m_c v_c + m_p v_p$ I find the cannon’s velocity $v_c$ : $v_c = -\frac{m_p v_p}{m_c} = -\frac{4{,}0 \cdot 10}{500} = -\frac{40}{500} = -0{,}080\ \mathrm{m/s}$ The minus sign indicates that the cannon recoils in the direction opposite to the projectile.

Final result: $\ev{v_c = -0{,}080\ \mathrm{m/s}\ \text{(recoil)}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Skills: Conservazione della quantità di moto

Testo

Un’auto e un camion si scontrano frontalmente. Su quale veicolo agisce la forza più grande durante l’urto? Su quale veicolo gli occupanti subiscono l’accelerazione più grande? Sono la stessa cosa?

Soluzione

Forza. Durante l’urto auto e camion si scambiano forze che, per la terza legge di Newton, sono uguali in modulo e opposte in verso: $\vv{F}_{\text{camion}\to\text{auto}} = -\,\vv{F}_{\text{auto}\to\text{camion}}$ Quindi la forza che agisce sull’auto ha lo stesso modulo di quella che agisce sul camion. Non c’è un veicolo “che spinge di più”.

Accelerazione. L’accelerazione dipende dalla massa (seconda legge di Newton): $a = \frac{F}{m}$ A parità di forza $F$ , il veicolo con massa minore (l’auto) subisce l’accelerazione maggiore. I suoi occupanti sono decelerati più bruscamente ed è per questo che rischiano di più.

Non sono la stessa cosa: la forza è uguale sui due veicoli (terza legge), l’accelerazione no (dipende da $1/m$ ).

Risultato finale: $\ev{F_\text{auto} = F_\text{camion};\quad a_\text{auto} = \tfrac{F}{m_\text{auto}} > a_\text{camion} = \tfrac{F}{m_\text{camion}}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Terza legge di Newton · Impulso Competenze: Impostazione simbolica

Problem

A car and a lorry collide head-on. On which vehicle does the larger force act during the collision? In which vehicle do the occupants experience the larger acceleration? Are these the same thing?

Solution

Force. During the collision the car and the lorry exchange forces that, by Newton’s third law, are equal in magnitude and opposite in direction: $\vv{F}_{\text{camion}\to\text{auto}} = -\,\vv{F}_{\text{auto}\to\text{camion}}$ So the force acting on the car has the same magnitude as the one acting on the lorry. There is no vehicle “that pushes harder”.

Acceleration. Acceleration depends on mass (Newton’s second law): $a = \frac{F}{m}$ For the same force $F$ , the vehicle with the smaller mass (the car) experiences the greater acceleration. Its occupants are decelerated more abruptly, which is why they are at greater risk.

These are not the same thing: the force is equal on the two vehicles (third law), the acceleration is not (it depends on $1/m$ ).

Final result: $\ev{F_\text{auto} = F_\text{camion};\quad a_\text{auto} = \tfrac{F}{m_\text{auto}} > a_\text{camion} = \tfrac{F}{m_\text{camion}}}$

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Testo

Tre palline urtano un muro perpendicolarmente con la stessa velocità $v$ :

A: massa $m$ , rimbalza con velocità $v$ ;

B: massa $m$ , si ferma;

C: massa $2m$ , rimbalza con velocità $v$ .

Ordina la variazione di quantità di moto $|\Delta p|$ subita dalla pallina dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Prendo come positivo il verso di avvicinamento al muro. Ogni pallina arriva con quantità di moto $+m_i v$ ; calcolo $\Delta p = p_\text{dopo} - p_\text{prima}$ .

A (massa $m$ , rimbalza a $v$ ): $p_\text{prima} = +mv$ , $p_\text{dopo} = -mv$ . $|\Delta p_A| = |-mv - mv| = 2mv$

B (massa $m$ , si ferma): $p_\text{prima} = +mv$ , $p_\text{dopo} = 0$ . $|\Delta p_B| = |0 - mv| = mv$

C (massa $2m$ , rimbalza a $v$ ): $p_\text{prima} = +2mv$ , $p_\text{dopo} = -2mv$ . $|\Delta p_C| = |-2mv - 2mv| = 4mv$

Rimbalzare “costa” più momento che fermarsi (inverte il verso), e più massa amplifica l’effetto. Ordine crescente: $mv < 2mv < 4mv \;\Longrightarrow\; |\Delta p_B| < |\Delta p_A| < |\Delta p_C|$

Risultato finale: $\ev{\Delta p_C > \Delta p_A > \Delta p_B\quad (4mv,\ 2mv,\ mv)}$

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Problem

Three balls hit a wall perpendicularly with the same velocity $v$ :

A: mass $m$ , bounces back with velocity $v$ ;

B: mass $m$ , stops;

C: mass $2m$ , bounces back with velocity $v$ .

Order the change in momentum $|\Delta p|$ undergone by the ball from smallest to largest.

Solution

I take as positive the direction of approach to the wall. Each ball arrives with momentum $+m_i v$ ; I calculate $\Delta p = p_\text{dopo} - p_\text{prima}$ .

A (mass $m$ , bounces back at $v$ ): $p_\text{prima} = +mv$ , $p_\text{dopo} = -mv$ . $|\Delta p_A| = |-mv - mv| = 2mv$

B (mass $m$ , stops): $p_\text{prima} = +mv$ , $p_\text{dopo} = 0$ . $|\Delta p_B| = |0 - mv| = mv$

C (mass $2m$ , bounces back at $v$ ): $p_\text{prima} = +2mv$ , $p_\text{dopo} = -2mv$ . $|\Delta p_C| = |-2mv - 2mv| = 4mv$

Bouncing back “costs” more momentum than stopping (it reverses the direction), and more mass amplifies the effect. Increasing order: $mv < 2mv < 4mv \;\Longrightarrow\; |\Delta p_B| < |\Delta p_A| < |\Delta p_C|$

Final result: $\ev{\Delta p_C > \Delta p_A > \Delta p_B\quad (4mv,\ 2mv,\ mv)}$

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Testo

Vero o falso? (a) In un urto perfettamente anelastico la quantità di moto si conserva. (b) In un urto elastico si conservano sia $\vv{p}$ che $E_c$ . (c) In un urto anelastico l’energia si perde, dunque non si conserva neppure la quantità di moto. (d) L’impulso è una grandezza vettoriale. (e) In un sistema isolato la velocità del centro di massa può variare.

Soluzione

(a) VERO. In qualunque urto tra corpi isolati la quantità di moto totale si conserva, elastico o anelastico che sia. Nell’anelastico si perde energia cinetica, non quantità di moto.

(b) VERO. È proprio la definizione di urto elastico: si conservano sia la quantità di moto $\vv{p}$ sia l’energia cinetica $E_c$ .

(c) FALSO. Si perde energia cinetica (trasformata in calore, deformazione, suono), ma la quantità di moto continua a conservarsi: sono grandezze indipendenti. La conservazione di $\vv{p}$ dipende solo dall’assenza di forze esterne, non dall’energia.

(d) VERO. L’impulso $\vv{J} = \vv{F}\,\Delta t = \Delta \vv{p}$ ha modulo, direzione e verso: è un vettore.

(e) FALSO. In un sistema isolato la risultante delle forze esterne è nulla, quindi $\vv{p}_\text{tot}$ è costante e la velocità del centro di massa $\vv{v}_\text{cm} = \vv{p}_\text{tot}/M$ resta costante.

Risultato finale: $\ev{\text{(a) V,\ (b) V,\ (c) F,\ (d) V,\ (e) F}}$

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Problem

True or false? (a) In a perfectly inelastic collision, momentum is conserved. (b) In an elastic collision, both $\vv{p}$ and $E_c$ are conserved. (c) In an inelastic collision energy is lost, so momentum is not conserved either. (d) Impulse is a vector quantity. (e) In an isolated system the velocity of the centre of mass can vary.

Solution

(a) TRUE. In any collision between isolated bodies total momentum is conserved, whether elastic or inelastic. In the inelastic case kinetic energy is lost, not momentum.

(b) TRUE. This is precisely the definition of an elastic collision: both momentum $\vv{p}$ and kinetic energy $E_c$ are conserved.

(c) FALSE. Kinetic energy is lost (transformed into heat, deformation, sound), but momentum continues to be conserved: they are independent quantities. Conservation of $\vv{p}$ depends only on the absence of external forces, not on energy.

(d) TRUE. Impulse $\vv{J} = \vv{F}\,\Delta t = \Delta \vv{p}$ has magnitude, direction and sense: it is a vector.

(e) FALSE. In an isolated system the resultant of the external forces is zero, so $\vv{p}_\text{tot}$ is constant and the velocity of the centre of mass $\vv{v}_\text{cm} = \vv{p}_\text{tot}/M$ stays constant.

Final result: $\ev{\text{(a) T,\ (b) T,\ (c) F,\ (d) T,\ (e) F}}$

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Testo

Salti giù da una panchina alta $50$ cm e atterri con i piedi flettendo le ginocchia per $20$ cm. Stima la forza media che il pavimento esercita sui tuoi piedi tramite il teorema dell’impulso. Cosa cambia se atterri rigidamente, frenando in $\sim 2$ cm?

Soluzione

Stima di massa: $m \sim 70$ kg. Velocità di arrivo al suolo dopo la caduta $h = 0{,}50$ m: $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}50} \approx 3{,}1\ \mathrm{m/s}$

Durante la frenata di lunghezza $d$ la decelerazione è quasi costante, quindi il tempo di arresto è $\Delta t \approx 2d/v$ . Il teorema dell’impulso lungo la verticale dà (la forza del pavimento deve annullare la quantità di moto e reggere il peso): $\bar F \approx \frac{m v}{\Delta t} + m g = \frac{m v^2}{2 d} + m g = m g\left(1 + \frac{h}{d}\right)$

Atterraggio morbido, $d = 20$ cm $= 0{,}20$ m: $\bar F \approx 70 \cdot 9{,}81 \left(1 + \frac{0{,}50}{0{,}20}\right) \approx 687 \cdot 3{,}5 \approx 2{,}4\cdot 10^{3}\ \mathrm{N} \sim 2\cdot 10^{3}\ \mathrm{N}$

Atterraggio rigido, $d = 2$ cm $= 0{,}02$ m: $\bar F \approx 687 \left(1 + \frac{0{,}50}{0{,}02}\right) \approx 687 \cdot 26 \approx 1{,}8\cdot 10^{4}\ \mathrm{N} \sim 2\cdot 10^{4}\ \mathrm{N}$

Flettendo le ginocchia si allunga la distanza (e il tempo) di frenata di un fattore $\sim 10$ , quindi la forza sui piedi si riduce dello stesso fattore: ecco perché si piegano le gambe atterrando.

Risultato finale: $\ev{\bar F \sim 2\cdot 10^{3}\ \mathrm{N}\ \text{(morbido)};\quad \sim 2\cdot 10^{4}\ \mathrm{N}\ \text{(rigido)}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi

Problem

You jump down from a $50$ cm high bench and land on your feet, bending your knees over $20$ cm. Estimate the average force the floor exerts on your feet using the impulse-momentum theorem. What changes if you land stiffly, braking over $\sim 2$ cm?

Solution

Mass estimate: $m \sim 70$ kg. Landing speed after falling $h = 0{,}50$ m: $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}50} \approx 3{,}1\ \mathrm{m/s}$

During the braking distance $d$ the deceleration is nearly constant, so the stopping time is $\Delta t \approx 2d/v$ . The impulse-momentum theorem along the vertical gives (the floor’s force must cancel the momentum and support the weight): $\bar F \approx \frac{m v}{\Delta t} + m g = \frac{m v^2}{2 d} + m g = m g\left(1 + \frac{h}{d}\right)$

Soft landing, $d = 20$ cm $= 0{,}20$ m: $\bar F \approx 70 \cdot 9{,}81 \left(1 + \frac{0{,}50}{0{,}20}\right) \approx 687 \cdot 3{,}5 \approx 2{,}4\cdot 10^{3}\ \mathrm{N} \sim 2\cdot 10^{3}\ \mathrm{N}$

Stiff landing, $d = 2$ cm $= 0{,}02$ m: $\bar F \approx 687 \left(1 + \frac{0{,}50}{0{,}02}\right) \approx 687 \cdot 26 \approx 1{,}8\cdot 10^{4}\ \mathrm{N} \sim 2\cdot 10^{4}\ \mathrm{N}$

Bending the knees lengthens the braking distance (and time) by a factor of $\sim 10$ , so the force on the feet is reduced by the same factor: this is why you bend your legs when landing.

Final result: $\ev{\bar F \sim 2\cdot 10^{3}\ \mathrm{N}\ \text{(soft)};\quad \sim 2\cdot 10^{4}\ \mathrm{N}\ \text{(stiff)}}$

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Testo

Perché gli airbag salvano vite? Spiega in termini di impulso e quantità di moto. Perché il muro è meno pericoloso di un altro veicolo che procede in senso opposto, a parità di velocità?

Soluzione

Airbag. In un urto il corpo deve perdere tutta la sua quantità di moto: la variazione $\Delta p$ è fissata dalla massa e dalla velocità iniziale. Il teorema dell’impulso lega questa variazione alla forza media e al tempo d’arresto: $\bar F \, \Delta t = \Delta p \;\Longrightarrow\; \bar F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ A $\Delta p$ fissato, allungando il tempo di frenata $\Delta t$ diminuisce la forza media $\bar F$ sul corpo. L’airbag (come la cintura) fa proprio questo: distribuisce l’arresto su un tempo più lungo e su una superficie più ampia, riducendo la forza di picco che altrimenti si scaricherebbe sul cranio contro il volante.

Muro contro veicolo. A parità di velocità $v$ :

contro un muro l’auto passa da $v$ a $0$ : $|\Delta v| = v$ ;

contro un’auto identica che arriva a $-v$ , nell’urto (perfettamente anelastico) entrambe si fermano al centro di massa, quindi ciascuna passa da $v$ a $0$ … ma se pensiamo all’urto frontale come “colpire una parete che ti viene incontro”, la velocità relativa di impatto è $2v$ : la variazione di quantità di moto in gioco è doppia rispetto al muro fermo.

Quindi $\Delta p$ (e con esso $\bar F$ ) è maggiore contro un veicolo che procede in senso opposto: è più pericoloso del muro.

Risultato finale: $\ev{\bar F = \Delta p / \Delta t:\ \text{l'airbag aumenta}\ \Delta t;\ \text{urto frontale} \Rightarrow \Delta v\ \text{doppio} \Rightarrow \bar F\ \text{maggiore}}$

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Problem

Why do airbags save lives? Explain in terms of impulse and momentum. Why is a wall less dangerous than another vehicle travelling in the opposite direction, at the same speed?

Solution

Airbag. In a collision the body must lose all its momentum: the change $\Delta p$ is fixed by the mass and the initial velocity. The impulse-momentum theorem links this change to the average force and the stopping time: $\bar F \, \Delta t = \Delta p \;\Longrightarrow\; \bar F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ With $\Delta p$ fixed, lengthening the braking time $\Delta t$ reduces the average force $\bar F$ on the body. The airbag (like the seatbelt) does exactly this: it spreads the stop over a longer time and a larger area, reducing the peak force that would otherwise be discharged onto the skull against the steering wheel.

Wall versus vehicle. At the same speed $v$ :

against a wall the car goes from $v$ to $0$ : $|\Delta v| = v$ ;

against an identical car arriving at $-v$ , in the collision (perfectly inelastic) both stop at the centre of mass, so each one goes from $v$ to $0$ … but if we think of the head-on collision as “hitting a wall that comes towards you”, the relative impact speed is $2v$ : the change in momentum involved is twice that against a stationary wall.

So $\Delta p$ (and with it $\bar F$ ) is greater against a vehicle travelling in the opposite direction: it is more dangerous than the wall.

Final result: $\ev{\bar F = \Delta p / \Delta t:\ \text{the airbag increases}\ \Delta t;\ \text{head-on collision} \Rightarrow \Delta v\ \text{doubled} \Rightarrow \bar F\ \text{greater}}$

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Testo

Due dischi di hockey di masse $m_1 = 0{,}30$ kg e $m_2 = 0{,}10$ kg si muovono lungo la stessa retta con velocità $v_1 = +2{,}0$ m/s e $v_2 = -3{,}0$ m/s e urtano elasticamente. Calcola le loro velocità finali.

Soluzione

Urto elastico 1D: valgono le formule generali (dai bilanci di $\vv{p}$ ed $E_c$ ) $\begin{aligned} v_1' &= \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{2 m_2}{m_1+m_2}\,v_2 \\ v_2' &= \frac{2 m_1}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v_2 \end{aligned}$ Con $m_1+m_2 = 0{,}40$ kg: $v_1' = \frac{0{,}30-0{,}10}{0{,}40}\,(2{,}0) + \frac{2\cdot 0{,}10}{0{,}40}\,(-3{,}0) = 0{,}5\cdot 2{,}0 + 0{,}5\cdot(-3{,}0) = -0{,}5\ \mathrm{m/s}$ $v_2' = \frac{2\cdot 0{,}30}{0{,}40}\,(2{,}0) + \frac{0{,}10-0{,}30}{0{,}40}\,(-3{,}0) = 1{,}5\cdot 2{,}0 + (-0{,}5)\cdot(-3{,}0) = 4{,}5\ \mathrm{m/s}$

Verifica quantità di moto: $p_i = 0{,}30\cdot 2{,}0 + 0{,}10\cdot(-3{,}0) = 0{,}30$ ; $p_f = 0{,}30\cdot(-0{,}5) + 0{,}10\cdot 4{,}5 = 0{,}30$ . ✓ Verifica velocità relativa (deve invertirsi): prima $v_1 - v_2 = 5{,}0$ ; dopo $v_1' - v_2' = -5{,}0$ . ✓

Risultato finale: $\ev{v_1' = -0{,}5\ \mathrm{m/s};\quad v_2' = +4{,}5\ \mathrm{m/s}}$

Nota (refuso sorgente)

Il libro riporta come risposta $v_1' = -1{,}0$ m/s, $v_2' = +4{,}0$ m/s: valori errati, che violano sia la conservazione della quantità di moto ( $p_f = 0{,}1 \neq 0{,}3$ ) sia quella dell’energia cinetica. I valori corretti sono $v_1' = -0{,}5$ m/s, $v_2' = +4{,}5$ m/s.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione della quantità di moto Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Problem

Two hockey pucks of masses $m_1 = 0{,}30$ kg and $m_2 = 0{,}10$ kg move along the same line with velocities $v_1 = +2{,}0$ m/s and $v_2 = -3{,}0$ m/s and collide elastically. Calculate their final velocities.

Solution

1D elastic collision: the general formulas hold (from the balances of $\vv{p}$ and $E_c$ ) $\begin{aligned} v_1' &= \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{2 m_2}{m_1+m_2}\,v_2 \\ v_2' &= \frac{2 m_1}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v_2 \end{aligned}$ With $m_1+m_2 = 0{,}40$ kg: $v_1' = \frac{0{,}30-0{,}10}{0{,}40}\,(2{,}0) + \frac{2\cdot 0{,}10}{0{,}40}\,(-3{,}0) = 0{,}5\cdot 2{,}0 + 0{,}5\cdot(-3{,}0) = -0{,}5\ \mathrm{m/s}$ $v_2' = \frac{2\cdot 0{,}30}{0{,}40}\,(2{,}0) + \frac{0{,}10-0{,}30}{0{,}40}\,(-3{,}0) = 1{,}5\cdot 2{,}0 + (-0{,}5)\cdot(-3{,}0) = 4{,}5\ \mathrm{m/s}$

Momentum check: $p_i = 0{,}30\cdot 2{,}0 + 0{,}10\cdot(-3{,}0) = 0{,}30$ ; $p_f = 0{,}30\cdot(-0{,}5) + 0{,}10\cdot 4{,}5 = 0{,}30$ . ✓ Relative velocity check (must reverse): before $v_1 - v_2 = 5{,}0$ ; after $v_1' - v_2' = -5{,}0$ . ✓

Final result: $\ev{v_1' = -0{,}5\ \mathrm{m/s};\quad v_2' = +4{,}5\ \mathrm{m/s}}$

Note (source erratum)

The textbook gives $v_1' = -1{,}0$ m/s, $v_2' = +4{,}0$ m/s as the answer: incorrect values, which violate both conservation of momentum ( $p_f = 0{,}1 \neq 0{,}3$ ) and conservation of kinetic energy. The correct values are $v_1' = -0{,}5$ m/s, $v_2' = +4{,}5$ m/s.

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto Skills: Conservazione della quantità di moto Methods: Metodo delle due tabelle parallele

Testo

Conservazione e cambio di riferimento. Una persona ferma su un carrello da $40\ \text{kg}$ salta a terra. Il carrello rincula a $0{,}5\ \text{m/s}$ . Spiega perché la quantità di moto si conserva nel riferimento del terreno e cosa cambia se osservi la scena dal carrello stesso dopo il salto.

Soluzione

Riferimento del terreno. Prima del salto tutto è fermo: la quantità di moto totale è nulla. È un‘“esplosione” interna (la persona spinge sul carrello, il carrello spinge sulla persona: forze interne, uguali e opposte). Nessuna forza esterna orizzontale, quindi $\vv{p}$ si conserva: $\vv{p}_\text{prima} = 0 = m_p \vv{v}_p + m_c \vv{v}_c$ Il carrello rincula: $m_c v_c = 40 \cdot 0{,}5 = 20\ \mathrm{kg\,m/s}$ in un verso, e la persona porta esattamente $-20\ \mathrm{kg\,m/s}$ nell’altro. La somma resta zero: conservata.

Cambio di riferimento. Se osservo la scena da un riferimento inerziale in moto (per esempio quello che si muove col carrello dopo il salto), tutte le velocità cambiano di una costante $\vv{u}$ : $\vv{v}\,' = \vv{v} - \vv{u}$ La quantità di moto totale ha ora un valore diverso da zero: $\vv{p}\,' = \sum_i m_i (\vv{v}_i - \vv{u}) = \vv{p} - M\vv{u} = -M\vv{u}$ ma resta comunque costante nel tempo (prima e dopo il salto è la stessa), perché $M$ e $\vv{u}$ non cambiano. Quindi il bilancio della quantità di moto vale in ogni riferimento inerziale: cambia il valore numerico, non il fatto che si conservi.

Risultato finale: $\ev{\text{terreno: } \vv{p} = 0 \to m_p v_p + m_c v_c = 0;\ \text{altro riferimento: } \vv{p} \neq 0 \text{ ma sempre costante}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Problem

Conservation and change of reference frame. A person standing still on a $40\ \text{kg}$ cart jumps off onto the ground. The cart recoils at $0{,}5\ \text{m/s}$ . Explain why momentum is conserved in the ground reference frame and what changes if you observe the scene from the cart itself after the jump.

Solution

Ground reference frame. Before the jump everything is at rest: total momentum is zero. It is an internal “explosion” (the person pushes on the cart, the cart pushes on the person: internal forces, equal and opposite). No horizontal external force, so $\vv{p}$ is conserved: $\vv{p}_\text{prima} = 0 = m_p \vv{v}_p + m_c \vv{v}_c$ The cart recoils: $m_c v_c = 40 \cdot 0{,}5 = 20\ \mathrm{kg\,m/s}$ in one direction, and the person carries exactly $-20\ \mathrm{kg\,m/s}$ in the other. The sum stays zero: conserved.

Change of reference frame. If I observe the scene from an inertial frame in motion (for example the one moving with the cart after the jump), all velocities change by a constant $\vv{u}$ : $\vv{v}\,' = \vv{v} - \vv{u}$ The total momentum now has a value different from zero: $\vv{p}\,' = \sum_i m_i (\vv{v}_i - \vv{u}) = \vv{p} - M\vv{u} = -M\vv{u}$ but it still remains constant over time (before and after the jump it is the same), because $M$ and $\vv{u}$ do not change. So the momentum balance holds in every inertial frame: the numerical value changes, not the fact that it is conserved.

Final result: $\ev{\text{ground: } \vv{p} = 0 \to m_p v_p + m_c v_c = 0;\ \text{other frame: } \vv{p} \neq 0 \text{ but always constant}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Skills: Cambio di sistema di riferimento

Testo

Hai presente la culla di Newton, con cinque sfere allineate? Sollevi una sola sfera laterale e la lasci cadere: dall’altra parte schizza via una sola sfera, mentre le tre in mezzo restano ferme. Perché? Mostra che ogni altra configurazione viola la conservazione dell’energia cinetica.

Soluzione

Le sfere hanno tutte la stessa massa $m$ e gli urti tra sfere d’acciaio sono praticamente elastici: si conservano sia la quantità di moto totale sia l’energia cinetica totale. La sfera lanciata arriva con velocità $v$ . Supponiamo che dall’altra parte escano $n$ sfere, tutte con la stessa velocità $v'$ (le rimanenti restano ferme). Conservazione della quantità di moto: $m\,v = n\,m\,v' \;\Rightarrow\; v' = \frac{v}{n}$ Conservazione dell’energia cinetica: $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,v'^2$ Sostituendo $v'=v/n$ : $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,\frac{v^2}{n^2} = \tfrac{1}{2}\,m\,\frac{v^2}{n} \;\Rightarrow\; 1 = \frac{1}{n} \;\Rightarrow\; n = 1$ Quindi esce esattamente una sfera, con $v'=v$ . Se ne uscissero due ( $n=2$ , ciascuna a $v/2$ ), la quantità di moto tornerebbe ( $2\cdot m\,\tfrac{v}{2}=mv$ ), ma l’energia cinetica finale varrebbe $\tfrac{1}{2}\,m\,\tfrac{v^2}{2}$ , cioè la metà: mancherebbe energia, impossibile in un urto elastico. L’unica configurazione che salva insieme $\vv{p}$ ed $E_\text{cin}$ è: una entra, una esce. $\ev{n=1:\ \text{esce una sola sfera a velocità } v}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Culla di Newton

Problem

You know Newton’s cradle, with five spheres in a row? You lift a single sphere on one side and let it drop: on the other side exactly one sphere flies off, while the three in the middle stay still. Why? Show that any other configuration violates conservation of kinetic energy.

Solution

The spheres all have the same mass $m$ , and collisions between steel spheres are practically elastic: both total momentum and total kinetic energy are conserved. The launched sphere arrives with speed $v$ . Suppose that on the other side $n$ spheres leave, all with the same speed $v'$ (the remaining ones stay still). Conservation of momentum: $m\,v = n\,m\,v' \;\Rightarrow\; v' = \frac{v}{n}$ Conservation of kinetic energy: $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,v'^2$ Substituting $v'=v/n$ : $\tfrac{1}{2}\,m\,v^2 = \tfrac{1}{2}\,n\,m\,\frac{v^2}{n^2} = \tfrac{1}{2}\,m\,\frac{v^2}{n} \;\Rightarrow\; 1 = \frac{1}{n} \;\Rightarrow\; n = 1$ So exactly one sphere leaves, with $v'=v$ . If two left ( $n=2$ , each at $v/2$ ), momentum would still balance ( $2\cdot m\,\tfrac{v}{2}=mv$ ), but the final kinetic energy would be $\tfrac{1}{2}\,m\,\tfrac{v^2}{2}$ , i.e. half: energy would be missing, impossible in an elastic collision. The only configuration that conserves both $\vv{p}$ and $E_\text{kin}$ together is: one goes in, one comes out. $\ev{n=1:\ \text{exactly one sphere leaves at speed } v}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Elastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy Skills: Symbolic setup Objects: Newton’s cradle

Testo

Un razzo accende i motori nello spazio profondo. Su cosa “spinge”, visto che non c’è aria? Spiega il principio fisico in cinque righe.

Soluzione

Il razzo non ha bisogno di “spingere” contro qualcosa di esterno: spinge contro il gas che espelle lui stesso. Considera il sistema isolato razzo + gas: nello spazio profondo non ci sono forze esterne, quindi la quantità di moto totale si conserva. Parti da fermo, $\vv{p}_\text{tot}=0$ . Il motore espelle una massa di gas $m_g$ all’indietro con velocità $-v_g$ . Per conservare la quantità di moto totale, il razzo (massa $m_r$ ) deve acquistare velocità in avanti: $m_g\,(-v_g) + m_r\,v_r = 0 \;\Rightarrow\; v_r = \frac{m_g\,v_g}{m_r} > 0$ Il meccanismo è il terzo principio di Newton: il razzo spinge il gas indietro, il gas spinge il razzo avanti con forza uguale e contraria. Nessuna delle due forze richiede l’aria. Il vuoto non è un ostacolo: anzi elimina la resistenza aerodinamica, quindi un razzo funziona ancora meglio nello spazio che nell’atmosfera. $\ev{\text{Reazione del gas espulso: } \vv{p}_\text{razzo}+\vv{p}_\text{gas}=0 \text{ conservata; il vuoto elimina l'attrito}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Terza legge di Newton · Quantità di moto Oggetti: Razzo

Problem

A rocket fires its engines in deep space. What does it “push against”, given that there is no air? Explain the physical principle in five lines.

Solution

The rocket doesn’t need to “push” against anything external: it pushes against the gas it expels itself. Consider the isolated system rocket + gas: in deep space there are no external forces, so total momentum is conserved. It starts from rest, $\vv{p}_\text{tot}=0$ . The engine expels a mass of gas $m_g$ backwards with velocity $-v_g$ . To conserve total momentum, the rocket (mass $m_r$ ) must gain forward velocity: $m_g\,(-v_g) + m_r\,v_r = 0 \;\Rightarrow\; v_r = \frac{m_g\,v_g}{m_r} > 0$ The mechanism is Newton’s third law: the rocket pushes the gas backwards, the gas pushes the rocket forwards with equal and opposite force. Neither force needs air. The vacuum is not an obstacle: in fact it removes aerodynamic drag, so a rocket works even better in space than in the atmosphere. $\ev{\text{Reaction of the expelled gas: } \vv{p}_\text{rocket}+\vv{p}_\text{gas}=0 \text{ conserved; the vacuum removes drag}}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Conservation of momentum · Newton’s third law · Momentum Objects: Rocket

Testo

Quattro oggetti in moto: (A) auto $1500\;\text{kg}$ a $20\;\text{m/s}$ ; (B) palla $0{,}1\;\text{kg}$ a $30\;\text{m/s}$ ; (C) bicicletta più ciclista $80\;\text{kg}$ a $10\;\text{m/s}$ ; (D) pallina da golf $0{,}05\;\text{kg}$ a $80\;\text{m/s}$ . Ordina i moduli della quantità di moto dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Il modulo della quantità di moto è $p = m\,v$ (moto rettilineo, basta il modulo). Calcolo per ciascun oggetto: $\begin{aligned} p_A &= 1500 \cdot 20 = 30\,000\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_B &= 0{,}1 \cdot 30 = 3\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_C &= 80 \cdot 10 = 800\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_D &= 0{,}05 \cdot 80 = 4\ \mathrm{kg\,m/s} \end{aligned}$ Ordinando dal più piccolo al più grande: la palla (B, $3$ ) e la pallina da golf (D, $4$ ) hanno quantità di moto minuscole nonostante la velocità elevata, perché la massa è piccolissima; seguono la bicicletta col ciclista (C, $800$ ) e infine l’auto (A, $30\,000$ ), che domina grazie alla massa enorme. $\ev{p_B < p_D < p_C < p_A \qquad (3 < 4 < 800 < 30\,000\ \mathrm{kg\,m/s})}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Four moving objects: (A) car $1500\;\text{kg}$ at $20\;\text{m/s}$ ; (B) ball $0{,}1\;\text{kg}$ at $30\;\text{m/s}$ ; (C) bicycle plus cyclist $80\;\text{kg}$ at $10\;\text{m/s}$ ; (D) golf ball $0{,}05\;\text{kg}$ at $80\;\text{m/s}$ . Rank the magnitudes of momentum from smallest to largest.

Solution

The magnitude of momentum is $p = m\,v$ (straight-line motion, so just the magnitude is needed). Computing for each object: $\begin{aligned} p_A &= 1500 \cdot 20 = 30\,000\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_B &= 0{,}1 \cdot 30 = 3\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_C &= 80 \cdot 10 = 800\ \mathrm{kg\,m/s}\\ p_D &= 0{,}05 \cdot 80 = 4\ \mathrm{kg\,m/s} \end{aligned}$ Ranking from smallest to largest: the ball (B, $3$ ) and the golf ball (D, $4$ ) have tiny momenta despite the high speed, because the mass is very small; next come the bicycle with cyclist (C, $800$ ) and finally the car (A, $30\,000$ ), which dominates thanks to its huge mass. $\ev{p_B < p_D < p_C < p_A \qquad (3 < 4 < 800 < 30\,000\ \mathrm{kg\,m/s})}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Momentum Skills: Ranking reasoning

Testo

Stessi oggetti del problema precedente: (A) auto $1500\;\text{kg}$ a $20\;\text{m/s}$ ; (B) palla $0{,}1\;\text{kg}$ a $30\;\text{m/s}$ ; (C) bicicletta più ciclista $80\;\text{kg}$ a $10\;\text{m/s}$ ; (D) pallina da golf $0{,}05\;\text{kg}$ a $80\;\text{m/s}$ . Ordina le energie cinetiche dal più piccolo al più grande e commenta se l’ordine è lo stesso di $p$ .

Soluzione

L’energia cinetica è $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$ . Calcolo per ciascun oggetto: $\begin{aligned} E_A &= \tfrac{1}{2}\cdot 1500 \cdot 20^2 = 3{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{J}\\ E_B &= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1 \cdot 30^2 = 45\ \mathrm{J}\\ E_C &= \tfrac{1}{2}\cdot 80 \cdot 10^2 = 4\,000\ \mathrm{J}\\ E_D &= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}05 \cdot 80^2 = 160\ \mathrm{J} \end{aligned}$ Ordine dal più piccolo al più grande: $E_B < E_D < E_C < E_A$ . In questo caso l’ordine coincide con quello della quantità di moto ( $p_B < p_D < p_C < p_A$ ), ma è una coincidenza legata a questi numeri: $p = mv$ cresce linearmente con la velocità, mentre $E = \tfrac{1}{2}mv^2$ cresce con il quadrato. Un oggetto leggero e molto veloce può quindi avere $p$ piccola ma $E$ relativamente grande: in generale i due criteri ordinano diversamente. $\ev{E_B < E_D < E_C < E_A \qquad (45 < 160 < 4\,000 < 3\cdot 10^5\ \mathrm{J})}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Energia cinetica · Quantità di moto Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Same objects as the previous problem: (A) car $1500\;\text{kg}$ at $20\;\text{m/s}$ ; (B) ball $0{,}1\;\text{kg}$ at $30\;\text{m/s}$ ; (C) bicycle plus cyclist $80\;\text{kg}$ at $10\;\text{m/s}$ ; (D) golf ball $0{,}05\;\text{kg}$ at $80\;\text{m/s}$ . Rank the kinetic energies from smallest to largest and comment on whether the order is the same as for $p$ .

Solution

Kinetic energy is $E_\text{kin} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$ . Computing for each object: $\begin{aligned} E_A &= \tfrac{1}{2}\cdot 1500 \cdot 20^2 = 3{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{J}\\ E_B &= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1 \cdot 30^2 = 45\ \mathrm{J}\\ E_C &= \tfrac{1}{2}\cdot 80 \cdot 10^2 = 4\,000\ \mathrm{J}\\ E_D &= \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}05 \cdot 80^2 = 160\ \mathrm{J} \end{aligned}$ Order from smallest to largest: $E_B < E_D < E_C < E_A$ . In this case the order coincides with that of momentum ( $p_B < p_D < p_C < p_A$ ), but this is a coincidence tied to these particular numbers: $p = mv$ grows linearly with speed, while $E = \tfrac{1}{2}mv^2$ grows with the square. A light, very fast object can therefore have small $p$ but relatively large $E$ : in general the two criteria give different orderings. $\ev{E_B < E_D < E_C < E_A \qquad (45 < 160 < 4\,000 < 3\cdot 10^5\ \mathrm{J})}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Kinetic energy · Momentum Skills: Ranking reasoning

Testo

Una palla di $2\;\text{kg}$ che viaggia a $5\;\text{m/s}$ urta elasticamente una palla di $3\;\text{kg}$ ferma. Calcola le velocità dopo l’urto e commenta chi rimbalza e chi avanza.

Soluzione

Urto elastico in una dimensione: si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Dati: $m_1=2\;\text{kg}$ , $v_1=5\;\text{m/s}$ , $m_2=3\;\text{kg}$ , $v_2=0$ . Imposto le due tabelle prima/dopo:

corpo massa $v$ prima $v$ dopo
palla 1 $2\;\text{kg}$ $5\;\text{m/s}$ $v_1'$
palla 2 $3\;\text{kg}$ $0$ $v_2'$

Per l’urto elastico con bersaglio fermo valgono le formule risolutive: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$ Sostituendo i valori: $v_1' = \frac{2 - 3}{2 + 3}\cdot 5 = \frac{-1}{5}\cdot 5 = -1\ \mathrm{m/s}, \qquad v_2' = \frac{2\cdot 2}{5}\cdot 5 = 4\ \mathrm{m/s}$ Verifica della quantità di moto: $2\cdot(-1)+3\cdot 4 = -2+12 = 10 = 2\cdot 5$ . ✓ Verifica dell’energia cinetica: $\tfrac12\cdot 2\cdot(-1)^2 + \tfrac12\cdot 3\cdot 4^2 = 1+24 = 25 = \tfrac12\cdot 2\cdot 5^2$ . ✓ La palla leggera (2 kg) rimbalza indietro (velocità negativa) perché urta un bersaglio più pesante; la palla pesante (3 kg) avanza. Nota (refuso): il testo e la figura originali riportano $v_1' = -0{,}2\ \mathrm{m/s}$ , ma i bilanci di $\vv{p}$ ed $E_\text{cin}$ danno $v_1' = -1\ \mathrm{m/s}$ : il valore corretto è quest’ultimo. $\ev{v_1' = -1\ \mathrm{m/s}\ (\text{rimbalzo indietro}),\quad v_2' = 4{,}0\ \mathrm{m/s}}$

corpo	massa	$v$ prima	$v$ dopo
palla 1	$2\;\text{kg}$	$5\;\text{m/s}$	$v_1'$
palla 2	$3\;\text{kg}$	$0$	$v_2'$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Energia cinetica Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Problem

A $2\;\text{kg}$ ball travelling at $5\;\text{m/s}$ collides elastically with a stationary $3\;\text{kg}$ ball. Calculate the velocities after the collision and comment on which one bounces back and which one moves forward.

Solution

Elastic collision in one dimension: both momentum and kinetic energy are conserved. Data: $m_1=2\;\text{kg}$ , $v_1=5\;\text{m/s}$ , $m_2=3\;\text{kg}$ , $v_2=0$ . Setting up the before/after tables:

body mass $v$ before $v$ after
ball 1 $2\;\text{kg}$ $5\;\text{m/s}$ $v_1'$
ball 2 $3\;\text{kg}$ $0$ $v_2'$

For an elastic collision with a stationary target, the solving formulas hold: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2\,m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$ Substituting the values: $v_1' = \frac{2 - 3}{2 + 3}\cdot 5 = \frac{-1}{5}\cdot 5 = -1\ \mathrm{m/s}, \qquad v_2' = \frac{2\cdot 2}{5}\cdot 5 = 4\ \mathrm{m/s}$ Momentum check: $2\cdot(-1)+3\cdot 4 = -2+12 = 10 = 2\cdot 5$ . ✓ Kinetic energy check: $\tfrac12\cdot 2\cdot(-1)^2 + \tfrac12\cdot 3\cdot 4^2 = 1+24 = 25 = \tfrac12\cdot 2\cdot 5^2$ . ✓ The light ball (2 kg) bounces backwards (negative velocity) because it hits a heavier target; the heavy ball (3 kg) moves forward. Note (typo): the original text and figure give $v_1' = -0{,}2\ \mathrm{m/s}$ , but the $\vv{p}$ and $E_\text{kin}$ balances give $v_1' = -1\ \mathrm{m/s}$ : the correct value is the latter. $\ev{v_1' = -1\ \mathrm{m/s}\ (\text{bounces back}),\quad v_2' = 4{,}0\ \mathrm{m/s}}$

body	mass	$v$ before	$v$ after
ball 1	$2\;\text{kg}$	$5\;\text{m/s}$	$v_1'$
ball 2	$3\;\text{kg}$	$0$	$v_2'$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Elastic collision · Kinetic energy Skills: Two-table method Methods: Parallel two-table method

Testo

Un camion di $3\,000\;\text{kg}$ a $20\;\text{m/s}$ urta un’auto ferma di $1\,000\;\text{kg}$ . I due veicoli restano uniti. Calcola la velocità comune dopo l’urto e l’energia cinetica persa nella deformazione.

Soluzione

Nell’urto perfettamente anelastico i corpi restano uniti: si conserva la quantità di moto (nessuna forza esterna orizzontale), ma non l’energia cinetica. Dati: $m_1=3\,000\;\text{kg}$ , $v_1=20\;\text{m/s}$ , $m_2=1\,000\;\text{kg}$ , $v_2=0$ . Conservazione della quantità di moto, con velocità comune $v_f$ : $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\,v_f \;\Rightarrow\; v_f = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{3\,000\cdot 20}{4\,000} = 15\ \mathrm{m/s}$ Energia cinetica prima e dopo: $E_i = \tfrac{1}{2}\,m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\,000\cdot 20^2 = 6{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ $E_f = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\,000\cdot 15^2 = 4{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ Energia persa nella deformazione: $\Delta E = E_i - E_f = 6{,}0\cdot 10^5 - 4{,}5\cdot 10^5 = 1{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ In percentuale: $\dfrac{1{,}5\cdot 10^5}{6{,}0\cdot 10^5} = 0{,}25$ , cioè circa il $25\%$ dell’energia iniziale va in calore e deformazione dei rottami. $\ev{v_f = 15\ \mathrm{m/s},\quad E_\text{persa} = 1{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}\ (\approx 25\%)}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

A $3\,000\;\text{kg}$ truck at $20\;\text{m/s}$ collides with a stationary $1\,000\;\text{kg}$ car. The two vehicles stay joined together. Calculate the common velocity after the collision and the kinetic energy lost to deformation.

Solution

In a perfectly inelastic collision the bodies stay joined: momentum is conserved (no external horizontal force), but kinetic energy is not. Data: $m_1=3\,000\;\text{kg}$ , $v_1=20\;\text{m/s}$ , $m_2=1\,000\;\text{kg}$ , $v_2=0$ . Conservation of momentum, with common velocity $v_f$ : $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)\,v_f \;\Rightarrow\; v_f = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{3\,000\cdot 20}{4\,000} = 15\ \mathrm{m/s}$ Kinetic energy before and after: $E_i = \tfrac{1}{2}\,m_1 v_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\,000\cdot 20^2 = 6{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ $E_f = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)\,v_f^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 4\,000\cdot 15^2 = 4{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ Energy lost to deformation: $\Delta E = E_i - E_f = 6{,}0\cdot 10^5 - 4{,}5\cdot 10^5 = 1{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}$ As a percentage: $\dfrac{1{,}5\cdot 10^5}{6{,}0\cdot 10^5} = 0{,}25$ , i.e. about $25\%$ of the initial energy goes into heat and deformation of the wreckage. $\ev{v_f = 15\ \mathrm{m/s},\quad E_\text{lost} = 1{,}5\cdot 10^5\ \mathrm{J}\ (\approx 25\%)}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Inelastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy Skills: Conservation of momentum

Testo

Una pistola di $1\;\text{kg}$ spara un proiettile di $10\;\text{g}$ a $400\;\text{m/s}$ . Calcola la velocità di rinculo della pistola e l’energia cinetica del rinculo; confrontala con l’energia cinetica del proiettile.

Soluzione

Lo sparo è come un’esplosione: prima del colpo il sistema è fermo, quindi la quantità di moto totale è nulla e si conserva. La massa dichiarata della pistola ( $1\;\text{kg}$ ) comprende il proiettile: dopo lo sparo la parte che rincula ha massa $M - m_p = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\;\text{kg}$ . Dati: $m_p = 0{,}01\;\text{kg}$ , $v_p = 400\;\text{m/s}$ . Conservazione della quantità di moto (positivo = verso del proiettile): $0 = m_p\,v_p + (M - m_p)\,v_r$ $v_r = -\frac{m_p\,v_p}{M - m_p} = -\frac{0{,}01\cdot 400}{0{,}99} = -4{,}04\ \mathrm{m/s}$ Il segno negativo indica il rinculo, opposto al proiettile. Energie cinetiche: $E_r = \tfrac{1}{2}(M - m_p)\,v_r^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}99\cdot (4{,}04)^2 \approx 8{,}1\ \mathrm{J}$ $E_p = \tfrac{1}{2}\,m_p\,v_p^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01\cdot 400^2 = 800\ \mathrm{J}$ Pur avendo quantità di moto uguale e opposta, il proiettile porta circa $100$ volte più energia della pistola: infatti $E = \dfrac{p^2}{2m}$ , e a parità di $p$ l’energia è inversamente proporzionale alla massa. È per questo che il rinculo è gestibile con la spalla mentre il proiettile è letale. $\ev{v_r \approx -4{,}04\ \mathrm{m/s},\quad E_r \approx 8{,}1\ \mathrm{J}\ \text{contro}\ E_p = 800\ \mathrm{J}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Esplosione · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Proiettile

Problem

A $1\;\text{kg}$ gun fires a $10\;\text{g}$ bullet at $400\;\text{m/s}$ . Calculate the recoil velocity of the gun and the kinetic energy of the recoil; compare it with the kinetic energy of the bullet.

Solution

Firing the gun is like an explosion: before the shot the system is at rest, so total momentum is zero and it is conserved. The stated mass of the gun ( $1\;\text{kg}$ ) includes the bullet: after the shot the recoiling part has mass $M - m_p = 1 - 0{,}01 = 0{,}99\;\text{kg}$ . Data: $m_p = 0{,}01\;\text{kg}$ , $v_p = 400\;\text{m/s}$ . Conservation of momentum (positive = direction of the bullet): $0 = m_p\,v_p + (M - m_p)\,v_r$ $v_r = -\frac{m_p\,v_p}{M - m_p} = -\frac{0{,}01\cdot 400}{0{,}99} = -4{,}04\ \mathrm{m/s}$ The negative sign indicates recoil, opposite to the bullet. Kinetic energies: $E_r = \tfrac{1}{2}(M - m_p)\,v_r^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}99\cdot (4{,}04)^2 \approx 8{,}1\ \mathrm{J}$ $E_p = \tfrac{1}{2}\,m_p\,v_p^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}01\cdot 400^2 = 800\ \mathrm{J}$ Although momentum is equal and opposite, the bullet carries about $100$ times more energy than the gun: indeed $E = \dfrac{p^2}{2m}$ , and at equal $p$ , energy is inversely proportional to mass. That’s why the recoil is manageable with the shoulder while the bullet is lethal. $\ev{v_r \approx -4{,}04\ \mathrm{m/s},\quad E_r \approx 8{,}1\ \mathrm{J}\ \text{versus}\ E_p = 800\ \mathrm{J}}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Explosion · Conservation of momentum · Kinetic energy Skills: Conservation of momentum Objects: Bullet

Testo

Due palle uguali viaggiano perpendicolarmente: la prima con $\vv{v}_1 = (3;\, 0)\;\text{m/s}$ , la seconda con $\vv{v}_2 = (0;\, 4)\;\text{m/s}$ . Dopo l’urto restano unite. Calcola la velocità finale (modulo e direzione).

Soluzione

Urto perfettamente anelastico (restano unite): si conserva la quantità di moto totale, che è un vettore. Le due palle hanno massa uguale $m$ ; dopo l’urto la massa unita è $2m$ . Lavoro separatamente sulle componenti $x$ e $y$ . Componente $x$ (solo la palla 1 ha velocità lungo $x$ ): $m\cdot 3 + m\cdot 0 = 2m\,v_{fx} \;\Rightarrow\; v_{fx} = \frac{3}{2} = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ Componente $y$ (solo la palla 2 ha velocità lungo $y$ ): $m\cdot 0 + m\cdot 4 = 2m\,v_{fy} \;\Rightarrow\; v_{fy} = \frac{4}{2} = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$ Quindi il vettore velocità finale è: $\vv{v}_f = (1{,}5;\, 2{,}0)\ \mathrm{m/s}$ Modulo: $\norm{\vv{v}_f} = \sqrt{v_{fx}^2 + v_{fy}^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 2{,}0^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\ \mathrm{m/s}$ Direzione (angolo rispetto all’asse $x$ ): $\theta = \arctan\frac{v_{fy}}{v_{fx}} = \arctan\frac{2{,}0}{1{,}5} \approx 53^\circ$ Il corpo unito si muove alla velocità del centro di massa, in diagonale tra le due direzioni iniziali. $\ev{\vv{v}_f = (1{,}5;\, 2{,}0)\ \mathrm{m/s},\quad \norm{\vv{v}_f} = 2{,}5\ \mathrm{m/s},\quad \theta \approx 53^\circ}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Centro di massa Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

Two identical balls travel perpendicular to each other: the first with $\vv{v}_1 = (3;\, 0)\;\text{m/s}$ , the second with $\vv{v}_2 = (0;\, 4)\;\text{m/s}$ . After the collision they stay joined. Calculate the final velocity (magnitude and direction).

Solution

Perfectly inelastic collision (they stay joined): total momentum is conserved, and it is a vector. The two balls have equal mass $m$ ; after the collision the joined mass is $2m$ . Work separately on the $x$ and $y$ components. $x$ component (only ball 1 has velocity along $x$ ): $m\cdot 3 + m\cdot 0 = 2m\,v_{fx} \;\Rightarrow\; v_{fx} = \frac{3}{2} = 1{,}5\ \mathrm{m/s}$ $y$ component (only ball 2 has velocity along $y$ ): $m\cdot 0 + m\cdot 4 = 2m\,v_{fy} \;\Rightarrow\; v_{fy} = \frac{4}{2} = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$ So the final velocity vector is: $\vv{v}_f = (1{,}5;\, 2{,}0)\ \mathrm{m/s}$ Magnitude: $\norm{\vv{v}_f} = \sqrt{v_{fx}^2 + v_{fy}^2} = \sqrt{1{,}5^2 + 2{,}0^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\ \mathrm{m/s}$ Direction (angle relative to the $x$ axis): $\theta = \arctan\frac{v_{fy}}{v_{fx}} = \arctan\frac{2{,}0}{1{,}5} \approx 53^\circ$ The joined body moves at the velocity of the centre of mass, diagonally between the two initial directions. $\ev{\vv{v}_f = (1{,}5;\, 2{,}0)\ \mathrm{m/s},\quad \norm{\vv{v}_f} = 2{,}5\ \mathrm{m/s},\quad \theta \approx 53^\circ}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Inelastic collision · Conservation of momentum · Centre of mass Skills: Conservation of momentum

Testo

Un’auto da $1\,200\;\text{kg}$ sterza bruscamente: la sua velocità passa da $(20;\, 0)$ a $(15;\, 5)\;\text{m/s}$ . Calcola l’impulso netto applicato sull’auto (vettore, modulo e direzione).

Soluzione

Il teorema dell’impulso dice che l’impulso netto è la variazione della quantità di moto: $\vv{J} = \Delta\vv{p} = m(\vv{v}_f - \vv{v}_i)$ . È un vettore, quindi lavoro per componenti. Dati: $m = 1\,200\;\text{kg}$ , $\vv{v}_i = (20;\, 0)\;\text{m/s}$ , $\vv{v}_f = (15;\, 5)\;\text{m/s}$ . Componente $x$ : $J_x = m\,(v_{fx} - v_{ix}) = 1\,200\,(15 - 20) = -6000\ \mathrm{N\,s}$ Componente $y$ : $J_y = m\,(v_{fy} - v_{iy}) = 1\,200\,(5 - 0) = 6000\ \mathrm{N\,s}$ Vettore impulso: $\vv{J} = (-6000;\, 6000)\ \mathrm{N\,s}$ Modulo: $\norm{\vv{J}} = \sqrt{J_x^2 + J_y^2} = \sqrt{6000^2 + 6000^2} = 6000\sqrt{2} \approx 8485\ \mathrm{N\,s}$ Direzione: componente $x$ negativa e $y$ positiva, quindi il vettore punta nel secondo quadrante; poiché $\abs{J_x} = \abs{J_y}$ l’angolo rispetto all’asse $x$ è: $\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ L’impulso frena l’auto lungo $x$ e la spinge lungo $y$ : è la forza laterale degli pneumatici che fa curvare l’auto. $\ev{\vv{J} = (-6000;\, 6000)\ \mathrm{N\,s},\quad \norm{\vv{J}} \approx 8485\ \mathrm{N\,s},\quad \theta = 135^\circ}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Problem

A $1\,200\;\text{kg}$ car swerves sharply: its velocity goes from $(20;\, 0)$ to $(15;\, 5)\;\text{m/s}$ . Calculate the net impulse applied to the car (vector, magnitude and direction).

Solution

The impulse-momentum theorem states that the net impulse is the change in momentum: $\vv{J} = \Delta\vv{p} = m(\vv{v}_f - \vv{v}_i)$ . It is a vector, so work component by component. Data: $m = 1\,200\;\text{kg}$ , $\vv{v}_i = (20;\, 0)\;\text{m/s}$ , $\vv{v}_f = (15;\, 5)\;\text{m/s}$ . $x$ component: $J_x = m\,(v_{fx} - v_{ix}) = 1\,200\,(15 - 20) = -6000\ \mathrm{N\,s}$ $y$ component: $J_y = m\,(v_{fy} - v_{iy}) = 1\,200\,(5 - 0) = 6000\ \mathrm{N\,s}$ Impulse vector: $\vv{J} = (-6000;\, 6000)\ \mathrm{N\,s}$ Magnitude: $\norm{\vv{J}} = \sqrt{J_x^2 + J_y^2} = \sqrt{6000^2 + 6000^2} = 6000\sqrt{2} \approx 8485\ \mathrm{N\,s}$ Direction: negative $x$ component and positive $y$ , so the vector points into the second quadrant; since $\abs{J_x} = \abs{J_y}$ the angle relative to the $x$ axis is: $\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ The impulse slows the car along $x$ and pushes it along $y$ : it is the lateral force from the tyres that makes the car turn. $\ev{\vv{J} = (-6000;\, 6000)\ \mathrm{N\,s},\quad \norm{\vv{J}} \approx 8485\ \mathrm{N\,s},\quad \theta = 135^\circ}$

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Testo

Un sistema di due masse: $m_1 = 2\;\text{kg}$ , $m_2 = 5\;\text{kg}$ . La quantità di moto totale vale $\vv{p} = (14;\, 0)\;\text{kg\,m/s}$ . Sapendo che $\vv{v}_2 = (2;\, 0)\;\text{m/s}$ , trova $\vv{v}_1$ e commenta.

Soluzione

La quantità di moto totale è la somma vettoriale dei contributi delle due masse: $\vv{p} = m_1\,\vv{v}_1 + m_2\,\vv{v}_2$ Isolo l’incognita $\vv{v}_1$ : $m_1\,\vv{v}_1 = \vv{p} - m_2\,\vv{v}_2$ Sostituisco i valori (lavoro per componenti; qui tutto è lungo $x$ ): $2\,\vv{v}_1 = (14;\, 0) - 5\cdot(2;\, 0) = (14;\, 0) - (10;\, 0) = (4;\, 0)$ $\vv{v}_1 = \frac{(4;\, 0)}{2} = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}$ Commento: risulta $\vv{v}_1 = \vv{v}_2 = (2;\, 0)\;\text{m/s}$ . Entrambe le masse si muovono con la stessa velocità, che è quella del centro di massa: $\vv{v}_\text{cm} = \frac{\vv{p}}{m_1 + m_2} = \frac{(14;\, 0)}{7} = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}$ Il sistema trasla rigidamente: nessun moto relativo tra le due masse. $\ev{\vv{v}_1 = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}\ =\ \vv{v}_\text{cm}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto · Centro di massa Competenze: Impostazione simbolica

Problem

A system of two masses: $m_1 = 2\;\text{kg}$ , $m_2 = 5\;\text{kg}$ . The total momentum is $\vv{p} = (14;\, 0)\;\text{kg\,m/s}$ . Knowing that $\vv{v}_2 = (2;\, 0)\;\text{m/s}$ , find $\vv{v}_1$ and comment.

Solution

Total momentum is the vector sum of the contributions from the two masses: $\vv{p} = m_1\,\vv{v}_1 + m_2\,\vv{v}_2$ Isolating the unknown $\vv{v}_1$ : $m_1\,\vv{v}_1 = \vv{p} - m_2\,\vv{v}_2$ Substituting the values (work by components; here everything is along $x$ ): $2\,\vv{v}_1 = (14;\, 0) - 5\cdot(2;\, 0) = (14;\, 0) - (10;\, 0) = (4;\, 0)$ $\vv{v}_1 = \frac{(4;\, 0)}{2} = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}$ Comment: it turns out $\vv{v}_1 = \vv{v}_2 = (2;\, 0)\;\text{m/s}$ . Both masses move with the same velocity, which is that of the centre of mass: $\vv{v}_\text{cm} = \frac{\vv{p}}{m_1 + m_2} = \frac{(14;\, 0)}{7} = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}$ The system translates rigidly: there is no relative motion between the two masses. $\ev{\vv{v}_1 = (2;\, 0)\ \mathrm{m/s}\ =\ \vv{v}_\text{cm}}$

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Testo

Cosa succederebbe alla conservazione della quantità di moto se il terzo principio di Newton non valesse? Costruisci un esempio concreto con due particelle interagenti e mostra dove va in crisi il bilancio.

Soluzione

Partiamo dal legame tra terzo principio e conservazione. Prendi un sistema isolato di due particelle $A$ e $B$ che interagiscono solo tra loro. La variazione della quantità di moto totale è determinata dalla somma delle forze interne: $\frac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = \vv{F}_{AB} + \vv{F}_{BA}$ dove $\vv{F}_{AB}$ è la forza che $A$ esercita su $B$ e $\vv{F}_{BA}$ quella che $B$ esercita su $A$ . Il terzo principio afferma $\vv{F}_{AB} = -\vv{F}_{BA}$ : le due forze si annullano, quindi $\dfrac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = 0$ e la quantità di moto totale si conserva. Esempio con il terzo principio rotto. Immagina che $A$ spinga $B$ con $\vv{F}_{AB} = (5;\, 0)\ \mathrm{N}$ ma che $B$ reagisca su $A$ con una forza non uguale e opposta, per esempio $\vv{F}_{BA} = (-3;\, 0)\ \mathrm{N}$ Ora la somma delle forze interne non è più nulla: $\frac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = (5;\, 0) + (-3;\, 0) = (2;\, 0)\ \mathrm{N} \neq 0$ Il sistema, pur essendo isolato (nessuna forza esterna), acquisterebbe quantità di moto dal nulla: si “autospingerebbe” senza espellere nulla, violando ogni esperienza fisica. Quindi la conservazione di $\vv{p}$ per un sistema isolato è esattamente equivalente al terzo principio: senza azione e reazione uguali e contrarie, il bilancio della quantità di moto crolla. $\ev{\text{Senza il III principio le forze interne non si annullano: un sistema isolato guadagna } \vv{p} \text{ dal nulla}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Terza legge di Newton · Conservazione della quantità di moto · Quantità di moto Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

What would happen to conservation of momentum if Newton’s third law did not hold? Build a concrete example with two interacting particles and show where the balance breaks down.

Solution

Start from the link between the third law and conservation. Take an isolated system of two particles $A$ and $B$ that interact only with each other. The rate of change of total momentum is determined by the sum of the internal forces: $\frac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = \vv{F}_{AB} + \vv{F}_{BA}$ where $\vv{F}_{AB}$ is the force $A$ exerts on $B$ and $\vv{F}_{BA}$ the one $B$ exerts on $A$ . The third law states $\vv{F}_{AB} = -\vv{F}_{BA}$ : the two forces cancel, so $\dfrac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = 0$ and total momentum is conserved. Example with the third law broken. Imagine that $A$ pushes $B$ with $\vv{F}_{AB} = (5;\, 0)\ \mathrm{N}$ but that $B$ reacts on $A$ with a force that is not equal and opposite, for example $\vv{F}_{BA} = (-3;\, 0)\ \mathrm{N}$ Now the sum of the internal forces is no longer zero: $\frac{d\vv{p}_\text{tot}}{dt} = (5;\, 0) + (-3;\, 0) = (2;\, 0)\ \mathrm{N} \neq 0$ The system, despite being isolated (no external forces), would gain momentum out of nowhere: it would “self-propel” without expelling anything, violating all physical experience. So conservation of $\vv{p}$ for an isolated system is exactly equivalent to the third law: without equal and opposite action and reaction, the momentum balance collapses. $\ev{\text{Without the 3rd law the internal forces don't cancel: an isolated system gains } \vv{p} \text{ out of nowhere}}$

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Testo

Fantafisica: massa che dimezza. Una palla di $2\;\text{kg}$ viaggia a $10\;\text{m/s}$ e, per pura fantasia, dimezza istantaneamente la sua massa mantenendo la stessa velocità. Cosa accadrebbe a $\vv{p}$ ed $E_\text{cin}$ ? Perché in natura questo non può accadere?

Soluzione

Stato iniziale: $m_0 = 2\;\text{kg}$ , $v = 10\;\text{m/s}$ . $p_0 = m_0 v = 2 \cdot 10 = 20\;\mathrm{kg\,m/s}$ $E_{\text{cin},0} = \tfrac{1}{2} m_0 v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 10^2 = 100\;\mathrm{J}$ Se la massa dimezza a $m_1 = 1\;\text{kg}$ tenendo la stessa $v$ : $p_1 = m_1 v = 1 \cdot 10 = 10\;\mathrm{kg\,m/s}$ $E_{\text{cin},1} = \tfrac{1}{2} m_1 v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 10^2 = 50\;\mathrm{J}$ Quindi sia $\vv{p}$ sia $E_\text{cin}$ si dimezzerebbero: entrambi svaniscono senza che nulla li porti via. Perché è impossibile: in meccanica classica la massa di un sistema isolato si conserva. Far sparire metà massa violerebbe la conservazione della quantità di moto (dove andrebbe la $\vv{p}$ mancante?) e dell’energia. Solo conversioni massa-energia relativistiche o decadimenti possono cambiare la massa, e comunque bilanciano sempre $\vv{p}$ ed energia. Risultato: $\ev{\text{Impossibile: massa conservata; } \vv{p} \text{ ed } E_\text{cin} \text{ non possono dimezzarsi da soli}}$

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Problem

Thought experiment: a mass that halves. A $2\;\text{kg}$ ball travels at $10\;\text{m/s}$ and, purely hypothetically, instantly halves its mass while keeping the same velocity. What would happen to $\vv{p}$ and $E_\text{kin}$ ? Why can this not happen in nature?

Solution

Initial state: $m_0 = 2\;\text{kg}$ , $v = 10\;\text{m/s}$ . $p_0 = m_0 v = 2 \cdot 10 = 20\;\mathrm{kg\,m/s}$ $E_{\text{kin},0} = \tfrac{1}{2} m_0 v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2 \cdot 10^2 = 100\;\mathrm{J}$ If the mass halves to $m_1 = 1\;\text{kg}$ while keeping the same $v$ : $p_1 = m_1 v = 1 \cdot 10 = 10\;\mathrm{kg\,m/s}$ $E_{\text{kin},1} = \tfrac{1}{2} m_1 v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 10^2 = 50\;\mathrm{J}$ So both $\vv{p}$ and $E_\text{kin}$ would halve: both vanish without anything carrying them away. Why it’s impossible: in classical mechanics the mass of an isolated system is conserved. Making half the mass disappear would violate conservation of momentum (where would the missing $\vv{p}$ go?) and of energy. Only relativistic mass-energy conversions or decays can change the mass, and even then they always balance $\vv{p}$ and energy. Result: $\ev{\text{Impossible: mass conserved; } \vv{p} \text{ and } E_\text{kin} \text{ cannot halve on their own}}$

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Testo

Razzo a stadi. Un razzo a due stadi ha massa totale $1\,000\;\text{kg}$ . Espelle lo stadio 1 ( $600\;\text{kg}$ ) a velocità relativa $1\;\text{km/s}$ . Lo stadio 2 (massa $400\;\text{kg}$ ) espelle altro carburante ( $200\;\text{kg}$ ) sempre a $1\;\text{km/s}$ relativa. Calcola la velocità finale del carico utile residuo ( $200\;\text{kg}$ ) usando la formula di Tsiolkovsky $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$ .

Soluzione

La formula di Tsiolkovsky dà l’incremento di velocità di ciascuno stadio: $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$ , con $v_g = 1\;\text{km/s} = 1\,000\;\text{m/s}$ .

Stadio 1: parte da $m_0 = 1\,000\;\text{kg}$ ; dopo aver espulso $600\;\text{kg}$ resta $m_f = 400\;\text{kg}$ . $\Delta v_1 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{1\,000}{400}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2{,}5) \approx 916\;\mathrm{m/s}$

Stadio 2: parte da $m_0 = 400\;\text{kg}$ ; espelle $200\;\text{kg}$ di carburante, resta $m_f = 200\;\text{kg}$ (il payload). $\Delta v_2 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{400}{200}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2) \approx 693\;\mathrm{m/s}$

Gli incrementi si sommano perché ogni stadio riparte dalla velocità già acquisita: $v_\text{finale} = \Delta v_1 + \Delta v_2 \approx 916 + 693 = 1\,609\;\mathrm{m/s}$ Risultato: $\ev{v_\text{finale} \approx 1\,609\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Razzo

Problem

Staged rocket. A two-stage rocket has total mass $1\,000\;\text{kg}$ . It expels stage 1 ( $600\;\text{kg}$ ) at relative velocity $1\;\text{km/s}$ . Stage 2 (mass $400\;\text{kg}$ ) then expels more fuel ( $200\;\text{kg}$ ), again at $1\;\text{km/s}$ relative. Calculate the final velocity of the residual payload ( $200\;\text{kg}$ ) using the Tsiolkovsky formula $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$ .

Solution

The Tsiolkovsky formula gives the velocity increment of each stage: $\Delta v = v_g \ln(m_0/m_f)$ , with $v_g = 1\;\text{km/s} = 1\,000\;\text{m/s}$ .

Stage 1: starts at $m_0 = 1\,000\;\text{kg}$ ; after expelling $600\;\text{kg}$ , $m_f = 400\;\text{kg}$ remains. $\Delta v_1 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{1\,000}{400}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2{,}5) \approx 916\;\mathrm{m/s}$

Stage 2: starts at $m_0 = 400\;\text{kg}$ ; expels $200\;\text{kg}$ of fuel, leaving $m_f = 200\;\text{kg}$ (the payload). $\Delta v_2 = 1\,000 \cdot \ln\!\left(\frac{400}{200}\right) = 1\,000 \cdot \ln(2) \approx 693\;\mathrm{m/s}$

The increments add up because each stage starts from the velocity already gained: $v_\text{final} = \Delta v_1 + \Delta v_2 \approx 916 + 693 = 1\,609\;\mathrm{m/s}$ Result: $\ev{v_\text{final} \approx 1\,609\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Momentum · Conservation of momentum Skills: Conservation of momentum Objects: Rocket

Testo

Pendolo balistico. Un proiettile di $20\;\text{g}$ a velocità $v$ ignota si conficca in un blocco di legno di $5\;\text{kg}$ sospeso a un filo. Il blocco oscilla salendo di $20\;\text{cm}$ . Calcola la velocità iniziale del proiettile combinando conservazione di $\vv{p}$ all’urto e conservazione dell’energia nella salita.

Soluzione

Dati: $m = 20\;\text{g} = 0{,}020\;\text{kg}$ , $M = 5\;\text{kg}$ , $h = 20\;\text{cm} = 0{,}20\;\text{m}$ , $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$ .

Il problema ha due fasi da trattare separatamente.

Fase 1 — urto totalmente anelastico (proiettile che si conficca): si conserva la quantità di moto, non l’energia. Sia $V$ la velocità comune di blocco più proiettile subito dopo l’urto. $m v = (m + M)\,V \quad\Rightarrow\quad v = \frac{m+M}{m}\,V$

Fase 2 — salita: dopo l’urto agisce solo la gravità, quindi si conserva l’energia meccanica. Tutta l’energia cinetica diventa potenziale gravitazionale. $\tfrac{1}{2}(m+M)\,V^2 = (m+M)\,g\,h \quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{2 g h}$ $V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}20} = \sqrt{3{,}924} \approx 1{,}98\;\mathrm{m/s}$

Sostituendo $V$ nella relazione della fase 1: $v = \frac{0{,}020 + 5}{0{,}020}\cdot 1{,}98 = 251 \cdot 1{,}98 \approx 497\;\mathrm{m/s}$ Risultato: $\ev{v \approx 497\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione della quantità di moto Oggetti: Pendolo balistico · Proiettile

Problem

Ballistic pendulum. A $20\;\text{g}$ bullet with unknown velocity $v$ embeds itself in a $5\;\text{kg}$ wooden block hanging from a string. The block swings up by $20\;\text{cm}$ . Calculate the initial velocity of the bullet by combining conservation of $\vv{p}$ at the collision with conservation of energy during the rise.

Solution

Data: $m = 20\;\text{g} = 0{,}020\;\text{kg}$ , $M = 5\;\text{kg}$ , $h = 20\;\text{cm} = 0{,}20\;\text{m}$ , $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$ .

The problem has two phases to be treated separately.

Phase 1 — totally inelastic collision (bullet embedding itself): momentum is conserved, energy is not. Let $V$ be the common velocity of block plus bullet right after the collision. $m v = (m + M)\,V \quad\Rightarrow\quad v = \frac{m+M}{m}\,V$

Phase 2 — rise: after the collision only gravity acts, so mechanical energy is conserved. All the kinetic energy becomes gravitational potential energy. $\tfrac{1}{2}(m+M)\,V^2 = (m+M)\,g\,h \quad\Rightarrow\quad V = \sqrt{2 g h}$ $V = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}20} = \sqrt{3{,}924} \approx 1{,}98\;\mathrm{m/s}$

Substituting $V$ into the phase-1 relation: $v = \frac{0{,}020 + 5}{0{,}020}\cdot 1{,}98 = 251 \cdot 1{,}98 \approx 497\;\mathrm{m/s}$ Result: $\ev{v \approx 497\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Inelastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy · Gravitational potential energy Skills: Conservation of momentum Objects: Ballistic pendulum · Bullet

Testo

Ammortizzatori salvavita. Spiega perché, in un urto frontale, gli ammortizzatori e la deformazione controllata della carrozzeria salvano vite. Argomenta in termini di impulso, durata dell’urto e forza media sul passeggero.

Soluzione

Nell’urto la variazione di quantità di moto del passeggero è fissata: dipende solo dalla massa e dalla velocità iniziale, che deve comunque azzerarsi. Questa variazione è l’impulso richiesto: $J = \Delta p = m\,\Delta v \quad (\text{fissato, non dipende da come si frena})$ L’impulso è anche forza media per durata: $J = F_\text{media}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad F_\text{media} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ Poiché $\Delta p$ è fisso, la forza media sul passeggero è inversamente proporzionale alla durata dell’urto: allungare $\Delta t$ riduce $F_\text{media}$ .

Senza ammortizzatori né deformazione, l’arresto è quasi istantaneo, $\Delta t \sim 2\;\text{ms}$ , e la forza è enorme. Con carrozzeria che si accartoccia e ammortizzatori, il tempo di arresto sale a $\Delta t \sim 50\;\text{ms}$ : lo stesso impulso viene spalmato in un tempo circa $25$ volte più lungo, quindi la forza di picco scende di circa $25$ volte, entro la soglia di sopravvivenza del corpo. Risultato: $\ev{\text{stesso } J, \text{ ma } \Delta t \times 25 \Rightarrow F_\text{media} \div 25}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Life-saving shock absorbers. Explain why, in a head-on collision, shock absorbers and controlled bodywork deformation save lives. Argue in terms of impulse, collision duration and average force on the passenger.

Solution

In the collision, the change in the passenger’s momentum is fixed: it depends only on the mass and the initial velocity, which must in any case go to zero. This change is the required impulse: $J = \Delta p = m\,\Delta v \quad (\text{fixed, independent of how braking happens})$ Impulse is also average force times duration: $J = F_\text{avg}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad F_\text{avg} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ Since $\Delta p$ is fixed, the average force on the passenger is inversely proportional to the duration of the collision: stretching $\Delta t$ reduces $F_\text{avg}$ .

Without shock absorbers or deformation, the stop is almost instantaneous, $\Delta t \sim 2\;\text{ms}$ , and the force is enormous. With crumpling bodywork and shock absorbers, the stopping time rises to $\Delta t \sim 50\;\text{ms}$ : the same impulse is spread over a time about $25$ times longer, so the peak force drops by about $25$ times, within the body’s survival threshold. Result: $\ev{\text{same } J, \text{ but } \Delta t \times 25 \Rightarrow F_\text{avg} \div 25}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Impulse · Momentum Skills: Symbolic setup

Testo

La palla che torna. Lanci una palla orizzontalmente contro un muro, la palla rimbalza elasticamente e torna verso di te. Discuti la variazione di quantità di moto della palla e l’impulso trasferito dal muro alla palla (e viceversa).

Soluzione

Prendi come positivo il verso di andata (verso il muro). La palla di massa $m$ arriva con velocità $+v$ e, essendo l’urto elastico, riparte con la stessa rapidità in verso opposto, $-v$ .

Variazione di quantità di moto della palla: $\Delta p = p_\text{fin} - p_\text{in} = m(-v) - m(+v) = -2mv$ Non è $0$ : il segno cambia, quindi la palla subisce una variazione grande, pari a due volte la quantità di moto iniziale in modulo.

Per il teorema dell’impulso, l’impulso che il muro esercita sulla palla è proprio questa variazione: $J_\text{muro} = \Delta p = -2mv$ Per la terza legge di Newton, la palla esercita sul muro un impulso uguale e opposto: $J_\text{palla} = +2mv$ Il muro (e la Terra a cui è vincolato) ha massa enormemente maggiore, quindi la sua variazione di velocità $\Delta V = J_\text{palla}/M_\text{muro}$ è trascurabile: resta praticamente fermo. Risultato: $\ev{\Delta p_\text{palla} = -2mv,\quad J_\text{muro\to palla} = -2mv,\quad J_\text{palla\to muro} = +2mv}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto · Terza legge di Newton · Urto elastico Competenze: Impostazione simbolica

Problem

The ball that comes back. You throw a ball horizontally against a wall, the ball bounces elastically and comes back towards you. Discuss the change in momentum of the ball and the impulse transferred from the wall to the ball (and vice versa).

Solution

Take the outward direction (towards the wall) as positive. The ball of mass $m$ arrives with velocity $+v$ and, since the collision is elastic, leaves with the same speed in the opposite direction, $-v$ .

Change in momentum of the ball: $\Delta p = p_\text{fin} - p_\text{in} = m(-v) - m(+v) = -2mv$ It is not $0$ : the sign flips, so the ball undergoes a large change, equal in magnitude to twice the initial momentum.

By the impulse-momentum theorem, the impulse the wall exerts on the ball is exactly this change: $J_\text{wall} = \Delta p = -2mv$ By Newton’s third law, the ball exerts an equal and opposite impulse on the wall: $J_\text{ball} = +2mv$ The wall (and the Earth to which it is anchored) has enormously greater mass, so its velocity change $\Delta V = J_\text{ball}/M_\text{wall}$ is negligible: it stays practically still. Result: $\ev{\Delta p_\text{ball} = -2mv,\quad J_\text{wall\to ball} = -2mv,\quad J_\text{ball\to wall} = +2mv}$

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Impulse · Momentum · Newton’s third law · Elastic collision Skills: Symbolic setup

Testo

Lettura grafico: $F(t)$ triangolare. Durante un urto, il grafico della forza in funzione del tempo è un triangolo con $F_\text{max} = 300\;\text{N}$ e durata $\Delta t = 20\;\text{ms}$ . Calcola l’impulso (come area sotto il grafico) e la variazione di velocità di una pallina di $100\;\text{g}$ .

Soluzione

Dati: $F_\text{max} = 300\;\text{N}$ , $\Delta t = 20\;\text{ms} = 0{,}020\;\text{s}$ , $m = 100\;\text{g} = 0{,}100\;\text{kg}$ .

L’impulso è l’area sotto la curva $F(t)$ . Il grafico è un triangolo di base $\Delta t$ e altezza $F_\text{max}$ : $J = \text{area} = \frac{1}{2}\cdot \text{base} \cdot \text{altezza} = \frac{1}{2}\cdot F_\text{max}\cdot \Delta t$ $J = \frac{1}{2}\cdot 300 \cdot 0{,}020 = 3{,}0\;\mathrm{N\,s}$

Per il teorema dell’impulso $J = \Delta p = m\,\Delta v$ , quindi: $\Delta v = \frac{J}{m} = \frac{3{,}0}{0{,}100} = 30\;\mathrm{m/s}$ Risultato: $\ev{J = 3{,}0\;\mathrm{N\,s},\quad \Delta v = 30\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto Competenze: Lettura dei grafici

Problem

Graph reading: triangular $F(t)$ . During a collision, the graph of force versus time is a triangle with $F_\text{max} = 300\;\text{N}$ and duration $\Delta t = 20\;\text{ms}$ . Calculate the impulse (as the area under the graph) and the change in velocity of a $100\;\text{g}$ ball.

Solution

Data: $F_\text{max} = 300\;\text{N}$ , $\Delta t = 20\;\text{ms} = 0{,}020\;\text{s}$ , $m = 100\;\text{g} = 0{,}100\;\text{kg}$ .

The impulse is the area under the curve $F(t)$ . The graph is a triangle with base $\Delta t$ and height $F_\text{max}$ : $J = \text{area} = \frac{1}{2}\cdot \text{base} \cdot \text{height} = \frac{1}{2}\cdot F_\text{max}\cdot \Delta t$ $J = \frac{1}{2}\cdot 300 \cdot 0{,}020 = 3{,}0\;\mathrm{N\,s}$

By the impulse–momentum theorem $J = \Delta p = m\,\Delta v$ , hence: $\Delta v = \frac{J}{m} = \frac{3{,}0}{0{,}100} = 30\;\mathrm{m/s}$ Result: $\ev{J = 3{,}0\;\mathrm{N\,s},\quad \Delta v = 30\;\mathrm{m/s}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Impulso · Quantità di moto Skills: Lettura dei grafici

Testo

Lettura grafico: $p(t)$ di un razzo. Un razzo accende i motori a $t = 0$ . Il grafico di $p(t)$ è una retta crescente per $30\;\text{s}$ , poi piatta per $20\;\text{s}$ , poi decrescente per $10\;\text{s}$ . Interpreta i tre regimi alla luce di $dp/dt = F_\text{netta}$ .

Soluzione

La chiave è la seconda legge di Newton in forma di quantità di moto: la pendenza del grafico $p(t)$ è la forza netta. $\frac{dp}{dt} = F_\text{netta}$

Fase 1 ( $0 \to 30\;\text{s}$ ), retta crescente: pendenza positiva e costante. $\frac{dp}{dt} > 0 \;\text{(costante)} \;\Rightarrow\; F_\text{netta} > 0 \;\text{costante}$ I motori danno una spinta costante: la quantità di moto cresce in modo lineare.

Fase 2 ( $30 \to 50\;\text{s}$ ), tratto piatto: pendenza nulla. $\frac{dp}{dt} = 0 \;\Rightarrow\; F_\text{netta} = 0$ Motori spenti e forze esterne trascurabili: il sistema è isolato e $p$ si conserva (resta costante).

Fase 3 ( $50 \to 60\;\text{s}$ ), retta decrescente: pendenza negativa. $\frac{dp}{dt} < 0 \;\Rightarrow\; F_\text{netta} < 0$ Una forza opposta al moto (frenata, resistenza o gravità di rientro) fa diminuire la quantità di moto. Risultato: $\ev{\text{fase 1: spinta costante} \;|\; \text{fase 2: isolato, } p \text{ costante} \;|\; \text{fase 3: } dp/dt < 0}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto · Impulso Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Razzo

Problem

Graph reading: $p(t)$ of a rocket. A rocket fires its engines at $t = 0$ . The graph of $p(t)$ is a rising straight line for $30\;\text{s}$ , then flat for $20\;\text{s}$ , then decreasing for $10\;\text{s}$ . Interpret the three regimes in light of $dp/dt = F_\text{net}$ .

Solution

The key is Newton’s second law in momentum form: the slope of the $p(t)$ graph is the net force. $\frac{dp}{dt} = F_\text{net}$

Phase 1 ( $0 \to 30\;\text{s}$ ), rising straight line: positive, constant slope. $\frac{dp}{dt} > 0 \;\text{(constant)} \;\Rightarrow\; F_\text{net} > 0 \;\text{constant}$ The engines provide constant thrust: momentum increases linearly.

Phase 2 ( $30 \to 50\;\text{s}$ ), flat section: zero slope. $\frac{dp}{dt} = 0 \;\Rightarrow\; F_\text{net} = 0$ Engines off and external forces negligible: the system is isolated and $p$ is conserved (stays constant).

Phase 3 ( $50 \to 60\;\text{s}$ ), decreasing straight line: negative slope. $\frac{dp}{dt} < 0 \;\Rightarrow\; F_\text{net} < 0$ A force opposing the motion (braking, drag, or re-entry gravity) reduces the momentum. Result: $\ev{\text{phase 1: constant thrust} \;|\; \text{phase 2: isolated, } p \text{ constant} \;|\; \text{phase 3: } dp/dt < 0}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Quantità di moto · Impulso Skills: Lettura dei grafici Objects: Razzo

Testo

Stima Fermi: calcio a una palla. Stima l’impulso applicato da un calciatore su una palla in un tiro ben dato, sapendo che la palla parte da ferma e raggiunge $30\;\text{m/s}$ , con massa $0{,}45\;\text{kg}$ . Stima poi la forza media sul piede assumendo un tempo di contatto plausibile.

Soluzione

L’impulso è la variazione di quantità di moto della palla. Parte da ferma ( $v_\text{in}=0$ ) e arriva a $v_\text{fin}=30\;\text{m/s}$ : $J = \Delta p = m\,(v_\text{fin} - v_\text{in}) = 0{,}45 \cdot 30 = 13{,}5\;\mathrm{N\,s}$

Per la forza media serve il tempo di contatto. Il piede resta a contatto con la palla per una frazione piccola di secondo: stima $\Delta t \sim 10\;\text{ms} = 0{,}010\;\text{s}$ . $F_\text{media} = \frac{J}{\Delta t} \approx \frac{13{,}5}{0{,}010} = 1{,}35\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ Ordine di grandezza $\sim 10^3\;\text{N}$ : circa il peso di $130\;\text{kg}$ , plausibile per un calcio potente su tempi così brevi. Risultato: $\ev{J \approx 13{,}5\;\mathrm{N\,s},\quad F_\text{media} \sim 1{,}3\cdot 10^3\;\mathrm{N}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Impulso · Quantità di moto Competenze: Stime di Fermi

Problem

Fermi estimate: kicking a ball. Estimate the impulse applied by a footballer to a ball in a well-struck kick, knowing that the ball starts from rest and reaches $30\;\text{m/s}$ , with mass $0{,}45\;\text{kg}$ . Then estimate the average force on the foot assuming a plausible contact time.

Solution

The impulse is the change in momentum of the ball. It starts from rest ( $v_\text{in}=0$ ) and reaches $v_\text{fin}=30\;\text{m/s}$ : $J = \Delta p = m\,(v_\text{fin} - v_\text{in}) = 0{,}45 \cdot 30 = 13{,}5\;\mathrm{N\,s}$

The average force requires the contact time. The foot stays in contact with the ball for a small fraction of a second: estimate $\Delta t \sim 10\;\text{ms} = 0{,}010\;\text{s}$ . $F_\text{average} = \frac{J}{\Delta t} \approx \frac{13{,}5}{0{,}010} = 1{,}35\cdot 10^3\;\mathrm{N}$ Order of magnitude $\sim 10^3\;\text{N}$ : roughly the weight of $130\;\text{kg}$ , plausible for a powerful kick over such a short time. Result: $\ev{J \approx 13{,}5\;\mathrm{N\,s},\quad F_\text{average} \sim 1{,}3\cdot 10^3\;\mathrm{N}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Impulso · Quantità di moto Skills: Stime di Fermi

Testo

Stima Fermi: massa del proiettile. Una pistola di $1\;\text{kg}$ rincula a circa $3\;\text{m/s}$ quando spara un proiettile di calibro $9\;\text{mm}$ a velocità di canna $350\;\text{m/s}$ . Usa la conservazione di $\vv{p}$ per stimare la massa del proiettile e confrontala con i valori reali.

Soluzione

Prima dello sparo il sistema pistola + proiettile è fermo, quindi la quantità di moto totale è nulla. Lo sparo è come una piccola esplosione: le forze sono interne, quindi $\vv{p}$ totale si conserva e resta nulla. $p_\text{prima} = 0 = p_\text{dopo} = m_p v_p - M_g v_g$ dove $m_p$ , $v_p$ sono massa e velocità del proiettile e $M_g = 1\;\text{kg}$ , $v_g = 3\;\text{m/s}$ quelle del rinculo (verso opposto).

Ricavando la massa del proiettile: $m_p = \frac{M_g\, v_g}{v_p} = \frac{1 \cdot 3}{350} \approx 8{,}6\cdot 10^{-3}\;\mathrm{kg} = 8{,}6\;\mathrm{g}$ Un proiettile $9\;\text{mm}$ reale pesa tipicamente $7$ – $8\;\text{g}$ : la stima è del tutto coerente. Risultato: $\ev{m_p \approx 8{,}6\;\mathrm{g}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Competenze: Stime di Fermi Oggetti: Proiettile

Problem

Fermi estimate: mass of the bullet. A $1\;\text{kg}$ pistol recoils at about $3\;\text{m/s}$ when it fires a $9\;\text{mm}$ calibre bullet at a muzzle velocity of $350\;\text{m/s}$ . Use conservation of $\vv{p}$ to estimate the mass of the bullet and compare it with real values.

Solution

Before firing, the pistol + bullet system is at rest, so the total momentum is zero. Firing is like a small explosion: the forces are internal, so total $\vv{p}$ is conserved and remains zero. $p_\text{before} = 0 = p_\text{after} = m_p v_p - M_g v_g$ where $m_p$ , $v_p$ are the mass and velocity of the bullet and $M_g = 1\;\text{kg}$ , $v_g = 3\;\text{m/s}$ are those of the recoil (opposite direction).

Solving for the mass of the bullet: $m_p = \frac{M_g\, v_g}{v_p} = \frac{1 \cdot 3}{350} \approx 8{,}6\cdot 10^{-3}\;\mathrm{kg} = 8{,}6\;\mathrm{g}$ A real $9\;\text{mm}$ bullet typically weighs $7$ – $8\;\text{g}$ : the estimate is entirely consistent. Result: $\ev{m_p \approx 8{,}6\;\mathrm{g}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Conservazione della quantità di moto · Esplosione Skills: Stime di Fermi Objects: Proiettile

Testo

Stima Fermi: deviare un asteroide. Stima la variazione di velocità $\Delta v$ necessaria per deviare un asteroide di $10^9\;\text{kg}$ in modo che, dopo un anno di viaggio (distanza $\sim 10^9\;\text{km}$ ), si sposti lateralmente di $10^4\;\text{km}$ rispetto alla rotta di collisione con la Terra. Stima anche l’energia cinetica del solo $\Delta v$ .

Soluzione

L’idea: una piccola spinta laterale, applicata molto in anticipo, si accumula nel lungo tempo di viaggio in uno spostamento enorme. Lo spostamento laterale è $\Delta v$ per il tempo di volo: $d_\perp = \Delta v \cdot t \quad\Rightarrow\quad \Delta v = \frac{d_\perp}{t}$

Tempo di volo (un anno): $t \approx 1\;\text{anno} \approx 3{,}15\cdot 10^7\;\mathrm{s}$ Spostamento laterale richiesto: $d_\perp = 10^4\;\text{km} = 10^7\;\text{m}$ Quindi: $\Delta v = \frac{10^7}{3{,}15\cdot 10^7} \approx 0{,}3\;\mathrm{m/s}$

Energia cinetica associata al solo $\Delta v$ : $E = \tfrac{1}{2} m\, \Delta v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10^9 \cdot (0{,}3)^2 \approx 4{,}5\cdot 10^7\;\mathrm{J} \sim 5\cdot 10^7\;\mathrm{J}$ Energia modesta (poche decine di MJ, come un piccolo razzo): la vera chiave non è la potenza ma agire molto presto, così che $\Delta v$ minuscolo abbia tempo di produrre uno scarto enorme. Risultato: $\ev{\Delta v \approx 0{,}3\;\mathrm{m/s},\quad E \approx 5\cdot 10^7\;\mathrm{J}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Stime di Fermi

Problem

Fermi estimate: deflecting an asteroid. Estimate the change in velocity $\Delta v$ needed to deflect a $10^9\;\text{kg}$ asteroid so that, after a year of travel (distance $\sim 10^9\;\text{km}$ ), it shifts sideways by $10^4\;\text{km}$ relative to its collision course with Earth. Also estimate the kinetic energy of the $\Delta v$ alone.

Solution

The idea: a small sideways push, applied well in advance, accumulates over the long travel time into an enormous displacement. The sideways displacement is $\Delta v$ times the flight time: $d_\perp = \Delta v \cdot t \quad\Rightarrow\quad \Delta v = \frac{d_\perp}{t}$

Flight time (one year): $t \approx 1\;\text{year} \approx 3{,}15\cdot 10^7\;\mathrm{s}$ Required sideways displacement: $d_\perp = 10^4\;\text{km} = 10^7\;\mathrm{m}$ Hence: $\Delta v = \frac{10^7}{3{,}15\cdot 10^7} \approx 0{,}3\;\mathrm{m/s}$

Kinetic energy associated with the $\Delta v$ alone: $E = \tfrac{1}{2} m\, \Delta v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 10^9 \cdot (0{,}3)^2 \approx 4{,}5\cdot 10^7\;\mathrm{J} \sim 5\cdot 10^7\;\mathrm{J}$ Modest energy (a few tens of MJ, like a small rocket): the real key is not power but acting very early, so that a tiny $\Delta v$ has time to produce an enormous offset. Result: $\ev{\Delta v \approx 0{,}3\;\mathrm{m/s},\quad E \approx 5\cdot 10^7\;\mathrm{J}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Quantità di moto · Energia cinetica Skills: Stime di Fermi

Testo

Sfida: tre corpi in cascata. Una palla $A$ (massa $m$ , velocità $+v$ ) urta in linea retta una palla $B$ (massa $2m$ , ferma) che a sua volta urta una palla $C$ (massa $m$ , ferma). Entrambi gli urti sono elastici e avvengono in cascata. Calcola le velocità finali delle tre palle.

Soluzione

Per un urto elastico 1D con bersaglio fermo (massa $m_1$ che colpisce $m_2$ a riposo), conservazione di $\vv{p}$ ed energia cinetica danno: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$

Urto 1 — $A$ ( $m$ , $+v$ ) contro $B$ ( $2m$ , ferma): $m_1 = m$ , $m_2 = 2m$ . $v_A = \frac{m - 2m}{m + 2m}\,v = -\frac{1}{3}\,v$ $v_B' = \frac{2m}{m + 2m}\,v = \frac{2}{3}\,v$ $A$ rimbalza indietro; $B$ parte in avanti a $\tfrac{2}{3}v$ . $A$ non tocca più nulla, quindi $v_A = -v/3$ è definitivo.

Urto 2 — $B$ ( $2m$ , ora a $\tfrac{2}{3}v$ ) contro $C$ ( $m$ , ferma): $m_1 = 2m$ , $m_2 = m$ , velocità iniziale $\tfrac{2}{3}v$ . $v_B = \frac{2m - m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{2}{9}\,v$ $v_C = \frac{2\cdot 2m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{4}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{8}{9}\,v$ $B$ prosegue più lento di $C$ , quindi non lo raggiunge: gli urti sono finiti. Risultato: $\ev{v_A = -\frac{v}{3},\quad v_B = \frac{2v}{9},\quad v_C = \frac{8v}{9}}$

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Conservazione della quantità di moto

Problem

Challenge: three bodies in cascade. A ball $A$ (mass $m$ , velocity $+v$ ) collides in a straight line with a ball $B$ (mass $2m$ , at rest), which in turn collides with a ball $C$ (mass $m$ , at rest). Both collisions are elastic and happen in cascade. Calculate the final velocities of the three balls.

Solution

For a 1D elastic collision with a stationary target (mass $m_1$ hitting $m_2$ at rest), conservation of $\vv{p}$ and kinetic energy give: $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$

Collision 1 — $A$ ( $m$ , $+v$ ) against $B$ ( $2m$ , at rest): $m_1 = m$ , $m_2 = 2m$ . $v_A = \frac{m - 2m}{m + 2m}\,v = -\frac{1}{3}\,v$ $v_B' = \frac{2m}{m + 2m}\,v = \frac{2}{3}\,v$ $A$ bounces back; $B$ moves forward at $\tfrac{2}{3}v$ . $A$ no longer touches anything, so $v_A = -v/3$ is final.

Collision 2 — $B$ ( $2m$ , now at $\tfrac{2}{3}v$ ) against $C$ ( $m$ , at rest): $m_1 = 2m$ , $m_2 = m$ , initial velocity $\tfrac{2}{3}v$ . $v_B = \frac{2m - m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{2}{9}\,v$ $v_C = \frac{2\cdot 2m}{2m + m}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{4}{3}\cdot \frac{2}{3}v = \frac{8}{9}\,v$ $B$ continues slower than $C$ , so it never catches up: the collisions are finished. Result: $\ev{v_A = -\frac{v}{3},\quad v_B = \frac{2v}{9},\quad v_C = \frac{8v}{9}}$

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Skills: Conservazione della quantità di moto

Fisica — Liceo

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Esercizi — Quantità di moto e urti

Esercizi e problemi nel testo

Problemi di fine capitolo

Exercises and problems in the text

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