Il metodo delle due tabelle parallele

Nei problemi di urti ed esplosioni il modo più sistematico e sicuro di procedere è compilare due tabelle parallele — una per la quantità di moto, una per l’energia — e risolverle insieme. Questa sezione presenta il metodo e lo applica al caso raffinato dell’urto con molla in tre fasi.

• Le due tabelle parallele
• Urto con molla in tre fasi

In collision and explosion problems the most systematic and reliable way to proceed is to fill in two parallel tables — one for momentum, one for energy — and solve them together. This section presents the method and applies it to the refined case of the three-phase spring collision.

• Le due tabelle parallele
• Urto con molla in tre fasi

Nei problemi di urti ed esplosioni il metodo più sistematico e sicuro è compilare due tabelle parallele: una per la quantità di moto $\vv{p}$ e una per l’energia $E$. Le due tabelle si risolvono simultaneamente e forniscono insieme abbastanza equazioni per trovare tutte le incognite.

Principio — Metodo delle due tabelle

1. Tabella di $\vv{p}$: una colonna per ogni corpo, più la colonna $\vv{p}_\text{tot}$. Se non ci sono forze esterne impulsive, $\vv{p}_\text{tot}$ è lo stesso nella riga prima (A) e nella riga dopo (B).
2. Tabella di $E$: una colonna per ogni tipo di energia ($E_{\text{cin},1}$, $E_{\text{cin},2}$, e poi $E_\text{scoppio}$ oppure $E_\text{term}$), più la colonna $E_\text{tot}$, che si conserva.
3. Risolvere il sistema formato dalle due tabelle.

Le due tabelle parallele: $\vv{p}$ si conserva (vettoriale, fino a 2 equazioni in 2D), $E$ si conserva (scalare, 1 equazione). Insieme danno abbastanza equazioni per risolvere il problema.

Il vantaggio del metodo è che rende impossibile “dimenticare” un’equazione: la riga A e la riga B della colonna totale devono coincidere, e questa è la condizione di conservazione. La colonna "$E_?$" ospita l’energia che non è cinetica — l’$E_\text{scoppio}$ liberata in un’esplosione, oppure l’$E_\text{term}$ prodotta in un urto anelastico — e permette di trattare con la stessa impalcatura esplosioni, urti elastici e urti anelastici.

L’applicazione numerica completa è in Esercizio svolto — urto parzialmente anelastico.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

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In collision and explosion problems the most systematic and reliable method is to fill in two parallel tables: one for momentum $\vv{p}$ and one for energy $E$. The two tables are solved simultaneously and together provide enough equations to find all the unknowns.

Principle — Two-table method

1. Table of $\vv{p}$: one column for each body, plus the column $\vv{p}_\text{tot}$. If there are no impulsive external forces, $\vv{p}_\text{tot}$ is the same in the before row (A) and the after row (B).
2. Table of $E$: one column for each type of energy ($E_{\text{cin},1}$, $E_{\text{cin},2}$, and then $E_\text{scoppio}$ or $E_\text{term}$), plus the column $E_\text{tot}$, which is conserved.
3. Solve the system formed by the two tables.

The two parallel tables: $\vv{p}$ is conserved (vector, up to 2 equations in 2D), $E$ is conserved (scalar, 1 equation). Together they give enough equations to solve the problem.

The advantage of the method is that it makes it impossible to “forget” an equation: row A and row B of the total column must match, and this is the conservation condition. The column "$E_?$" holds the energy that is not kinetic — the $E_\text{scoppio}$ released in an explosion, or the $E_\text{term}$ produced in an inelastic collision — and lets explosions, elastic collisions and inelastic collisions be treated with the same scaffolding.

The full numerical application is in Esercizio svolto — urto parzialmente anelastico.

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Un caso affascinante è quello di due palle collegate (o separate) da una molla che collidono. La collisione avviene in tre fasi ben distinte, e seguirle una a una è il modo migliore per capire cosa succede davvero dentro un urto elastico.

Le tre fasi: avvicinamento (A), massima compressione (B, entrambe a $v_\text{CM}$), separazione (C, molla di nuovo a riposo).

La chiave è lo stato B di massima compressione. In quell’istante i due corpi hanno la stessa velocità: quella del centro di massa $v_\text{CM}$. Se avessero velocità diverse la distanza fra loro starebbe ancora cambiando, e la molla non sarebbe al massimo della compressione. Nel riferimento del centro di massa, allora, entrambi sono momentaneamente fermi: tutta l’energia cinetica interna (quella del moto relativo) si è trasformata in energia potenziale elastica della molla. È da questa uguaglianza — energia interna iniziale uguale a energia della molla — che si ricava la compressione massima.

Quando la molla si riespande e torna alla lunghezza a riposo (stato C), restituisce tutta l’energia: da A a C il processo complessivo è un urto elastico, e vale il trucco $v_{1A} + v_{1C} = v_{2A} + v_{2C}$ (inversione della velocità relativa).

Il calcolo completo con i numeri è in Esercizio svolto — collisione tramite molla.

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A fascinating case is that of two balls connected (or separated) by a spring that collide. The collision happens in three clearly distinct phases, and following them one by one is the best way to understand what really happens inside an elastic collision.

The three phases: approach (A), maximum compression (B, both at $v_\text{CM}$), separation (C, spring at rest again).

The key is state B, maximum compression. At that instant the two bodies have the same velocity: that of the centre of mass $v_\text{CM}$. If they had different velocities the distance between them would still be changing, and the spring would not be at maximum compression. In the centre-of-mass frame, then, both are momentarily at rest: all the internal kinetic energy (that of the relative motion) has turned into elastic potential energy of the spring. It is from this equality — initial internal energy equal to spring energy — that the maximum compression is found.

When the spring re-expands and returns to its rest length (state C), it gives back all the energy: from A to C the overall process is an elastic collision, and the trick $v_{1A} + v_{1C} = v_{2A} + v_{2C}$ (reversal of the relative velocity) holds.

The full calculation with numbers is in Esercizio svolto — collisione tramite molla.

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