Definizione e calcolo del CM

Il centro di massa è la media pesata delle posizioni di un sistema di corpi, con le masse come pesi. Qui lo definiamo e ne mostriamo il calcolo, il legame con il baricentro geometrico dei corpi omogenei, e la sua velocità come rapporto tra quantità di moto totale e massa totale.

• Definizione del centro di massa
• Baricentro geometrico
• La velocità del centro di massa

The centre of mass is the weighted average of the positions of a system of bodies, with the masses as weights. Here we define it and show its calculation, its connection to the geometric centroid of homogeneous bodies, and its velocity as the ratio of total momentum to total mass.

• Definizione del centro di massa
• Baricentro geometrico
• La velocità del centro di massa

Quando un sistema è composto da più oggetti, esiste un unico punto che ne riassume la posizione complessiva: il centro di massa (CM). Non è un punto qualsiasi, ma una media pesata delle posizioni dei corpi, in cui il peso di ciascuno è la sua massa. Un corpo più pesante “tira” il centro di massa verso di sé più di uno leggero.

Principio — Centro di massa

Per un sistema di $n$ corpi, il centro di massa ha posizione $\ev{\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{s}_1 + m_2\,\vec{s}_2 + \cdots + m_n\,\vec{s}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{s}_i}{M_{\text{tot}}}}$ È una media pesata delle posizioni, con le masse come pesi.

Il calcolo è vettoriale: si applica la formula separatamente a ogni componente ($x$, $y$, eventualmente $z$). Il denominatore è sempre la massa totale del sistema $M_{\text{tot}} = \sum_i m_i$.

Formula chiave

$\vec{s}_\text{CM} = \frac{\sum m_i\,\vec{s}_i}{M_\text{tot}}$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{\vec{p}_\text{tot}}{M_\text{tot}}$ $E_\text{pot,g} = M_\text{tot}\,g\,h_\text{CM}$

Esempio — Tre masse nel piano

$m_1 = 4\;\text{kg}$ in $(3,1)$, $m_2 = 1\;\text{kg}$ in $(1,0)$, $m_3 = 2\;\text{kg}$ in $(2,-2)$. La massa totale è $7\;\text{kg}$: $\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{4(3,1) + 1(1,0) + 2(2,-2)}{7} = \frac{(17,\; 0)}{7} = \left(\tfrac{17}{7},\; 0\right) \approx (2{,}43;\; 0)$ La componente $y$ si annulla perché i contributi verso l’alto ($m_1$) e verso il basso ($m_3$) si bilanciano.

La figura mostra come le masse più grandi spostino il CM verso di sé: il punto dorato (CM) è più vicino alla massa da $4\;\text{kg}$ che alle altre due.

Il centro di massa di tre masse puntiformi è la media pesata delle posizioni. Le masse più grandi “tirano” il CM verso di sé.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa Competenze: Calcolo del centro di massa

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il gatto sul carrello · Razzo che esplode a metà traiettoria · Disco con foro tangente

When a system is made up of several objects, there is a single point that summarises its overall position: the centre of mass (CM). It is not just any point, but a weighted average of the positions of the bodies, in which the weight of each is its mass. A heavier body “pulls” the centre of mass towards itself more than a lighter one.

Principle — Centre of mass

For a system of $n$ bodies, the centre of mass has position $\ev{\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{s}_1 + m_2\,\vec{s}_2 + \cdots + m_n\,\vec{s}_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\sum_i m_i\,\vec{s}_i}{M_{\text{tot}}}}$ It is a weighted average of the positions, with the masses as weights.

The calculation is vectorial: the formula is applied separately to each component ($x$, $y$, possibly $z$). The denominator is always the total mass of the system $M_{\text{tot}} = \sum_i m_i$.

Key formula

$\vec{s}_\text{CM} = \frac{\sum m_i\,\vec{s}_i}{M_\text{tot}}$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{\vec{p}_\text{tot}}{M_\text{tot}}$ $E_\text{pot,g} = M_\text{tot}\,g\,h_\text{CM}$

Example — Three masses in the plane

$m_1 = 4\;\text{kg}$ at $(3,1)$, $m_2 = 1\;\text{kg}$ at $(1,0)$, $m_3 = 2\;\text{kg}$ at $(2,-2)$. The total mass is $7\;\text{kg}$: $\vec{s}_{\text{CM}} = \frac{4(3,1) + 1(1,0) + 2(2,-2)}{7} = \frac{(17,\; 0)}{7} = \left(\tfrac{17}{7},\; 0\right) \approx (2{,}43;\; 0)$ The $y$ component vanishes because the upward contribution ($m_1$) and the downward one ($m_3$) balance each other.

The figure shows how larger masses pull the CM towards themselves: the gold point (CM) is closer to the $4\;\text{kg}$ mass than to the other two.

The centre of mass of three point masses is the weighted average of the positions. Larger masses “pull” the CM towards themselves.

Links

Topics: Centro di massa Concepts: Centro di massa Skills: Calcolo del centro di massa

Related exercises: Esercizio svolto — Il gatto sul carrello · Razzo che esplode a metà traiettoria · Disco con foro tangente

Per un corpo esteso con densità uniforme, il centro di massa non dipende più da come sono distribuite masse discrete, ma solo dalla forma geometrica. In questo caso il CM coincide con il baricentro geometrico: il centro della figura.

La regola pratica sfrutta le simmetrie della figura:

• per un cerchio o un rettangolo, il baricentro è il centro geometrico;
• per un triangolo, è l’intersezione delle mediane (a un terzo dell’altezza dalla base);
• più in generale, ogni asse di simmetria passa per il baricentro.

Questo semplifica enormemente il calcolo: invece di sommare infiniti contributi di massa, basta riconoscere la simmetria. Per corpi composti da parti regolari (un rettangolo con un semicerchio, per esempio) si trova il baricentro di ciascuna parte e poi si fa la media pesata dei baricentri usando le rispettive masse — esattamente come per le masse puntiformi.

Note

La densità uniforme è essenziale: se il materiale è più denso da un lato, il centro di massa si sposta verso quella parte, anche se la forma resta simmetrica. Il baricentro geometrico è il CM solo quando massa e volume sono distribuiti in modo proporzionale.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa Competenze: Calcolo del centro di massa

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il gatto sul carrello · Razzo che esplode a metà traiettoria · Disco con foro tangente

For an extended body with uniform density, the centre of mass no longer depends on how discrete masses are distributed, but only on the geometric shape. In this case the CM coincides with the geometric centroid: the centre of the figure.

The practical rule exploits the symmetries of the figure:

• for a circle or a rectangle, the centroid is the geometric centre;
• for a triangle, it is the intersection of the medians (one third of the height from the base);
• more generally, every axis of symmetry passes through the centroid.

This greatly simplifies the calculation: instead of summing infinitely many mass contributions, it is enough to recognise the symmetry. For bodies made up of regular parts (a rectangle with a semicircle, for example), the centroid of each part is found and then a weighted average of the centroids is taken using their respective masses — exactly as for point masses.

Note

Uniform density is essential: if the material is denser on one side, the centre of mass shifts towards that part, even if the shape remains symmetric. The geometric centroid is the CM only when mass and volume are distributed proportionally.

Links

Topics: Centro di massa Concepts: Centro di massa Skills: Calcolo del centro di massa

Related exercises: Esercizio svolto — Il gatto sul carrello · Razzo che esplode a metà traiettoria · Disco con foro tangente

Se il centro di massa è la media pesata delle posizioni, la sua velocità si ottiene semplicemente derivando rispetto al tempo la definizione. Poiché le masse sono costanti, la derivata passa dentro la somma e trasforma ogni posizione $\vec{s}_i$ nella corrispondente velocità $\vec{v}_i$:

$\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 + \cdots}{M_{\text{tot}}} = \frac{\vec{p}_{\text{tot}}}{M_{\text{tot}}}$

Il numeratore $\sum_i m_i \vec{v}_i$ è esattamente la quantità di moto totale del sistema. Quindi la velocità del centro di massa è la quantità di moto totale divisa per la massa totale: il CM si muove come un unico corpo che trasporta tutta la massa e tutta la quantità di moto del sistema.

Intuizione

Se la quantità di moto totale si conserva, la velocità del CM resta costante — anche durante un urto o un’esplosione! Le forze interne ridistribuiscono la quantità di moto tra le parti, ma non cambiano la somma, quindi $\vec{v}_\text{CM}$ non si accorge di nulla. Questa è la chiave che rende il centro di massa così potente.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Centro di massa · Quantità di moto · Conservazione della quantità di moto

Esercizi collegati: Due blocchi con molla e grafico del CM · Persona che cammina sulla barca · Razzo nello spazio profondo

If the centre of mass is the weighted average of the positions, its velocity is obtained simply by differentiating the definition with respect to time. Since the masses are constant, the derivative passes inside the sum and turns each position $\vec{s}_i$ into the corresponding velocity $\vec{v}_i$:

$\vec{v}_{\text{CM}} = \frac{m_1\,\vec{v}_1 + m_2\,\vec{v}_2 + \cdots}{M_{\text{tot}}} = \frac{\vec{p}_{\text{tot}}}{M_{\text{tot}}}$

The numerator $\sum_i m_i \vec{v}_i$ is exactly the total momentum of the system. So the velocity of the centre of mass is the total momentum divided by the total mass: the CM moves like a single body carrying all the mass and all the momentum of the system.

Intuition

If the total momentum is conserved, the velocity of the CM stays constant — even during a collision or an explosion! Internal forces redistribute momentum among the parts, but do not change the sum, so $\vec{v}_\text{CM}$ notices nothing. This is the key that makes the centre of mass so powerful.

Links

Topics: Centro di massa Concepts: Centro di massa · Quantità di moto · Conservazione della quantità di moto

Related exercises: Due blocchi con molla e grafico del CM · Persona che cammina sulla barca · Razzo nello spazio profondo