Composizione galileiana delle velocità

Per calcolare velocità rispetto a diversi sistemi di riferimento serve la composizione galileiana delle velocità. Invece di memorizzare formule, si usa uno schemino a frecce: un metodo grafico che rende automatico il cambio di riferimento, incluso quello — cruciale — del centro di massa.

• Lo schemino a frecce
• Il riferimento del centro di massa

To calculate velocities with respect to different reference frames you need the Galilean composition of velocities. Instead of memorising formulae, we use a little arrow diagram: a graphical method that makes changing frame automatic, including — crucially — the centre-of-mass frame.

• The arrow diagram
• The centre-of-mass frame

Per calcolare la velocità di un oggetto rispetto a un sistema di riferimento diverso serve la composizione galileiana delle velocità. Invece di memorizzare formule con pedici da girare a mente, conviene usare uno schemino a frecce: ogni oggetto (o sistema di riferimento) è un nodo, ogni freccia è una velocità nota, letta come “velocità dell’oggetto di partenza visto dall’oggetto d’arrivo”.

La notazione è la chiave: $\vec{v}_{X(Y)}$ significa “velocità di $X$ rispetto a $Y$”, cioè chi si muove tra parentesi c’è chi guarda.

Principio — Regola dello schemino a frecce

Per trovare la velocità di un oggetto $A$ rispetto a un osservatore $B$:

1. Disegnare un nodo per ogni oggetto/riferimento coinvolto.
2. Disegnare una freccia da $X$ a $Y$ con sopra scritta la velocità $\vec{v}_{X(Y)}$ (velocità di $X$ rispetto a $Y$), se la conosciamo.
3. Fare un percorso da $A$ a $B$ attraversando le frecce note. Per ogni freccia attraversata nel verso opposto, cambiare segno alla velocità.
4. La somma algebrica delle velocità lungo il percorso dà la velocità cercata $\vec{v}_{A(B)}$.

Il vantaggio è che non serve ricordare quale formula usare: si segue il cammino sul grafo e i segni si sistemano da soli. Attraversare una freccia “in avanti” somma la sua velocità; attraversarla “all’indietro” la sottrae.

Schemino a frecce per la composizione galileiana: ogni freccia è una velocità nota. Per trovare una velocità incognita si compone un percorso attraverso le frecce; le frecce attraversate all’indietro cambiano segno.

L’esercizio svolto Il gatto sul carrello applica lo schemino a un caso completo, incluso il passaggio al riferimento del centro di massa.

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Argomenti: Centro di massa Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Il gatto sul carrello · Razzo che esplode a metà traiettoria · Dimostrazione del teorema di König

To calculate the velocity of an object relative to a different reference frame, we need the Galilean composition of velocities. Instead of memorising formulas with subscripts to flip around in your head, it is convenient to use an arrow diagram: each object (or reference frame) is a node, each arrow is a known velocity, read as “velocity of the starting object as seen from the arrival object”.

The notation is the key: $\vec{v}_{X(Y)}$ means “velocity of $X$ relative to $Y$”, i.e. who is moving is outside the brackets, who is watching is inside.

Principle — Arrow diagram rule

To find the velocity of an object $A$ relative to an observer $B$:

1. Draw a node for each object/reference frame involved.
2. Draw an arrow from $X$ to $Y$ labelled with the velocity $\vec{v}_{X(Y)}$ (velocity of $X$ relative to $Y$), if we know it.
3. Follow a path from $A$ to $B$ across the known arrows. For every arrow crossed in the opposite direction, flip the sign of the velocity.
4. The algebraic sum of the velocities along the path gives the required velocity $\vec{v}_{A(B)}$.

The advantage is that there is no need to remember which formula to use: just follow the path on the graph and the signs sort themselves out. Crossing an arrow “forwards” adds its velocity; crossing it “backwards” subtracts it.

Arrow diagram for the Galilean composition: each arrow is a known velocity. To find an unknown velocity, compose a path across the arrows; arrows crossed backwards flip sign.

The worked exercise Il gatto sul carrello applies the arrow diagram to a complete case, including the switch to the centre-of-mass reference frame.

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Lo schemino a frecce si riassume in due formule generali, valide per qualsiasi terna di oggetti $A$, $B$, $C$:

Formule generali

$\vec{v}_{A(B)} = \vec{v}_{A(C)} + \vec{v}_{C(B)}$ $\vec{v}_{A(B)} = -\vec{v}_{B(A)}$

La prima è la composizione (si passa attraverso un terzo oggetto $C$); la seconda dice che invertire chi guarda cambia solo il segno.

Un caso particolarmente utile è il sistema di riferimento del centro di massa (SRCM): l’osservatore che si muove insieme al CM, con velocità $\vec{v}_\text{CM}$. In questo riferimento la velocità di ciascun corpo diventa la sua velocità relativa al CM:

Nel riferimento del CM

$\vec{v}_{i(\text{CM})} = \vec{v}_i - \vec{v}_{\text{CM}}$

Questo riferimento ha una proprietà notevole: la quantità di moto totale misurata nel SRCM è sempre nulla. Infatti $\sum_i m_i \vec{v}_{i(\text{CM})} = \sum_i m_i \vec{v}_i - M_\text{tot}\vec{v}_\text{CM} = \vec{p}_\text{tot} - \vec{p}_\text{tot} = \vec{0}$. È naturale: l’osservatore si muove proprio alla velocità con cui viaggia la quantità di moto complessiva, quindi “vede” il sistema fermo nel suo insieme. Il SRCM è il riferimento privilegiato per analizzare urti, esplosioni e la scomposizione dell’energia cinetica.

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The little arrow diagram boils down to two general formulae, valid for any triple of objects $A$, $B$, $C$:

General formulae

$\vec{v}_{A(B)} = \vec{v}_{A(C)} + \vec{v}_{C(B)}$ $\vec{v}_{A(B)} = -\vec{v}_{B(A)}$

The first is composition (you pass through a third object $C$); the second says that swapping who is observing only flips the sign.

A particularly useful case is the centre-of-mass reference frame (CMRF): the observer moving together with the CM, with velocity $\vec{v}_\text{CM}$. In this frame, the velocity of each body becomes its velocity relative to the CM:

In the CM frame

$\vec{v}_{i(\text{CM})} = \vec{v}_i - \vec{v}_{\text{CM}}$

This frame has a remarkable property: the total momentum measured in the CMRF is always zero. Indeed $\sum_i m_i \vec{v}_{i(\text{CM})} = \sum_i m_i \vec{v}_i - M_\text{tot}\vec{v}_\text{CM} = \vec{p}_\text{tot} - \vec{p}_\text{tot} = \vec{0}$. This is natural: the observer moves at exactly the velocity at which the overall momentum travels, so it “sees” the system at rest as a whole. The CMRF is the privileged frame for analysing collisions, explosions and the decomposition of kinetic energy.

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