Le proprietà riassunte nel centro di massa

Il centro di massa è un vero corpo immaginario in cui alcune grandezze del sistema si riassumono completamente, come se tutta la massa fosse concentrata lì. Altre invece si scompongono in un contributo “del CM” e uno “interno”. Qui vediamo lo schema completo e un’avvertenza importante sull’energia interna gravitazionale.

• Grandezze riassunte e scomposte
• Energia interna del sistema

The centre of mass is a genuine imaginary body in which some of the system’s quantities are fully summarised, as if the whole mass were concentrated there. Others instead decompose into a “CM” contribution and an “internal” one. Here we see the full picture and an important warning about internal gravitational energy.

• Summarised and decomposed quantities
• Internal energy of the system

Il centro di massa non è solo un punto geometrico: è un vero e proprio corpo immaginario in cui si possono riassumere alcune grandezze del sistema, come se tutta la massa fosse concentrata lì. Altre grandezze, invece, si dividono in due parti: un contributo “del CM” e uno “interno”, relativo al CM.

Principio — Grandezze riassunte nel CM

Il centro di massa ha:

1. massa $M_{\text{CM}} = M_{\text{tot}}$, uguale alla massa totale del sistema;
2. quantità di moto $\vec{p}_{\text{CM}} = \vec{p}_{\text{tot}}$, uguale alla quantità di moto totale;
3. energia potenziale gravitazionale $E_{\text{pot,g,CM}} = M_{\text{tot}}\,g\,h_{\text{CM}}$, uguale all’$E_\text{pot,g}$ totale.

Queste tre grandezze si riassumono totalmente: il CM le porta tutte con sé, e non resta nulla di “interno”.

Altre grandezze — energia cinetica e momento angolare — non si riassumono completamente, ma si scompongono in due contributi:

• il contributo “del CM”, calcolato pensando al CM come un punto materiale di massa $M_\text{tot}$;
• il contributo interno, calcolato nel SR del CM, dove le velocità sono relative al CM:

$E_\text{cin,tot} = E_\text{cin,CM} + E_\text{cin,int} \qquad \vec{L}_\text{tot} = \vec{L}_\text{CM} + \vec{L}_\text{int}$

Schema riassuntivo delle grandezze del CM. Massa, quantità di moto ed $E_\text{pot,g}$ sono completamente riassunte nel CM. Energia cinetica e momento angolare hanno invece un termine “del CM” e uno “interno”.

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The centre of mass is not just a geometric point: it is a genuine imaginary body in which some quantities of the system can be summarised, as if the whole mass were concentrated there. Other quantities, instead, split into two parts: a “CM” contribution and an “internal” one, relative to the CM.

Principle — Quantities summarised in the CM

The centre of mass has:

1. mass $M_{\text{CM}} = M_{\text{tot}}$, equal to the system’s total mass;
2. momentum $\vec{p}_{\text{CM}} = \vec{p}_{\text{tot}}$, equal to the total momentum;
3. gravitational potential energy $E_{\text{pot,g,CM}} = M_{\text{tot}}\,g\,h_{\text{CM}}$, equal to the total $E_\text{pot,g}$.

These three quantities are summarised totally: the CM carries all of them, and nothing “internal” is left over.

Other quantities — kinetic energy and angular momentum — are not fully summarised, but decompose into two contributions:

• the “CM” contribution, computed by treating the CM as a point mass $M_\text{tot}$;
• the internal contribution, computed in the CM frame, where velocities are relative to the CM:

$E_\text{cin,tot} = E_\text{cin,CM} + E_\text{cin,int} \qquad \vec{L}_\text{tot} = \vec{L}_\text{CM} + \vec{L}_\text{int}$

Summary diagram of the CM’s quantities. Mass, momentum and $E_\text{pot,g}$ are fully summarised in the CM. Kinetic energy and angular momentum instead have both a “CM” term and an “internal” one.

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Si chiama energia interna di un sistema la sua energia totale meno l’energia del CM. È la parte di energia che resta quando ci si mette nel riferimento del centro di massa e si “sottrae” il moto d’insieme. Ma bisogna fare attenzione a cosa vi rientra davvero.

Attenzione — L'energia gravitazionale non è interna

L’$E_\text{pot,g}$ totale coincide con $M_\text{tot}\,g\,h_\text{CM}$: è quindi completamente riassunta nel CM. Di conseguenza, quando si calcola l’energia interna (energia totale meno energia del CM), l’energia potenziale gravitazionale non compare nell’energia interna, perché è già stata tutta sottratta come parte dell’energia del CM.

Che cosa contiene allora l’energia interna? Tre tipi di contributi, tutti legati a ciò che accade dentro il sistema, indipendentemente da dove si trovi e da come si muova nel suo complesso:

• l’energia cinetica interna (moto delle parti relativo al CM);
• le energie potenziali interne (molle tra le parti, forze elettrostatiche tra i componenti del sistema);
• l’energia termica.

L’idea guida è la separazione tra il “moto collettivo” del sistema (catturato dal CM) e la sua “vita interna” (catturata dall’energia interna). La gravità agisce sul sistema come un tutto — attraverso il suo baricentro — e per questo appartiene al primo gruppo, non al secondo.

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A system’s internal energy is defined as its total energy minus the CM’s energy. It is the part of the energy left over once you move into the centre-of-mass frame and “subtract” the overall motion. But you must be careful about what actually belongs to it.

Warning — Gravitational energy is not internal

The total $E_\text{pot,g}$ coincides with $M_\text{tot}\,g\,h_\text{CM}$: it is therefore fully summarised in the CM. Consequently, when calculating internal energy (total energy minus CM energy), gravitational potential energy does not appear in the internal energy, because it has already been entirely subtracted as part of the CM’s energy.

So what does internal energy contain? Three types of contribution, all tied to what happens inside the system, regardless of where it is or how it moves as a whole:

• internal kinetic energy (motion of the parts relative to the CM);
• internal potential energies (springs between the parts, electrostatic forces between the system’s components);
• thermal energy.

The guiding idea is the separation between the system’s “collective motion” (captured by the CM) and its “internal life” (captured by the internal energy). Gravity acts on the system as a whole — through its centre of gravity — and for this reason belongs to the first group, not the second.

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