Momento angolare

Il momento angolare è la grandezza rotazionale analoga alla quantità di moto. Come l’energia cinetica, anche il momento angolare di un sistema si scompone in un contributo “del CM” (orbitale) e uno “interno” (spin), con una legge di conservazione quando i momenti esterni sono nulli.

• Momento angolare
• Teorema di König per il momento angolare

Angular momentum is the rotational quantity analogous to momentum. Like kinetic energy, a system’s angular momentum also decomposes into a “CM” contribution (orbital) and an “internal” one (spin), with a conservation law when the external moments are zero.

• Angular momentum
• König’s theorem for angular momentum

Il momento angolare è alla rotazione ciò che la quantità di moto è alla traslazione: misura “quanto” un corpo sta ruotando attorno a un punto, tenendo conto sia della sua quantità di moto sia di quanto passa lontano dal punto.

Principio — Momento angolare

Il momento angolare di un corpo rispetto a un punto O è $\ev{\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\,\vec{v})}$

Il prodotto vettoriale $\vec{r} \times \vec{p}$ dice che contano tre cose: la quantità di moto $\vec{p}$, la distanza $r$ dal punto O, e l’angolo tra i due. Un corpo che si muove dritto verso il punto O (o dritto via da esso) ha momento angolare nullo rispetto a O, perché $\vec{r}$ e $\vec{p}$ sono paralleli. Il momento angolare è massimo quando il moto è perpendicolare al raggio, cioè quando il corpo “gira attorno” al punto.

In due dimensioni, con $\vec{r} = (x, y)$ e $\vec{p} = (p_x, p_y)$, il prodotto vettoriale ha una sola componente (perpendicolare al piano):

$L = x\,p_y - y\,p_x$

Come per la quantità di moto e l’energia cinetica, il momento angolare dipende dalla scelta del polo O e del sistema di riferimento — ed è proprio questa dipendenza a rendere naturale la scomposizione del prossimo atomo.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Momento angolare · Quantità di moto

Esercizi collegati: Il tuffatore che ruota · Velocità e quantità di moto del CM · Trovare le masse dal CM

Angular momentum is to rotation what momentum is to translation: it measures “how much” a body is rotating about a point, taking into account both its momentum and how far it passes from the point.

Principle — Angular momentum

The angular momentum of a body about a point O is $\ev{\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\,\vec{v})}$

The cross product $\vec{r} \times \vec{p}$ tells us that three things matter: the momentum $\vec{p}$, the distance $r$ from point O, and the angle between the two. A body moving straight towards point O (or straight away from it) has zero angular momentum about O, because $\vec{r}$ and $\vec{p}$ are parallel. Angular momentum is maximum when the motion is perpendicular to the radius, i.e. when the body “goes around” the point.

In two dimensions, with $\vec{r} = (x, y)$ and $\vec{p} = (p_x, p_y)$, the cross product has just one component (perpendicular to the plane):

$L = x\,p_y - y\,p_x$

Like momentum and kinetic energy, angular momentum depends on the choice of pole O and reference frame — and it is precisely this dependence that makes the decomposition in the next note natural.

Links

Topics: Centre of mass Concepts: Angular momentum · Momentum

Related exercises: The rotating diver · Velocity and momentum of the CM · Finding the masses from the CM

Come l’energia cinetica, anche il momento angolare di un sistema di più corpi si scompone in un contributo “del CM” e uno “interno”.

Legge — Teorema di König per il momento angolare

$\ev{\vec{L}_{\text{tot}} = \underbrace{\vec{r}_{\text{CM}}\times\vec{p}_{\text{tot}}}_{\vec{L}_{\text{CM}}} + \underbrace{\sum_i \vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'}_{\vec{L}_{\text{int}}}}$ dove $\vec{r}_i' = \vec{r}_i - \vec{r}_\text{CM}$ e $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}$ sono posizione e velocità di ciascun corpo relative al CM.

Le due parti hanno interpretazioni distinte. $\vec{L}_\text{CM}$ (il momento angolare orbitale): geometricamente è il momento angolare di un punto materiale fittizio posto in $\vec{r}_\text{CM}$ che trasporta tutta la massa $M_\text{tot}$ e tutta la quantità di moto $\vec{p}_\text{tot}$; praticamente, se il sistema non ruota attorno al proprio CM, tutto $\vec{L}_\text{tot}$ si riduce a $\vec{L}_\text{CM}$.

$\vec{L}_\text{int}$ (il momento angolare di spin): geometricamente è “come ruotano le parti interne del sistema” attorno al CM — pensate a uno yo-yo in volo, il cui $\vec{L}_\text{int}$ è lo spin dello yo-yo. Per un corpo rigido che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ attorno al proprio CM vale $\vec{L}_\text{int} = I_\text{CM}\,\vec{\omega}$, con $I_\text{CM}$ momento d’inerzia rispetto al CM.

Se il momento totale delle forze esterne è nullo, il momento angolare totale si conserva:

$\sum\vec{M}_{\text{ext}} = \vec{0} \;\Rightarrow\; \vec{L}_{\text{tot}} = \text{costante}$

Contesto — Il doppio momento angolare della Terra

La Terra possiede sia un momento angolare orbitale ($\vec{L}_\text{CM}$: il moto attorno al Sole) sia un momento angolare di spin ($\vec{L}_\text{int}$: la rotazione attorno al proprio asse). Entrambi si conservano, il che spiega perché la Terra continua a ruotare: nessuna forza esterna significativa applica un momento frenante.

Esempio — Due palline in moto

$m_1 = 4\;\text{kg}$ in $\vec{r}_1 = (-1, 1)$ con $\vec{v}_1 = (0, 3)\;\text{m/s}$; $m_2 = 5\;\text{kg}$ in $\vec{r}_2 = (2, -2)$ con $\vec{v}_2 = (6\cos 45^\circ, -6\sin 45^\circ) = (4{,}24;\; -4{,}24)$.

Centro di massa: $\vec{r}_\text{CM} = \frac{4(-1,1) + 5(2,-2)}{9} = \frac{(6,\, -6)}{9} = (0{,}67;\; -0{,}67)$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{4(0,3) + 5(4{,}24;\,-4{,}24)}{9} = \frac{(21{,}2;\; -9{,}2)}{9} = (2{,}35;\; -1{,}02)$

$\vec{L}_\text{CM}$ rispetto all’origine ($\vec{p}_\text{tot} = M_\text{tot}\vec{v}_\text{CM} = (21{,}2;\, -9{,}2)$): $L_\text{CM} = x_\text{CM}\,p_y - y_\text{CM}\,p_x = 0{,}67\cdot(-9{,}2) - (-0{,}67)\cdot 21{,}2 = -6{,}16 + 14{,}2 = 8{,}04$

$\vec{L}_\text{int}$: dalle velocità relative $\vec{v}_1' = (0,3) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (-2{,}35;\, 4{,}02)$ e $\vec{v}_2' = (4{,}24;\,-4{,}24) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (1{,}89;\, -3{,}22)$, e dalle posizioni relative, si calcolano i prodotti vettoriali $\vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'$ e se ne fa la somma.

Il centro di massa e il momento angolare sono gli strumenti che ci permettono di passare dalla meccanica del punto materiale alla meccanica dei corpi rigidi e dei sistemi rotanti, argomento del prossimo capitolo.

Collegamenti

Argomenti: Centro di massa Concetti: Momento angolare · Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Competenze: Scelta del polo

Esercizi collegati: Il tuffatore che ruota · Problema — Momento angolare di rotazione propria della Terra · Problema — Ranking di ω a parità di momento angolare

Like kinetic energy, the angular momentum of a system of several bodies also decomposes into a “CM” contribution and an “internal” one.

Law — König's theorem for angular momentum

$\ev{\vec{L}_{\text{tot}} = \underbrace{\vec{r}_{\text{CM}}\times\vec{p}_{\text{tot}}}_{\vec{L}_{\text{CM}}} + \underbrace{\sum_i \vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'}_{\vec{L}_{\text{int}}}}$ where $\vec{r}_i' = \vec{r}_i - \vec{r}_\text{CM}$ and $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}$ are the position and velocity of each body relative to the CM.

The two parts have distinct interpretations. $\vec{L}_\text{CM}$ (the orbital angular momentum): geometrically it is the angular momentum of a fictitious point mass placed at $\vec{r}_\text{CM}$ carrying the whole mass $M_\text{tot}$ and the whole momentum $\vec{p}_\text{tot}$; practically, if the system is not rotating about its own CM, the whole of $\vec{L}_\text{tot}$ reduces to $\vec{L}_\text{CM}$.

$\vec{L}_\text{int}$ (the spin angular momentum): geometrically it is “how the system’s internal parts rotate” about the CM — think of a yo-yo in flight, whose $\vec{L}_\text{int}$ is the yo-yo’s spin. For a rigid body rotating with angular velocity $\vec{\omega}$ about its own CM, $\vec{L}_\text{int} = I_\text{CM}\,\vec{\omega}$, where $I_\text{CM}$ is the moment of inertia about the CM.

If the total moment of the external forces is zero, the total angular momentum is conserved:

$\sum\vec{M}_{\text{ext}} = \vec{0} \;\Rightarrow\; \vec{L}_{\text{tot}} = \text{constant}$

Context — Earth's dual angular momentum

The Earth possesses both an orbital angular momentum ($\vec{L}_\text{CM}$: motion around the Sun) and a spin angular momentum ($\vec{L}_\text{int}$: rotation about its own axis). Both are conserved, which explains why the Earth keeps rotating: no significant external force applies a braking moment.

Example — Two balls in motion

$m_1 = 4\;\text{kg}$ at $\vec{r}_1 = (-1, 1)$ with $\vec{v}_1 = (0, 3)\;\text{m/s}$; $m_2 = 5\;\text{kg}$ at $\vec{r}_2 = (2, -2)$ with $\vec{v}_2 = (6\cos 45^\circ, -6\sin 45^\circ) = (4{,}24;\; -4{,}24)$.

Centre of mass: $\vec{r}_\text{CM} = \frac{4(-1,1) + 5(2,-2)}{9} = \frac{(6,\, -6)}{9} = (0{,}67;\; -0{,}67)$ $\vec{v}_\text{CM} = \frac{4(0,3) + 5(4{,}24;\,-4{,}24)}{9} = \frac{(21{,}2;\; -9{,}2)}{9} = (2{,}35;\; -1{,}02)$

$\vec{L}_\text{CM}$ about the origin ($\vec{p}_\text{tot} = M_\text{tot}\vec{v}_\text{CM} = (21{,}2;\, -9{,}2)$): $L_\text{CM} = x_\text{CM}\,p_y - y_\text{CM}\,p_x = 0{,}67\cdot(-9{,}2) - (-0{,}67)\cdot 21{,}2 = -6{,}16 + 14{,}2 = 8{,}04$

$\vec{L}_\text{int}$: from the relative velocities $\vec{v}_1' = (0,3) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (-2{,}35;\, 4{,}02)$ and $\vec{v}_2' = (4{,}24;\,-4{,}24) - (2{,}35;\,-1{,}02) = (1{,}89;\, -3{,}22)$, and from the relative positions, you compute the cross products $\vec{r}_i'\times m_i\vec{v}_i'$ and sum them.

The centre of mass and angular momentum are the tools that let us pass from point-mass mechanics to the mechanics of rigid bodies and rotating systems, the subject of the next chapter.

Links

Topics: Centre of mass Concepts: Angular momentum · Conservation of angular momentum · Moment of inertia Skills: Choice of pole

Related exercises: The rotating diver · Problem — Angular momentum of the Earth’s own rotation · Problem — Ranking ω for equal angular momentum