Proiettile contro asta: tre casi a confronto

È forse il più istruttivo di tutti i problemi di meccanica rotazionale: lo stesso schema fisico — un proiettile che urta un’asta — dà luogo a tre problemi completamente diversi a seconda di due scelte: l’asta è incernierata o libera? l’urto è anelastico o elastico? A seconda delle risposte cambiano quali grandezze si conservano, e quindi quante equazioni abbiamo e quali incognite possiamo determinare. Questa sezione confronta i tre casi sullo stesso schema, poi trae le regole generali su quando usare $L = I\omega$ e $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$.

• Lo schema comune
• Caso 1: urto anelastico con asta incernierata
• Caso 2: urto elastico con asta incernierata
• Caso 3: urto elastico con asta libera su rotaia
• Riepilogo delle conservazioni
• Quando usare L = Iω e Ecin = ½Iω²
• Disco con fune che si svolge
• La pattinatrice che tira le braccia

Prova tu — simulazione interattiva

This is perhaps the most instructive of all rotational-mechanics problems: the same physical setup — a projectile striking a rod — gives rise to three completely different problems depending on two choices: is the rod pivoted or free? is the collision inelastic or elastic? Depending on the answers, which quantities are conserved changes, and hence how many equations we have and which unknowns we can determine. This section compares the three cases on the same setup, then draws the general rules for when to use $L = I\omega$ and $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$.

• The common setup
• Case 1: inelastic collision with pivoted rod
• Case 2: elastic collision with pivoted rod
• Case 3: elastic collision with rod free on a rail
• Summary of the conservation laws
• When to use L = Iω and Ecin = ½Iω²
• Disc with an unwinding string
• The skater who pulls in her arms

Try it — interactive simulation

Analizziamo tre problemi diversi sullo stesso schema fisico, per poterli confrontare. Un proiettile ($m_p = 0{,}3\;\mathrm{kg}$, $v_A = 900\;\mathrm{m/s}$) viaggia orizzontalmente e colpisce un’asta uniforme ($M = 4\;\mathrm{kg}$, $L = 2\;\mathrm{m}$) inizialmente ferma, colpendola a uno dei suoi estremi.

Due interruttori generano i tre casi:

1. l’asta è incernierata all’altro estremo (non può traslare) oppure libera di scorrere su una rotaia liscia?
2. l’urto è anelastico (il proiettile si conficca) oppure elastico (il proiettile rimbalza)?

Nei casi 1 e 2 l’asta è incernierata; nel caso 3 è libera. Cambiando queste condizioni cambiano quali grandezze si conservano — quantità di moto, energia cinetica, momento angolare — e con esse il numero di equazioni e di incognite del problema.

I tre casi del problema proiettile–asta. Nei casi 1 e 2 l’asta è incernierata; nel caso 3 il cardine scorre liberamente su una rotaia orizzontale. Negli urti elastici (2 e 3) il proiettile rimbalza senza conficcarsi.

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Let us analyse three different problems built on the same physical setup, so that they can be compared. A projectile ($m_p = 0{,}3\;\mathrm{kg}$, $v_A = 900\;\mathrm{m/s}$) travels horizontally and strikes a uniform rod ($M = 4\;\mathrm{kg}$, $L = 2\;\mathrm{m}$) initially at rest, hitting one of its ends.

Two switches generate the three cases:

1. is the rod hinged at the other end (it cannot translate) or free to slide on a frictionless rail?
2. is the collision inelastic (the projectile embeds itself) or elastic (the projectile bounces off)?

In cases 1 and 2 the rod is hinged; in case 3 it is free. Changing these conditions changes which quantities are conserved — momentum, kinetic energy, angular momentum — and with them the number of equations and unknowns in the problem.

The three cases of the projectile–rod problem. In cases 1 and 2 the rod is hinged; in case 3 the hinge slides freely on a horizontal rail. In the elastic collisions (2 and 3) the projectile bounces off without embedding itself.

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L’asta è incernierata e il proiettile vi si conficca. Prima di calcolare qualsiasi cosa, la domanda decisiva è: cosa si conserva e cosa no?

• Il momento angolare rispetto al cardine si conserva: la reazione vincolare del cardine ha braccio zero rispetto al cardine stesso, quindi non fa momento.
• La quantità di moto non si conserva: la reazione vincolare impulsiva del cardine trasmette un impulso esterno al sistema.
• L’energia cinetica non si conserva: l’urto è anelastico, parte dell’energia diventa termica.

Polo: il cardine

Il cardine è l’unica scelta ragionevole. Rispetto a qualsiasi altro polo, la reazione del cardine avrebbe braccio non nullo e contribuirebbe con un impulso angolare esterno, rendendo il momento angolare non conservato.

Una incognita ($\omega$, la velocità angolare dopo l’urto con proiettile conficcato) e una equazione (conservazione di $L$ rispetto al cardine):

$\underbrace{m_p v_A L}_{L^A} = \underbrace{I_\text{tot}\,\omega}_{L^B}$

Il momento d’inerzia del sistema (asta + proiettile puntiforme all’estremo) rispetto al cardine è

$I_\text{tot} = \tfrac{1}{3}ML^2 + m_p L^2 = \tfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 4 + 0{,}3\cdot 4 = 5{,}33 + 1{,}2 = 6{,}53\;\mathrm{kg\,m^2}$

da cui

$\omega = \frac{m_p v_A L}{I_\text{tot}} = \frac{0{,}3\cdot 900\cdot 2}{6{,}53} \approx 82{,}7\;\mathrm{rad/s}$

L’energia dice quanto violento sia stato l’urto:

$E_\text{cin,A} = \tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}3\cdot 810\,000 = 121\,500\;\mathrm{J}$

$E_\text{cin,B} = \tfrac{1}{2}I_\text{tot}\omega^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}53\cdot 82{,}7^2 \approx 22\,320\;\mathrm{J}$

$E_\text{termica} = 121\,500 - 22\,320 \approx 99\,180\;\mathrm{J}$

Circa l’82% dell’energia cinetica iniziale è andato in calore: è il marchio di un urto fortemente anelastico.

Corpo inchiodato in un punto fisso

Per un corpo rigido incernierato in un punto $P$ fisso si può usare direttamente $L = I_P\,\omega$ e $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$, dove $I_P$ è il momento d’inerzia rispetto a $P$ (non al centro di massa).

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The rod is hinged and the projectile embeds itself in it. Before calculating anything, the decisive question is: what is conserved and what isn’t?

• Angular momentum about the hinge is conserved: the hinge’s constraint reaction has zero arm about the hinge itself, so it produces no moment.
• Momentum is not conserved: the hinge’s impulsive constraint reaction transmits an external impulse to the system.
• Kinetic energy is not conserved: the collision is inelastic, part of the energy turns into heat.

Pole: the hinge

The hinge is the only sensible choice. About any other pole, the hinge’s reaction would have a non-zero arm and would contribute an external angular impulse, making angular momentum non-conserved.

One unknown ($\omega$, the angular velocity after the collision with the embedded projectile) and one equation (conservation of $L$ about the hinge):

$\underbrace{m_p v_A L}_{L^A} = \underbrace{I_\text{tot}\,\omega}_{L^B}$

The system’s moment of inertia (rod + point-like projectile at the end) about the hinge is

$I_\text{tot} = \tfrac{1}{3}ML^2 + m_p L^2 = \tfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 4 + 0{,}3\cdot 4 = 5{,}33 + 1{,}2 = 6{,}53\;\mathrm{kg\,m^2}$

from which

$\omega = \frac{m_p v_A L}{I_\text{tot}} = \frac{0{,}3\cdot 900\cdot 2}{6{,}53} \approx 82{,}7\;\mathrm{rad/s}$

Energy tells us how violent the collision was:

$E_\text{cin,A} = \tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}3\cdot 810\,000 = 121\,500\;\mathrm{J}$

$E_\text{cin,B} = \tfrac{1}{2}I_\text{tot}\omega^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}53\cdot 82{,}7^2 \approx 22\,320\;\mathrm{J}$

$E_\text{termica} = 121\,500 - 22\,320 \approx 99\,180\;\mathrm{J}$

About 82% of the initial kinetic energy went into heat: the hallmark of a strongly inelastic collision.

A body pinned at a fixed point

For a rigid body hinged at a fixed point $P$ you can use directly $L = I_P\,\omega$ and $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$, where $I_P$ is the moment of inertia about $P$ (not about the centre of mass).

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Stessa asta incernierata, ma ora l’urto è elastico: il proiettile rimbalza elasticamente dall’estremo dell’asta invece di conficcarsi. Cambia una sola condizione, e cambia tutto il bilancio.

• Il momento angolare rispetto al cardine si conserva (come nel caso 1, stessa ragione: la reazione del cardine ha braccio zero).
• La quantità di moto non si conserva (come nel caso 1: c’è la reazione impulsiva del cardine).
• L’energia cinetica si conserva: l’urto è elastico, $E_\text{termica} = 0$.

Ora le incognite sono due: $\omega$ (velocità angolare dell’asta) e $v_B$ (velocità del proiettile dopo l’urto, con segno). Servono quindi due equazioni: la conservazione di $L$ e quella di $E_\text{cin}$.

Equazione del momento angolare (rispetto al cardine):

$m_p v_A L = m_p v_B L + I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega$

con $I_\text{asta}^\text{cardine} = \tfrac{1}{3}ML^2 = 5{,}33\;\mathrm{kg\,m^2}$ (solo l’asta: il proiettile non si conficca più).

Equazione dell’energia cinetica:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega^2$

Riepilogo del caso 2

Due incognite ($v_B$, $\omega$), due equazioni ($L$, $E_\text{cin}$): sistema quadratico. Si risolve come un urto elastico 1D generalizzato. Come sempre negli urti elastici, il sistema ha due soluzioni: quella banale (nessun urto, $v_B = v_A$, $\omega = 0$) e quella fisica.

Perché niente conservazione di $\vec{p}$

Anche in un urto elastico, se l’asta è incernierata il cardine esercita una reazione vincolare impulsiva che trasmette un impulso esterno: la quantità di moto totale non si conserva. Non si può scrivere $m_p v_A = m_p v_B + \text{qualcosa}$. È l’errore più insidioso di questo problema.

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Same hinged rod, but now the collision is elastic: the projectile bounces elastically off the end of the rod instead of embedding itself. Only one condition changes, and the whole balance changes with it.

• Angular momentum about the hinge is conserved (as in case 1, same reason: the hinge’s reaction has zero arm).
• Momentum is not conserved (as in case 1: there is the hinge’s impulsive reaction).
• Kinetic energy is conserved: the collision is elastic, $E_\text{termica} = 0$.

Now there are two unknowns: $\omega$ (angular velocity of the rod) and $v_B$ (velocity of the projectile after the collision, with sign). So two equations are needed: conservation of $L$ and of $E_\text{cin}$.

Angular momentum equation (about the hinge):

$m_p v_A L = m_p v_B L + I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega$

with $I_\text{asta}^\text{cardine} = \tfrac{1}{3}ML^2 = 5{,}33\;\mathrm{kg\,m^2}$ (only the rod: the projectile no longer embeds itself).

Kinetic energy equation:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{asta}^\text{cardine}\,\omega^2$

Summary of case 2

Two unknowns ($v_B$, $\omega$), two equations ($L$, $E_\text{cin}$): a quadratic system. It is solved like a generalised 1D elastic collision. As always in elastic collisions, the system has two solutions: the trivial one (no collision, $v_B = v_A$, $\omega = 0$) and the physical one.

Why there's no conservation of $\vec{p}$

Even in an elastic collision, if the rod is hinged the hinge exerts an impulsive constraint reaction that transmits an external impulse: total momentum is not conserved. You cannot write $m_p v_A = m_p v_B + \text{something}$. This is the most treacherous mistake in this problem.

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Ora l’asta è libera di scorrere su una rotaia liscia: niente cardine fisso. Questo cambia radicalmente il bilancio, perché sparisce la reazione vincolare impulsiva che rovinava la conservazione della quantità di moto.

• La quantità di moto si conserva: non ci sono forze esterne orizzontali impulsive.
• L’energia cinetica si conserva: urto elastico.
• Il momento angolare rispetto a qualsiasi polo fisso si conserva: nessuna forza esterna impulsiva, quindi nessun momento esterno (il peso è bilanciato dalla reazione della rotaia, ed entrambi sono trascurabili nell’urto istantaneo).

Con tutte e tre le conservazioni disponibili, le incognite sono tre:

• $v_B$ = velocità finale del proiettile;
• $v_\text{CM}$ = velocità del centro di massa dell’asta (traslazione);
• $\omega$ = velocità angolare dell’asta (rotazione attorno al suo CM).

E tre equazioni: conservazione di $p_x$, $L$, $E_\text{cin}$.

Quantità di moto:

$m_p v_A = m_p v_B + M v_\text{CM}$

Momento angolare (rispetto a un polo fisso, per esempio la posizione iniziale del CM dell’asta):

$m_p v_A\cdot\tfrac{L}{2} = m_p v_B\cdot\tfrac{L}{2} + I_\text{CM}\,\omega$

con $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ — il momento d’inerzia dell’asta rispetto al suo CM, perché qui l’asta non è incernierata.

Energia cinetica:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$

Il teorema di König in azione

Nel caso 3 l’energia cinetica dell’asta si scompone in due contributi (teorema di König): quello traslazionale del centro di massa più quello rotazionale interno attorno al CM. È la scomposizione che rende il conto coerente e che distingue il corpo libero dal corpo incernierato. Con tre incognite e tre equazioni, questo è il più completo dei tre casi.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Conservazione della quantità di moto · Urto elastico Metodi: Teorema di König Oggetti: Asta

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Now the rod is free to slide on a frictionless rail: no fixed hinge. This radically changes the balance, because the impulsive constraint reaction that ruined conservation of momentum disappears.

• Momentum is conserved: there are no impulsive external horizontal forces.
• Kinetic energy is conserved: elastic collision.
• Angular momentum about any fixed pole is conserved: no impulsive external force, hence no external moment (weight is balanced by the rail’s reaction, and both are negligible during the instantaneous collision).

With all three conservation laws available, there are three unknowns:

• $v_B$ = final velocity of the projectile;
• $v_\text{CM}$ = velocity of the rod’s centre of mass (translation);
• $\omega$ = angular velocity of the rod (rotation about its CM).

And three equations: conservation of $p_x$, $L$, $E_\text{cin}$.

Momentum:

$m_p v_A = m_p v_B + M v_\text{CM}$

Angular momentum (about a fixed pole, for example the initial position of the rod’s CM):

$m_p v_A\cdot\tfrac{L}{2} = m_p v_B\cdot\tfrac{L}{2} + I_\text{CM}\,\omega$

with $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ — the rod’s moment of inertia about its own CM, because here the rod is not hinged.

Kinetic energy:

$\tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}m_p v_B^2 + \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$

König's theorem in action

In case 3 the rod’s kinetic energy splits into two contributions (König’s theorem): the translational one of the centre of mass plus the internal rotational one about the CM. This is the decomposition that keeps the accounting consistent and that distinguishes the free body from the hinged body. With three unknowns and three equations, this is the most complete of the three cases.

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Mettendo a confronto i tre casi in un’unica tabella, emerge il filo conduttore: ogni volta che aggiungiamo una conservazione, guadagniamo un’incognita in più che possiamo determinare.

Cosa si conserva nei tre casi

	Caso 1 anelastico incernierata	Caso 2 elastico incernierata	Caso 3 elastico libera
Conservazione di $\vec{p}$	no	no	sì
Conservazione di $L$	sì	sì	sì
Conservazione di $E_\text{cin}$	no	sì	sì
Incognite	1 ($\omega$)	2 ($v_B,\omega$)	3 ($v_B,v_\text{CM},\omega$)
Equazioni	1 ($L$)	2 ($L$, $E_\text{cin}$)	3 ($\vec{p}, L, E_\text{cin}$)

Il momento angolare rispetto al polo giusto si conserva in tutti e tre i casi: è la grandezza più robusta, quella che sopravvive persino alla presenza del cardine. La quantità di moto invece è la più fragile, perché il vincolo fisso la distrugge; ricompare solo quando l’asta è libera.

Il bilanciamento incognite–equazioni

In tutti e tre i casi il numero di incognite combacia esattamente con il numero di leggi di conservazione disponibili. Non è una coincidenza: è il test di consistenza che ci garantisce che il problema abbia una soluzione. Se, contando, trovi più incognite che equazioni, hai dimenticato una conservazione o hai posto male il problema.

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Comparing the three cases in a single table, a common thread emerges: every time we add a conservation law, we gain one more unknown that we can determine.

What is conserved in the three cases

	Case 1 inelastic hinged	Case 2 elastic hinged	Case 3 elastic free
Conservation of $\vec{p}$	no	no	yes
Conservation of $L$	yes	yes	yes
Conservation of $E_\text{cin}$	no	yes	yes
Unknowns	1 ($\omega$)	2 ($v_B,\omega$)	3 ($v_B,v_\text{CM},\omega$)
Equations	1 ($L$)	2 ($L$, $E_\text{cin}$)	3 ($\vec{p}, L, E_\text{cin}$)

Angular momentum about the right pole is conserved in all three cases: it is the most robust quantity, the one that survives even the presence of the hinge. Momentum, on the other hand, is the most fragile, because the fixed constraint destroys it; it reappears only when the rod is free.

The unknowns–equations balance

In all three cases the number of unknowns matches exactly the number of available conservation laws. This is not a coincidence: it is the consistency check that guarantees the problem has a solution. If, on counting, you find more unknowns than equations, you have forgotten a conservation law or set up the problem wrongly.

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Le formule compatte $L = I\omega$ ed $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ sembrano semplici, ma nascondono una trappola: con quale $I$? La risposta dipende da come si muove il corpo, e ci sono due situazioni distinte da non confondere mai.

Principio — Due casi d'uso

Caso A — corpo inchiodato in un punto $P$ fisso. Se l’asta è incernierata e ruota attorno al cardine $P$, si usa: $L = I_P\,\omega \qquad E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$ dove $I_P$ è il momento d’inerzia rispetto a $P$ (non al CM). Per una sbarra uniforme rispetto a un estremo, dal teorema di Huygens–Steiner: $I_P = \tfrac{1}{12}ML^2 + M(\tfrac{L}{2})^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$.

Caso B — corpo che trasla e ruota (rotolamento, urto con asta libera). Si usa il teorema di König, separando il contributo del CM da quello interno: $L_\text{tot} = \underbrace{\vec{r}_\text{CM}\times\vec{p}_\text{tot}}_{L_\text{CM}} + \underbrace{I_\text{CM}\,\omega}_{L_\text{int}} \qquad E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$ dove $I_\text{CM}$ è il momento d’inerzia rispetto al CM.

La regola d’oro: se il corpo è fisso in un punto, usa $I_P$; se il corpo trasla e ruota, usa $I_\text{CM}$ e aggiungi separatamente il termine del centro di massa.

Non mescolare i due casi

Errore comune: usare $I_\text{CM}$ quando il corpo ruota attorno a un cardine, o dimenticare il termine del CM nel caso B. Nel caso dell’asta incernierata, se usassi per sbaglio $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ al posto di $\tfrac{1}{3}ML^2$, otterresti un $\omega$ quattro volte più grande e un’energia cinetica sedici volte più grande. Il test dell’energia persa (che deve essere $\geq 0$ in un urto anelastico) fallirebbe, segnalando l’errore.

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Esercizi collegati: Problema — Asta incernierata che cade dall’orizzontale · Problema — Momento angolare di rotazione propria della Terra · Problema — Ranking di ω a parità di momento angolare

The compact formulas $L = I\omega$ and $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ look simple, but hide a trap: which $I$? The answer depends on how the body moves, and there are two distinct situations that must never be confused.

Principle — Two use cases

Case A — body pinned at a fixed point $P$. If the rod is hinged and rotates about the hinge $P$, use: $L = I_P\,\omega \qquad E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$ where $I_P$ is the moment of inertia about $P$ (not the CM). For a uniform bar about one end, from the Huygens–Steiner theorem: $I_P = \tfrac{1}{12}ML^2 + M(\tfrac{L}{2})^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$.

Case B — body that translates and rotates (rolling, collision with a free rod). Use König’s theorem, separating the CM contribution from the internal one: $L_\text{tot} = \underbrace{\vec{r}_\text{CM}\times\vec{p}_\text{tot}}_{L_\text{CM}} + \underbrace{I_\text{CM}\,\omega}_{L_\text{int}} \qquad E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\omega^2}_{E_\text{cin,int}}$ where $I_\text{CM}$ is the moment of inertia about the CM.

The golden rule: if the body is fixed at a point, use $I_P$; if the body translates and rotates, use $I_\text{CM}$ and separately add the centre-of-mass term.

Don't mix up the two cases

Common mistake: using $I_\text{CM}$ when the body rotates about a hinge, or forgetting the CM term in case B. In the hinged-rod case, if you mistakenly used $I_\text{CM} = \tfrac{1}{12}ML^2$ instead of $\tfrac{1}{3}ML^2$, you would get an $\omega$ four times too large and a kinetic energy sixteen times too large. The lost-energy check (which must be $\geq 0$ in an inelastic collision) would fail, flagging the error.

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Un altro esempio classico di conservazione del momento angolare: un disco che ruota attorno a un perno centrale, con un pacchetto appeso a una fune che si svolge progressivamente dal bordo, allontanandosi dal centro.

Scegliendo il centro del disco come polo, la reazione del perno e la tensione (che è radiale) non producono momento: il momento angolare totale del sistema si conserva. Con il vincolo $v = \omega r$ tra la velocità del pacchetto e la velocità angolare, la conservazione si scrive

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

Numericamente, con $m_d = 4\;\mathrm{kg}$, $R = 1\;\mathrm{m}$, $m_p = 7\;\mathrm{kg}$, $r_A = 1\;\mathrm{m}$, $r_B = 2\;\mathrm{m}$ e $\omega_A = 1\;\mathrm{rad/s}$, si ottiene $\omega_B = 0{,}3\;\mathrm{rad/s}$.

Il sistema rallenta: man mano che il pacchetto si allontana dal centro, il suo contributo $m_p r^2$ al momento d’inerzia cresce (da $7\cdot 1^2 = 7$ a $7\cdot 2^2 = 28$), e poiché $L = I\omega$ resta costante, la velocità angolare deve calare. È la stessa fisica del pattinatore, girata al contrario: allargare la distribuzione di massa fa diminuire $\omega$. Lo svolgimento numerico è nel problema dedicato.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Oggetti: Disco rotante

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Another classic example of conservation of angular momentum: a disc rotating about a central pivot, with a package hanging from a rope that progressively unwinds from the rim, moving away from the centre.

Choosing the centre of the disc as the pole, the pivot’s reaction and the (radial) tension produce no moment: the system’s total angular momentum is conserved. With the constraint $v = \omega r$ between the package’s velocity and the angular velocity, the conservation law reads

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

Numerically, with $m_d = 4\;\mathrm{kg}$, $R = 1\;\mathrm{m}$, $m_p = 7\;\mathrm{kg}$, $r_A = 1\;\mathrm{m}$, $r_B = 2\;\mathrm{m}$ and $\omega_A = 1\;\mathrm{rad/s}$, one gets $\omega_B = 0{,}3\;\mathrm{rad/s}$.

The system slows down: as the package moves away from the centre, its contribution $m_p r^2$ to the moment of inertia grows (from $7\cdot 1^2 = 7$ to $7\cdot 2^2 = 28$), and since $L = I\omega$ stays constant, the angular velocity must fall. It is the same physics as the skater, run in reverse: spreading out the mass distribution decreases $\omega$. The numerical solution is in the dedicated problem.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia Oggetti: Disco rotante

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L’esempio più famoso di conservazione del momento angolare è la pattinatrice che gira su sé stessa e accelera raccogliendo le braccia. È un sistema non rigido: cambia la propria forma, e quindi il proprio momento d’inerzia, mentre ruota.

Esempio — Conservazione in un sistema non rigido

Una pattinatrice gira con le braccia aperte a $\omega_A = 2\;\mathrm{rad/s}$ e momento d’inerzia $I_A = 8\;\mathrm{kg\,m^2}$. Tirando le braccia al corpo, il momento d’inerzia scende a $I_B = 3\;\mathrm{kg\,m^2}$. Quanto vale la velocità angolare finale?

Nessun momento esterno agisce (l’attrito del ghiaccio rispetto all’asse verticale è trascurabile), quindi $\vec{L}$ si conserva: $I_A\omega_A = I_B\omega_B \;\Rightarrow\; \omega_B = \frac{I_A}{I_B}\omega_A = \frac{8}{3}\cdot 2 \approx 5{,}3\;\mathrm{rad/s}$ La pattinatrice gira più di due volte più veloce!

C’è però un dettaglio controintuitivo. Mentre il momento angolare resta costante, l’energia cinetica rotazionale aumenta. Scrivendola come $E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{L^2}{2I}$, si vede che al diminuire di $I$ (a $L$ costante) l’energia cresce. Da dove viene questa energia extra? Dal lavoro muscolare delle braccia: per avvicinarle all’asse la pattinatrice deve tirarle contro la forza centrifuga apparente, e quel lavoro finisce nell’energia cinetica di rotazione.

L'effetto pirouette

È il celebre “effetto della pirouette”: accorciare il raggio di rotazione riduce $I$ e, per conservare $L = I\omega$, aumenta $\omega$. La conservazione del momento angolare non regala energia — quella la fornisce il corpo con il proprio lavoro — ma redistribuisce la rotazione in modo spettacolare. Lo stesso principio spiega il tuffatore che si raccoglie a palla.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia · Energia cinetica rotazionale

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The most famous example of conservation of angular momentum is the skater who spins on the spot and speeds up by pulling in her arms. It’s a non-rigid system: it changes its own shape, and hence its own moment of inertia, while rotating.

Example — Conservation in a non-rigid system

A skater spins with her arms out at $\omega_A = 2\;\mathrm{rad/s}$ and moment of inertia $I_A = 8\;\mathrm{kg\,m^2}$. Pulling her arms in to her body, the moment of inertia drops to $I_B = 3\;\mathrm{kg\,m^2}$. What is the final angular velocity?

No external torque acts (friction of the ice about the vertical axis is negligible), so $\vec{L}$ is conserved: $I_A\omega_A = I_B\omega_B \;\Rightarrow\; \omega_B = \frac{I_A}{I_B}\omega_A = \frac{8}{3}\cdot 2 \approx 5{,}3\;\mathrm{rad/s}$ The skater spins more than twice as fast!

There’s a counter-intuitive detail, though. While the angular momentum stays constant, the rotational kinetic energy increases. Writing it as $E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \dfrac{L^2}{2I}$, you can see that as $I$ decreases (at constant $L$) the energy grows. Where does this extra energy come from? From the muscular work of the arms: to bring them in towards the axis, the skater must pull them against the apparent centrifugal force, and that work ends up in the rotational kinetic energy.

The pirouette effect

This is the celebrated “pirouette effect”: shortening the radius of rotation reduces $I$ and, to conserve $L = I\omega$, increases $\omega$. Conservation of angular momentum doesn’t give energy for free — the body supplies it through its own work — but it redistributes the rotation spectacularly. The same principle explains the diver who tucks into a ball.

Connections

Topics: Dinamica rotazionale Concepts: Conservazione del momento angolare · Momento d’inerzia · Energia cinetica rotazionale

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