Urti in due dimensioni

Gli urti in due dimensioni richiedono di conservare entrambe le componenti della quantità di moto, più l’energia cinetica se l’urto è elastico. Nascono così tre equazioni indipendenti, che permettono di determinare tre incognite. Questa sezione imposta il metodo generale e introduce il parametro d’impatto, la chiave geometrica degli urti tra sfere lisce.

• Conservazione nelle due dimensioni
• Il parametro d’impatto

Collisions in two dimensions require conserving both components of momentum, plus kinetic energy if the collision is elastic. This gives three independent equations, allowing three unknowns to be determined. This section sets up the general method and introduces the impact parameter, the geometric key to collisions between smooth spheres.

• Conservation in two dimensions
• The impact parameter

Finora gli urti erano su una retta: una sola componente di quantità di moto da conservare. In due dimensioni la quantità di moto è un vettore con due componenti, e ciascuna si conserva separatamente. Se l’urto è anche elastico, si aggiunge la conservazione dell’energia cinetica.

Principio — Equazioni per un urto 2D elastico

$\begin{aligned} p_{x,A} &= p_{x,B} \quad\text{(conservazione } p_x\text{)} \\ p_{y,A} &= p_{y,B} \quad\text{(conservazione } p_y\text{)} \\ E_\text{cin,A} &= E_\text{cin,B} \quad\text{(elastico)} \end{aligned}$ Sono tre equazioni, quindi si possono determinare al massimo tre incognite.

Il conteggio incognite–equazioni è di nuovo la bussola. In un urto elastico 2D fra due sfere lisce, se una palla è inizialmente ferma e si conosce la direzione di uscita di una delle due, le tre incognite (per esempio $v_{1B}$, $v_{2B,x}$, $v_{2B,y}$) si determinano dalle tre equazioni di conservazione. Il sistema risultante non è lineare — l’energia cinetica contiene i quadrati delle velocità — ma si risolve per sostituzione.

L’idea fisica è che scomporre lungo due assi disaccoppia il problema nelle due direzioni: quello che accade lungo $x$ è indipendente da quello che accade lungo $y$, purché si scelgano gli assi con cura. La scelta più conveniente, come vedremo, è allineare un asse con la congiungente dei centri al momento del contatto.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

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Until now collisions have been along a line: a single momentum component to conserve. In two dimensions momentum is a vector with two components, and each is conserved separately. If the collision is also elastic, conservation of kinetic energy is added.

Principle — Equations for an elastic 2D collision

$\begin{aligned} p_{x,A} &= p_{x,B} \quad\text{(conservation of } p_x\text{)} \\ p_{y,A} &= p_{y,B} \quad\text{(conservation of } p_y\text{)} \\ E_\text{cin,A} &= E_\text{cin,B} \quad\text{(elastic)} \end{aligned}$ These are three equations, so at most three unknowns can be determined.

The count of unknowns versus equations is once again the compass. In a 2D elastic collision between two smooth spheres, if one ball is initially at rest and the exit direction of one of the two is known, the three unknowns (for example $v_{1B}$, $v_{2B,x}$, $v_{2B,y}$) are determined from the three conservation equations. The resulting system is not linear — kinetic energy contains the squares of the velocities — but it is solved by substitution.

The physical idea is that resolving along two axes decouples the problem into the two directions: what happens along $x$ is independent of what happens along $y$, provided the axes are chosen carefully. The most convenient choice, as we shall see, is to align one axis with the line joining the centres at the moment of contact.

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto Methods: Scomposizione in componenti cartesiane

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Per un urto elastico tra due sfere lisce c’è una potente semplificazione geometrica. Durante il contatto l’unica forza è la reazione vincolare lungo la congiungente dei centri: non essendoci attrito, non può esserci forza tangenziale. Questo fissa completamente la direzione dello scambio di quantità di moto.

Principio — Parametro d'impatto

Il parametro d’impatto $b$ è la distanza tra il centro della palla urtata e la retta di moto della palla urtante. Se le due sfere hanno raggi $r_1$ e $r_2$: $\sin\alpha = \frac{b}{r_1 + r_2}$ dove $\alpha$ è l’angolo tra la direzione della palla urtante e la congiungente dei centri al momento dell’urto.

Poiché la forza è lungo la congiungente dei centri, se si scompongono le velocità lungo la direzione $x$ (congiungente) e $y$ (perpendicolare), la componente $y$ di ciascuna palla non cambia: $v_{1A,y} = v_{1B,y}$ e $v_{2A,y} = v_{2B,y}$.

Il parametro d’impatto $b$ misura di quanto la traiettoria della palla urtante “manca” il centro della palla urtata. Al momento del contatto la congiungente dei centri forma un angolo $\alpha$ tale che $\sin\alpha = b/(r_1+r_2)$.

Il valore di $b$ decide il tipo di urto: se $b = 0$ l’urto è centrale (frontale, come in 1D); se $b$ è prossimo a $r_1 + r_2$ l’urto è quasi di striscio e le palle si deviano appena. Conoscere $b$ significa conoscere la geometria dell’impatto, e quindi la direzione lungo cui si trasferisce la quantità di moto — l’informazione mancante che chiude il sistema delle tre equazioni di conservazione.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico Competenze: Uso della trigonometria

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For an elastic collision between two smooth spheres there is a powerful geometric simplification. During contact the only force is the normal reaction along the line joining the centres: with no friction, there can be no tangential force. This completely fixes the direction of the momentum exchange.

Principle — Impact parameter

The impact parameter $b$ is the distance between the centre of the struck ball and the line of motion of the striking ball. If the two spheres have radii $r_1$ and $r_2$: $\sin\alpha = \frac{b}{r_1 + r_2}$ where $\alpha$ is the angle between the direction of the striking ball and the line joining the centres at the moment of impact.

Since the force is along the line joining the centres, if the velocities are resolved along the $x$ direction (the joining line) and $y$ (perpendicular), the $y$ component of each ball does not change: $v_{1A,y} = v_{1B,y}$ and $v_{2A,y} = v_{2B,y}$.

The impact parameter $b$ measures by how much the trajectory of the striking ball “misses” the centre of the struck ball. At the moment of contact the line joining the centres forms an angle $\alpha$ such that $\sin\alpha = b/(r_1+r_2)$.

The value of $b$ decides the type of collision: if $b = 0$ the collision is central (head-on, as in 1D); if $b$ is close to $r_1 + r_2$ the collision is nearly glancing and the balls deflect only slightly. Knowing $b$ means knowing the geometry of the impact, and hence the direction along which momentum is transferred — the missing piece of information that closes the system of three conservation equations.

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Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico Skills: Uso della trigonometria

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