Traiettorie orbitali

Il tipo di traiettoria di un corpo soggetto alla gravità di un corpo centrale dipende dalla sua energia totale: ellisse se legato, parabola al limite di fuga, iperbole se sfugge con energia in eccesso. Questa sezione classifica le orbite, mostra come la conservazione del momento angolare dia la seconda legge di Keplero, imposta il problema classico della massima e minima distanza, ed elenca le tre leggi di Keplero dedotte da Newton.

• Classificazione delle orbite
• Conservazione del momento angolare e seconda legge di Keplero
• Massima e minima distanza dal corpo centrale
• Leggi di Keplero

Prova tu — simulazione interattiva

The type of trajectory of a body subject to the gravity of a central body depends on its total energy: an ellipse if bound, a parabola at the limit of escape, a hyperbola if it escapes with excess energy. This section classifies orbits, shows how conservation of angular momentum gives Kepler’s second law, sets up the classic problem of maximum and minimum distance, and lists the three laws of Kepler as derived by Newton.

• Classification of orbits
• Conservation of angular momentum and Kepler’s second law
• Maximum and minimum distance from the central body
• Kepler’s laws

Try it — interactive simulation

Quando un corpo si muove sotto l’effetto della gravitazione di un corpo centrale — un satellite attorno alla Terra, la Terra attorno al Sole — la forma della sua traiettoria non è casuale: dipende da un solo numero, l’energia totale $E_\text{tot} = E_\text{cin} + E_\text{pot,G}$. Il segno di questa somma decide se il corpo resterà legato o riuscirà a fuggire.

Classificazione delle orbite

• $E_\text{tot} < 0$: orbita ellittica (corpo legato)
• $E_\text{tot} = 0$: traiettoria parabolica (fuga al limite)
• $E_\text{tot} > 0$: traiettoria iperbolica (fuga con eccesso di energia)

L’intuizione è la stessa del pozzo di potenziale. L’energia potenziale è negativa e tende a zero all’infinito. Se l’energia totale è negativa, il corpo non ha abbastanza energia cinetica per raggiungere l’infinito (dove $E_\text{pot}\to 0$): resta intrappolato in un’orbita chiusa. Se è esattamente zero, arriva all’infinito con velocità nulla: la parabola è il confine. Se è positiva, arriva all’infinito con velocità residua: l’iperbole.

Classificazione delle orbite in base all’energia totale: ellisse (legato), parabola (fuga al limite), iperbole (fuga).

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When a body moves under the gravitational influence of a central body — a satellite around the Earth, the Earth around the Sun — the shape of its trajectory is not arbitrary: it depends on a single number, the total energy $E_\text{tot} = E_\text{cin} + E_\text{pot,G}$. The sign of this sum decides whether the body will remain bound or manage to escape.

Classification of orbits

• $E_\text{tot} < 0$: elliptical orbit (bound body)
• $E_\text{tot} = 0$: parabolic trajectory (escape at the limit)
• $E_\text{tot} > 0$: hyperbolic trajectory (escape with excess energy)

The intuition is the same as for a potential well. The potential energy is negative and tends to zero at infinity. If the total energy is negative, the body does not have enough kinetic energy to reach infinity (where $E_\text{pot}\to 0$): it remains trapped in a closed orbit. If it is exactly zero, it reaches infinity with zero velocity: the parabola is the boundary case. If it is positive, it reaches infinity with residual velocity: the hyperbola.

Classification of orbits based on total energy: ellipse (bound), parabola (escape at the limit), hyperbola (escape).

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Il momento angolare $\vec{L}$ di un pianeta rispetto alla stella si conserva, e la ragione è geometrica: la forza gravitazionale è sempre diretta lungo la congiungente pianeta-stella. Rispetto alla stella scelta come polo, questa forza ha braccio zero e quindi non produce alcun momento. Senza momento esterno, il momento angolare resta costante lungo tutta l’orbita.

Seconda legge di Keplero come conseguenza

La conservazione di $\vec{L}$ equivale alla seconda legge di Keplero: il pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Nei punti di massimo avvicinamento (perielio) e massimo allontanamento (afelio) la velocità è perpendicolare alla congiungente pianeta-stella, quindi il braccio è $d$ e $L = m\,v\,d$.

Questa relazione ha una conseguenza intuitiva potente: dove il pianeta è più vicino alla stella deve andare più veloce, e dove è più lontano più lento, perché il prodotto $v\,d$ deve restare costante.

Nei punti estremi di un'orbita

$L_\text{perielio} = m v_p d_p \qquad L_\text{afelio} = m v_a d_a$ Uguagliando i due (stesso $L$): $\;v_p d_p = v_a d_a$. Più vicino significa più veloce.

Il momento angolare è dunque la seconda quantità conservata dell’orbita, accanto all’energia. Insieme, energia e momento angolare bastano a risolvere quasi tutti i problemi orbitali senza dover integrare le equazioni del moto.

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The angular momentum $\vec{L}$ of a planet with respect to the star is conserved, and the reason is geometric: the gravitational force is always directed along the line joining the planet and the star. Taken about the star as the pole, this force has zero lever arm and therefore produces no torque. With no external torque, the angular momentum stays constant throughout the orbit.

Kepler's second law as a consequence

Conservation of $\vec{L}$ is equivalent to Kepler’s second law: the planet sweeps out equal areas in equal times. At the points of closest approach (perihelion) and greatest distance (aphelion) the velocity is perpendicular to the line joining planet and star, so the lever arm is $d$ and $L = m\,v\,d$.

This relation has a powerful, intuitive consequence: where the planet is closer to the star it must move faster, and where it is further away it moves slower, because the product $v\,d$ must remain constant.

At the extreme points of an orbit

$L_\text{perielio} = m v_p d_p \qquad L_\text{afelio} = m v_a d_a$ Equating the two (same $L$): $\;v_p d_p = v_a d_a$. Closer means faster.

Angular momentum is thus the second conserved quantity of the orbit, alongside energy. Together, energy and angular momentum are enough to solve almost all orbital problems without having to integrate the equations of motion.

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Il problema più classico della gravitazione è questo: dati la posizione iniziale e il vettore velocità di un satellite (o di una cometa, un pianeta, ecc.), trovare la sua distanza massima e minima dal corpo centrale. La chiave è che due grandezze si conservano contemporaneamente — l’energia totale e il momento angolare — e insieme bastano a chiudere il problema.

Strategia per max/min distanza

1. Calcolare l’energia totale nello stato iniziale A: $E_\text{tot} = \tfrac{1}{2}m v_A^2 - \dfrac{GMm}{r_A}$.
2. Calcolare il momento angolare rispetto al corpo centrale: $L = m\,\abs{\vv{r}\times\vv{v}}$, in modulo $L = m r v\sin\theta$ con $\theta$ angolo tra $\vv{r}$ e $\vv{v}$.
3. Nei punti di massima o minima distanza $\vv{v}\perp\vv{r}$, quindi $L = m v_B d_B$ (braccio $= d_B$).
4. Imporre conservazione di $L$ e conservazione di $E_\text{tot}$ tra A e B: si ottiene un’equazione di secondo grado in $d_B$ (o in $v_B$).
5. Le due soluzioni sono la distanza minima (perielio) e massima (afelio).

Note

Al punto di massimo o minimo avvicinamento il vettore velocità è tangente all’orbita e perpendicolare a $\vv{r}$: è questo che rende $L = m v_B d_B$ e permette di eliminare l’angolo.

Perché escono due soluzioni? In un’orbita ellittica ci sono esattamente due punti in cui la velocità è perpendicolare al raggio: il perielio (il più vicino) e l’afelio (il più lontano). In tutti gli altri punti la velocità ha una componente radiale, perché il corpo si sta avvicinando o allontanando dal centro. L’equazione di secondo grado cattura proprio questi due punti speciali.

Due soluzioni e il segno di $E_\text{tot}$

• Se $E_\text{tot} < 0$: l’equazione ha due radici positive, perielio e afelio (ellisse).
• Se $E_\text{tot} = 0$: una sola radice positiva, il perielio (parabola).
• Se $E_\text{tot} > 0$: una sola radice positiva, il punto di massimo avvicinamento (iperbole).

L’esercizio svolto satellite, afelio e perielio applica questa strategia passo per passo.

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The classic problem in gravitation is this: given the initial position and velocity vector of a satellite (or a comet, a planet, etc.), find its maximum and minimum distance from the central body. The key is that two quantities are conserved simultaneously — the total energy and the angular momentum — and together they are enough to close the problem.

Strategy for max/min distance

1. Compute the total energy at the initial state A: $E_\text{tot} = \tfrac{1}{2}m v_A^2 - \dfrac{GMm}{r_A}$.
2. Compute the angular momentum about the central body: $L = m\,\abs{\vv{r}\times\vv{v}}$, in magnitude $L = m r v\sin\theta$ with $\theta$ the angle between $\vv{r}$ and $\vv{v}$.
3. At the points of maximum or minimum distance $\vv{v}\perp\vv{r}$, so $L = m v_B d_B$ (lever arm $= d_B$).
4. Impose conservation of $L$ and conservation of $E_\text{tot}$ between A and B: this gives a quadratic equation in $d_B$ (or in $v_B$).
5. The two solutions are the minimum distance (perihelion) and the maximum distance (aphelion).

Note

At the point of closest or furthest approach, the velocity vector is tangent to the orbit and perpendicular to $\vv{r}$: this is what makes $L = m v_B d_B$ and lets us eliminate the angle.

Why do two solutions come out? In an elliptical orbit there are exactly two points where the velocity is perpendicular to the radius: perihelion (the closest point) and aphelion (the furthest point). At all other points the velocity has a radial component, because the body is approaching or receding from the centre. The quadratic equation captures precisely these two special points.

Two solutions and the sign of $E_\text{tot}$

• If $E_\text{tot} < 0$: the equation has two positive roots, perihelion and aphelion (ellipse).
• If $E_\text{tot} = 0$: a single positive root, the perihelion (parabola).
• If $E_\text{tot} > 0$: a single positive root, the point of closest approach (hyperbola).

The worked exercise satellite, aphelion and perihelion applies this strategy step by step.

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Prima di Newton, Keplero aveva scoperto tre leggi empiriche del moto planetario, ricavate dai dati osservativi di Tycho Brahe senza conoscerne la causa. Il trionfo di Newton fu dimostrare che tutte e tre discendono da un’unica legge, quella di gravitazione universale con la sua dipendenza da $1/r^2$.

Le tre leggi di Keplero

1. Prima legge: i pianeti descrivono orbite ellittiche, con il Sole in uno dei due fuochi.
2. Seconda legge (delle aree): il raggio vettore pianeta-Sole spazza aree uguali in tempi uguali (conseguenza di $L$ conservato).
3. Terza legge (armonica): per tutti i pianeti del Sistema Solare vale $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{costante}$.

La terza legge, nella forma esplicita, lega periodo e semiasse maggiore alla massa del corpo centrale:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\star} = \text{costante}$

dove $a$ è il semiasse maggiore dell’ellisse e $T$ il periodo orbitale.

Il collaudo di Newton

La terza legge $T^2 \propto a^3$ è la relazione che Newton verificò confrontando il moto della Luna con la caduta di una mela. Se la forza scala come $1/r^2$, allora $T^2/a^3$ deve essere costante per tutti i pianeti: ed è esattamente ciò che Keplero aveva osservato. Il fatto che una legge dedotta teoricamente riproducesse dati raccolti decenni prima fu una delle prove più forti a favore della gravitazione universale.

La terza legge è anche uno strumento di misura: conoscendo $T$ e $a$ di un satellite si ricava la massa $M_\star$ del corpo attorno a cui orbita. È così che si “pesano” il Sole, i pianeti e persino le galassie.

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Before Newton, Kepler had discovered three empirical laws of planetary motion, derived from Tycho Brahe’s observational data without knowing their cause. Newton’s triumph was to show that all three follow from a single law, that of universal gravitation with its $1/r^2$ dependence.

Kepler's three laws

1. First law: planets trace out elliptical orbits, with the Sun at one of the two foci.
2. Second law (of areas): the radius vector from planet to Sun sweeps out equal areas in equal times (a consequence of conserved $L$).
3. Third law (harmonic): for all planets in the Solar System, $\dfrac{T^2}{a^3} = \text{constant}$.

The third law, in explicit form, relates the period and semi-major axis to the mass of the central body:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM_\star} = \text{constant}$

where $a$ is the semi-major axis of the ellipse and $T$ the orbital period.

Newton's test

The third law $T^2 \propto a^3$ is the relation Newton verified by comparing the motion of the Moon with the fall of an apple. If the force scales as $1/r^2$, then $T^2/a^3$ must be constant for all planets: and that is exactly what Kepler had observed. The fact that a theoretically derived law reproduced data gathered decades earlier was one of the strongest pieces of evidence in favour of universal gravitation.

The third law is also a measuring tool: knowing $T$ and $a$ of a satellite gives the mass $M_\star$ of the body it orbits. This is how the Sun, the planets, and even galaxies are “weighed”.

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