Velocità di fuga

La velocità di fuga è la velocità minima con cui lanciare un corpo dalla superficie di un pianeta perché si allontani all’infinito senza più tornare. Si ricava imponendo energia totale nulla. Portata all’estremo, l’idea conduce ai buchi neri: corpi così densi che nemmeno la luce riesce a fuggire.

• Velocità di fuga
• Buchi neri e raggio di Schwarzschild

Escape velocity is the minimum speed at which a body must be launched from a planet’s surface to move away to infinity without ever returning. It is derived by imposing zero total energy. Taken to the extreme, the idea leads to black holes: bodies so dense that not even light can escape.

• Velocità di fuga
• Buchi neri e raggio di Schwarzschild

La velocità di fuga è la velocità minima necessaria per allontanarsi all’infinito da un corpo celeste, partendo dalla sua superficie. “All’infinito” significa che il corpo non ricade più: nel caso limite arriva infinitamente lontano con velocità che tende a zero. Questa condizione si traduce in un’energia totale esattamente nulla.

Velocità di fuga

Imponendo $E_\text{tot} = 0$ (al limite per la fuga): $\tfrac{1}{2}m v_\text{fuga}^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \;\Rightarrow\; \ev{v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Formula chiave

$v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ Indipendente dalla massa $m$ del proiettile: un sasso e un’astronave hanno la stessa velocità di fuga.

Il fatto che $m$ scompaia è notevole e ha una radice profonda: la stessa massa compare sia nell’energia cinetica sia nell’energia potenziale, e si semplifica. È lo stesso motivo per cui tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione $g$.

Velocità di fuga dalla Terra

Con $M_T = 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ e $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$: $v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{6{,}4\cdot 10^6}} \approx 11{,}2\;\text{km/s}$ Per confronto, la velocità orbitale per restare in orbita bassa (a $h = 400\;\text{km}$) è “solo” $7{,}7\;\text{km/s}$: fuggire costa più che orbitare.

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Argomenti: Gravitazione Concetti: Velocità di fuga · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia

Esercizi collegati: Velocità di fuga dalla Terra (energia) · Vero o falso su energia e orbite · Dimostrazione della velocità di fuga

Escape velocity is the minimum speed needed to move infinitely far away from a celestial body, starting from its surface. “Infinitely far” means the body never falls back: in the limiting case it arrives infinitely far away with velocity tending to zero. This condition translates into a total energy of exactly zero.

Escape velocity

Imposing $E_\text{tot} = 0$ (the limit for escape): $\tfrac{1}{2}m v_\text{fuga}^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \;\Rightarrow\; \ev{v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Key formula

$v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ Independent of the mass $m$ of the projectile: a stone and a spacecraft have the same escape velocity.

The fact that $m$ cancels out is remarkable and has a deep root: the same mass appears in both the kinetic energy and the potential energy, so it simplifies away. It is the same reason why all bodies fall with the same acceleration $g$.

Escape velocity from Earth

With $M_T = 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$ and $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$: $v_\text{fuga} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{6{,}4\cdot 10^6}} \approx 11{,}2\;\text{km/s}$ By comparison, the orbital velocity to stay in low orbit (at $h = 400\;\text{km}$) is “only” $7{,}7\;\text{km/s}$: escaping costs more than orbiting.

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Cosa succede se comprimiamo una massa in una sfera sempre più piccola? La velocità di fuga $v_\text{fuga} = \sqrt{2GM/R}$ cresce al diminuire di $R$. Portando questo ragionamento all’estremo, esiste un raggio critico oltre il quale nemmeno la luce può fuggire: si ha un buco nero.

Raggio di Schwarzschild

Imponendo che la velocità di fuga eguagli la velocità della luce, $v_\text{fuga} = c$: $\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \;\Rightarrow\; \ev{R_S = \frac{2GM}{c^2}}$

Il calcolo che qui presentiamo è semiclassico — una descrizione rigorosa richiede la relatività generale — ma coglie l’ordine di grandezza corretto e l’idea essenziale: sotto $R_S$ la gravità è così intensa che nulla, luce compresa, sfugge.

Ordini di grandezza

• Terra: $R_S \approx 9\;\text{mm}$. Bisognerebbe comprimere tutta la massa terrestre in una sfera di meno di un centimetro.
• Sole: $R_S \approx 3\;\text{km}$.
• Sagittarius A*, il buco nero al centro della nostra galassia: massa di circa $4\cdot 10^6$ masse solari e $R_S \approx 12\cdot 10^6\;\text{km}$.

Il raggio di Schwarzschild non è la dimensione fisica dell’oggetto, ma quella dell’orizzonte degli eventi: la superficie ideale che separa la regione da cui si può ancora fuggire da quella da cui è impossibile. Il buco nero vero e proprio è concentrato in un volume enormemente più piccolo e denso.

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What happens if we compress a mass into an ever-smaller sphere? The escape velocity $v_\text{fuga} = \sqrt{2GM/R}$ grows as $R$ decreases. Taking this reasoning to the extreme, there is a critical radius beyond which not even light can escape: this gives a black hole.

Schwarzschild radius

Imposing that the escape velocity equals the speed of light, $v_\text{fuga} = c$: $\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \;\Rightarrow\; \ev{R_S = \frac{2GM}{c^2}}$

The calculation presented here is semiclassical — a rigorous description requires general relativity — but it captures the correct order of magnitude and the essential idea: below $R_S$ gravity is so intense that nothing, light included, escapes.

Orders of magnitude

• Earth: $R_S \approx 9\;\text{mm}$. The entire mass of the Earth would need to be compressed into a sphere less than a centimetre across.
• Sun: $R_S \approx 3\;\text{km}$.
• Sagittarius A*, the black hole at the centre of our galaxy: a mass of about $4\cdot 10^6$ solar masses and $R_S \approx 12\cdot 10^6\;\text{km}$.

The Schwarzschild radius is not the physical size of the object, but that of its event horizon: the ideal surface separating the region from which escape is still possible from the one where it is impossible. The actual black hole is concentrated in an enormously smaller and denser volume.

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