Tre problemi tipici

Tre situazioni fondamentali mostrano come cambia il bilancio energetico a seconda di quali scambi sono presenti: riscaldamento a volume costante (nessun lavoro), riscaldamento con pistone mobile (compare il lavoro dell’atmosfera) ed espansione libera nel vuoto (tutti gli scambi nulli). In ogni caso il primo principio è lo stesso: cambia solo quali termini sopravvivono.

• Riscaldamento di un gas a volume costante
• Riscaldamento con pistone mobile (e atmosfera)
• Espansione libera nel vuoto

Three fundamental situations show how the energy balance changes depending on which exchanges are present: heating at constant volume (no work), heating with a moving piston (the work of the atmosphere appears) and free expansion into a vacuum (all exchanges are zero). In each case the first law is the same: only which terms survive changes.

• Heating a gas at constant volume
• Heating with a moving piston (and atmosphere)
• Free expansion into a vacuum

Se un gas è chiuso in un contenitore rigido (volume fissato) e viene riscaldato, il pistone non si muove. Nessuno spostamento significa nessun lavoro: né il gas fa lavoro ($L_\text{gas}=0$), né l’atmosfera lo comprime ($L_\text{atm}=0$). Il bilancio energetico si riduce alla forma più semplice possibile.

Volume costante — tutto il calore diventa energia interna

$\ev{\frac{f}{2}nR(T_B - T_A) = Q}$

Il significato fisico è diretto: a volume costante tutto il calore fornito va ad aumentare l’energia interna del gas, cioè a far muovere più velocemente le sue molecole. Non se ne “spreca” una parte per spingere via l’atmosfera, perché il gas non si dilata. Notiamo che $Q$ non dipende dal volume del contenitore: dipende solo dalla quantità di gas $n$, dai suoi gradi di libertà $f$ e dal salto di temperatura.

Questo è il caso di riferimento con cui confrontare gli altri: definisce la capacità termica a volume costante $C_v = \frac{f}{2}R$. L’esercizio svolto sull’azoto in un cilindro rigido mostra il calcolo numerico completo: Azoto riscaldato in un cilindro rigido.

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Argomenti: Termodinamica Concetti: Primo principio della termodinamica · Energia interna · Trasformazioni termodinamiche Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Azoto riscaldato in un cilindro rigido · Stessa temperatura, calore diverso

If a gas is enclosed in a rigid container (fixed volume) and is heated, the piston does not move. No displacement means no work: neither does the gas do work ($L_\text{gas}=0$), nor does the atmosphere compress it ($L_\text{atm}=0$). The energy balance reduces to its simplest possible form.

Constant volume — all the heat becomes internal energy

$\ev{\frac{f}{2}nR(T_B - T_A) = Q}$

The physical meaning is direct: at constant volume all the heat supplied goes into increasing the internal energy of the gas, i.e. into making its molecules move faster. None of it is “wasted” pushing away the atmosphere, because the gas does not expand. Note that $Q$ does not depend on the volume of the container: it depends only on the amount of gas $n$, on its degrees of freedom $f$ and on the temperature change.

This is the reference case against which to compare the others: it defines the heat capacity at constant volume $C_v = \frac{f}{2}R$. The worked exercise on nitrogen in a rigid cylinder shows the full numerical calculation: Nitrogen heated in a rigid cylinder.

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Topics: Termodinamica Concepts: Primo principio della termodinamica · Energia interna · Trasformazioni termodinamiche Objects: Gas ideale

Related exercises: Worked example — reversible vs irreversible isothermal expansion · Nitrogen heated in a rigid cylinder · Same temperature, different heat

Se il contenitore ha un pistone mobile che mantiene la pressione uguale a quella atmosferica, il gas riscaldandosi si espande. Ora compaiono tre contributi nel bilancio: la variazione di energia interna, il calore fornito e il lavoro dell’atmosfera.

Mentre il gas si dilata di $\Delta V_\text{gas} > 0$, l’atmosfera viene compressa della stessa quantità, cioè $\Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas} < 0$. Il lavoro che l’atmosfera compie sul gas è quindi

$L_\text{atm} = P_\text{atm}\,\Delta V_\text{atm} = -P_\text{atm}\,\Delta V_\text{gas} < 0$

Il segno negativo va letto nel senso del bilancio del gas: l’atmosfera cede energia al gas quando lo comprime, ma qui è il gas che spinge fuori l’atmosfera, quindi questo termine sottrae energia disponibile. Poiché sopra il pistone non c’è nient’altro che l’atmosfera, il gas non fa lavoro su altri oggetti: $L_\text{gas}=0$. Il primo principio diventa

$\Delta E_\text{int} = Q + L_\text{atm}$

Serve più calore che a volume costante

A parità di salto di temperatura, con il pistone mobile serve più calore: una parte va ad aumentare l’energia interna, l’altra a “spingere via” l’atmosfera. È l’origine fisica del fatto che $C_p > C_v$.

Il calcolo numerico completo (azoto sotto un pistone libero) è svolto in Riscaldamento sotto il pistone; il risultato generale $C_p = C_v + R$ è ricavato in Riscaldamento a pressione costante: il coefficiente Cp.

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Argomenti: Termodinamica Concetti: Primo principio della termodinamica · Energia interna · Trasformazioni termodinamiche Oggetti: Gas ideale · Pistone e cilindro

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Azoto riscaldato in un cilindro rigido · Stessa temperatura, calore diverso

If the container has a movable piston that keeps the pressure equal to atmospheric pressure, the gas expands as it heats up. Now three contributions appear in the balance: the change in internal energy, the heat supplied and the work done by the atmosphere.

As the gas expands by $\Delta V_\text{gas} > 0$, the atmosphere is compressed by the same amount, i.e. $\Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas} < 0$. The work the atmosphere does on the gas is therefore

$L_\text{atm} = P_\text{atm}\,\Delta V_\text{atm} = -P_\text{atm}\,\Delta V_\text{gas} < 0$

The negative sign should be read in terms of the gas’s balance: the atmosphere gives energy to the gas when it compresses it, but here it is the gas that pushes the atmosphere out, so this term subtracts available energy. Since there is nothing above the piston but the atmosphere, the gas does no work on other objects: $L_\text{gas}=0$. The first law becomes

$\Delta E_\text{int} = Q + L_\text{atm}$

More heat is needed than at constant volume

For the same temperature change, with a movable piston more heat is needed: part goes into increasing the internal energy, the rest into “pushing away” the atmosphere. This is the physical origin of the fact that $C_p > C_v$.

The complete numerical calculation (nitrogen under a free piston) is worked through in Heating under the piston; the general result $C_p = C_v + R$ is derived in Heating at constant pressure: the coefficient Cp.

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Related exercises: Worked example — reversible vs irreversible isothermal expansion · Nitrogen heated in a rigid cylinder · Same temperature, different heat

Un caso particolarmente istruttivo. Un gas è inizialmente in metà di un contenitore isolato; l’altra metà è vuota. Si apre una valvola e il gas invade tutto il contenitore. Analizziamo i tre scambi:

• Il contenitore è isolato: $Q = 0$.
• Il gas si espande nel vuoto: non spinge contro nulla, quindi $L_\text{gas} = 0$.
• Non c’è atmosfera a contatto: $L_\text{atm} = 0$.

Dal primo principio segue immediatamente

$\Delta E_\text{int} = 0 \quad\Rightarrow\quad T_B = T_A$

Risultato notevole

Nell’espansione libera il gas si espande ma non si raffredda. Poiché l’energia interna di un gas ideale dipende solo da $T$, e nessuna energia entra o esce, la temperatura resta invariata.

Se il volume raddoppia ($V_B = 2V_A$), dalla legge dei gas perfetti a $T$ costante la pressione si dimezza:

$P_B = P_A\cdot\frac{V_A}{V_B} = \frac{P_A}{2}$

Questa è una trasformazione tipicamente irreversibile: durante l’espansione il gas non ha mai uno stato di equilibrio ben definito (le particelle in prima linea vanno nel vuoto prima di quelle dietro), quindi non avrebbe senso tracciare una curva da A a B nel diagramma $P$-$V$.

Perché NON è un'isoterma

Uno studente potrebbe dire: “Se $T_A = T_B$, allora è un’isoterma!”. Sbagliato. In un’isoterma reversibile il gas cede calore $Q = nRT\ln(V_B/V_A)$ a un termostato e compie un lavoro uguale sull’ambiente. Qui invece $Q = 0$ e $L = 0$. Le due trasformazioni hanno gli stessi stati iniziale e finale del gas, ma cambiano l’universo in modo diverso: l’una è reversibile (si può invertire), l’altra no. La differenza sarà chiarita dall’entropia, nel prossimo capitolo.

Il calcolo numerico completo (azoto, raddoppio del volume) è in Espansione libera di un gas.

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Argomenti: Termodinamica Concetti: Primo principio della termodinamica · Energia interna · Trasformazioni termodinamiche Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Esercizio svolto — espansione isoterma reversibile vs irreversibile · Azoto riscaldato in un cilindro rigido · Stessa temperatura, calore diverso

A particularly instructive case. A gas initially occupies half of an isolated container; the other half is empty. A valve is opened and the gas fills the whole container. Let us analyse the three exchanges:

• The container is isolated: $Q = 0$.
• The gas expands into a vacuum: it pushes against nothing, so $L_\text{gas} = 0$.
• There is no atmosphere in contact: $L_\text{atm} = 0$.

From the first law it follows immediately that

$\Delta E_\text{int} = 0 \quad\Rightarrow\quad T_B = T_A$

Notable result

In free expansion the gas expands but does not cool. Since the internal energy of an ideal gas depends only on $T$, and no energy enters or leaves, the temperature stays unchanged.

If the volume doubles ($V_B = 2V_A$), from the ideal gas law at constant $T$ the pressure halves:

$P_B = P_A\cdot\frac{V_A}{V_B} = \frac{P_A}{2}$

This is a typically irreversible transformation: during the expansion the gas never has a well-defined equilibrium state (the particles at the front rush into the vacuum before those behind), so it would make no sense to trace a curve from A to B on the $P$-$V$ diagram.

Why it is NOT an isotherm

A student might say: “If $T_A = T_B$, then it’s an isotherm!” Wrong. In a reversible isotherm the gas releases heat $Q = nRT\ln(V_B/V_A)$ to a thermostat and performs an equal amount of work on the surroundings. Here instead $Q = 0$ and $L = 0$. The two transformations have the same initial and final states of the gas, but they change the universe in different ways: one is reversible (it can be inverted), the other is not. The difference will be clarified by entropy, in the next chapter.

The complete numerical calculation (nitrogen, volume doubling) is in Free expansion of a gas.

Links

Topics: Thermodynamics Concepts: First law of thermodynamics · Internal energy · Thermodynamic transformations Objects: Ideal gas

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