Macchine termiche e rendimento

Una macchina termica trasforma calore in lavoro sfruttando la differenza di temperatura fra due sorgenti. Questa sezione parte dalla nota storica su Sadi Carnot, definisce macchina e rendimento, deriva il limite massimo di Carnot e mostra come lo stesso ciclo, percorso al contrario, diventi un frigorifero o una pompa di calore.

• Sadi Carnot — nota storica
• Che cos’è una macchina termica
• Il ciclo di Carnot e il rendimento massimo
• Frigoriferi e pompe di calore

A heat engine turns heat into work by exploiting the temperature difference between two sources. This section starts from the historical note on Sadi Carnot, defines engine and efficiency, derives Carnot’s maximum limit and shows how the same cycle, run backwards, becomes a refrigerator or a heat pump.

• Sadi Carnot — nota storica
• Che cos’è una macchina termica
• Il ciclo di Carnot e il rendimento massimo
• Frigoriferi e pompe di calore

Sadi Carnot (1796-1832) era un giovane ingegnere militare francese, figlio di quel Lazare Carnot che le guerre rivoluzionarie avevano soprannominato “l’organizzatore della vittoria”. Cresciuto durante l’apogeo dell’Impero napoleonico e testimone della sua caduta, Carnot bruciava dall’umiliazione che le macchine a vapore inglesi fossero più efficienti di quelle francesi. Fu proprio questa rivalità nazionale fra Francia e Inghilterra a spingerlo a cercare le leggi fondamentali del calore (Guillen 1995, pp. 172-173) Riferimenti bibliografici.

Nel 1824, a soli 28 anni, pubblicò le Réflexions sur la puissance motrice du feu. La sua intuizione decisiva: il rendimento di una macchina termica dipende solo dalla differenza di temperatura tra sorgente calda e sorgente fredda, non dal fluido di lavoro impiegato. È il nucleo di quello che diventerà il secondo principio della termodinamica (Simonyi 2012, pp. 373-374).

Carnot morì di colera a 36 anni, in quasi totale oscurità. Fu solo trent’anni dopo che Clausius e Lord Kelvin riconobbero la portata rivoluzionaria del suo lavoro, dandogli la forma matematica che studiamo ancora oggi (Buchwald e Fox 2014, cap. 4).

Contesto storico

Il ragionamento di Carnot è rivoluzionario perché non parte dal funzionamento concreto di una macchina per calcolarne le perdite: parte da un’astrazione — il ciclo ideale reversibile — e dimostra che nessuna macchina reale potrà mai fare di meglio. Un argomento di impossibilità che la fisica del Novecento erediterà come uno dei suoi strumenti distintivi.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica

Esercizi collegati: Problema — Una macchina troppo efficiente · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Carnot rispetto agli altri cicli

Sadi Carnot (1796-1832) was a young French military engineer, son of that Lazare Carnot whom the revolutionary wars had nicknamed “the organiser of victory”. Raised during the height of the Napoleonic Empire and a witness to its fall, Carnot burned with the humiliation that English steam engines were more efficient than French ones. It was precisely this national rivalry between France and England that drove him to seek the fundamental laws of heat (Guillen 1995, pp. 172-173) Riferimenti bibliografici.

In 1824, at just 28 years old, he published the Réflexions sur la puissance motrice du feu. His decisive insight: the efficiency of a heat engine depends only on the temperature difference between the hot source and the cold source, not on the working fluid used. This is the core of what would become the second law of thermodynamics (Simonyi 2012, pp. 373-374).

Carnot died of cholera at 36, in almost total obscurity. It was only thirty years later that Clausius and Lord Kelvin recognised the revolutionary scope of his work, giving it the mathematical form we still study today (Buchwald and Fox 2014, ch. 4).

Historical context

Carnot’s reasoning is revolutionary because it does not start from the concrete working of a machine in order to calculate its losses: it starts from an abstraction — the ideal reversible cycle — and shows that no real machine can ever do better. An impossibility argument that twentieth-century physics would inherit as one of its distinctive tools.

Linked notes

Topics: Macchine termiche Concepts: Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica

Related exercises: Problema — Una macchina troppo efficiente · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Carnot rispetto agli altri cicli

Una macchina termica è un dispositivo che, ripetendo un ciclo, converte in modo continuo calore in lavoro utile. Il suo funzionamento richiede sempre due sorgenti a temperatura diversa: assorbe calore $Q_H$ da una sorgente calda a temperatura $T_H$, ne converte una parte in lavoro meccanico $L$, e cede il resto $Q_C$ a una sorgente fredda a temperatura $T_C$.

L’intuizione fisica è che il calore non si trasforma mai integralmente in lavoro: una parte deve sempre “scivolare” verso il freddo. È questo flusso spontaneo dal caldo al freddo che la macchina intercetta e in parte devia sotto forma di lavoro, come una ruota idraulica intercetta l’acqua che cade da un dislivello.

Schema di una macchina termica: assorbe calore $Q_H$ dalla sorgente calda, produce lavoro $L$ e cede $Q_C$ alla sorgente fredda.

Il rendimento $\eta$ misura quale frazione del calore assorbito viene effettivamente convertita in lavoro. Poiché su un ciclo completo l’energia interna torna al valore iniziale, il primo principio impone $L_\text{netto} = Q_H - |Q_C|$: tutto ciò che entra e non esce come calore ceduto diventa lavoro.

Principio — Rendimento

$\ev{\eta = \frac{L_\text{netto}}{Q_H} = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_H}}$

Il rendimento è dunque sempre minore di $1$: sarebbe uguale a $1$ solo se $Q_C = 0$, cioè se la macchina non cedesse nulla al freddo. Ma questo è proprio ciò che il secondo principio vieta.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Rendimento Oggetti: Macchina termica

Esercizi collegati: Problema — Dimostrazione del rendimento di Carnot · Problema — Ciclo di Carnot monoatomico (400-250 K) · Problema — Ranking di quattro macchine di Carnot

A heat engine is a device that, by repeating a cycle, continuously converts heat into useful work. Its operation always requires two sources at different temperatures: it absorbs heat $Q_H$ from a hot source at temperature $T_H$, converts part of it into mechanical work $L$, and releases the rest $Q_C$ to a cold source at temperature $T_C$.

The physical intuition is that heat never converts entirely into work: part of it must always “slide” towards the cold. It is this spontaneous flow from hot to cold that the engine intercepts and partly diverts in the form of work, just as a water wheel intercepts water falling from a height.

Diagram of a heat engine: it absorbs heat $Q_H$ from the hot source, produces work $L$ and releases $Q_C$ to the cold source.

The efficiency $\eta$ measures what fraction of the absorbed heat is actually converted into work. Since over a full cycle the internal energy returns to its initial value, the first law imposes $L_\text{netto} = Q_H - |Q_C|$: everything that goes in and does not come out as released heat becomes work.

Principle — Efficiency

$\ev{\eta = \frac{L_\text{netto}}{Q_H} = 1 - \frac{|Q_C|}{Q_H}}$

Efficiency is therefore always less than $1$: it would equal $1$ only if $Q_C = 0$, i.e. if the engine released nothing to the cold. But this is precisely what the second law forbids.

Links

Topics: Macchine termiche Concepts: Rendimento Objects: Macchina termica

Related exercises: Problema — Dimostrazione del rendimento di Carnot · Problema — Ciclo di Carnot monoatomico (400-250 K) · Problema — Ranking di quattro macchine di Carnot

Il ciclo di Carnot è composto da due isoterme e due adiabatiche reversibili. È il ciclo più efficiente possibile fra due temperature date, e questa non è una coincidenza: lo si dimostra imponendo che tutte le trasformazioni siano reversibili, cioè che la variazione di entropia totale sia nulla in ciascuna fase ($\Delta S_\text{tot} = 0$).

Le due isoterme. Lungo un’isoterma di un gas ideale l’energia interna non cambia, quindi tutto il calore scambiato eguaglia il lavoro:

• $A \to B$ (espansione isoterma a $T_H$): $Q_H = nRT_H\ln(V_B/V_A)$
• $C \to D$ (compressione isoterma a $T_C$): $Q_C = nRT_C\ln(V_C/V_D)$

Le due adiabatiche. Lungo un’adiabatica reversibile vale $TV^{\gamma-1} = \text{cost}$, e l’entropia del gas resta costante:

$\begin{aligned} B \to C:\quad & T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \\ D \to A:\quad & T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1} \end{aligned}$

Il passaggio chiave. Dividendo membro a membro le due relazioni adiabatiche, i fattori di temperatura si semplificano e si ottiene $V_B/V_A = V_C/V_D$. I due logaritmi nelle espressioni di $Q_H$ e $Q_C$ sono quindi uguali, e restano solo le temperature:

$\frac{|Q_C|}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$

Sostituendo nel rendimento generale $\eta = 1 - |Q_C|/Q_H$ si arriva alla legge di Carnot.

Legge — Rendimento di Carnot

$\ev{\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H}}$ Nessuna macchina reale, per quanto raffinata, può superare questo valore fra le stesse due temperature.

Il fatto notevole è che nel risultato finale non compare il fluido di lavoro: il rendimento massimo dipende solo dalle due temperature, esattamente come Carnot aveva intuito nel 1824.

Attenzione — kelvin e terzo principio

Le temperature nella formula devono essere in kelvin, non in gradi Celsius. Un rendimento del $100\%$ richiederebbe $T_C = 0\;\text{K}$, uno zero assoluto fisicamente irraggiungibile per il terzo principio della termodinamica. Il muro di Carnot resta quindi sempre sotto il $100\%$.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica Oggetti: Gas ideale

Esercizi collegati: Problema — Una macchina troppo efficiente · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Carnot rispetto agli altri cicli

The Carnot cycle is made up of two isotherms and two reversible adiabats. It is the most efficient cycle possible between two given temperatures, and this is no coincidence: it is proven by imposing that all transformations be reversible, i.e. that the total entropy change be zero in each stage ($\Delta S_\text{tot} = 0$).

The two isotherms. Along an isotherm of an ideal gas the internal energy does not change, so all the exchanged heat equals the work:

• $A \to B$ (isothermal expansion at $T_H$): $Q_H = nRT_H\ln(V_B/V_A)$
• $C \to D$ (isothermal compression at $T_C$): $Q_C = nRT_C\ln(V_C/V_D)$

The two adiabats. Along a reversible adiabat $TV^{\gamma-1} = \text{const}$ holds, and the entropy of the gas stays constant:

$\begin{aligned} B \to C:\quad & T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \\ D \to A:\quad & T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1} \end{aligned}$

The key step. Dividing the two adiabatic relations side by side, the temperature factors cancel and we get $V_B/V_A = V_C/V_D$. The two logarithms in the expressions for $Q_H$ and $Q_C$ are therefore equal, and only the temperatures remain:

$\frac{|Q_C|}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$

Substituting into the general efficiency $\eta = 1 - |Q_C|/Q_H$ leads to Carnot’s law.

Law — Carnot efficiency

$\ev{\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H}}$ No real engine, however refined, can exceed this value between the same two temperatures.

The remarkable fact is that the working fluid does not appear in the final result: the maximum efficiency depends only on the two temperatures, exactly as Carnot had sensed in 1824.

Warning — kelvin and the third law

The temperatures in the formula must be in kelvin, not degrees Celsius. A $100\%$ efficiency would require $T_C = 0\;\text{K}$, an absolute zero physically unreachable due to the third law of thermodynamics. Carnot’s wall therefore always stays below $100\%$.

Links

Topics: Macchine termiche Concepts: Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica Objects: Gas ideale

Related exercises: Problema — Una macchina troppo efficiente · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Carnot rispetto agli altri cicli

Se il ciclo di Carnot viene percorso al contrario — in senso antiorario nel diagramma $P$-$V$ — la macchina inverte tutti i suoi flussi: invece di produrre lavoro, ne assorbe, e usa questo lavoro per spostare calore dalla sorgente fredda a quella calda, cioè contro il verso spontaneo del flusso di calore.

L’intuizione fisica è semplice: il calore non risale mai da solo dal freddo al caldo (secondo principio), ma possiamo pomparlo pagando con lavoro esterno. È esattamente ciò che fa il compressore di un frigorifero o di una pompa di calore.

Lo stesso dispositivo prende nomi diversi a seconda di cosa ci interessa:

• Frigorifero: ci interessa il calore $Q_C$ estratto dal vano freddo (raffreddare).
• Pompa di calore: ci interessa il calore $Q_H$ ceduto all’ambiente caldo (riscaldare).

Per queste macchine non si parla di rendimento (sarebbe maggiore di $1$ e non avrebbe senso confrontarlo con la macchina motrice) ma di coefficiente di prestazione (COP, coefficient of performance), cioè il rapporto fra l’effetto utile e il lavoro speso.

Sintesi

$\begin{aligned} \textbf{Motore:}\quad & \eta = \frac{L}{Q_H} \\ \textbf{Frigorifero:}\quad & \text{COP}_\text{fr} = \frac{Q_C}{L} \\ \textbf{Pompa di calore:}\quad & \text{COP}_\text{pdc} = \frac{Q_H}{L} \end{aligned}$ Il motore estrae lavoro dal calore; il frigorifero e la pompa di calore spendono lavoro per muovere calore. Il COP è tipicamente maggiore di $1$: con un joule di lavoro si spostano più joule di calore.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Frigorifero e pompa di calore · Secondo principio della termodinamica Oggetti: Frigorifero

Esercizi collegati: Problema — Frigo con la porta aperta · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Stanza con frigorifero aperto

If the Carnot cycle is run backwards — anticlockwise in the $P$-$V$ diagram — the engine reverses all its flows: instead of producing work, it absorbs it, and uses this work to move heat from the cold source to the hot one, i.e. against the spontaneous direction of heat flow.

The physical intuition is simple: heat never rises on its own from cold to hot (second law), but we can pump it by paying with external work. This is exactly what the compressor of a refrigerator or a heat pump does.

The same device takes different names depending on what interests us:

• Refrigerator: we are interested in the heat $Q_C$ extracted from the cold compartment (cooling).
• Heat pump: we are interested in the heat $Q_H$ released to the hot environment (heating).

For these machines we do not speak of efficiency (it would be greater than $1$ and it would make no sense to compare it with the driving engine) but of coefficient of performance (COP), i.e. the ratio between the useful effect and the work spent.

Summary

$\begin{aligned} \textbf{Engine:}\quad & \eta = \frac{L}{Q_H} \\ \textbf{Refrigerator:}\quad & \text{COP}_\text{fr} = \frac{Q_C}{L} \\ \textbf{Heat pump:}\quad & \text{COP}_\text{pdc} = \frac{Q_H}{L} \end{aligned}$ The engine extracts work from heat; the refrigerator and the heat pump spend work to move heat. The COP is typically greater than $1$: with one joule of work, more joules of heat are moved.

Links

Topics: Macchine termiche Concepts: Frigorifero e pompa di calore · Secondo principio della termodinamica Objects: Frigorifero

Related exercises: Problema — Frigo con la porta aperta · Problema — Vero o falso su macchine e frigoriferi · Problema — Stanza con frigorifero aperto