Energia potenziale gravitazionale universale

La formula $E_\text{pot} = mgh$ vale solo per piccoli dislivelli vicino al suolo. Per un corpo che si allontana molto dalla Terra serve l’espressione generale dell’energia potenziale gravitazionale, negativa e dipendente da $1/d$. Questa sezione la introduce, ne spiega il segno negativo e mostra come si raccorda con $mgh$ vicino alla superficie.

• Energia potenziale gravitazionale universale
• Raccordo con mgh vicino alla superficie

The formula $E_\text{pot} = mgh$ only holds for small height differences near the ground. For a body that moves far away from the Earth, we need the general expression for gravitational potential energy, which is negative and depends on $1/d$. This section introduces it, explains its negative sign, and shows how it connects with $mgh$ near the surface.

• Universal gravitational potential energy
• Connecting with mgh near the surface

Vicino alla superficie terrestre usiamo $E_\text{pot,g} = mgh$, valida per piccoli dislivelli. Ma se il corpo si allontana molto — per raggiungere un satellite geostazionario, o per sfuggire completamente alla Terra — la distanza dal centro cambia in modo apprezzabile e $g$ non è più costante. Serve allora la formula generale, che tiene conto della dipendenza della forza da $1/d^2$.

Energia potenziale gravitazionale universale

$\ev{E_{\text{pot,G}} = -G\,\frac{m_1\,m_2}{d}}$ dove $d$ è la distanza tra i centri delle due masse.

Tre osservazioni cruciali

1. La formula contiene $d$, non $d^2$: il quadrato compare solo nella legge della forza.
2. L’energia potenziale è sempre negativa e tende a zero solo quando $d\to\infty$. I corpi sono “legati” perché serve energia positiva per allontanarli fino all’infinito.
3. Quando un corpo cade verso l’altro, $d$ diminuisce e $E_\text{pot,G}$ diventa più negativa: il sistema “perde” energia potenziale, che si trasforma in cinetica.

La scelta dello zero all’infinito non è arbitraria: è il punto in cui i due corpi non interagiscono più. Da lì, avvicinandoli, l’energia potenziale scende sotto zero. Il valore negativo misura quindi quanto il sistema è “in buca”: più profondo il pozzo, più energia occorre per liberarsene.

L’energia potenziale gravitazionale è una funzione negativa che tende a zero all’infinito. Due corpi sono “legati” se la loro energia totale è negativa.

Campo e potenziale gravitazionale

L’energia potenziale $E_\text{pot,G} = -GMm/r$ dipende da due masse. Se la dividiamo per la massa $m$ del corpo “di prova”, resta una grandezza che dipende solo dalla massa $M$ che genera la gravità e dal punto in cui ci troviamo. Qui $r$ è la distanza dal centro di $M$, la $d$ della formula sopra.

Il campo gravitazionale è la forza per unità di massa. È un vettore: ha modulo $GM/r^2$, direzione radiale e verso che punta sempre verso il centro di $M$. Con il versore radiale $\uv{r}$, che punta dal centro verso l’esterno, si scrive $\ev{\vv{g} = -\,\frac{GM}{r^2}\,\uv{r}}$ Si misura in N/kg, che equivale a m/s²: sulla superficie terrestre è il nostro $g \approx 9{,}81$ m/s².

Il potenziale gravitazionale è l’energia potenziale per unità di massa. È uno scalare, si misura in J/kg ed è zero all’infinito: $\ev{V = \frac{E_\text{pot,G}}{m} = -\,\frac{GM}{r}}$

L’analogia con l’elettricità. Sono le stesse formule del campo elettrico e del potenziale di una carica puntiforme: $E = k|Q|/r^2$ e $V = kQ/r$, con $G$ al posto di $k$ e $M$ al posto di $Q$. La differenza è il segno. Le cariche possono attrarsi o respingersi, quindi $V$ elettrico può essere positivo o negativo. La massa invece è sempre positiva e la gravità attira sempre: per questo il campo gravitazionale punta sempre verso la sorgente e, con lo zero all’infinito, il potenziale è sempre negativo.

Esempio — il potenziale sulla superficie terrestre. Con $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}$ N·m²/kg², $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}$ kg e $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}$ m: $V = -\frac{GM_T}{R_T} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}37\cdot 10^{6}}\ \text{J/kg} \approx -6{,}25\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$ Vuol dire che per portare 1 kg dalla superficie fino all’infinito servono almeno circa $6{,}25\cdot 10^{7}$ J (resistenza dell’aria esclusa). È il conto da cui nasce la velocità di fuga.

Ritroverai le stesse idee, con le cariche, nel capitolo 14: Che cos’è il campo elettrico e Definizione di potenziale.

Potenziale gravitazionale della Terra in funzione della distanza dal centro (fuori dalla Terra): parte da circa $-6{,}25\cdot 10^7$ J/kg sulla superficie e sale verso zero allontanandosi.

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Argomenti: Gravitazione Concetti: Energia potenziale gravitazionale universale · Energia potenziale gravitazionale

Esercizi collegati: Velocità di fuga dalla Terra (energia) · Vero o falso su energia e orbite · Velocità di una cometa al perielio

Near the Earth’s surface we use $E_\text{pot,g} = mgh$, valid for small height differences. But if the body moves far away — to reach a geostationary satellite, or to escape the Earth entirely — its distance from the centre changes appreciably and $g$ is no longer constant. We then need the general formula, which accounts for the force’s dependence on $1/d^2$.

Universal gravitational potential energy

$\ev{E_{\text{pot,G}} = -G\,\frac{m_1\,m_2}{d}}$ where $d$ is the distance between the centres of the two masses.

Three crucial observations

1. The formula contains $d$, not $d^2$: the square appears only in the force law.
2. The potential energy is always negative and tends to zero only as $d\to\infty$. The bodies are “bound” because positive energy is needed to separate them all the way to infinity.
3. When one body falls towards the other, $d$ decreases and $E_\text{pot,G}$ becomes more negative: the system “loses” potential energy, which is converted into kinetic energy.

The choice of zero at infinity is not arbitrary: it is the point where the two bodies no longer interact. From there, as they are brought closer, the potential energy drops below zero. The negative value therefore measures how deep the system sits “in the well”: the deeper the well, the more energy is needed to escape it.

Gravitational potential energy is a negative function that tends to zero at infinity. Two bodies are “bound” if their total energy is negative.

Gravitational field and potential

The potential energy $E_\text{pot,G} = -GMm/r$ depends on two masses. If we divide it by the mass $m$ of the “test” body, we are left with a quantity that depends only on the mass $M$ producing the gravity and on where we are. Here $r$ is the distance from the centre of $M$, the $d$ in the formula above.

The gravitational field is force per unit mass. It is a vector: its magnitude is $GM/r^2$, its direction is radial and it always points towards the centre of $M$. Using the radial unit vector $\uv{r}$, which points outwards from the centre, we write $\ev{\vv{g} = -\,\frac{GM}{r^2}\,\uv{r}}$ It is measured in N/kg, which is the same as m/s²: at the Earth’s surface it is our familiar $g \approx 9.81$ m/s².

The gravitational potential is potential energy per unit mass. It is a scalar, measured in J/kg, and it is zero at infinity: $\ev{V = \frac{E_\text{pot,G}}{m} = -\,\frac{GM}{r}}$

The electric analogy. These are the same formulas as the electric field and potential of a point charge, $E = k|Q|/r^2$ and $V = kQ/r$, with $G$ in place of $k$ and $M$ in place of $Q$. The difference is the sign. Charges can attract or repel, so the electric $V$ can be positive or negative. Mass is always positive and gravity only ever attracts, so the gravitational field always points towards its source and, with zero at infinity, the potential is always negative.

Worked example — the potential at the Earth’s surface. With $G = 6.67\cdot 10^{-11}$ N·m²/kg², $M_E = 5.97\cdot 10^{24}$ kg and $R_E = 6.37\cdot 10^{6}$ m: $V = -\frac{GM_E}{R_E} = -\frac{6.67\cdot 10^{-11}\cdot 5.97\cdot 10^{24}}{6.37\cdot 10^{6}}\ \text{J/kg} \approx -6.25\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$ In other words, lifting 1 kg from the surface all the way to infinity takes at least about $6.25\cdot 10^{7}$ J (ignoring air resistance). This is the calculation behind escape velocity.

You will meet the same ideas, with charges instead of masses, in chapter 14: What is the electric field? and Definition of potential.

The Earth’s gravitational potential as a function of distance from its centre (outside the Earth): about $-6.25\cdot 10^7$ J/kg at the surface, rising towards zero further out.

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Topics: Gravitation Concepts: Universal gravitational potential energy · Gravitational potential energy

Related exercises: Escape velocity from Earth (energy) · True or false on energy and orbits · Speed of a comet at perihelion

Le due formule dell’energia potenziale — quella universale $-GM_Tm/d$ e quella scolastica $mgh$ — non si contraddicono: la seconda è il caso limite della prima per piccole quote. Vederlo esplicitamente rassicura che stiamo usando la stessa fisica a due livelli di approssimazione.

Vicino alla superficie terrestre poniamo $d = R_T + h$ con $h \ll R_T$. Sviluppando la formula universale al primo ordine in $h/R_T$:

$\begin{aligned} E_\text{pot,G} &= -\frac{GM_Tm}{R_T+h} \approx -\frac{GM_Tm}{R_T}\!\left(1 - \frac{h}{R_T}\right) \\ &= -\frac{GM_Tm}{R_T} + \frac{GM_T}{R_T^2}\,mh = -\frac{GM_Tm}{R_T} + mgh \end{aligned}$

Il primo termine è una costante (l’energia potenziale della superficie), il secondo è proprio $mgh$, avendo riconosciuto $g = GM_T/R_T^2$.

Perché la costante non conta

Le due formule differiscono solo per una costante additiva. Poiché in fisica contano sempre le variazioni $\Delta E_\text{pot}$, e non il valore assoluto, la costante si semplifica: usare $mgh$ o la formula universale porta agli stessi risultati per i dislivelli piccoli.

Questo spiega perché lo “zero” dell’energia potenziale è convenzionale: con $mgh$ lo mettiamo al suolo, con la formula universale all’infinito. La fisica misurabile — le velocità, le altezze raggiunte — non dipende da questa scelta.

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The two formulas for potential energy — the universal $-GM_Tm/d$ and the familiar textbook $mgh$ — do not contradict each other: the second is the limiting case of the first for small heights. Seeing this explicitly reassures us that we are using the same physics at two levels of approximation.

Near the Earth’s surface we set $d = R_T + h$ with $h \ll R_T$. Expanding the universal formula to first order in $h/R_T$:

$\begin{aligned} E_\text{pot,G} &= -\frac{GM_Tm}{R_T+h} \approx -\frac{GM_Tm}{R_T}\!\left(1 - \frac{h}{R_T}\right) \\ &= -\frac{GM_Tm}{R_T} + \frac{GM_T}{R_T^2}\,mh = -\frac{GM_Tm}{R_T} + mgh \end{aligned}$

The first term is a constant (the potential energy at the surface), the second is precisely $mgh$, having recognised $g = GM_T/R_T^2$.

Why the constant does not matter

The two formulas differ only by an additive constant. Since in physics it is always the changes $\Delta E_\text{pot}$ that matter, not the absolute value, the constant cancels out: using $mgh$ or the universal formula gives the same results for small height differences.

This explains why the “zero” of potential energy is conventional: with $mgh$ we place it at ground level, with the universal formula at infinity. The measurable physics — the speeds, the heights reached — does not depend on this choice.

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