Trasmissione del calore

Il calore si trasmette da un corpo caldo a uno freddo in tre modi: conduzione (attraverso i solidi), convezione (trasporto di massa nei fluidi) e irraggiamento (emissione di radiazione elettromagnetica). Spesso compaiono insieme, ma conviene descriverli uno per uno. Chiude la sezione l’effetto serra, applicazione dell’irraggiamento su scala planetaria.

• Conduzione
• Convezione
• Irraggiamento
• L’effetto serra

Heat is transferred from a hot body to a cold one in three ways: conduction (through solids), convection (mass transport in fluids) and radiation (emission of electromagnetic radiation). They often occur together, but it’s worth describing them one by one. The section closes with the greenhouse effect, an application of radiation on a planetary scale.

• Conduction
• Convection
• Radiation
• The greenhouse effect

La conduzione è il trasporto di energia attraverso un solido (o un fluido fermo), senza spostamento di materia. Il meccanismo è microscopico: le molecole della zona calda oscillano di più e, urtando le vicine, le mettono a oscillare a loro volta. L’agitazione termica si propaga così di molecola in molecola, dal caldo verso il freddo.

Per un blocco di area $A$ e spessore $d$, con le due facce a temperature $T_1$ e $T_2$ (con $T_1 > T_2$), il flusso di calore in regime stazionario è dato dalla legge di Fourier (in versione qualitativa):

Principio — Legge di Fourier (conduzione)

$\ev{\frac{Q}{\Delta t} = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{d}}$ con $k$ la conducibilità termica del materiale (unità W/(m·K)).

Conduzione attraverso una parete piana in regime stazionario. Il calore attraversa lo spessore $d$ senza che la materia si sposti; il flusso è tanto maggiore quanto più ampia è la superficie e quanto più ripido è il salto di temperatura fra le due facce.

Il flusso cresce dunque con l’area e con il salto di temperatura, e diminuisce con lo spessore: pareti spesse e di piccola area disperdono meno. Il parametro decisivo è però $k$, che spazia su quattro ordini di grandezza fra metalli e isolanti:

Metalli contro isolanti

La conducibilità di un metallo è circa $10^4$ volte quella di un buon isolante. Ecco perché una pentola metallica scotta in pochi secondi mentre una termocoperta di lana resta tiepida. E notare che l’aria ferma è uno dei migliori isolanti: è il vero segreto dei doppi vetri, dove a isolare non è il vetro ma l’intercapedine d’aria fra le lastre (vedi termocoperta contro finestra e doppio vetro).

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Conduction is the transport of energy through a solid (or a still fluid), without any movement of matter. The mechanism is microscopic: molecules in the hot region oscillate more and, colliding with their neighbours, set them oscillating too. Thermal agitation thus propagates from molecule to molecule, from hot towards cold.

For a block of area $A$ and thickness $d$, with the two faces at temperatures $T_1$ and $T_2$ (with $T_1 > T_2$), the heat flow in steady state is given by Fourier’s law (in qualitative form):

Principle — Fourier's law (conduction)

$\ev{\frac{Q}{\Delta t} = k\,A\,\frac{T_1 - T_2}{d}}$ where $k$ is the material’s thermal conductivity (units W/(m·K)).

Conduction through a flat wall in steady state. Heat crosses the thickness $d$ without any matter moving; the flow is greater the wider the surface and the steeper the temperature drop between the two faces.

The flow therefore grows with area and with the temperature gap, and decreases with thickness: thick walls of small area lose less heat. The decisive parameter, though, is $k$, which spans four orders of magnitude between metals and insulators:

Metals versus insulators

The conductivity of a metal is about $10^4$ times that of a good insulator. That’s why a metal pan gets scorching hot in a few seconds while a wool blanket stays lukewarm. And note that still air is one of the best insulators: it’s the real secret of double glazing, where what insulates is not the glass but the air gap between the panes (see electric blanket versus window and double glazing with an air gap).

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Nei fluidi (liquidi e gas) al trasporto per conduzione se ne aggiunge uno molto più efficiente: il trasporto di massa. Il fluido caldo, essendo meno denso, sale — per il principio di Archimede — mentre quello freddo, più denso, scende. Si formano così correnti circolari chiamate celle di convezione, che rimescolano continuamente il fluido portando calore dove serve.

Si distinguono due regimi:

• Convezione naturale: la circolazione è mossa solo dalla differenza di densità dovuta alla temperatura. Esempi: i radiatori di casa, la circolazione dell’atmosfera terrestre, le correnti oceaniche.
• Convezione forzata: un ventilatore o una pompa spingono attivamente il fluido. Esempi: il raffreddamento a ventola dei processori, il riscaldamento ad aria forzata.

Perché "si sta meglio in piedi" in una stanza fredda

Per convezione naturale l’aria fredda, più densa, ristagna in basso, mentre quella più calda sale verso il soffitto. In una stanza fredda i piedi sono quindi la parte più esposta: la stratificazione dell’aria è convezione all’opera.

La legge di raffreddamento di Newton

Una tazza di tè lasciata sul tavolo si raffredda in fretta all’inizio e poi sempre più piano. Il motivo è semplice: il calore ceduto all’aria (per convezione, ma in una tazza scoperta anche per evaporazione e irraggiamento) è tanto maggiore quanto più il corpo è caldo rispetto all’ambiente. Newton lo riassunse così: la rapidità con cui la temperatura scende è proporzionale alla differenza fra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente.

La soluzione di questa legge, per un corpo che parte da $T_0$ in un ambiente a temperatura costante $T_\text{amb}$, è $\ev{T(t) = T_\text{amb} + (T_0 - T_\text{amb})\,e^{-kt}}$ dove $k > 0$ si misura in s⁻¹ (o min⁻¹). È più grande per i corpi piccoli, con molta superficie a contatto con l’aria, e quando l’aria si muove (ventola, vento); è più piccola per i corpi grandi o ben isolati, come il caffè nel thermos.

Come si legge il grafico. A scendere in modo esponenziale non è la temperatura, ma l’eccesso di temperatura sull’ambiente, $T - T_\text{amb}$. La curva parte da $T_0$, scende sempre più lentamente e ha l’asintoto orizzontale $T = T_\text{amb}$: in teoria non lo raggiunge mai, in pratica dopo qualche $\tau$ non si distingue più. Il tempo caratteristico è $\tau = 1/k$, come nella scarica del condensatore:

• dopo un tempo $\tau$ l’eccesso si è ridotto a $e^{-1} \approx 37\%$ del valore iniziale;
• dopo $3\tau$ a circa il $5\%$, dopo $5\tau$ a meno dell’$1\%$;
• l’eccesso si dimezza in $t_{1/2} = \ln 2/k \approx 0{,}69\,\tau$;
• la tangente alla curva in $t = 0$ incontra l’asintoto proprio in $t = \tau$.

Esempio. Un tè a $T_0 = 90\,°$C in una stanza a $20\,°$C, con $k = 0{,}040$ min⁻¹, cioè $\tau = 25$ min. Dopo $25$ min l’eccesso è $70\cdot e^{-1} \approx 25{,}8\,°$C, quindi $T \approx 45{,}8\,°$C. Per sapere quando arriva a $60\,°$C si isola l’esponenziale e si usa il logaritmo: $t = \frac{1}{k}\,\ln\frac{T_0 - T_\text{amb}}{T - T_\text{amb}} = 25\ \text{min}\cdot\ln\frac{70}{40} \approx 14\ \text{min}$

Per chi fa le derivate (quinto anno e seconda prova). In forma di equazione la legge di Newton si scrive $\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_\text{amb})$ È un’equazione differenziale del primo ordine, a variabili separabili. Derivando $T(t)$ si ottiene $-k(T_0 - T_\text{amb})e^{-kt} = -k(T - T_\text{amb})$, quindi la funzione esponenziale è davvero la soluzione. Le domande tipiche sono proprio queste: verificare che $T(t)$ risolve l’equazione, ricavare $k$ da due misure, trovare il tempo per arrivare a una certa temperatura, studiare la funzione (decrescente, convessa, asintoto $y = T_\text{amb}$ se $T_0 > T_\text{amb}$).

Quando vale. È un modello: funziona bene quando la differenza di temperatura non è troppo grande, la temperatura del corpo è circa uniforme e quella dell’ambiente resta costante. Con l’irraggiamento importante (corpi molto caldi) o con l’evaporazione (il tè scoperto) diventa solo un’approssimazione.

Per mettere alla prova la legge con dati veri c’è il problema Raffreddamento di Newton. Per riconoscere un andamento esponenziale dai punti sperimentali: Legge esponenziale e grafico semilogaritmico (in scala semilogaritmica $T - T_\text{amb}$ diventa una retta di pendenza $-k$). La stessa forma $e^{-t/\tau}$ torna nella carica e scarica del condensatore.

Raffreddamento di un tè da 90 °C in una stanza a 20 °C ($k = 0{,}040$ min⁻¹). La temperatura tende all’asintoto $T_\text{amb}$; dopo un tempo $\tau = 1/k = 25$ min l’eccesso sull’ambiente è sceso al 37%, e la tangente iniziale incontra l’asintoto proprio in $t = \tau$.

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In fluids (liquids and gases), on top of conductive transport there is a much more efficient one: mass transport. The hot fluid, being less dense, rises — by Archimedes’ principle — while the cold, denser fluid sinks. This forms circular currents called convection cells, which continuously mix the fluid, carrying heat where it’s needed.

Two regimes can be distinguished:

• Natural convection: circulation is driven only by the density difference due to temperature. Examples: household radiators, the circulation of the Earth’s atmosphere, ocean currents.
• Forced convection: a fan or pump actively pushes the fluid. Examples: fan cooling of processors, forced-air heating.

Why "you're better off standing" in a cold room

By natural convection, cold, denser air stagnates at the bottom, while warmer air rises towards the ceiling. In a cold room the feet are therefore the most exposed part: air stratification is convection at work.

Newton's law of cooling

A cup of tea left on the table cools quickly at first and then more and more slowly. The reason is simple: the heat given up to the air (by convection, but in an uncovered cup also by evaporation and radiation) is greater the hotter the body is compared with its surroundings. Newton summed it up like this: the rate at which the temperature falls is proportional to the difference between the temperature of the body and that of its surroundings.

The solution of this law, for a body starting at $T_0$ in surroundings at constant temperature $T_\text{amb}$, is $\ev{T(t) = T_\text{amb} + (T_0 - T_\text{amb})\,e^{-kt}}$ where $k > 0$ is measured in s⁻¹ (or min⁻¹). It is larger for small bodies, with a lot of surface in contact with the air, and when the air is moving (a fan, the wind); it is smaller for large or well-insulated bodies, like coffee in a thermos flask.

How to read the graph. What decreases exponentially is not the temperature but the excess temperature over the surroundings, $T - T_\text{amb}$. The curve starts at $T_0$, falls more and more slowly and has the horizontal asymptote $T = T_\text{amb}$: in theory it never reaches it, in practice after a few $\tau$ the difference can no longer be seen. The characteristic time is $\tau = 1/k$, as for a discharging capacitor:

• after a time $\tau$ the excess has dropped to $e^{-1} \approx 37\%$ of its initial value;
• after $3\tau$ to about $5\%$, after $5\tau$ to less than $1\%$;
• the excess halves in $t_{1/2} = \ln 2/k \approx 0.69\,\tau$;
• the tangent to the curve at $t = 0$ meets the asymptote exactly at $t = \tau$.

Worked example. Tea at $T_0 = 90\,°$C in a room at $20\,°$C, with $k = 0.040$ min⁻¹, i.e. $\tau = 25$ min. After $25$ min the excess is $70\cdot e^{-1} \approx 25.8\,°$C, so $T \approx 45.8\,°$C. To find when it reaches $60\,°$C, isolate the exponential and take the logarithm: $t = \frac{1}{k}\,\ln\frac{T_0 - T_\text{amb}}{T - T_\text{amb}} = 25\ \text{min}\cdot\ln\frac{70}{40} \approx 14\ \text{min}$

If you know derivatives (final year and the maths exam). Written as an equation, Newton’s law reads $\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_\text{amb})$ It is a first-order separable differential equation. Differentiating $T(t)$ gives $-k(T_0 - T_\text{amb})e^{-kt} = -k(T - T_\text{amb})$, so the exponential function really is the solution. The typical questions are exactly these: check that $T(t)$ solves the equation, find $k$ from two measurements, find the time needed to reach a given temperature, study the function (decreasing, convex, asymptote $y = T_\text{amb}$ when $T_0 > T_\text{amb}$).

When it holds. It is a model: it works well when the temperature difference is not too large, the body’s temperature is roughly uniform and the surroundings stay at a constant temperature. When radiation matters (very hot bodies) or with evaporation (uncovered tea) it is only an approximation.

To test the law against real data, see the problem Newton’s cooling. To recognise an exponential trend from experimental points: Exponential law and semi-log graph (on a semi-log plot $T - T_\text{amb}$ becomes a straight line with slope $-k$). The same $e^{-t/\tau}$ shape comes back in charging and discharging a capacitor.

Tea cooling from 90 °C in a room at 20 °C ($k = 0.040$ min⁻¹). The temperature approaches the asymptote $T_\text{amb}$; after a time $\tau = 1/k = 25$ min the excess over the surroundings has dropped to 37%, and the initial tangent meets the asymptote exactly at $t = \tau$.

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Ogni corpo a temperatura $T > 0$ K emette radiazione elettromagnetica: è l’emissione termica, e a differenza di conduzione e convezione non richiede alcun mezzo materiale — funziona anche nel vuoto (è così che ci arriva il calore del Sole). Per un corpo nero perfetto la potenza emessa per unità di area segue la legge di Stefan-Boltzmann:

Principio — Legge di Stefan-Boltzmann

$\ev{\frac{P}{A} = \sigma\,T^4}$ con $\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\;\text{W}/(\text{m}^2\text{K}^4)$. Per un corpo reale si introduce l’emissività $\varepsilon \le 1$, e la potenza emessa diventa $P = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^4$.

La dipendenza dalla quarta potenza della temperatura assoluta è la caratteristica dominante: qui $T$ va necessariamente in kelvin. Un corpo non solo emette, ma anche assorbe radiazione dall’ambiente; conta quindi il bilancio netto.

Bilancio radiativo

Un corpo a temperatura $T$ immerso in un ambiente a $T_\text{amb}$ scambia una potenza netta $P_\text{netta} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4 - T_\text{amb}^4)$ Per $T \approx T_\text{amb}$ la formula si linearizza in $P_\text{netta} \approx 4\,\varepsilon\,\sigma\,A\,T^3\,(T - T_\text{amb})$.

Perché le stelle calde sono così luminose

Il fattore $T^4$ spiega perché le stelle calde sono miliardi di volte più luminose di quelle fredde: raddoppiare la temperatura moltiplica per $2^4 = 16$ la potenza irradiata per unità di superficie. Piccole differenze di temperatura producono enormi differenze di luminosità.

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Every body at temperature $T > 0$ K emits electromagnetic radiation: this is thermal emission, and unlike conduction and convection it requires no material medium — it works even in a vacuum (this is how the Sun’s heat reaches us). For a perfect black body, the power emitted per unit area follows the Stefan-Boltzmann law:

Principle — Stefan-Boltzmann law

$\ev{\frac{P}{A} = \sigma\,T^4}$ where $\sigma = 5.67\cdot 10^{-8}\;\text{W}/(\text{m}^2\text{K}^4)$. For a real body an emissivity $\varepsilon \le 1$ is introduced, and the emitted power becomes $P = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^4$.

The dependence on the fourth power of the absolute temperature is the dominant feature: here $T$ must be in kelvin. A body not only emits but also absorbs radiation from its surroundings; what matters is therefore the net balance.

Radiative balance

A body at temperature $T$ immersed in a surrounding at $T_\text{amb}$ exchanges a net power $P_\text{net} = \varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4 - T_\text{amb}^4)$ For $T \approx T_\text{amb}$ the formula linearises to $P_\text{net} \approx 4\,\varepsilon\,\sigma\,A\,T^3\,(T - T_\text{amb})$.

Why hot stars are so luminous

The $T^4$ factor explains why hot stars are billions of times more luminous than cold ones: doubling the temperature multiplies the power radiated per unit surface by $2^4 = 16$. Small temperature differences produce enormous differences in luminosity.

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L’effetto serra è un’applicazione diretta dell’irraggiamento e del suo legame con la temperatura. La Terra riceve dal Sole radiazione visibile: il Sole ha temperatura superficiale $\sim 5800$ K e, per la legge dello spostamento di Wien, emette con il picco nel visibile. La Terra, molto più fredda ($\sim 290$ K), riemette invece nell’infrarosso, con il picco attorno a $\sim 10\,\mu$m.

Qui sta il punto: i gas dell’atmosfera (CO$_2$, H$_2$O, CH$_4$) sono in gran parte trasparenti al visibile in arrivo, ma opachi all’infrarosso in uscita. Trattengono così parte dell’energia che la Terra tenterebbe di riemettere verso lo spazio, alzando la temperatura di equilibrio della superficie.

Effetto serra e riscaldamento globale

L’effetto serra naturale è ciò che rende la Terra abitabile: senza, la temperatura media sarebbe ben sotto lo zero. Il riscaldamento globale è l’amplificazione antropica di questo effetto, dovuta all’aumento della concentrazione di gas serra da combustibili fossili (Bloomfield 2016). Vedi Riferimenti bibliografici.

Il meccanismo mostra come un fenomeno microscopico — la diversa opacità di certe molecole a diverse lunghezze d’onda — governi il clima dell’intero pianeta attraverso il bilancio radiativo di Stefan-Boltzmann.

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The greenhouse effect is a direct application of radiation and its link with temperature. The Earth receives visible radiation from the Sun: the Sun has a surface temperature of $\sim 5800$ K and, by Wien’s displacement law, emits with its peak in the visible. The Earth, much colder ($\sim 290$ K), instead re-emits in the infrared, with its peak around $\sim 10\,\mu$m.

Here’s the crux: atmospheric gases (CO$_2$, H$_2$O, CH$_4$) are largely transparent to the incoming visible light, but opaque to the outgoing infrared. They thus trap part of the energy that the Earth would try to re-emit into space, raising the surface’s equilibrium temperature.

Greenhouse effect and global warming

The natural greenhouse effect is what makes the Earth habitable: without it, the average temperature would be well below freezing. Global warming is the anthropogenic amplification of this effect, due to the rising concentration of greenhouse gases from fossil fuels (Bloomfield 2016). See Riferimenti bibliografici.

The mechanism shows how a microscopic phenomenon — the differing opacity of certain molecules at different wavelengths — governs the climate of the whole planet through the Stefan-Boltzmann radiative balance.

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