Teorema di Gauss

Il flusso delle linee di campo è lo strumento unificante di tutto lo studio del campo elettrico: invece di integrare direttamente il campo su una superficie, il teorema di Gauss permette di contare le linee che la attraversano. Partendo dal lemma per superfici aperte si arriva alla legge di Gauss per superfici chiuse, che lega il flusso alla sola carica racchiusa. Quando la geometria possiede una simmetria (sferica, planare, cilindrica) questo teorema diventa un metodo di calcolo rapidissimo per il campo elettrico.

• Flusso e lemma di Gauss
• Gauss per superfici chiuse
• Campo di una sfera uniformemente carica
• Campo di un guscio sferico
• Il dipolo elettrico
• Campo di un piano infinito
• Campo di un filo infinito

The flux of field lines is the unifying tool for the whole study of the electric field: instead of directly integrating the field over a surface, Gauss’s theorem allows us to count the lines crossing it. Starting from the lemma for open surfaces, we arrive at Gauss’s law for closed surfaces, which links the flux solely to the enclosed charge. When the geometry has a symmetry (spherical, planar, cylindrical), this theorem becomes an extremely fast calculation method for the electric field.

• Flux and Gauss’s lemma
• Gauss for closed surfaces
• Field of a uniformly charged sphere
• Field of a spherical shell
• The electric dipole
• Field of an infinite plane
• Field of an infinite wire

Il flusso delle linee di campo è lo strumento unificante di tutta l’elettrostatica dei campi. Conviene partire dalla forma più generale, quella valida per le superfici aperte, per poi arrivare alla legge di Gauss per superfici chiuse come caso particolare.

Data una qualsiasi superficie $\mathcal{S}$ (aperta o chiusa), orientata da una normale $\uv{n}$, si definisce il flusso del campo elettrico attraverso di essa come l’integrale della componente normale del campo:

$\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = \int_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot\dd\vec{S} \approx \sum_i \vec{E}_i \cdot \Delta\vec{S}_i$

Il significato geometrico è semplice e potente: il flusso conta quante linee di campo forano la superficie, con segno positivo se le linee escono nel verso di $\uv{n}$ e negativo se la attraversano nel verso opposto. Il flusso netto è dunque una misura con segno del numero di linee passanti.

Principio — Lemma di Gauss per superfici aperte

Il flusso del campo $\vec{E}$ attraverso qualsiasi superficie $\mathcal{S}$ è proporzionale al numero netto di linee che la attraversano: $\ev{\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = 4\pi k\,N_{\mathcal{S}}}$ dove $N_{\mathcal{S}}$ è la carica equivalente (in coulomb) delle linee che forano $\mathcal{S}$, contata con segno ($+$ nel verso di $\uv{n}$, $-$ nel verso opposto).

Note

Poiché $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, il lemma si può scrivere anche nella forma compatta $\Phi = \frac{N_{\mathcal{S}}}{\varepsilon_0}$

Questo è il punto di partenza del paradigma di Gauss: invece di eseguire il faticoso integrale di $\vec{E}$ su $\mathcal{S}$, basta contare le linee che la attraversano. È un cambio di prospettiva che, in presenza di simmetria, semplifica enormemente il calcolo del campo.

Il lemma di Gauss per superfici aperte. A sinistra: tutte le linee bucano la superficie nello stesso verso ($N = 6$, flusso positivo). A destra: alcune linee attraversano nella direzione di $\uv{n}$ (rosse, $+$), altre in senso opposto (blu, $-$); il flusso netto vale $4\pi k(N_+ - N_-)$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

Esercizi collegati: Quale grafico di E · Dal campo al raggio sferico · Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

The flux of field lines is the unifying tool of all field electrostatics. It is worth starting from the most general form, the one valid for open surfaces, and then arriving at Gauss’s law for closed surfaces as a special case.

Given any surface $\mathcal{S}$ (open or closed), oriented by a normal $\uv{n}$, we define the flux of the electric field through it as the integral of the normal component of the field:

$\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = \int_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot\dd\vec{S} \approx \sum_i \vec{E}_i \cdot \Delta\vec{S}_i$

The geometric meaning is simple and powerful: the flux counts how many field lines pierce the surface, with a positive sign if the lines emerge in the direction of $\uv{n}$ and negative if they cross it in the opposite direction. The net flux is thus a signed measure of the number of lines passing through.

Principle — Gauss's lemma for open surfaces

The flux of the field $\vec{E}$ through any surface $\mathcal{S}$ is proportional to the net number of lines crossing it: $\ev{\Phi(\vec{E},\mathcal{S}) = 4\pi k\,N_{\mathcal{S}}}$ where $N_{\mathcal{S}}$ is the equivalent charge (in coulombs) of the lines piercing $\mathcal{S}$, counted with sign ($+$ in the direction of $\uv{n}$, $-$ in the opposite direction).

Note

Since $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, the lemma can also be written in the compact form $\Phi = \frac{N_{\mathcal{S}}}{\varepsilon_0}$

This is the starting point of Gauss’s paradigm: instead of carrying out the laborious integral of $\vec{E}$ over $\mathcal{S}$, it is enough to count the lines crossing it. It is a change of perspective that, in the presence of symmetry, enormously simplifies the calculation of the field.

Gauss’s lemma for open surfaces. Left: all lines pierce the surface in the same direction ($N = 6$, positive flux). Right: some lines cross in the direction of $\uv{n}$ (red, $+$), others in the opposite direction (blue, $-$); the net flux equals $4\pi k(N_+ - N_-)$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

Esercizi collegati: Which graph of E · From the field to the spherical radius · Speculative physics: Coulomb 1 over r cubed

Quando la superficie $\mathcal{S}$ è chiusa (come un pallone) e la si orienta con la normale $\uv{n}$ rivolta verso l’esterno, accade qualcosa di speciale. Ogni linea di campo generata da una carica esterna entra ed esce dalla superficie esattamente una volta: contribuisce con $+1$ nel punto di uscita e con $-1$ nel punto di ingresso, quindi con contributo netto nullo. Solo le linee generate dalle cariche interne danno un contributo netto al flusso.

Principio — Teorema di Gauss per superfici chiuse

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende soltanto dalla carica racchiusa: $\ev{\Phi(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}$ dove $Q_{\text{int}}$ è la carica totale racchiusa dalla superficie e $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ è la costante dielettrica del vuoto.

Note

Poiché $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, il teorema di Gauss in forma chiusa è semplicemente il lemma di Gauss applicato a una superficie chiusa, con le cariche esterne che si elidono a coppie: $\Phi = 4\pi k \cdot N_{\text{nette}} = 4\pi k \cdot Q_{\text{int}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Il teorema di Gauss diventa uno strumento di calcolo potente quando la geometria del problema possiede una simmetria che permette di estrarre $\abs{\vec{E}}$ dall’integrale di flusso: in quei casi il campo è costante in modulo sulla superficie gaussiana e si può portare fuori dall’integrale. Le situazioni standard (sfera, guscio, piano, filo) sono trattate nelle sezioni seguenti.

Teorema di Gauss: il flusso dipende solo dalla carica racchiusa dentro la superficie chiusa. Se la carica è esterna, ogni linea che entra esce anche, e il flusso netto è nullo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

Esercizi collegati: Quale grafico di E · Dal campo al raggio sferico · Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

When the surface $\mathcal{S}$ is closed (like a balloon) and is oriented with the normal $\uv{n}$ pointing outward, something special happens. Every field line generated by an external charge enters and exits the surface exactly once: it contributes $+1$ at the exit point and $-1$ at the entry point, so with a net contribution of zero. Only the lines generated by internal charges give a net contribution to the flux.

Principle — Gauss's theorem for closed surfaces

The flux of the electric field through a closed surface depends only on the enclosed charge: $\ev{\Phi(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}}$ where $Q_{\text{int}}$ is the total charge enclosed by the surface and $\varepsilon_0 = 8.85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ is the permittivity of free space.

Note

Since $4\pi k = 1/\varepsilon_0$, Gauss’s theorem in closed form is simply Gauss’s lemma applied to a closed surface, with the external charges cancelling in pairs: $\Phi = 4\pi k \cdot N_{\text{net}} = 4\pi k \cdot Q_{\text{int}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Gauss’s theorem becomes a powerful calculation tool when the geometry of the problem has a symmetry that allows $\abs{\vec{E}}$ to be extracted from the flux integral: in these cases the field has constant magnitude on the Gaussian surface and can be taken outside the integral. The standard situations (sphere, shell, plane, wire) are treated in the following sections.

Gauss’s theorem: the flux depends only on the charge enclosed inside the closed surface. If the charge is external, every line that enters also exits, and the net flux is zero.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

Esercizi collegati: Which graph of E · From the field to the spherical radius · Speculative physics: Coulomb 1 over r cubed

Consideriamo una sfera di raggio $R$ con carica totale $Q$ distribuita uniformemente nel volume, e cerchiamo il campo elettrico a distanza $r$ dal centro. La simmetria sferica garantisce che il campo sia radiale e con modulo costante su ogni sfera concentrica: possiamo dunque scegliere come superficie gaussiana una sfera di raggio $r$ e portare $E$ fuori dall’integrale di flusso, $\Phi = E\cdot 4\pi r^2$.

Fuori dalla sfera ($r > R$). La superficie gaussiana racchiude tutta la carica $Q$. Il teorema di Gauss dà:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{r^2}$

All’esterno la sfera si comporta esattamente come una carica puntiforme concentrata nel centro: il campo decresce come $1/r^2$.

Dentro la sfera ($r < R$). Ora la superficie gaussiana racchiude solo la frazione di carica contenuta nella sfera di raggio $r$. Poiché la densità è uniforme, la carica racchiusa scala col volume, cioè come $r^3/R^3$:

$Q_{\text{int}} = Q\,\frac{r^3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{R^3}\,r$

All’interno il campo è dunque lineare in $r$: parte da zero al centro, cresce fino al massimo sulla superficie ($r = R$), e da lì in poi decresce come $1/r^2$.

Formula chiave

Sfera uniformemente carica di raggio $R$ e carica $Q$: $\ev{\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \\ E &= k\,\frac{Q}{R^3}\,r & &(r < R) \end{aligned}}$ Il campo cresce linearmente dentro, raggiunge il massimo in $r = R$, poi decade come $1/r^2$ fuori.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Sfera carica

Esercizi collegati: Quale grafico di E · Dal campo al raggio sferico · Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

Consider a sphere of radius $R$ with total charge $Q$ distributed uniformly through the volume, and let us find the electric field at distance $r$ from the centre. Spherical symmetry guarantees that the field is radial and of constant magnitude on every concentric sphere: we can therefore choose as the Gaussian surface a sphere of radius $r$ and take $E$ outside the flux integral, $\Phi = E\cdot 4\pi r^2$.

Outside the sphere ($r > R$). The Gaussian surface encloses all the charge $Q$. Gauss’s theorem gives:

$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{r^2}$

Outside, the sphere behaves exactly like a point charge concentrated at the centre: the field decreases as $1/r^2$.

Inside the sphere ($r < R$). Now the Gaussian surface encloses only the fraction of charge contained in the sphere of radius $r$. Since the density is uniform, the enclosed charge scales with the volume, that is as $r^3/R^3$:

$Q_{\text{int}} = Q\,\frac{r^3}{R^3} \quad\Rightarrow\quad E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E = k\,\frac{Q}{R^3}\,r$

Inside, the field is thus linear in $r$: it starts from zero at the centre, grows to a maximum at the surface ($r = R$), and from there decreases as $1/r^2$.

Key formula

Uniformly charged sphere of radius $R$ and charge $Q$: $\ev{\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \\ E &= k\,\frac{Q}{R^3}\,r & &(r < R) \end{aligned}}$ The field grows linearly inside, reaches its maximum at $r = R$, then decays as $1/r^2$ outside.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Sfera carica

Esercizi collegati: Which graph of E · From the field to the spherical radius · Speculative physics: Coulomb 1 over r cubed

Il guscio sferico (o sfera cava) uniformemente carico è uno dei risultati più eleganti dell’elettrostatica: fuori si comporta come una carica puntiforme, dentro il campo è esattamente nullo.

Principio — Campo del guscio sferico

Un guscio sferico conduttore di raggio $R$ con carica $Q$ genera: $\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \quad \text{come carica puntiforme} \\ E &= 0 & &(r < R) \quad \text{campo nullo all'interno} \end{aligned}$ Il potenziale all’interno è costante e pari a $V = kQ/R$.

Formula chiave

Guscio sferico di raggio $R$: $\ev{E = 0 \quad (r < R), \qquad V = \frac{kQ}{R} \quad (r \leq R)}$ Il potenziale interno è costante, uguale al valore assunto sulla superficie.

Perché $E = 0$ dentro? Per la simmetria sferica, una superficie gaussiana interna (una sfera di raggio $r < R$) non racchiude alcuna carica, poiché tutta la carica $Q$ sta sul guscio esterno. Il teorema di Gauss dà allora

$\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0$

e, poiché per simmetria il campo dovrebbe essere lo stesso in ogni punto della superficie gaussiana, l’unica possibilità compatibile con flusso nullo è $E = 0$ in ogni punto interno.

Note

Il guscio sferico è alla base della gabbia di Faraday: un conduttore cavo scherma completamente il proprio interno dai campi elettrici esterni. Questo principio è sfruttato nei laboratori di misure elettriche, nella schermatura dei forni a microonde e nell’elettronica di precisione.

Campo del guscio sferico uniformemente carico. Le linee di campo escono solo verso l’esterno, come da una carica puntiforme. All’interno non ci sono linee: $E = 0$. Il potenziale interno è costante e uguale al valore sulla superficie.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss · Conduttori in equilibrio elettrostatico Oggetti: Sfera carica

Esercizi collegati: Due sfere conduttrici collegate · Schermo e carica in un conduttore cavo · Disegna le equipotenziali

The uniformly charged spherical shell (or hollow sphere) is one of the most elegant results in electrostatics: outside it behaves like a point charge, inside the field is exactly zero.

Principle — Field of the spherical shell

A conducting spherical shell of radius $R$ with charge $Q$ generates: $\begin{aligned} E &= k\,\frac{Q}{r^2} & &(r > R) \quad \text{like a point charge} \\ E &= 0 & &(r < R) \quad \text{zero field inside} \end{aligned}$ The potential inside is constant and equal to $V = kQ/R$.

Key formula

Spherical shell of radius $R$: $\ev{E = 0 \quad (r < R), \qquad V = \frac{kQ}{R} \quad (r \leq R)}$ The internal potential is constant, equal to the value at the surface.

Why is $E = 0$ inside? By spherical symmetry, an internal Gaussian surface (a sphere of radius $r < R$) encloses no charge, since all the charge $Q$ sits on the outer shell. Gauss’s theorem then gives

$\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = 0$

and, since by symmetry the field should be the same at every point on the Gaussian surface, the only possibility compatible with zero flux is $E = 0$ at every internal point.

Note

The spherical shell underlies the Faraday cage: a hollow conductor completely shields its interior from external electric fields. This principle is exploited in electrical measurement laboratories, in microwave oven shielding, and in precision electronics.

Field of the uniformly charged spherical shell. The field lines emerge only outward, as from a point charge. Inside there are no lines: $E = 0$. The internal potential is constant and equal to the value at the surface.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss · Conduttori in equilibrio elettrostatico Oggetti: Sfera carica

Esercizi collegati: Two connected conducting spheres · Shield and charge in a hollow conductor · Draw the equipotentials

Il primo sistema non puntiforme che incontriamo è il dipolo elettrico: due cariche opposte $+q$ e $-q$ tenute a distanza fissa $d$. Compare in moltissimi contesti fisici — molecole d’acqua, antenne, materiali dielettrici — e merita un’analisi a parte.

Principio — Momento di dipolo

Per due cariche opposte $\pm q$ a distanza $d$ si definisce il momento di dipolo come il vettore $\ev{\vec p = q\,\vec d}$ dove $\vec d$ è il vettore che va dalla carica negativa alla positiva. Il modulo è $\abs{p} = q\,d$, con unità $\text{C}\cdot\text{m}$.

Formula chiave

$\vec p = q\vec d \qquad (q \to -q \text{ inverte } \vec p)$ A grande distanza il campo decresce come $E \propto 1/r^3$. L’energia in un campo esterno vale $U = -\vec p\cdot\vec E$.

Campo a grande distanza

A distanza $r \gg d$ dal centro del dipolo, i campi delle due cariche quasi si cancellano, e ciò che resta decresce più rapidamente di quello di una singola carica:

$E_\text{dipolo}(r) \sim \frac{k\,p}{r^3} \qquad (r \gg d)$

cioè come $1/r^3$ e non come $1/r^2$. La direzione del campo residuo dipende dal punto di osservazione.

Le due direzioni caratteristiche del campo di dipolo: lungo l’asse (assiale) e sul piano perpendicolare al momento (equatoriale).

Lungo l’asse del dipolo il campo vale $E_\text{ass} = 2kp/r^3$; sul piano equatoriale invece $E_\text{eq} = -kp/r^3$, opposto a $\vec p$ e di intensità dimezzata. La dipendenza $1/r^3$ è il marchio inconfondibile del dipolo.

Dipolo in un campo esterno

Un dipolo immerso in un campo elettrico uniforme $\vec E$ non sente forza netta — i due contributi $+q\vec E$ e $-q\vec E$ si cancellano — ma sente un momento meccanico che tende ad allinearlo al campo:

$\vec\tau = \vec p \wedge \vec E \qquad U = -\vec p\cdot\vec E = -p\,E\,\cos\theta$

con $\theta$ l’angolo fra $\vec p$ ed $\vec E$. L’orientazione di energia minima è $\theta = 0$ (dipolo allineato al campo), quella di energia massima è $\theta = \pi$ (dipolo antiparallelo).

Esempio — Acqua e microonde

La molecola di H$_2$O ha un momento di dipolo permanente di modulo $p \approx 6{,}2\cdot 10^{-30}\;\text{C}\cdot\text{m}$, perché l’ossigeno è più elettronegativo dell’idrogeno e “tira” gli elettroni verso di sé. Nelle microonde, un campo elettrico oscillante a $f = 2{,}45$ GHz fa ruotare avanti e indietro tutti i dipoli dell’acqua nel cibo: l’attrito molecolare converte questo moto rotatorio in calore. Per questo le microonde scaldano l’acqua (e quindi i cibi umidi) ma non un piatto asciutto di ceramica (Bloomfield 2016).

Sintesi

Momento di dipolo: $\vec p = q\vec d$. Campo lontano $\propto 1/r^3$. Coppia in campo esterno: $\vec\tau = \vec p\wedge\vec E$. Energia: $U = -\vec p\cdot\vec E$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Dipolo elettrico · Campo elettrico

Esercizi collegati: Dipolo e carica di prova · Esercizio svolto — dipolo elettrico sull’asse · Dipolo in campo uniforme

The first non-point-like system we encounter is the electric dipole: two opposite charges $+q$ and $-q$ held at a fixed distance $d$. It appears in a great many physical contexts — water molecules, antennas, dielectric materials — and deserves separate treatment.

Principle — Dipole moment

For two opposite charges $\pm q$ at distance $d$ we define the dipole moment as the vector $\ev{\vec p = q\,\vec d}$ where $\vec d$ is the vector going from the negative charge to the positive one. Its magnitude is $\abs{p} = q\,d$, with units $\text{C}\cdot\text{m}$.

Key formula

$\vec p = q\vec d \qquad (q \to -q \text{ reverses } \vec p)$ At large distance the field decreases as $E \propto 1/r^3$. The energy in an external field is $U = -\vec p\cdot\vec E$.

Field at large distance

At distance $r \gg d$ from the centre of the dipole, the fields of the two charges almost cancel, and what remains decreases more rapidly than that of a single charge:

$E_\text{dipole}(r) \sim \frac{k\,p}{r^3} \qquad (r \gg d)$

that is, as $1/r^3$ rather than $1/r^2$. The direction of the residual field depends on the point of observation.

The two characteristic directions of the dipole field: along the axis (axial) and on the plane perpendicular to the moment (equatorial).

Along the dipole axis the field is $E_\text{ax} = 2kp/r^3$; on the equatorial plane instead $E_\text{eq} = -kp/r^3$, opposite to $\vec p$ and half the magnitude. The $1/r^3$ dependence is the unmistakable signature of the dipole.

Dipole in an external field

A dipole immersed in a uniform electric field $\vec E$ feels no net force — the two contributions $+q\vec E$ and $-q\vec E$ cancel — but it feels a torque that tends to align it with the field:

$\vec\tau = \vec p \wedge \vec E \qquad U = -\vec p\cdot\vec E = -p\,E\,\cos\theta$

with $\theta$ the angle between $\vec p$ and $\vec E$. The orientation of minimum energy is $\theta = 0$ (dipole aligned with the field), that of maximum energy is $\theta = \pi$ (antiparallel dipole).

Example — Water and microwaves

The H$_2$O molecule has a permanent dipole moment of magnitude $p \approx 6.2\cdot 10^{-30}\;\text{C}\cdot\text{m}$, because oxygen is more electronegative than hydrogen and “pulls” the electrons towards itself. In a microwave oven, an oscillating electric field at $f = 2.45$ GHz rotates all the water dipoles in the food back and forth: molecular friction converts this rotational motion into heat. This is why microwaves heat water (and hence moist foods) but not a dry ceramic plate (Bloomfield 2016).

Summary

Dipole moment: $\vec p = q\vec d$. Far field $\propto 1/r^3$. Torque in an external field: $\vec\tau = \vec p\wedge\vec E$. Energy: $U = -\vec p\cdot\vec E$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Dipolo elettrico · Campo elettrico

Esercizi collegati: Dipole and test charge · Worked exercise — electric dipole on the axis · Dipole in a uniform field

Un piano infinito con densità superficiale di carica $\sigma$ (coulomb per metro quadro) genera un campo uniforme e perpendicolare al piano: sorprendentemente, il campo non dipende dalla distanza dal piano.

Note

Perché $E$ non dipende dalla distanza dal piano? Perché al crescere di $r$ aumenta la quantità di piano che il punto “vede”, e i due effetti — l’allontanamento e l’aumento di superficie efficace — si compensano esattamente.

Calcolo con Gauss (pillbox). Si sceglie come superficie gaussiana un cilindretto (pillbox) di sezione $A$ che attraversa il piano, con le due basi parallele ad esso. Per simmetria il campo è perpendicolare al piano e uguale in modulo sulle due facce, mentre sulla superficie laterale è parallelo alla normale e non contribuisce al flusso. Il flusso totale è dunque la somma dei contributi delle due basi:

$\Phi = E \cdot A + E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$

Formula chiave

Piano infinito con densità superficiale $\sigma$: $\ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$ Il campo è costante, indipendente dalla distanza $r$ dal piano.

Piano infinito: superficie gaussiana a forma di pillbox (cilindretto viola tratteggiato). Il flusso è non nullo solo sulle due facce di area $A$ parallele al piano; la superficie laterale non dà contributo ($\vec{E} \perp \uv{n}$). Il risultato $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ è indipendente dalla distanza.

Attenzione

Tra le due piastre di un condensatore piano ciascuna piastra contribuisce con $\sigma/(2\varepsilon_0)$, e i due campi si sommano: $E_{\text{tot}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ All’esterno delle piastre, invece, i due campi si annullano.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Piano infinito carico

Esercizi collegati: Quale grafico di E · Dal campo al raggio sferico · Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

An infinite plane with surface charge density $\sigma$ (coulombs per square metre) generates a uniform field perpendicular to the plane: surprisingly, the field does not depend on the distance from the plane.

Note

Why doesn’t $E$ depend on the distance from the plane? Because as $r$ grows, the amount of plane “seen” by the point increases, and the two effects — moving further away and the increase in effective surface area — compensate each other exactly.

Calculation with Gauss (pillbox). We choose as the Gaussian surface a small cylinder (pillbox) of cross-section $A$ crossing the plane, with its two bases parallel to it. By symmetry the field is perpendicular to the plane and equal in magnitude on the two faces, while on the lateral surface it is parallel to the normal and does not contribute to the flux. The total flux is thus the sum of the contributions of the two bases:

$\Phi = E \cdot A + E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$

Key formula

Infinite plane with surface density $\sigma$: $\ev{E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$ The field is constant, independent of the distance $r$ from the plane.

Infinite plane: pillbox-shaped Gaussian surface (dashed violet cylinder). The flux is non-zero only on the two faces of area $A$ parallel to the plane; the lateral surface gives no contribution ($\vec{E} \perp \uv{n}$). The result $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$ is independent of distance.

Warning

Between the two plates of a parallel-plate capacitor each plate contributes $\sigma/(2\varepsilon_0)$, and the two fields add: $E_{\text{tot}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ Outside the plates, instead, the two fields cancel.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss Oggetti: Piano infinito carico

Esercizi collegati: Which graph of E · From the field to the spherical radius · Speculative physics: Coulomb 1 over r cubed

Un filo rettilineo infinito con densità lineare di carica $\lambda$ (coulomb per metro) possiede simmetria cilindrica: il campo è radiale rispetto all’asse e dipende solo dalla distanza $d$ dal filo, non dalla posizione lungo di esso.

Calcolo con Gauss. Come superficie gaussiana si sceglie un cilindro coassiale al filo, di raggio $d$ e lunghezza $L$. Il campo è parallelo alle due basi del cilindro (che quindi non danno contributo al flusso) e perpendicolare alla superficie laterale, di area $2\pi d L$. La carica racchiusa è $\lambda L$, e il teorema di Gauss dà:

$E \cdot 2\pi d L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \ev{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}}$

Formula chiave

Filo infinito con densità lineare $\lambda$: $\ev{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}}$ Il campo decresce come $1/d$ (non come $1/d^2$ della carica puntiforme).

Filo infinito: vista dall’alto (sezione trasversale). La superficie gaussiana è un cilindro coassiale di raggio $d$. Le linee di campo sono radiali per la simmetria cilindrica. Il flusso è non nullo solo sulla superficie laterale; sulle basi il campo è parallelo alla normale e non contribuisce.

Riepilogo — Campi dalle simmetrie di Gauss

I campi delle principali distribuzioni di carica, ricavati sfruttando la simmetria con il teorema di Gauss:

Distribuzione	Campo elettrico
Sfera, $r>R$	$E = kQ/r^2$
Sfera uniforme, $r<R$	$E = kQr/R^3$
Guscio sferico, $r<R$	$E = 0$
Piano infinito	$E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
Filo infinito	$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\,d)$
Condensatore piano	$E = \sigma/\varepsilon_0$

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Oggetti: Filo rettilineo infinito

Esercizi collegati: Quale grafico di E · Dal campo al raggio sferico · Fantafisica: Coulomb 1 su r cubo

An infinite straight wire with linear charge density $\lambda$ (coulombs per metre) possesses cylindrical symmetry: the field is radial with respect to the axis and depends only on the distance $d$ from the wire, not on the position along it.

Calculation with Gauss. As the Gaussian surface we choose a cylinder coaxial with the wire, of radius $d$ and length $L$. The field is parallel to the two bases of the cylinder (which therefore give no contribution to the flux) and perpendicular to the lateral surface, of area $2\pi d L$. The enclosed charge is $\lambda L$, and Gauss’s theorem gives:

$E \cdot 2\pi d L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad \ev{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}}$

Key formula

Infinite wire with linear density $\lambda$: $\ev{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}}$ The field decreases as $1/d$ (not as $1/d^2$ for a point charge).

Infinite wire: view from above (cross-section). The Gaussian surface is a coaxial cylinder of radius $d$. The field lines are radial due to cylindrical symmetry. The flux is non-zero only on the lateral surface; on the bases the field is parallel to the normal and gives no contribution.

Summary — Fields from Gaussian symmetries

The fields of the main charge distributions, obtained by exploiting symmetry with Gauss’s theorem:

Distribution	Electric field
Sphere, $r>R$	$E = kQ/r^2$
Uniform sphere, $r<R$	$E = kQr/R^3$
Spherical shell, $r<R$	$E = 0$
Infinite plane	$E = \sigma/(2\varepsilon_0)$
Infinite wire	$E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\,d)$
Parallel-plate capacitor	$E = \sigma/\varepsilon_0$

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Oggetti: Filo rettilineo infinito

Esercizi collegati: Which graph of E · From the field to the spherical radius · Speculative physics: Coulomb 1 over r cubed