Esercizi — Campo elettrico e potenziale

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima l’esercizio guidato nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, ranking, grafici, dimensionali, stime di Fermi) e infine gli esercizi supplementari (drill, inversi, sintesi, sfide e fantafisica).

Esercizio svolto nel testo

• Esercizio svolto — Due sfere conduttrici collegate

Problemi di fine capitolo

• Potenziale di una carica puntiforme a 1 m
• Campo di una carica puntiforme a 9 cm
• Segno della carica dalle linee di campo
• Flusso attraverso una carica esterna
• Potenziale di due cariche nel punto medio
• Condensatore piano: capacità, carica, energia
• Densità di energia in un temporale
• Verifica dimensionale della densità di energia
• Energia e potenza di un defibrillatore
• Schermo e carica in un conduttore cavo
• Ranking di potenziali
• Dal grafico al segno delle cariche
• Leggere le linee di campo
• Dipolo e carica di prova
• Disegna le equipotenziali
• Quale grafico di E(r)
• Energia del campo nel condensatore
• Resistori in poliedro
• Potenziale di una carica di 10 nC
• Differenza di potenziale e lavoro
• Capacità e carica di un condensatore
• La scossa in auto e la gabbia di Faraday
• Ranking di energia tra condensatori
• Vero o falso su campo e potenziale
• Energia di un condensatore
• Differenza di potenziale nube-suolo
• Armature allontanate a batteria staccata

Esercizi supplementari

• Drill: distanza per un dato campo
• Drill: potenziale nel punto medio
• Drill: lavoro nello spostamento di carica
• Le linee di campo non si incrociano
• Equipotenziali e linee di campo perpendicolari
• Ranking del campo a varie configurazioni
• Campo di tre cariche in serie
• Dal campo al raggio sferico
• Dal potenziale alla carica
• Fantafisica: Coulomb 1/r³
• Fantafisica: elettrostatica in 2D
• Esercizio svolto — Dipolo elettrico sull’asse
• Capacità equivalente di tre condensatori
• Schermatura elettrostatica in auto
• Dielettrico in un condensatore
• Campo sull’asse di un anello
• Stima Fermi: shock elettrostatico
• Stima Fermi: energia di una nuvola
• Campo di un cubo carico
• Lavoro per separare due cariche
• Campo dentro un conduttore
• Ranking di condensatori con geometrie diverse
• Dall’energia accumulata alla tensione
• Due condensatori carichi collegati
• Dipolo in campo uniforme
• Fantafisica: protoni con massa doppia
• Caricamento di un condensatore
• Capacità di un condensatore cilindrico

All the exercises of the chapter, worked through step by step, in the order they appear in the chapter: first the worked example in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, ranking, graphical, dimensional, Fermi estimates) and finally the supplementary exercises (drill, inverse, synthesis, challenges and speculative physics).

Worked example in the text

• Worked example — Two connected conducting spheres

End-of-chapter problems

• Potential of a point charge at 1 m
• Field of a point charge at 9 cm
• Sign of the charge from the field lines
• Flux through an external charge
• Potential of two charges at the midpoint
• Parallel-plate capacitor: capacitance, charge, energy
• Energy density in a thunderstorm
• Dimensional check of the energy density
• Energy and power of a defibrillator
• Shielding and charge in a hollow conductor
• Ranking potentials
• From the graph to the sign of the charges
• Reading the field lines
• Dipole and test charge
• Draw the equipotentials
• Which graph of E(r)
• Field energy in the capacitor
• Resistors on a polyhedron
• Potential of a 10 nC charge
• Potential difference and work
• Capacitance and charge of a capacitor
• The shock in a car and the Faraday cage
• Ranking energy among capacitors
• True or false about field and potential
• Energy of a capacitor
• Cloud-to-ground potential difference
• Plates pulled apart with the battery disconnected

Supplementary exercises

• Drill: distance for a given field
• Drill: potential at the midpoint
• Drill: work in moving a charge
• Field lines never cross
• Equipotentials and field lines are perpendicular
• Ranking the field for various configurations
• Field of three charges in a line
• From the field to the spherical radius
• From the potential to the charge
• Speculative physics: Coulomb 1/r³
• Speculative physics: electrostatics in 2D
• Worked example — Electric dipole on the axis
• Equivalent capacitance of three capacitors
• Electrostatic shielding in a car
• Dielectric in a capacitor
• Field on the axis of a ring
• Fermi estimate: electrostatic shock
• Fermi estimate: energy of a cloud
• Field of a charged cube
• Work to separate two charges
• Field inside a conductor
• Ranking capacitors with different geometries
• From stored energy to voltage
• Two charged capacitors connected together
• Dipole in a uniform field
• Speculative physics: protons with double mass
• Charging a capacitor
• Capacitance of a cylindrical capacitor

Testo

Una sfera conduttrice di raggio $r_1 = 5\;\text{cm}$ porta carica $Q_1 = +8{,}0\;\mu\text{C}$. Una seconda sfera di raggio $r_2 = 3\;\text{cm}$ porta carica $Q_2 = -2{,}0\;\mu\text{C}$. Le due sfere vengono collegate con un filo conduttore sottile e lungo (la distanza tra i centri è molto maggiore dei raggi). Trovare la carica su ciascuna sfera dopo il collegamento.

Soluzione

Impostazione. Dopo il collegamento le due sfere e il filo formano un unico conduttore in equilibrio elettrostatico. Valgono due vincoli: la conservazione della carica totale e l’uguaglianza dei potenziali.

Vincolo 1 — conservazione della carica. La carica totale non può sparire né crearsi: si redistribuisce soltanto. $Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 8{,}0 + (-2{,}0) = +6{,}0\;\mu\text{C}$

Vincolo 2 — uguale potenziale. In un conduttore all’equilibrio il potenziale è lo stesso ovunque. Poiché la distanza tra le sfere è molto maggiore dei raggi, ciascuna sfera si comporta come una carica puntiforme isolata, con potenziale sulla superficie $V = kQ/r$: $V_1' = k\,\frac{Q_1'}{r_1} = k\,\frac{Q_2'}{r_2} = V_2' \;\Rightarrow\; \frac{Q_1'}{Q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3}$

Soluzione del sistema. Da $Q_1' = \tfrac{5}{3}Q_2'$ sostituito nel primo vincolo: $\begin{aligned} \tfrac{5}{3}\,Q_2' + Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ \tfrac{8}{3}\,Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ Q_2' &= \frac{6{,}0 \times 3}{8} = 2{,}25\;\mu\text{C} \end{aligned}$ $Q_1' = 6{,}0 - 2{,}25 = 3{,}75\;\mu\text{C}$

Verifica. I due potenziali coincidono: $V_1' = (9\cdot 10^9)\,\frac{3{,}75\cdot 10^{-6}}{0{,}05} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V} \qquad V_2' = (9\cdot 10^9)\,\frac{2{,}25\cdot 10^{-6}}{0{,}03} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V}\;\checkmark$

$\ev{Q_1' = 3{,}75\;\mu\text{C}, \qquad Q_2' = 2{,}25\;\mu\text{C}}$

Osservazione. La sfera più piccola raccoglie meno carica, ma la sua densità superficiale $\sigma_2 = Q_2'/(4\pi r_2^2)$ è maggiore di $\sigma_1$: il campo esterno è più intenso vicino alla sfera minore. In generale i conduttori con raggi di curvatura minori (le punte) concentrano il campo, principio su cui si basa il parafulmine.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Conduttori in equilibrio elettrostatico · Potenziale elettrico · Carica elettrica Oggetti: Sfera carica

Problem

A conducting sphere of radius $r_1 = 5\;\text{cm}$ carries charge $Q_1 = +8{,}0\;\mu\text{C}$. A second sphere of radius $r_2 = 3\;\text{cm}$ carries charge $Q_2 = -2{,}0\;\mu\text{C}$. The two spheres are connected by a thin, long conducting wire (the distance between the centres is much greater than the radii). Find the charge on each sphere after the connection.

Solution

Setup. After the connection, the two spheres and the wire form a single conductor in electrostatic equilibrium. Two constraints hold: conservation of total charge and equality of the potentials.

Constraint 1 — conservation of charge. The total charge cannot disappear or be created: it only redistributes. $Q_1' + Q_2' = Q_1 + Q_2 = 8{,}0 + (-2{,}0) = +6{,}0\;\mu\text{C}$

Constraint 2 — equal potential. In a conductor at equilibrium the potential is the same everywhere. Since the distance between the spheres is much greater than the radii, each sphere behaves as an isolated point charge, with surface potential $V = kQ/r$: $V_1' = k\,\frac{Q_1'}{r_1} = k\,\frac{Q_2'}{r_2} = V_2' \;\Rightarrow\; \frac{Q_1'}{Q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{3}$

Solving the system. From $Q_1' = \tfrac{5}{3}Q_2'$ substituted into the first constraint: $\begin{aligned} \tfrac{5}{3}\,Q_2' + Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ \tfrac{8}{3}\,Q_2' &= 6{,}0\;\mu\text{C} \\ Q_2' &= \frac{6{,}0 \times 3}{8} = 2{,}25\;\mu\text{C} \end{aligned}$ $Q_1' = 6{,}0 - 2{,}25 = 3{,}75\;\mu\text{C}$

Check. The two potentials coincide: $V_1' = (9\cdot 10^9)\,\frac{3{,}75\cdot 10^{-6}}{0{,}05} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V} \qquad V_2' = (9\cdot 10^9)\,\frac{2{,}25\cdot 10^{-6}}{0{,}03} = 6{,}75\cdot 10^{5}\;\text{V}\;\checkmark$

$\ev{Q_1' = 3{,}75\;\mu\text{C}, \qquad Q_2' = 2{,}25\;\mu\text{C}}$

Remark. The smaller sphere collects less charge, but its surface density $\sigma_2 = Q_2'/(4\pi r_2^2)$ is greater than $\sigma_1$: the external field is more intense near the smaller sphere. In general, conductors with smaller radii of curvature (points) concentrate the field, the principle on which the lightning rod is based.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Conductors in electrostatic equilibrium · Electric potential · Electric charge Objects: Charged sphere

Testo

Una carica puntiforme $Q = +1{,}0\;\mu\text{C}$ è posta nel vuoto. Calcola il potenziale elettrico a distanza $r = 1{,}0\;\text{m}$ dalla carica, assumendo $V = 0$ all’infinito.

Soluzione

Formula. Il potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme a distanza $r$, con riferimento nullo all’infinito, è $V = k\,\frac{Q}{r}$

Sostituzione numerica. $V = (9\cdot 10^9\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2)\,\frac{1{,}0\cdot 10^{-6}\;\text{C}}{1{,}0\;\text{m}}$

Risultato. $\ev{V \approx 9{,}0\cdot 10^{3}\;\text{V}}$

Il potenziale è positivo, coerentemente con il segno positivo della carica: avvicinandosi a $Q$ il potenziale cresce, allontanandosi tende a zero come $1/r$.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Potenziale elettrico · Carica elettrica Oggetti: Sfera carica

Text

A point charge $Q = +1{,}0\;\mu\text{C}$ is placed in vacuum. Calculate the electric potential at a distance $r = 1{,}0\;\text{m}$ from the charge, assuming $V = 0$ at infinity.

Solution

Formula. The electrostatic potential generated by a point charge at distance $r$, with reference zero at infinity, is $V = k\,\frac{Q}{r}$

Numerical substitution. $V = (9\cdot 10^9\;\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2)\,\frac{1{,}0\cdot 10^{-6}\;\text{C}}{1{,}0\;\text{m}}$

Result. $\ev{V \approx 9{,}0\cdot 10^{3}\;\text{V}}$

The potential is positive, consistent with the positive sign of the charge: approaching $Q$ the potential increases, moving away it tends to zero as $1/r$.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric potential · Electric charge Objects: Charged sphere

Testo

Una carica puntiforme $Q = +5\;\mu\text{C}$ è posta nel vuoto. Calcola il modulo del campo elettrico generato a una distanza $r = 9{,}0\;\text{cm}$ dalla carica e indica la direzione e il verso rispetto alla carica.

Soluzione

Formula. Il modulo del campo elettrico di una carica puntiforme a distanza $r$ è $E = k\,\frac{|Q|}{r^2}$

Sostituzione numerica. Con $r = 9{,}0\;\text{cm} = 0{,}090\;\text{m}$ e $r^2 = 8{,}1\cdot 10^{-3}\;\text{m}^2$: $E = (9\cdot 10^9)\,\frac{5\cdot 10^{-6}}{8{,}1\cdot 10^{-3}} = \frac{4{,}5\cdot 10^{4}}{8{,}1\cdot 10^{-3}}\;\text{V/m}$

Risultato. $\ev{E \approx 5{,}6\cdot 10^{6}\;\text{V/m}}$

Direzione e verso. Il campo è radiale: le linee escono dalla carica lungo la congiungente carica-punto. Essendo $Q > 0$, il verso è uscente, cioè diretto dalla carica verso l’esterno (allontanandosi dalla carica). Una carica di prova positiva posta in quel punto verrebbe spinta via radialmente.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Legge di Coulomb · Carica elettrica Oggetti: Sfera carica

Text

A point charge $Q = +5\;\mu\text{C}$ is placed in vacuum. Calculate the magnitude of the electric field generated at a distance $r = 9{,}0\;\text{cm}$ from the charge and state the direction and sense relative to the charge.

Solution

Formula. The magnitude of the electric field of a point charge at distance $r$ is $E = k\,\frac{|Q|}{r^2}$

Numerical substitution. With $r = 9{,}0\;\text{cm} = 0{,}090\;\text{m}$ and $r^2 = 8{,}1\cdot 10^{-3}\;\text{m}^2$: $E = (9\cdot 10^9)\,\frac{5\cdot 10^{-6}}{8{,}1\cdot 10^{-3}} = \frac{4{,}5\cdot 10^{4}}{8{,}1\cdot 10^{-3}}\;\text{V/m}$

Result. $\ev{E \approx 5{,}6\cdot 10^{6}\;\text{V/m}}$

Direction and sense. The field is radial: the lines emerge from the charge along the line joining charge and point. Since $Q > 0$, the sense is outward, i.e. directed from the charge towards the outside (moving away from the charge). A positive test charge placed at that point would be pushed away radially.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric field · Coulomb’s law · Electric charge Objects: Charged sphere

Testo

Un campo elettrico è rappresentato da linee di campo che partono da una regione centrale e vanno all’infinito, più fitte in alto che in basso. Che cosa puoi dire del segno della carica contenuta nella regione e del modulo del campo in punti a uguale distanza ma in alto e in basso? Le linee possono intersecarsi? Motiva la risposta.

Soluzione

Segno della carica. Le linee di campo escono dalla regione centrale e si dirigono verso l’infinito. Per convenzione le linee escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative, quindi la carica contenuta nella regione è positiva. $\ev{Q > 0}$

Confronto dei moduli. La densità di linee (numero di linee per unità di area perpendicolare) è proporzionale al modulo del campo: dove le linee sono più fitte il campo è più intenso. Poiché in alto le linee sono più fitte che in basso, $\ev{|\vec{E}_{\text{alto}}| > |\vec{E}_{\text{basso}}|}$ a parità di distanza dalla regione centrale. Una densità non uniforme segnala inoltre che la distribuzione di carica non è a simmetria sferica.

Intersezione delle linee. Le linee di campo non possono intersecarsi. Se due linee si incrociassero, nel punto di incrocio il campo $\vec{E}$ avrebbe due direzioni distinte (le due tangenti), ma il campo elettrico è un vettore con un unico valore ben definito in ogni punto dello spazio. L’intersezione è quindi impossibile.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico · Carica elettrica

Problem

An electric field is represented by field lines that start from a central region and go to infinity, denser at the top than at the bottom. What can you say about the sign of the charge contained in the region and about the magnitude of the field at points at equal distance but above and below? Can the lines intersect? Justify your answer.

Solution

Sign of the charge. The field lines exit from the central region and head towards infinity. By convention lines exit from positive charges and enter negative ones, so the charge contained in the region is positive. $\ev{Q > 0}$

Comparing the magnitudes. The density of lines (number of lines per unit area perpendicular to them) is proportional to the magnitude of the field: where the lines are denser the field is stronger. Since at the top the lines are denser than at the bottom, $\ev{|\vec{E}_{\text{top}}| > |\vec{E}_{\text{bottom}}|}$ at equal distance from the central region. A non-uniform density also signals that the charge distribution is not spherically symmetric.

Intersection of the lines. Field lines cannot intersect. If two lines crossed, at the crossing point the field $\vec{E}$ would have two distinct directions (the two tangents), but the electric field is a vector with a single well-defined value at every point in space. The intersection is therefore impossible.

Connections

Topics: Electric field and potential Concepts: Electric field · Electric charge

Testo

Una carica puntiforme $q = +3\;\mu\text{C}$ si trova all’esterno di una superficie chiusa $\Sigma$ di forma arbitraria. Calcola il flusso totale del campo elettrico attraverso $\Sigma$. Giustifica il risultato usando il teorema di Gauss e spiega perché non dipende dalla forma della superficie.

Soluzione

Teorema di Gauss. Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa all’interno di essa: $\Phi_\Sigma(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Carica racchiusa. La carica $q$ si trova all’esterno di $\Sigma$, quindi non contribuisce a $Q_{\text{int}}$: $Q_{\text{int}} = 0 \;\Rightarrow\; \Phi_\Sigma = \frac{0}{\varepsilon_0}$

Risultato. $\ev{\Phi_\Sigma(\vec{E}) = 0}$

Perché non dipende dalla forma. Le linee di campo generate dalla carica esterna attraversano la superficie chiusa: ogni linea che entra in $\Sigma$ da un lato ne esce dall’altro. Il flusso entrante (negativo) e quello uscente (positivo) si compensano esattamente, dando somma nulla. Questo bilanciamento vale qualunque sia la forma di $\Sigma$, perché il teorema di Gauss conta solo la carica interna e non la geometria della superficie: non essendovi cariche racchiuse, il flusso è sempre zero.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Teorema di Gauss Competenze: Applicazione del teorema di Gauss Metodi: Teorema di Gauss

Problem

A point charge $q = +3\;\mu\text{C}$ is located outside a closed surface $\Sigma$ of arbitrary shape. Calculate the total flux of the electric field through $\Sigma$. Justify the result using Gauss’s theorem and explain why it does not depend on the shape of the surface.

Solution

Gauss’s theorem. The flux of the electric field through a closed surface depends only on the charge enclosed within it: $\Phi_\Sigma(\vec{E}) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$

Enclosed charge. The charge $q$ lies outside $\Sigma$, so it does not contribute to $Q_{\text{int}}$: $Q_{\text{int}} = 0 \;\Rightarrow\; \Phi_\Sigma = \frac{0}{\varepsilon_0}$

Result. $\ev{\Phi_\Sigma(\vec{E}) = 0}$

Why it doesn’t depend on the shape. The field lines generated by the external charge cross the closed surface: every line that enters $\Sigma$ on one side leaves it on the other. The incoming flux (negative) and the outgoing flux (positive) exactly cancel, giving a total of zero. This balance holds regardless of the shape of $\Sigma$, because Gauss’s theorem counts only the enclosed charge and not the geometry of the surface: with no enclosed charges, the flux is always zero.

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Topics: Campo elettrico e potenziale Concepts: Teorema di Gauss Skills: Applicazione del teorema di Gauss Methods: Teorema di Gauss

Testo

Due cariche puntiformi $q_1 = +4\;\mu\text{C}$ e $q_2 = -2\;\mu\text{C}$ sono fissate nei punti $A = (0,0)$ e $B = (0{,}20;\,0)\;\text{m}$. Calcola il potenziale elettrico nel punto $P = (0{,}10;\,0)\;\text{m}$ (punto medio del segmento), assumendo $V = 0$ all’infinito.

Soluzione

Principio di sovrapposizione. Il potenziale è una grandezza scalare: nel punto $P$ è la somma algebrica (con segno) dei potenziali dovuti alle singole cariche. $V_P = k\,\frac{q_1}{r_1} + k\,\frac{q_2}{r_2}$

Distanze. Il punto $P$ è il punto medio, quindi è equidistante dalle due cariche: $r_1 = r_2 = 0{,}10\;\text{m}$

Sostituzione numerica. $V_P = (9\cdot 10^9)\left(\frac{4\cdot 10^{-6}}{0{,}10} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{0{,}10}\right) = (9\cdot 10^9)\,\frac{2\cdot 10^{-6}}{0{,}10}$

Risultato. $\ev{V_P \approx 1{,}8\cdot 10^{5}\;\text{V}}$

Il potenziale risultante è positivo perché la carica positiva prevale in modulo; nota che, a differenza del campo (vettoriale), qui si sommano semplicemente i contributi con il loro segno.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Potenziale elettrico Competenze: Principio di sovrapposizione Oggetti: Sfera carica

Problem

Two point charges $q_1 = +4\;\mu\text{C}$ and $q_2 = -2\;\mu\text{C}$ are fixed at points $A = (0,0)$ and $B = (0{,}20;\,0)\;\text{m}$. Calculate the electric potential at point $P = (0{,}10;\,0)\;\text{m}$ (the midpoint of the segment), taking $V = 0$ at infinity.

Solution

Superposition principle. Potential is a scalar quantity: at point $P$ it is the algebraic sum (with sign) of the potentials due to the individual charges. $V_P = k\,\frac{q_1}{r_1} + k\,\frac{q_2}{r_2}$

Distances. Point $P$ is the midpoint, so it is equidistant from the two charges: $r_1 = r_2 = 0{,}10\;\text{m}$

Numerical substitution. $V_P = (9\cdot 10^9)\left(\frac{4\cdot 10^{-6}}{0{,}10} + \frac{-2\cdot 10^{-6}}{0{,}10}\right) = (9\cdot 10^9)\,\frac{2\cdot 10^{-6}}{0{,}10}$

Result. $\ev{V_P \approx 1{,}8\cdot 10^{5}\;\text{V}}$

The resulting potential is positive because the positive charge prevails in magnitude; note that, unlike the field (a vector), here the contributions simply add up with their sign.

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Topics: Campo elettrico e potenziale Concepts: Potenziale elettrico Skills: Principio di sovrapposizione Objects: Sfera carica

Testo

Un condensatore piano ha armature di area $A = 200\;\text{cm}^2$ separate da un’intercapedine di aria spessa $d = 1{,}0\;\text{mm}$. Viene caricato collegandolo a una batteria da $V = 12\;\text{V}$, poi staccato. Determina la capacità, la carica immagazzinata e l’energia elettrostatica totale.

Soluzione

Dati in unità SI. $A = 200\;\text{cm}^2 = 2{,}0\cdot 10^{-2}\;\text{m}^2$, $d = 1{,}0\cdot 10^{-3}\;\text{m}$, $V = 12\;\text{V}$.

Capacità. Per un condensatore piano ad aria: $C = \varepsilon_0\,\frac{A}{d} = (8{,}85\cdot 10^{-12})\,\frac{2{,}0\cdot 10^{-2}}{1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{C \approx 1{,}77\cdot 10^{-10}\;\text{F}}$

Carica immagazzinata. Dalla definizione di capacità $Q = CV$: $Q = (1{,}77\cdot 10^{-10})\,(12) = 2{,}1\cdot 10^{-9}\;\text{C}$ $\ev{Q \approx 2{,}1\cdot 10^{-9}\;\text{C}}$

Energia elettrostatica. L’energia immagazzinata nel condensatore: $W = \tfrac12\,C V^2 = \tfrac12\,(1{,}77\cdot 10^{-10})\,(12)^2 = \tfrac12\,(1{,}77\cdot 10^{-10})\,(144)$ $\ev{W \approx 1{,}3\cdot 10^{-8}\;\text{J}}$

Staccando la batteria la carica $Q$ resta costante (il condensatore è isolato); l’energia calcolata è quella conservata nel campo elettrico tra le armature.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Energia potenziale elettrostatica Oggetti: Condensatore piano

Problem

A parallel-plate capacitor has plates of area $A = 200\;\text{cm}^2$ separated by an air gap of thickness $d = 1{,}0\;\text{mm}$. It is charged by connecting it to a $V = 12\;\text{V}$ battery, then disconnected. Determine the capacitance, the stored charge, and the total electrostatic energy.

Solution

Data in SI units. $A = 200\;\text{cm}^2 = 2{,}0\cdot 10^{-2}\;\text{m}^2$, $d = 1{,}0\cdot 10^{-3}\;\text{m}$, $V = 12\;\text{V}$.

Capacitance. For an air-filled parallel-plate capacitor: $C = \varepsilon_0\,\frac{A}{d} = (8{,}85\cdot 10^{-12})\,\frac{2{,}0\cdot 10^{-2}}{1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{C \approx 1{,}77\cdot 10^{-10}\;\text{F}}$

Stored charge. From the definition of capacitance $Q = CV$: $Q = (1{,}77\cdot 10^{-10})\,(12) = 2{,}1\cdot 10^{-9}\;\text{C}$ $\ev{Q \approx 2{,}1\cdot 10^{-9}\;\text{C}}$

Electrostatic energy. The energy stored in the capacitor: $W = \tfrac12\,C V^2 = \tfrac12\,(1{,}77\cdot 10^{-10})\,(12)^2 = \tfrac12\,(1{,}77\cdot 10^{-10})\,(144)$ $\ev{W \approx 1{,}3\cdot 10^{-8}\;\text{J}}$

Once the battery is disconnected the charge $Q$ stays constant (the capacitor is isolated); the calculated energy is the one stored in the electric field between the plates.

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Topics: Campo elettrico e potenziale Concepts: Capacità e condensatore · Energia potenziale elettrostatica Objects: Condensatore piano

Testo

Durante un temporale il campo elettrico tra nuvola e suolo può raggiungere valori prossimi alla rigidità dielettrica dell’aria, ma in condizioni ordinarie vale $E \approx 200\;\text{V/cm}$. Stima la densità di energia elettrica $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ presente nell’aria in queste condizioni.

Soluzione

Conversione del campo in unità SI. Occorre esprimere il campo in V/m: $E = 200\;\text{V/cm} = \frac{200\;\text{V}}{10^{-2}\;\text{m}} = 2\cdot 10^{4}\;\text{V/m}$

Formula della densità di energia. L’energia per unità di volume immagazzinata in un campo elettrico nel vuoto (o in aria) è $u = \tfrac12\,\varepsilon_0\,E^2$

Sostituzione numerica. Con $E^2 = (2\cdot 10^4)^2 = 4\cdot 10^{8}\;\text{V}^2/\text{m}^2$: $u = \tfrac12\,(8{,}85\cdot 10^{-12})\,(4\cdot 10^{8})$

Risultato. $\ev{u \approx 1{,}77\cdot 10^{-3}\;\text{J/m}^3}$

È una densità di energia modesta: il campo in condizioni ordinarie è ben lontano dalla rigidità dielettrica dell’aria (~$3\cdot 10^6\;\text{V/m}$), oltre la quale si innescherebbe la scarica del fulmine.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Campo elettrico

Problem

During a thunderstorm the electric field between cloud and ground can approach the dielectric breakdown strength of air, but under ordinary conditions it is around $E \approx 200\;\text{V/cm}$. Estimate the electric energy density $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ present in the air under these conditions.

Solution

Converting the field to SI units. We need to express the field in V/m: $E = 200\;\text{V/cm} = \frac{200\;\text{V}}{10^{-2}\;\text{m}} = 2\cdot 10^{4}\;\text{V/m}$

Energy density formula. The energy per unit volume stored in an electric field in vacuum (or air) is $u = \tfrac12\,\varepsilon_0\,E^2$

Numerical substitution. With $E^2 = (2\cdot 10^4)^2 = 4\cdot 10^{8}\;\text{V}^2/\text{m}^2$: $u = \tfrac12\,(8{,}85\cdot 10^{-12})\,(4\cdot 10^{8})$

Result. $\ev{u \approx 1{,}77\cdot 10^{-3}\;\text{J/m}^3}$

This is a modest energy density: the field under ordinary conditions is far from air’s dielectric breakdown strength (~$3\cdot 10^6\;\text{V/m}$), beyond which a lightning discharge would be triggered.

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Topics: Campo elettrico e potenziale Concepts: Densità di energia del campo · Campo elettrico

Testo

Partendo da $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ e da $E$ in V/m, verifica dimensionalmente che la quantità $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ ha effettivamente le unità di un’energia per unità di volume. Sfrutta le relazioni $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$ e $1\;\text{N}\cdot\text{m} = 1\;\text{J}$.

Soluzione

Unità dei fattori. Il fattore numerico $\tfrac12$ è adimensionale, quindi le unità di $u$ sono il prodotto delle unità di $\varepsilon_0$ e di $E^2$: $[\varepsilon_0] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}, \qquad [E^2] = \left(\frac{\text{V}}{\text{m}}\right)^2 = \frac{\text{V}^2}{\text{m}^2}$

Prodotto. $[u] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}\cdot\frac{\text{V}^2}{\text{m}^2} = \frac{\text{C}^2\,\text{V}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Sostituzione $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$. Così $\text{C}^2\,\text{V}^2 = \text{C}^2\cdot(\text{J/C})^2 = \text{J}^2$: $[u] = \frac{\text{J}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Sostituzione $1\;\text{J} = 1\;\text{N}\cdot\text{m}$. Uno dei due joule al numeratore si scrive $\text{N}\cdot\text{m}$: $[u] = \frac{\text{J}\cdot(\text{N}\cdot\text{m})}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}\cdot\text{N}\cdot\text{m}}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$

Risultato. $\ev{[u] = \text{J/m}^3}$

La quantità $\tfrac12\varepsilon_0 E^2$ ha effettivamente le dimensioni di un’energia per unità di volume: è una densità di energia.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo

Problem

Starting from $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N}\cdot\text{m}^2)$ and $E$ in V/m, verify dimensionally that the quantity $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ does indeed have the units of energy per unit volume. Use the relations $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$ and $1\;\text{N}\cdot\text{m} = 1\;\text{J}$.

Solution

Units of the factors. The numerical factor $\tfrac12$ is dimensionless, so the units of $u$ are the product of the units of $\varepsilon_0$ and $E^2$: $[\varepsilon_0] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}, \qquad [E^2] = \left(\frac{\text{V}}{\text{m}}\right)^2 = \frac{\text{V}^2}{\text{m}^2}$

Product. $[u] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}\cdot\frac{\text{V}^2}{\text{m}^2} = \frac{\text{C}^2\,\text{V}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Substituting $1\;\text{V} = 1\;\text{J/C}$. Thus $\text{C}^2\,\text{V}^2 = \text{C}^2\cdot(\text{J/C})^2 = \text{J}^2$: $[u] = \frac{\text{J}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^4}$

Substituting $1\;\text{J} = 1\;\text{N}\cdot\text{m}$. One of the two joules in the numerator is written as $\text{N}\cdot\text{m}$: $[u] = \frac{\text{J}\cdot(\text{N}\cdot\text{m})}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}\cdot\text{N}\cdot\text{m}}{\text{N}\cdot\text{m}^4} = \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$

Result. $\ev{[u] = \text{J/m}^3}$

The quantity $\tfrac12\varepsilon_0 E^2$ indeed has the dimensions of energy per unit volume: it is an energy density.

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Topics: Campo elettrico e potenziale Concepts: Densità di energia del campo

Testo

Un defibrillatore usa un condensatore da $C = 50\;\mu\text{F}$ caricato a $V = 1{,}6\;\text{kV}$. (a) Determina l’energia $U$ immagazzinata. (b) Se la scarica sul torace dura $\Delta t \approx 4\;\text{ms}$, stima la potenza media erogata in kW. (c) Commenta perché, pur essendo l’energia modesta rispetto a un pasto, gli effetti sul cuore sono così marcati.

Soluzione

Dati in unità SI. $C = 50\;\mu\text{F} = 5{,}0\cdot 10^{-5}\;\text{F}$, $V = 1{,}6\;\text{kV} = 1{,}6\cdot 10^{3}\;\text{V}$, $\Delta t = 4\;\text{ms} = 4\cdot 10^{-3}\;\text{s}$.

(a) Energia immagazzinata. $U = \tfrac12\,C V^2 = \tfrac12\,(5{,}0\cdot 10^{-5})\,(1{,}6\cdot 10^{3})^2 = \tfrac12\,(5{,}0\cdot 10^{-5})\,(2{,}56\cdot 10^{6})$ $\ev{U \approx 64\;\text{J}}$

(b) Potenza media. La potenza è l’energia erogata nel tempo di scarica: $P_{\text{media}} = \frac{U}{\Delta t} = \frac{64\;\text{J}}{4\cdot 10^{-3}\;\text{s}} = 1{,}6\cdot 10^{4}\;\text{W}$ $\ev{P_{\text{media}} \approx 16\;\text{kW}}$

(c) Commento. L’energia di 64 J è irrisoria sul piano alimentare (un morso di mela ne contiene migliaia di volte di più). Ciò che rende l’effetto drammatico è la potenza: quei 64 J vengono rilasciati in appena 4 millisecondi, generando una potenza istantanea di decine di kilowatt. È la rapidità della scarica — non la quantità totale di energia — a produrre l’impulso di corrente capace di riorganizzare il ritmo elettrico del cuore.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Energia potenziale elettrostatica Oggetti: Condensatore piano

Problem

A defibrillator uses a capacitor of $C = 50\;\mu\text{F}$ charged to $V = 1{,}6\;\text{kV}$. (a) Determine the stored energy $U$. (b) If the discharge onto the chest lasts $\Delta t \approx 4\;\text{ms}$, estimate the average power delivered in kW. (c) Comment on why, even though the energy is modest compared to a meal, the effects on the heart are so pronounced.

Solution

Data in SI units. $C = 50\;\mu\text{F} = 5{,}0\cdot 10^{-5}\;\text{F}$, $V = 1{,}6\;\text{kV} = 1{,}6\cdot 10^{3}\;\text{V}$, $\Delta t = 4\;\text{ms} = 4\cdot 10^{-3}\;\text{s}$.

(a) Stored energy. $U = \tfrac12\,C V^2 = \tfrac12\,(5{,}0\cdot 10^{-5})\,(1{,}6\cdot 10^{3})^2 = \tfrac12\,(5{,}0\cdot 10^{-5})\,(2{,}56\cdot 10^{6})$ $\ev{U \approx 64\;\text{J}}$

(b) Average power. Power is the energy delivered over the discharge time: $P_{\text{media}} = \frac{U}{\Delta t} = \frac{64\;\text{J}}{4\cdot 10^{-3}\;\text{s}} = 1{,}6\cdot 10^{4}\;\text{W}$ $\ev{P_{\text{media}} \approx 16\;\text{kW}}$

(c) Comment. An energy of 64 J is negligible on a dietary scale (a bite of apple contains thousands of times more). What makes the effect dramatic is the power: those 64 J are released in just 4 milliseconds, generating an instantaneous power of tens of kilowatts. It is the speed of the discharge — not the total amount of energy — that produces the current pulse capable of resetting the heart’s electrical rhythm.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Capacitance and capacitor · Electrostatic potential energy Objects: Parallel-plate capacitor

Testo

Schermo e carica. Una carica positiva $+Q$ è posta fuori da un conduttore cavo metallico (scarico) di forma arbitraria. (a) Cosa accade alla distribuzione di carica sulla superficie esterna del conduttore? (b) Che cosa percepisce all’interno della cavità una seconda carica $+q$? (c) Perché le casse metalliche delle automobili proteggono dai fulmini? Ragiona in termini di campo elettrico e potenziale, senza calcoli.

Soluzione

(a) Ridistribuzione sulla superficie esterna. Il campo della carica esterna $+Q$ mette in moto gli elettroni liberi del conduttore, che si dispongono finché il campo elettrico all’interno del metallo diventa nullo (condizione di equilibrio elettrostatico). Sulla superficie esterna compaiono cariche indotte: negative nella zona rivolta verso $+Q$ (attratte), positive nella zona opposta. La carica netta del conduttore resta nulla — è solo una separazione (polarizzazione) di cariche indotte. $\ev{E = 0 \ \text{dentro il metallo; cariche indotte solo sulla superficie esterna}}$

(b) Dentro la cavità. La carica $+q$ posta nella cavità non percepisce alcun campo dovuto a $+Q$: il guscio conduttore fa da schermo. Poiché il campo è nullo nello spessore del metallo, il teorema di Gauss applicato a una superficie interna al metallo che avvolge la cavità impone che il campo esterno non penetri. La cavità è una regione a potenziale costante, un ambiente elettricamente protetto. Questo è il principio della gabbia di Faraday.

(c) L’automobile e il fulmine. La carrozzeria metallica dell’auto si comporta come un guscio conduttore chiuso: durante un fulmine le cariche si distribuiscono sulla superficie esterna e il campo all’interno dell’abitacolo resta praticamente nullo. I passeggeri, essendo dentro la cavità conduttrice, sono schermati e la corrente scorre lungo la superficie esterna verso il suolo senza attraversare l’abitacolo. È la schermatura elettrostatica, non i pneumatici, a proteggere gli occupanti.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Conduttori in equilibrio elettrostatico · Campo elettrico

Problem

Shielding and charge. A positive charge $+Q$ is placed outside a hollow metal conductor (uncharged) of arbitrary shape. (a) What happens to the charge distribution on the outer surface of the conductor? (b) What does a second charge $+q$ inside the cavity perceive? (c) Why do the metal bodies of cars protect against lightning? Reason in terms of electric field and potential, without calculations.

Solution

(a) Redistribution on the outer surface. The field of the external charge $+Q$ sets the conductor’s free electrons in motion, and they arrange themselves until the electric field inside the metal becomes zero (the electrostatic equilibrium condition). Induced charges appear on the outer surface: negative in the region facing $+Q$ (attracted), positive in the opposite region. The net charge of the conductor remains zero — it is merely a separation (polarisation) of induced charges. $\ev{E = 0 \ \text{inside the metal; induced charges only on the outer surface}}$

(b) Inside the cavity. The charge $+q$ placed in the cavity perceives no field due to $+Q$: the conducting shell acts as a shield. Since the field is zero throughout the thickness of the metal, Gauss’s theorem applied to a surface inside the metal that encloses the cavity requires that the external field not penetrate. The cavity is a region at constant potential, an electrically protected environment. This is the principle of the Faraday cage.

(c) The car and the lightning bolt. The car’s metal bodywork behaves as a closed conducting shell: during a lightning strike the charges distribute themselves over the outer surface and the field inside the cabin stays practically zero. The passengers, being inside the conducting cavity, are shielded, and the current flows along the outer surface to the ground without crossing the cabin. It is electrostatic shielding, not the tyres, that protects the occupants.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Conductors in electrostatic equilibrium · Electric field

Testo

Ranking. Quattro cariche puntiformi $+Q$ sono poste a distanze $r$ diverse da un punto $P$:

• (A) $Q = 2\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (B) $Q = 8\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (C) $Q = 1\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (D) $Q = 4\;\text{nC}$, $r = 20\;\text{cm}$.

Ordina i potenziali elettrostatici $V = kQ/r$ nel punto $P$ dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Formula. Basta confrontare il rapporto $Q/r$ per ciascun caso, poiché $V = kQ/r$ e $k$ è comune. Conviene misurare $Q$ in nC e $r$ in cm (le unità comuni si semplificano nel confronto): $V \propto \frac{Q}{r}$

Calcolo dei rapporti. $\begin{aligned} \text{A:}\ \frac{2}{10}=0{,}20 \qquad & \text{B:}\ \frac{8}{10}=0{,}80 \\ \text{C:}\ \frac{1}{10}=0{,}10 \qquad & \text{D:}\ \frac{4}{20}=0{,}20 \end{aligned}$

Ordinamento. Confrontando i valori $0{,}10 < 0{,}20 = 0{,}20 < 0{,}80$, si osserva che A e D danno lo stesso potenziale (in D la carica doppia è compensata dalla distanza doppia): $\ev{\text{C} < \text{A} = \text{D} < \text{B}}$

Il potenziale cresce con la carica e cala con la distanza: raddoppiare entrambi lascia $V$ invariato, come mostra l’uguaglianza A = D.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Potenziale elettrico · Carica elettrica

Problem

Ranking. Four point charges $+Q$ are placed at different distances $r$ from a point $P$:

• (A) $Q = 2\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (B) $Q = 8\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (C) $Q = 1\;\text{nC}$, $r = 10\;\text{cm}$.
• (D) $Q = 4\;\text{nC}$, $r = 20\;\text{cm}$.

Rank the electrostatic potentials $V = kQ/r$ at point $P$ from smallest to largest.

Solution

Formula. It suffices to compare the ratio $Q/r$ for each case, since $V = kQ/r$ and $k$ is common. It is convenient to measure $Q$ in nC and $r$ in cm (the common units simplify in the comparison): $V \propto \frac{Q}{r}$

Computing the ratios. $\begin{aligned} \text{A:}\ \frac{2}{10}=0{,}20 \qquad & \text{B:}\ \frac{8}{10}=0{,}80 \\ \text{C:}\ \frac{1}{10}=0{,}10 \qquad & \text{D:}\ \frac{4}{20}=0{,}20 \end{aligned}$

Ordering. Comparing the values $0{,}10 < 0{,}20 = 0{,}20 < 0{,}80$, we observe that A and D give the same potential (in D the doubled charge is compensated by the doubled distance): $\ev{\text{C} < \text{A} = \text{D} < \text{B}}$

The potential grows with the charge and falls with distance: doubling both leaves $V$ unchanged, as shown by the equality A = D.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric potential · Electric charge

Testo

Dal grafico al segno delle cariche. Due cariche puntiformi sono fissate sull’asse $x$ nei punti $A=(0,0)$ e $B=(d,0)$. Il grafico mostra l’andamento qualitativo del potenziale elettrico $V(x)$ lungo la retta congiungente, con $V\to 0$ all’infinito e un unico punto in cui $V=0$ compreso fra le cariche.

(a) Quale asse del grafico corrisponde alla retta su cui giacciono le cariche? (b) Che segno hanno $q_1$ (in $A$) e $q_2$ (in $B$)? (c) Confronta $|q_1|$ e $|q_2|$ motivando dalle altezze dei picchi.

Soluzione

(a) Asse delle cariche. La retta congiungente su cui giacciono le cariche è la retta lungo cui varia la posizione: è l’asse delle ascisse ($x$). L’asse verticale riporta il valore del potenziale $V$, non una posizione. $\ev{\text{la retta delle cariche è l'asse } x}$

(b) Segni delle cariche. In prossimità di ciascuna carica il potenziale diverge: $V\to +\infty$ vicino a una carica positiva, $V\to -\infty$ vicino a una carica negativa. Il grafico mostra un picco positivo in $A$ e un picco negativo in $B$: $\ev{q_1 > 0 \ (\text{in } A), \qquad q_2 < 0 \ (\text{in } B)}$

(c) Confronto dei moduli. Il potenziale totale è la somma $V(x) = k q_1/|x| + k q_2/|x-d|$. Il fatto che il punto in cui $V=0$ cada tra le cariche ma spostato verso $A$ (il picco negativo di $B$ è più pronunciato e “prevale” già nella regione intermedia) indica che la carica negativa è maggiore in modulo. Più formalmente, dove $V=0$ si ha $|q_1|/r_1 = |q_2|/r_2$; poiché quel punto è più vicino ad $A$ ($r_1 < r_2$), deve essere $|q_1| < |q_2|$. $\ev{|q_1| < |q_2|}$

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Potenziale elettrico · Carica elettrica Competenze: Principio di sovrapposizione

Problem

From the graph to the sign of the charges. Two point charges are fixed on the $x$ axis at points $A=(0,0)$ and $B=(d,0)$. The graph shows the qualitative behaviour of the electric potential $V(x)$ along the line joining them, with $V\to 0$ at infinity and a single point where $V=0$ between the charges.

(a) Which axis of the graph corresponds to the line on which the charges lie? (b) What sign do $q_1$ (at $A$) and $q_2$ (at $B$) have? (c) Compare $|q_1|$ and $|q_2|$, justifying it from the heights of the peaks.

Solution

(a) Axis of the charges. The line joining the charges, on which they lie, is the line along which the position varies: it is the horizontal axis ($x$). The vertical axis shows the value of the potential $V$, not a position. $\ev{\text{the line of the charges is the } x \text{ axis}}$

(b) Signs of the charges. Near each charge the potential diverges: $V\to +\infty$ near a positive charge, $V\to -\infty$ near a negative charge. The graph shows a positive peak at $A$ and a negative peak at $B$: $\ev{q_1 > 0 \ (\text{at } A), \qquad q_2 < 0 \ (\text{at } B)}$

(c) Comparing the magnitudes. The total potential is the sum $V(x) = k q_1/|x| + k q_2/|x-d|$. The fact that the point where $V=0$ falls between the charges but shifted towards $A$ (the negative peak at $B$ is more pronounced and already “dominates” in the intermediate region) indicates that the negative charge is larger in magnitude. More formally, where $V=0$ we have $|q_1|/r_1 = |q_2|/r_2$; since that point is closer to $A$ ($r_1 < r_2$), it must be $|q_1| < |q_2|$. $\ev{|q_1| < |q_2|}$

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric potential · Electric charge Skills: Superposition principle

Testo

Leggere le linee di campo. La figura mostra un frammento delle linee del campo elettrico generato da una distribuzione di cariche non specificata. I punti $A$ e $B$ sono due posizioni contrassegnate.

(a) In quale dei due punti il campo elettrico ha modulo maggiore? Giustifica il criterio usato. (b) Disegna qualitativamente il vettore $\vec{E}$ in entrambi i punti. (c) Indica in quale verso si sposterebbe una carica di prova negativa posta in $A$.

Soluzione

(a) Dove il campo è più intenso. Il criterio è la densità delle linee di campo: il modulo di $\vec{E}$ è proporzionale al numero di linee per unità di area perpendicolare. Nella figura le linee sono più fitte (ravvicinate) a sinistra, in prossimità di $A$, e si diradano verso destra, in prossimità di $B$. Quindi $\ev{|\vec{E}_A| > |\vec{E}_B|}$

(b) Direzione e verso di $\vec{E}$. In ogni punto il vettore $\vec{E}$ è tangente alla linea di campo passante per quel punto ed è orientato nel verso delle frecce (da sinistra verso destra). In $A$ il vettore è tangente alla linea centrale, più lungo (campo intenso); in $B$ è tangente e più corto (campo debole), entrambi diretti nel verso di percorrenza delle linee.

(c) Carica di prova negativa in $A$. La forza su una carica è $\vec{F} = q\vec{E}$. Per una carica negativa ($q < 0$) la forza è antiparallela al campo: mentre le linee (e quindi $\vec{E}$) puntano verso destra, la carica negativa viene spinta in verso opposto alle linee di campo, cioè verso sinistra. $\ev{\vec{F} = q\vec{E}, \quad q<0 \Rightarrow \vec{F} \ \text{opposta a } \vec{E} \ (\text{verso sinistra})}$

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Campo elettrico

Problem

Reading field lines. The figure shows a fragment of the electric field lines generated by an unspecified charge distribution. Points $A$ and $B$ are two marked positions.

(a) At which of the two points does the electric field have the larger magnitude? Justify the criterion used. (b) Qualitatively draw the vector $\vec{E}$ at both points. (c) Indicate in which direction a negative test charge placed at $A$ would move.

Solution

(a) Where the field is more intense. The criterion is the density of the field lines: the magnitude of $\vec{E}$ is proportional to the number of lines per unit area perpendicular to them. In the figure the lines are denser (closer together) on the left, near $A$, and thin out towards the right, near $B$. Hence $\ev{|\vec{E}_A| > |\vec{E}_B|}$

(b) Direction and orientation of $\vec{E}$. At every point the vector $\vec{E}$ is tangent to the field line passing through that point and is oriented in the direction of the arrows (from left to right). At $A$ the vector is tangent to the central line, longer (intense field); at $B$ it is tangent and shorter (weak field), both directed along the lines’ direction of travel.

(c) Negative test charge at $A$. The force on a charge is $\vec{F} = q\vec{E}$. For a negative charge ($q < 0$) the force is antiparallel to the field: while the lines (and hence $\vec{E}$) point to the right, the negative charge is pushed in the direction opposite to the field lines, that is, to the left. $\ev{\vec{F} = q\vec{E}, \quad q<0 \Rightarrow \vec{F} \ \text{opposite to } \vec{E} \ (\text{to the left})}$

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Topics: Electric field and potential Concepts: Electric field

Testo

Dipolo e carica di prova. Due cariche $+q=+5\;\text{nC}$ e $-q=-5\;\text{nC}$ distano $d=4\;\text{cm}$ sul segmento orizzontale. Una piccola carica di prova $q_p=+1\;\text{nC}$ di massa $m=1\cdot 10^{-12}\;\text{kg}$ è posta nel punto $P$ equidistante $L=10\;\text{cm}$ dai due estremi del dipolo come in figura.

(a) Disegna i due campi $\vec{E}_+$ e $\vec{E}_-$ in $P$ e il loro risultante. (b) Calcola il modulo del campo totale $E_P$ in $P$. (c) Stima la velocità che la carica di prova, lasciata libera, raggiungerebbe partendo da ferma quando il potenziale è sceso di $\Delta V=1\;\text{mV}$ dal valore in $P$.

Soluzione

(a) Costruzione dei campi. In $P$ il campo $\vec{E}_+$ è diretto lontano da $+q$ (lungo la congiungente $+q\to P$); il campo $\vec{E}_-$ è diretto verso $-q$ (lungo $P\to -q$). Le due cariche sono uguali in modulo ed equidistanti da $P$, quindi $|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-|$. Le componenti verticali si annullano, mentre le componenti orizzontali si sommano: il campo risultante $\vec{E}_P$ è orizzontale, parallelo all’asse del dipolo, diretto dal polo $+$ verso il polo $-$.

(b) Modulo del campo totale. Ogni carica dista $L=0{,}10\;\text{m}$ da $P$, quindi il campo di una singola carica è $E_1 = k\,\frac{q}{L^2} = (9\cdot 10^9)\,\frac{5\cdot 10^{-9}}{(0{,}10)^2} = 4{,}5\cdot 10^{3}\;\text{V/m}$ Solo la componente orizzontale sopravvive; il fattore geometrico è $\cos\theta = (d/2)/L = 0{,}02/0{,}10 = 0{,}2$. Sommando i due contributi: $E_P = 2\,E_1\cos\theta = 2\,(4{,}5\cdot 10^{3})\,(0{,}2)$ $\ev{E_P \approx 1{,}8\cdot 10^{3}\;\text{V/m}, \quad \vec{E}_P \parallel \text{asse del dipolo}}$

(c) Velocità con la conservazione dell’energia. Il lavoro del campo sulla carica di prova si converte in energia cinetica: $q_p\,\Delta V = \tfrac12\,m\,v^2 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{2\,q_p\,\Delta V}{m}}$ Sostituendo $q_p = 1\cdot 10^{-9}\;\text{C}$, $\Delta V = 1\cdot 10^{-3}\;\text{V}$, $m = 1\cdot 10^{-12}\;\text{kg}$: $v = \sqrt{\frac{2\,(1\cdot 10^{-9})\,(1\cdot 10^{-3})}{1\cdot 10^{-12}}} = \sqrt{2}\;\text{m/s}$ $\ev{v \approx 1{,}4\;\text{m/s}}$ Il metodo (forza $\vec{F}=q_p\vec{E}$ parallela al dipolo, poi bilancio energetico $q_p\Delta V = \tfrac12 mv^2$) è quello richiesto; con i dati assegnati la velocità raggiunta per una caduta di potenziale di appena $1\;\text{mV}$ è dell’ordine del m/s.