Potenziale elettrico

Il potenziale elettrico $V$ misura l’energia potenziale posseduta da una carica per unità di carica stessa: è una grandezza scalare che riassume in un solo numero, punto per punto, tutta l’informazione contenuta nel campo elettrico. Conoscere $V$ ovunque equivale a conoscere $\vec{E}$: dal potenziale si ricava il campo tramite il gradiente, e dal campo si ricava il potenziale tramite l’integrale di linea.

Questi atomi sviluppano la nozione di potenziale a partire dalla sua definizione energetica, mostrano come invertire il legame per ottenere il campo, e stabiliscono la proprietà fondamentale che rende il campo elettrostatico conservativo.

• Definizione di potenziale
• Dal potenziale al campo: il gradiente
• Teorema della circuitazione

The electric potential $V$ measures the potential energy possessed by a charge per unit charge itself: it is a scalar quantity that summarises in a single number, point by point, all the information contained in the electric field. Knowing $V$ everywhere is equivalent to knowing $\vec{E}$: the field is obtained from the potential via the gradient, and the potential is obtained from the field via the line integral.

These atoms develop the notion of potential starting from its energetic definition, show how to invert the link to obtain the field, and establish the fundamental property that makes the electrostatic field conservative.

• Definition of potential
• From potential to field: the gradient
• Circulation theorem

Il potenziale elettrico $V$ è l’energia potenziale elettrostatica posseduta da una carica di prova, divisa per il valore della carica stessa. È dunque una grandezza scalare, misurata in volt ($1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$), che assegna a ogni punto dello spazio un numero indipendente dalla carica che vi si colloca. Il suo grande vantaggio è proprio questo: mentre il campo $\vec{E}$ è un vettore con tre componenti, il potenziale condensa la stessa informazione in un unico scalare. Conoscere $V$ in ogni punto è equivalente a conoscere il campo, perché dalle superfici equipotenziali si ricava $\vec{E}$ e viceversa.

Principio — Potenziale elettrico

Il potenziale generato da una carica puntiforme $Q$ a distanza $r$ vale $\ev{V = k\,\frac{Q}{r}}$ La differenza di potenziale tra due punti $A$ e $B$ è l’opposto della circuitazione del campo lungo un cammino che li congiunge: $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell}$

L’intuizione fisica è quella di un paesaggio di quote: il potenziale gioca il ruolo dell’altitudine e la carica quello della massa che vi si muove. Una carica positiva collocata dove $V$ è alto possiede molta energia potenziale, esattamente come un sasso in cima a una collina; lasciata libera, tende a scivolare verso valori di $V$ più bassi, trasformando energia potenziale in cinetica.

Formula chiave

$V = k\dfrac{Q}{r}$ $E_\text{pot} = q\,V$ $V_B - V_A = k\,Q\!\left(\dfrac{1}{r_B}-\dfrac{1}{r_A}\right)$

L’energia potenziale di una carica $q$ immersa nel potenziale $V$ è semplicemente $E_\text{pot} = qV$: il potenziale è l’energia per unità di carica, e moltiplicandolo per la carica effettiva si ottiene l’energia vera e propria. Per la carica puntiforme, la differenza di potenziale tra due distanze $r_A$ e $r_B$ si scrive in forma compatta come $V_B - V_A = kQ\left(1/r_B - 1/r_A\right)$, che mostra come $V$ decresca in modulo allontanandosi dalla sorgente e tenda a zero all’infinito.

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The electric potential $V$ is the electrostatic potential energy possessed by a test charge, divided by the value of the charge itself. It is thus a scalar quantity, measured in volts ($1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$), which assigns to every point in space a number independent of the charge placed there. Its great advantage is precisely this: while the field $\vec{E}$ is a vector with three components, the potential condenses the same information into a single scalar. Knowing $V$ at every point is equivalent to knowing the field, because $\vec{E}$ can be obtained from the equipotential surfaces and vice versa.

Principle — Electric potential

The potential generated by a point charge $Q$ at distance $r$ is $\ev{V = k\,\frac{Q}{r}}$ The potential difference between two points $A$ and $B$ is the negative of the circulation of the field along a path joining them: $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell}$

The physical intuition is that of a landscape of heights: the potential plays the role of altitude and the charge that of the mass moving through it. A positive charge placed where $V$ is high possesses a great deal of potential energy, exactly like a stone at the top of a hill; left free, it tends to slide towards lower values of $V$, converting potential energy into kinetic energy.

Key formula

$V = k\dfrac{Q}{r}$ $E_\text{pot} = q\,V$ $V_B - V_A = k\,Q\!\left(\dfrac{1}{r_B}-\dfrac{1}{r_A}\right)$

The potential energy of a charge $q$ immersed in the potential $V$ is simply $E_\text{pot} = qV$: the potential is the energy per unit charge, and multiplying it by the actual charge gives the true energy. For the point charge, the potential difference between two distances $r_A$ and $r_B$ is written compactly as $V_B - V_A = kQ\left(1/r_B - 1/r_A\right)$, which shows how $V$ decreases in magnitude with distance from the source and tends to zero at infinity.

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La relazione $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell}$ lega il potenziale al campo tramite un’integrazione. Ma la stessa relazione si può invertire: se conosciamo $V$ in ogni punto, possiamo ricavare $\vec{E}$ operando una derivazione. In tre dimensioni l’operazione corretta è il gradiente, cioè il vettore che raccoglie le derivate parziali di $V$ lungo i tre assi.

Principio — Campo come gradiente del potenziale

Il campo elettrico è l’opposto del gradiente del potenziale: $\ev{\vec{E} = -\,\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\vers{x} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\vers{y} + \frac{\partial V}{\partial z}\,\vers{z}\right)}$

Il gradiente punta nella direzione di massima crescita di $V$; il segno meno lo capovolge, cosicché $\vec{E}$ punta verso i valori decrescenti del potenziale, con intensità tanto maggiore quanto più ripida è la variazione.

Formula chiave

In una dimensione, o lungo la direzione perpendicolare alle equipotenziali: $E = -\dfrac{\dd V}{\dd r}$ Stima pratica su una differenza finita: $\abs{\vec{E}} \approx \dfrac{\abs{\Delta V}}{\Delta d}$

Applicare la formula del gradiente ai casi già noti restituisce i campi corretti, confermando la coerenza del quadro:

• Carica puntiforme: $V = kQ/r \Rightarrow E = -\dd V/\dd r = kQ/r^2$. ✓
• Condensatore piano: $V = -Ed + C \Rightarrow E = -\dd V/\dd d = E$. ✓
• Guscio sferico (dentro): $V = kQ/R = \text{cost} \Rightarrow E = 0$. ✓
• Piano infinito: $V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d \Rightarrow E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. ✓

In particolare, dentro il guscio conduttore il potenziale è costante: la sua derivata è nulla e quindi il campo è nullo, in perfetto accordo con il teorema di Gauss.

Riepilogo — Potenziali tipici

Distribuzione	Potenziale
Carica puntiforme	$V = kQ/r$
Guscio ($r>R$)	$V = kQ/r$
Guscio ($r<R$)	$V = kQ/R$ (costante)
Piano (zero sul piano)	$V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d$
Filo	$V = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C$

Perché il segno meno?

La relazione $\vec{E} = -\nabla V$ dice che il campo punta in discesa nel paesaggio del potenziale, esattamente come un oggetto che scivola dalla montagna scende verso il basso. L’acqua scorre dove la quota diminuisce; una carica positiva si muove spontaneamente dove $V$ diminuisce. Il segno meno assicura che il lavoro compiuto dal campo quando $q > 0$ si sposta da $A$ a $B$ sia $W_{A\to B} = q(V_A - V_B) > 0$ se $V_A > V_B$: la carica “discende” il potenziale e il campo fa lavoro positivo.

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The relation $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell}$ links the potential to the field through an integration. But the same relation can be inverted: if we know $V$ at every point, we can obtain $\vec{E}$ by performing a differentiation. In three dimensions the correct operation is the gradient, that is, the vector that collects the partial derivatives of $V$ along the three axes.

Principle — Field as the gradient of the potential

The electric field is the negative of the gradient of the potential: $\ev{\vec{E} = -\,\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\vers{x} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\vers{y} + \frac{\partial V}{\partial z}\,\vers{z}\right)}$

The gradient points in the direction of maximum growth of $V$; the minus sign flips it, so that $\vec{E}$ points towards decreasing values of the potential, with a strength proportional to how steep the variation is.

Key formula

In one dimension, or along the direction perpendicular to the equipotentials: $E = -\dfrac{\dd V}{\dd r}$ Practical estimate over a finite difference: $\abs{\vec{E}} \approx \dfrac{\abs{\Delta V}}{\Delta d}$

Applying the gradient formula to the cases already known returns the correct fields, confirming the consistency of the framework:

• Point charge: $V = kQ/r \Rightarrow E = -\dd V/\dd r = kQ/r^2$. ✓
• Parallel-plate capacitor: $V = -Ed + C \Rightarrow E = -\dd V/\dd d = E$. ✓
• Spherical shell (inside): $V = kQ/R = \text{const} \Rightarrow E = 0$. ✓
• Infinite plane: $V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d \Rightarrow E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. ✓

In particular, inside the conducting shell the potential is constant: its derivative is zero and hence the field is zero, in perfect agreement with Gauss’s theorem.

Summary — Typical potentials

Distribution	Potential
Point charge	$V = kQ/r$
Shell ($r>R$)	$V = kQ/r$
Shell ($r<R$)	$V = kQ/R$ (constant)
Plane (zero on the plane)	$V = -\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,d$
Wire	$V = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r + C$

Why the minus sign?

The relation $\vec{E} = -\nabla V$ says that the field points downhill in the landscape of the potential, exactly like an object sliding down a mountain moves towards lower ground. Water flows where the elevation decreases; a positive charge spontaneously moves to where $V$ decreases. The minus sign ensures that the work done by the field when $q > 0$ moves from $A$ to $B$ is $W_{A\to B} = q(V_A - V_B) > 0$ if $V_A > V_B$: the charge “descends” the potential and the field does positive work.

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Il teorema della circuitazione esprime in forma integrale una proprietà strutturale del campo elettrostatico: la sua incapacità di compiere lavoro netto lungo un percorso chiuso. È il corrispettivo, per l’integrale di linea, di ciò che il teorema di Gauss è per il flusso.

Legge — Circuitazione del campo elettrostatico

L’integrale di linea di $\vec{E}$ lungo un qualsiasi percorso chiuso è nullo: $\ev{\oint \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell} = 0}$

Questo risultato esprime il fatto che il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro per spostare una carica da $A$ a $B$ non dipende dal percorso seguito, ma solo dai punti iniziale e finale. È proprio questa indipendenza dal cammino che rende possibile definire un potenziale $V$: se il lavoro dipendesse dalla strada scelta, non si potrebbe assegnare a ogni punto un valore univoco di energia potenziale.

Tre affermazioni equivalenti

$\text{campo conservativo} \iff \text{circuitazione nulla} \iff \text{esiste un potenziale } V$ Le tre proprietà sono facce dello stesso fatto: dimostrarne una equivale a dimostrarle tutte.

Il legame con le superfici equipotenziali è immediato. Percorrere un tratto chiuso equivale a tornare al punto di partenza senza mai “scendere” più di quanto si è “saliti” sul potenziale: il lavoro netto è zero e l’integrale di $\vec{E}$ si annulla. Ogni tratto in salita del potenziale viene esattamente compensato dai tratti in discesa, e al ritorno il bilancio è nullo.

Zero del potenziale per distribuzioni estese

Il potenziale del piano infinito e del filo diverge per $d\to\infty$: non si può mettere lo zero all’infinito per distribuzioni di carica estese. In questi casi si sceglie arbitrariamente un punto di riferimento a cui assegnare $V = 0$, senza che ciò alteri le differenze di potenziale, che sono le sole quantità fisicamente misurabili.

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The circulation theorem expresses in integral form a structural property of the electrostatic field: its inability to do net work along a closed path. It is the counterpart, for the line integral, of what Gauss’s theorem is for flux.

Law — Circulation of the electrostatic field

The line integral of $\vec{E}$ along any closed path is zero: $\ev{\oint \vec{E}\cdot \dd\vec{\ell} = 0}$

This result expresses the fact that the electrostatic field is conservative: the work needed to move a charge from $A$ to $B$ does not depend on the path followed, only on the initial and final points. It is precisely this path-independence that makes it possible to define a potential $V$: if the work depended on the chosen route, it would not be possible to assign a unique value of potential energy to each point.

Three equivalent statements

$\text{conservative field} \iff \text{zero circulation} \iff \text{a potential } V \text{ exists}$ The three properties are faces of the same fact: proving one is equivalent to proving them all.

The link with equipotential surfaces is immediate. Travelling a closed loop is equivalent to returning to the starting point without ever “descending” more than one has “climbed” on the potential: the net work is zero and the integral of $\vec{E}$ vanishes. Every uphill stretch of the potential is exactly compensated by downhill stretches, and on return the balance is zero.

Zero of the potential for extended distributions

The potential of the infinite plane and of the wire diverges as $d\to\infty$: for extended charge distributions the zero cannot be placed at infinity. In these cases a reference point is arbitrarily chosen and assigned $V = 0$, without this altering the potential differences, which are the only physically measurable quantities.

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