Condensatore e dielettrici

Il condensatore è il dispositivo che rende concreta l’idea di immagazzinare energia elettrostatica. Due semplici armature affacciate, una carica $+Q$ e l’altra $-Q$, creano nello spazio interno un campo uniforme in cui vive l’energia accumulata. Da qui parte una catena di conseguenze: la definizione di capacità, il ruolo dei materiali isolanti (i dielettrici) che la potenziano, e la scoperta che l’energia non è sulle cariche ma nel campo tra di esse.

Questa sezione raccoglie tre atomi che seguono questo filo: dalla geometria essenziale del condensatore piano, alla fisica microscopica della polarizzazione, fino al comportamento — apparentemente paradossale — dell’energia quando si inserisce un dielettrico a batteria collegata o staccata.

• Condensatore piano — armature affacciate, capacità $C = \varepsilon_0 A/D$, energia immagazzinata nel campo.
• Dielettrici e polarizzazione — come un isolante si polarizza e moltiplica la capacità per $\varepsilon_r$.
• Energia e dielettrico: batteria collegata o staccata — perché la stessa mica fa calare o crescere l’energia a seconda dell’esperimento.

The capacitor is the device that makes the idea of storing electrostatic energy concrete. Two simple facing plates, one charged $+Q$ and the other $-Q$, create a uniform field in the space between them, in which the accumulated energy resides. From here a chain of consequences follows: the definition of capacitance, the role of insulating materials (dielectrics) that enhance it, and the discovery that the energy is not on the charges but in the field between them.

This section gathers three atoms that follow this thread: from the essential geometry of the parallel-plate capacitor, to the microscopic physics of polarisation, up to the — apparently paradoxical — behaviour of the energy when a dielectric is inserted with the battery connected or disconnected.

• Parallel-plate capacitor — facing plates, capacitance $C = \varepsilon_0 A/D$, energy stored in the field.
• Dielectrics and polarisation — how an insulator polarises and multiplies the capacitance by $\varepsilon_r$.
• Energy and dielectric: battery connected or disconnected — why the same mica makes the energy fall or rise depending on the experiment.

Due piastre metalliche parallele di area $A$ separate da una distanza $D$ formano un condensatore piano, il dispositivo elementare per immagazzinare carica e, con essa, energia elettrostatica. Ciascuna armatura porta carica $\pm Q$, distribuita con densità superficiale $\sigma = Q/A$.

La geometria è scelta con astuzia: i campi delle due piastre si sommano nella regione interna e si annullano all’esterno. Tutto il campo è così confinato tra le armature, uniforme e prevedibile:

$E_{\text{interno}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \qquad E_{\text{esterno}} = 0$

Questa è la chiave dell’efficienza del condensatore: nessuna dispersione di campo verso l’esterno, tutta l’energia raccolta in un volume ben definito $A\,D$.

Principio — Capacità

La capacità misura quanta carica il condensatore accumula per ogni volt di differenza di potenziale applicata: $\ev{C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0\,A}{D}}$ Si misura in farad ($\mathrm{F} = \mathrm{C/V}$). Dipende solo dalla geometria: armature grandi e vicine danno grande capacità.

Formula chiave

Per il condensatore piano vale la catena di relazioni: $\begin{aligned} E &= \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} \\ \Delta V &= E\,D = \frac{Q\,D}{\varepsilon_0 A} \\ C &= \frac{\varepsilon_0 A}{D} \\ U &= \tfrac{1}{2}C(\Delta V)^2 = \frac{Q^2}{2C} \end{aligned}$

Il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico, non sulle cariche. Riscrivendo in funzione delle grandezze note si ottiene sia l’energia totale sia la sua densità per unità di volume:

$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} \qquad u = \frac{U}{A D} = \ev{\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2} \quad [\text{J/m}^3]$

Note

La densità di energia $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ vale per qualunque campo elettrico, non solo per il condensatore piano. È una proprietà del campo stesso: ovunque ci sia campo, lì risiede energia. È l’idea che apre la strada alla densità di energia del campo elettrico in generale.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore Oggetti: Condensatore piano

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Two parallel metal plates of area $A$ separated by a distance $D$ form a parallel-plate capacitor, the elementary device for storing charge and, with it, electrostatic energy. Each plate carries charge $\pm Q$, distributed with surface density $\sigma = Q/A$.

The geometry is chosen cleverly: the fields of the two plates add up in the interior region and cancel outside. All the field is thus confined between the plates, uniform and predictable:

$E_{\text{interno}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \qquad E_{\text{esterno}} = 0$

This is the key to the capacitor’s efficiency: no field dispersion towards the outside, all the energy collected in a well-defined volume $A\,D$.

Principle — Capacitance

Capacitance measures how much charge the capacitor accumulates for each volt of applied potential difference: $\ev{C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0\,A}{D}}$ It is measured in farads ($\mathrm{F} = \mathrm{C/V}$). It depends only on geometry: large, close plates give large capacitance.

Key formula

For the parallel-plate capacitor the following chain of relations holds: $\begin{aligned} E &= \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} \\ \Delta V &= E\,D = \frac{Q\,D}{\varepsilon_0 A} \\ C &= \frac{\varepsilon_0 A}{D} \\ U &= \tfrac{1}{2}C(\Delta V)^2 = \frac{Q^2}{2C} \end{aligned}$

The capacitor stores energy in the electric field, not on the charges. Rewriting in terms of the known quantities gives both the total energy and its density per unit volume:

$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} \qquad u = \frac{U}{A D} = \ev{\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2} \quad [\text{J/m}^3]$

Note

The energy density $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ holds for any electric field, not just the parallel-plate capacitor. It is a property of the field itself: wherever there is a field, energy resides there. This is the idea that opens the way to the energy density of the electric field in general.

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Finora abbiamo trattato il condensatore con vuoto (o aria) fra le armature. I condensatori reali — da quelli ceramici dei circuiti elettronici ai grossi elettrolitici degli alimentatori — hanno tra le armature un dielettrico: un materiale isolante (carta, plastica, ceramica, ossido di alluminio) che ne modifica le proprietà in modo sorprendente.

Polarizzazione del materiale

Le molecole di un dielettrico non lasciano scorrere cariche libere — è un isolante — ma sotto l’effetto del campo $\vec E_0$ delle armature le loro nuvole elettroniche si spostano leggermente rispetto ai nuclei: ogni molecola diventa un piccolo dipolo elettrico orientato lungo $\vec E_0$. Alcune molecole sono già polari di natura (per esempio l’acqua $\mathrm{H_2O}$): in quel caso il campo si limita a orientarle.

I dipoli molecolari del dielettrico si orientano lungo il campo $\vec E$ delle armature; le cariche indotte si accumulano sulle facce affacciate agli elettrodi.

Il risultato collettivo è che le cariche dei dipoli si accumulano sulle facce del dielettrico vicine alle armature: sulla faccia in alto compaiono cariche negative indotte (di fronte all’armatura positiva), sulla faccia in basso cariche positive. Queste cariche di polarizzazione producono un campo $\vec E_\text{pol}$ opposto a $\vec E_0$. Il campo totale nel dielettrico è quindi ridotto:

$E = E_0 - E_\text{pol} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$

dove $\varepsilon_r \geq 1$ è la costante dielettrica relativa del materiale, un numero puro.

Principio — Capacità con dielettrico

Inserire un dielettrico di costante $\varepsilon_r$ tra le armature di un condensatore piano di capacità a vuoto $C_0$ ne aumenta la capacità di un fattore $\varepsilon_r$: $\ev{C = \varepsilon_r\,C_0 = \frac{\varepsilon_r\,\varepsilon_0\,A}{D}}$

Il campo più debole, a parità di carica, significa minore differenza di potenziale $\Delta V$, e quindi — per $C = Q/\Delta V$ — maggiore capacità. Il dielettrico “aiuta” il condensatore a trattenere più carica per volt.

Formula chiave

$\begin{aligned} C &= \varepsilon_r C_0 \\ \varepsilon &= \varepsilon_r \varepsilon_0 \quad \text{(permittività assoluta)} \\ U &= \tfrac12 C V^2 \ \text{scala come } C \end{aligned}$

I valori di $\varepsilon_r$ variano enormemente da materiale a materiale:

L’acqua, con $\varepsilon_r \approx 80$, è un solvente straordinario proprio per questa ragione: ridurre di un fattore $80$ la forza di Coulomb tra ioni è quanto basta a spezzare un cristallo come l’$\mathrm{NaCl}$, sciogliendo il sale.

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So far we have treated the capacitor with vacuum (or air) between the plates. Real capacitors — from the ceramic ones in electronic circuits to the large electrolytic ones in power supplies — have a dielectric between the plates: an insulating material (paper, plastic, ceramic, aluminium oxide) that modifies their properties in a surprising way.

Polarisation of the material

The molecules of a dielectric do not let free charges flow — it is an insulator — but under the effect of the plates’ field $\vec E_0$ their electron clouds shift slightly relative to the nuclei: each molecule becomes a small electric dipole oriented along $\vec E_0$. Some molecules are already polar by nature (for example water, $\mathrm{H_2O}$): in that case the field merely orients them.

The dielectric’s molecular dipoles align along the plates’ field $\vec E$; the induced charges accumulate on the faces facing the electrodes.

The collective result is that the dipoles’ charges accumulate on the faces of the dielectric near the plates: on the upper face induced negative charges appear (facing the positive plate), on the lower face positive charges. These polarisation charges produce a field $\vec E_\text{pol}$ opposite to $\vec E_0$. The total field in the dielectric is therefore reduced:

$E = E_0 - E_\text{pol} = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$

where $\varepsilon_r \geq 1$ is the material’s relative dielectric constant, a pure number.

Principle — Capacitance with a dielectric

Inserting a dielectric of constant $\varepsilon_r$ between the plates of a parallel-plate capacitor of vacuum capacitance $C_0$ increases the capacitance by a factor $\varepsilon_r$: $\ev{C = \varepsilon_r\,C_0 = \frac{\varepsilon_r\,\varepsilon_0\,A}{D}}$

The weaker field, for the same charge, means a smaller potential difference $\Delta V$, and hence — since $C = Q/\Delta V$ — a larger capacitance. The dielectric “helps” the capacitor hold more charge per volt.

Key formula

$\begin{aligned} C &= \varepsilon_r C_0 \\ \varepsilon &= \varepsilon_r \varepsilon_0 \quad \text{(absolute permittivity)} \\ U &= \tfrac12 C V^2 \ \text{scales as } C \end{aligned}$

The values of $\varepsilon_r$ vary enormously from material to material:

Water, with $\varepsilon_r \approx 80$, is an extraordinary solvent for exactly this reason: reducing the Coulomb force between ions by a factor of $80$ is enough to break apart a crystal such as $\mathrm{NaCl}$, dissolving the salt.

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L’energia immagazzinata in un condensatore vale sempre

$U = \tfrac12 C V^2 = \frac{Q^2}{2C}$

Ma cosa succede all’energia quando inseriamo un dielettrico dipende in modo cruciale dal come stiamo facendo l’esperimento — cioè se la batteria è ancora collegata oppure no. Le due situazioni portano a conclusioni opposte, ed è un ottimo banco di prova per capire davvero le formule.

Note

Carica costante (batteria scollegata). Inserendo il dielettrico $C$ aumenta di un fattore $\varepsilon_r$; ma $Q$ è fissato (nessun filo per farla entrare o uscire), quindi $V = Q/C$ cala di $\varepsilon_r$. L’energia $U = Q^2/(2C)$ diminuisce di $\varepsilon_r$. Dove va l’energia mancante? È il lavoro fatto dal dielettrico, letteralmente “risucchiato” dentro al condensatore dalle forze elettrostatiche: esiste un’attrazione netta che cattura la lastra parzialmente inserita.

Note

Tensione costante (batteria collegata). Ora $V$ è fissato dalla batteria; $C$ cresce di $\varepsilon_r$ e quindi $Q = CV$ aumenta di $\varepsilon_r$ — la batteria fornisce carica aggiuntiva. L’energia $U = \tfrac12 C V^2$ aumenta di $\varepsilon_r$. La batteria compie in realtà il doppio del lavoro: metà finisce nel condensatore, metà in lavoro meccanico sul dielettrico e in dissipazione nei fili.

Principio — Sintesi

Stesso pezzo di dielettrico, due situazioni opposte: con $Q$ costante l’energia cala, con $V$ costante l’energia cresce. Il “trucco” della batteria che fornisce o assorbe carica fa tutta la differenza.

Esempio — Condensatore parzialmente riempito

Un condensatore piano ha armature di area $A = 100\;\text{cm}^2 = 10^{-2}\;\text{m}^2$ separate da $D = 1{,}0$ mm. Metà dello spessore è occupato da un dielettrico con $\varepsilon_r = 4$ (per esempio mica), l’altra metà è aria. Calcola la capacità totale.

La struttura equivale a due condensatori in serie, uno di spessore $D/2$ con $\varepsilon_r = 1$ e uno di spessore $D/2$ con $\varepsilon_r = 4$: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{D/2} = 2C_0, \qquad C_2 = \frac{4\varepsilon_0 A}{D/2} = 8C_0$ con $C_0 = \varepsilon_0 A / D \approx 8{,}85\;\text{pF}$. In serie: $C_\text{tot} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{16 C_0}{10} = 1{,}6\,C_0 \approx 14{,}2\;\text{pF}$ Confronto: un solo dielettrico con $\varepsilon_r = 4$ che riempisse tutto lo spazio avrebbe dato $4 C_0 \approx 35{,}4$ pF. Il fatto che metà sia ancora aria penalizza pesantemente la capacità: nella serie è la regione a $\varepsilon_r$ basso a dominare il risultato.

Curiosità — Rigidità dielettrica e voltaggio massimo

Sotto un campo abbastanza intenso (la rigidità dielettrica) qualsiasi dielettrico “cede”: gli elettroni vengono strappati ai nuclei e il materiale diventa conduttore — un fulmine in scala da laboratorio. Per l’aria la rigidità è $\sim 3$ MV/m; per la mica $\sim 100$ MV/m. È il motivo per cui un condensatore reale ha sempre due specifiche: capacità e tensione massima. Superare la seconda significa distruggerlo.

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The energy stored in a capacitor is always

$U = \tfrac12 C V^2 = \frac{Q^2}{2C}$

But what happens to the energy when we insert a dielectric depends crucially on how we are running the experiment — that is, whether the battery is still connected or not. The two situations lead to opposite conclusions, and this is an excellent test bench for truly understanding the formulas.

Note

Constant charge (battery disconnected). Inserting the dielectric increases $C$ by a factor $\varepsilon_r$; but $Q$ is fixed (no wire for it to enter or leave through), so $V = Q/C$ falls by $\varepsilon_r$. The energy $U = Q^2/(2C)$ decreases by $\varepsilon_r$. Where does the missing energy go? It is the work done by the dielectric, literally “sucked” into the capacitor by the electrostatic forces: there is a net attraction that pulls in the partially inserted slab.

Note

Constant voltage (battery connected). Now $V$ is fixed by the battery; $C$ grows by $\varepsilon_r$ and so $Q = CV$ increases by $\varepsilon_r$ — the battery supplies additional charge. The energy $U = \tfrac12 C V^2$ increases by $\varepsilon_r$. The battery actually does twice the work: half ends up in the capacitor, half in mechanical work on the dielectric and dissipation in the wires.

Principle — Summary

Same piece of dielectric, two opposite situations: with $Q$ constant the energy falls, with $V$ constant the energy rises. The “trick” of the battery supplying or absorbing charge makes all the difference.

Example — Partially filled capacitor

A parallel-plate capacitor has plates of area $A = 100\;\text{cm}^2 = 10^{-2}\;\text{m}^2$ separated by $D = 1{,}0$ mm. Half the thickness is occupied by a dielectric with $\varepsilon_r = 4$ (for example mica), the other half is air. Calculate the total capacitance.

The structure is equivalent to two capacitors in series, one of thickness $D/2$ with $\varepsilon_r = 1$ and one of thickness $D/2$ with $\varepsilon_r = 4$: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{D/2} = 2C_0, \qquad C_2 = \frac{4\varepsilon_0 A}{D/2} = 8C_0$ with $C_0 = \varepsilon_0 A / D \approx 8{,}85\;\text{pF}$. In series: $C_\text{tot} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{16 C_0}{10} = 1{,}6\,C_0 \approx 14{,}2\;\text{pF}$ Comparison: a single dielectric with $\varepsilon_r = 4$ filling the whole space would have given $4 C_0 \approx 35{,}4$ pF. The fact that half is still air heavily penalises the capacitance: in the series combination, it is the low-$\varepsilon_r$ region that dominates the result.

Curiosity — Dielectric strength and maximum voltage

Under a sufficiently intense field (the dielectric strength) any dielectric “gives way”: electrons are torn from the nuclei and the material becomes conducting — a laboratory-scale lightning bolt. For air the strength is $\sim 3$ MV/m; for mica $\sim 100$ MV/m. This is why a real capacitor always has two specifications: capacitance and maximum voltage. Exceeding the latter means destroying it.

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