Densità di energia del campo

Dove sta l’energia elettrostatica? La risposta della fisica classica è tanto elegante quanto rivoluzionaria: non sta sulle cariche, ma nello spazio dove il campo esiste. Ovunque ci sia un campo $E$, c’è una densità di energia $u_E = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ per unità di volume. Integrando su tutto lo spazio si ritrova l’energia totale del sistema, in perfetto accordo con il conteggio “sulle cariche”.

Questa sezione sviluppa l’idea a partire dal caso del condensatore piano, la generalizza a qualunque distribuzione, e la mette alla prova su geometrie diverse — la sfera carica, il condensatore cilindrico e quello sferico — mostrando quanto sia potente pensare l’energia come proprietà locale del campo.

• Densità di energia elettrica — $u_E = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$, validità generale, energia del campo di una sfera carica.
• Condensatore cilindrico e sferico — capacità di geometrie coassiali e concentriche, cavi coassiali.

Where does electrostatic energy live? Classical physics’ answer is as elegant as it is revolutionary: it is not on the charges, but in the space where the field exists. Wherever there is a field $E$, there is an energy density $u_E = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$ per unit volume. Integrating over all space recovers the total energy of the system, in perfect agreement with the count “on the charges”.

This section develops the idea starting from the parallel-plate capacitor case, generalises it to any distribution, and tests it on different geometries — the charged sphere, the cylindrical capacitor and the spherical one — showing how powerful it is to think of energy as a local property of the field.

• Electric energy density — $u_E = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2$, general validity, field energy of a charged sphere.
• Cylindrical and spherical capacitor — capacitance of coaxial and concentric geometries, coaxial cables.

La relazione $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ meriterebbe il primo posto nell’interpretazione dell’elettrostatica: ci dice che l’energia non sta sulle cariche, ma nello spazio dove il campo esiste. Ovunque c’è un campo $E$, c’è una densità di energia per unità di volume proporzionale al quadrato del suo modulo. È un cambio di prospettiva profondo: smettiamo di pensare all’energia come “accumulata dagli oggetti” e cominciamo a pensarla come diffusa nello spazio, seguendo il campo punto per punto.

Principio — Densità di energia elettrica

In ogni punto dello spazio in cui c’è un campo elettrico di modulo $E$, l’energia per unità di volume vale $\ev{u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2 \qquad [\text{J/m}^3]}$ L’energia totale immagazzinata in una regione di volume $V$ si ottiene integrando: $U = \int_V u_E\,\dd V$.

Il risultato è stato derivato nel caso speciale del condensatore piano, ma ha validità generale. Basta immaginare di caricare lentamente una qualunque distribuzione di cariche: il lavoro fatto contro le forze elettrostatiche si trasferisce nel campo che nasce, con la stessa densità $u_E$ in ogni punto dello spazio.

Esempio — Energia del campo di una sfera carica

Una sfera conduttrice di raggio $R$ porta carica $Q$. All’esterno il campo è quello di una carica puntiforme, all’interno è nullo: $E(r) = \frac{kQ}{r^2} \quad (r > R), \qquad E(r) = 0 \quad (r < R)$ La densità di energia è $u_E(r) = \tfrac12\varepsilon_0 E^2 = \dfrac{kQ^2}{8\pi r^4}$ (usando $\varepsilon_0 = 1/(4\pi k)$). Integrando su gusci sferici $\dd V = 4\pi r^2\,\dd r$ da $R$ all’infinito: $U_{\text{tot}} = \int_R^{\infty}\! u_E(r)\,4\pi r^2\,\dd r = \frac{kQ^2}{2R}$ Lo stesso risultato segue dalla formula $U = \tfrac12 Q V$ applicata a una sfera conduttrice di potenziale $V = kQ/R$: conferma che l’energia elettrostatica si può equivalentemente “contare” sulle cariche ($\tfrac12 QV$) oppure sul campo ($\int u_E\,\dd V$).

Curiosità — Dove sta davvero l'energia?

La domanda non è banale: per le cariche ferme le due descrizioni sono equivalenti. Ma non appena il campo diventa dipendente dal tempo (onde elettromagnetiche, induzione) la descrizione locale $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2 + \tfrac{1}{2\mu_0} B^2$ è l’unica che tiene: l’energia viaggia nello spazio insieme al campo, a velocità $c$. Lo vedremo nel capitolo sulle onde elettromagnetiche.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Campo elettrico

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The relation $u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ would deserve first place in the interpretation of electrostatics: it tells us that the energy is not on the charges, but in the space where the field exists. Wherever there is a field $E$, there is an energy density per unit volume proportional to the square of its magnitude. It is a profound change of perspective: we stop thinking of energy as “accumulated by objects” and start thinking of it as spread through space, following the field point by point.

Principle — Electric energy density

At every point in space where there is an electric field of magnitude $E$, the energy per unit volume equals $\ev{u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_0\,E^2 \qquad [\text{J/m}^3]}$ The total energy stored in a region of volume $V$ is obtained by integrating: $U = \int_V u_E\,\dd V$.

The result was derived for the special case of the parallel-plate capacitor, but it holds generally. Just imagine slowly charging any distribution of charges: the work done against the electrostatic forces is transferred into the field that arises, with the same density $u_E$ at every point in space.

Example — Field energy of a charged sphere

A conducting sphere of radius $R$ carries charge $Q$. Outside, the field is that of a point charge; inside, it is zero: $E(r) = \frac{kQ}{r^2} \quad (r > R), \qquad E(r) = 0 \quad (r < R)$ The energy density is $u_E(r) = \tfrac12\varepsilon_0 E^2 = \dfrac{kQ^2}{8\pi r^4}$ (using $\varepsilon_0 = 1/(4\pi k)$). Integrating over spherical shells $\dd V = 4\pi r^2\,\dd r$ from $R$ to infinity: $U_{\text{tot}} = \int_R^{\infty}\! u_E(r)\,4\pi r^2\,\dd r = \frac{kQ^2}{2R}$ The same result follows from the formula $U = \tfrac12 Q V$ applied to a conducting sphere at potential $V = kQ/R$: this confirms that electrostatic energy can equivalently be “counted” on the charges ($\tfrac12 QV$) or on the field ($\int u_E\,\dd V$).

Curiosity — Where does the energy really live?

The question is not trivial: for stationary charges the two descriptions are equivalent. But as soon as the field becomes time-dependent (electromagnetic waves, induction), the local description $u = \tfrac12 \varepsilon_0 E^2 + \tfrac{1}{2\mu_0} B^2$ is the only one that holds up: the energy travels through space together with the field, at speed $c$. We will see this in the chapter on electromagnetic waves.

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Topics: Electric field and potential Concepts: Field energy density · Electric field

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Il condensatore piano è solo il caso più semplice. Cambiando la geometria delle armature — cilindri coassiali o sfere concentriche — la fisica resta identica (legge di Gauss, integrazione del campo per ottenere $\Delta V$, poi $C = Q/\Delta V$), ma la forma della capacità cambia. Vale la pena vedere i due casi più importanti, perché ricorrono nella pratica: i cavi coassiali sono ovunque, e il condensatore sferico è il ponte che riconduce alla geometria piana.

Condensatore cilindrico

Due cilindri conduttori coassiali di raggi $r_1 < r_2$ e lunghezza $L$ portano cariche $\pm Q$. Per il teorema di Gauss, tra i cilindri il campo è radiale: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L\,\rho} \qquad (r_1 < \rho < r_2)$ La differenza di potenziale si ricava integrando lungo il raggio: $\Delta V = \int_{r_1}^{r_2} E\,\dd\rho = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\frac{r_2}{r_1}$ da cui la capacità per unità di lunghezza: $\frac{C}{L} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(r_2/r_1)}$ Questa è la geometria dei cavi coassiali (TV, reti dati) e di alcuni rivelatori di particelle.

Condensatore sferico

Due gusci concentrici di raggi $r$ e $R$ (con $r < R$) portano cariche $\pm Q$. Per Gauss $|E| = kQ/\rho^2$ tra le sfere. Integrando si ottiene $|\Delta V| = kQ(1/r - 1/R)$, da cui: $\ev{C_{\text{sfer}} = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{rR}{R-r}}$ Nel limite in cui il gap è sottile, $R - r \ll r$, questa formula si riduce esattamente a quella del condensatore piano: le due armature quasi affacciate “non vedono” più la curvatura.

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Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore Oggetti: Condensatore piano

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The parallel-plate capacitor is only the simplest case. Changing the geometry of the plates — coaxial cylinders or concentric spheres — the physics stays the same (Gauss’s law, integrating the field to obtain $\Delta V$, then $C = Q/\Delta V$), but the form of the capacitance changes. It is worth seeing the two most important cases, since they recur in practice: coaxial cables are everywhere, and the spherical capacitor is the bridge back to the flat-plate geometry.

Cylindrical capacitor

Two coaxial conducting cylinders of radii $r_1 < r_2$ and length $L$ carry charges $\pm Q$. By Gauss’s theorem, between the cylinders the field is radial: $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L\,\rho} \qquad (r_1 < \rho < r_2)$ The potential difference is found by integrating along the radius: $\Delta V = \int_{r_1}^{r_2} E\,\dd\rho = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 L}\ln\!\frac{r_2}{r_1}$ from which the capacitance per unit length: $\frac{C}{L} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(r_2/r_1)}$ This is the geometry of coaxial cables (TV, data networks) and some particle detectors.

Spherical capacitor

Two concentric shells of radii $r$ and $R$ (with $r < R$) carry charges $\pm Q$. By Gauss’s law $|E| = kQ/\rho^2$ between the spheres. Integrating gives $|\Delta V| = kQ(1/r - 1/R)$, from which: $\ev{C_{\text{sfer}} = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{rR}{R-r}}$ In the limit where the gap is thin, $R - r \ll r$, this formula reduces exactly to that of the parallel-plate capacitor: the two nearly facing plates no longer “see” the curvature.

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