Legge di Ohm

La legge di Ohm lega la differenza di potenziale ai capi di un resistore alla corrente che vi scorre, e ne descrive la resistenza a partire dalla geometria e dal materiale. Questa sezione ne raccoglie i due enunciati fondamentali, la dipendenza della resistività dalla temperatura e l’effetto Joule, cioè la dissipazione di energia in calore.

• Prima legge di Ohm
• Seconda legge di Ohm: resistività e geometria
• Dipendenza della resistività dalla temperatura
• Effetto Joule

Ohm’s law relates the potential difference across a resistor to the current flowing through it, and describes its resistance in terms of geometry and material. This section collects its two fundamental statements, the dependence of resistivity on temperature, and Joule heating, that is, the dissipation of energy as heat.

• First law of Ohm
• Second law of Ohm: resistivity and geometry
• Dependence of resistivity on temperature
• Joule heating

Quando una corrente $i$ attraversa un resistore, ai suoi capi compare una differenza di potenziale. La prima legge di Ohm afferma che, per un vasto insieme di materiali (i conduttori ohmici), questa differenza di potenziale è direttamente proporzionale alla corrente: raddoppiando la corrente si raddoppia la caduta di tensione.

Formula chiave — Prima legge di Ohm

La differenza di potenziale ai capi di un resistore percorso dalla corrente $i$ è $\ev{\Delta V = R\,i}$ dove $R$ è la resistenza del componente.

La costante di proporzionalità $R$ è la resistenza, che misura quanto il componente ostacola il passaggio della corrente: a parità di tensione applicata, una resistenza grande lascia passare poca corrente. Si misura in ohm (simbolo $\Omega$), unità definita come volt su ampere:

$\ev{[\,R\,] = \Omega = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}}$

Un resistore ha la resistenza di un ohm se, percorso da una corrente di un ampere, presenta ai suoi capi una differenza di potenziale di un volt.

Il potenziale scende nel verso della corrente

Attraversando il resistore nel verso della corrente il potenziale diminuisce: la corrente scorre “in discesa”, dal punto a potenziale maggiore verso quello a potenziale minore, cedendo energia. Per questo la $\Delta V = Ri$ si chiama anche caduta di tensione.

Riprendendo l’analogia idraulica, la caduta di potenziale ai capi del resistore è come il dislivello di pressione ai due estremi di un tubo stretto: più il tubo è stretto (resistenza grande), maggiore è il salto di pressione necessario per far scorrere la stessa portata d’acqua (corrente).

Potenza dissipata

L’energia che le cariche perdono attraversando il resistore non scompare: si trasforma in calore. La potenza dissipata si scrive nelle tre forme equivalenti

$P = R\,i^2 = \Delta V\cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}$

tutte ottenute combinando la prima legge di Ohm con la definizione di potenza elettrica. Questo fenomeno, l’effetto Joule, è approfondito in un atomo dedicato.

Prova tu — simulatore di circuiti

Collega un resistore a un generatore e verifica la prima legge di Ohm: la corrente è proporzionale alla tensione, con la resistenza come costante di proporzionalità.

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Esercizi collegati: Problema — resistenza di una lampadina · Problema — resistenza e potenza di un conduttore ohmico · Problema — caduta di tensione in un cavo di rame

When a current $i$ flows through a resistor, a potential difference appears across its terminals. Ohm’s first law states that, for a broad class of materials (ohmic conductors), this potential difference is directly proportional to the current: doubling the current doubles the voltage drop.

Key formula — Ohm's first law

The potential difference across a resistor carrying current $i$ is $\ev{\Delta V = R\,i}$ where $R$ is the component’s resistance.

The proportionality constant $R$ is the resistance, which measures how much the component obstructs the passage of current: for a given applied voltage, a large resistance lets little current through. It is measured in ohms (symbol $\Omega$), a unit defined as volts over amperes:

$\ev{[\,R\,] = \Omega = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}}$

A resistor has a resistance of one ohm if, carrying a current of one ampere, it shows a potential difference of one volt across its terminals.

Potential drops in the direction of the current

Crossing the resistor in the direction of the current, the potential decreases: the current flows “downhill”, from the point at higher potential to the one at lower potential, giving up energy as it goes. This is why $\Delta V = Ri$ is also called the voltage drop.

Returning to the hydraulic analogy, the potential drop across the resistor is like the pressure difference at the two ends of a narrow pipe: the narrower the pipe (large resistance), the greater the pressure drop needed to push the same flow rate of water (current) through it.

Dissipated power

The energy that charges lose crossing the resistor does not vanish: it turns into heat. The dissipated power can be written in three equivalent forms

$P = R\,i^2 = \Delta V\cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}$

all obtained by combining Ohm’s first law with the definition of electrical power. This phenomenon, the Joule effect, is explored in more depth in a dedicated atom.

Try it — circuit simulator

Connect a resistor to a source and verify Ohm’s first law: current is proportional to voltage, with resistance as the constant of proportionality.

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La prima legge di Ohm introduce la resistenza $R$ come una proprietà del componente, ma non dice da cosa dipenda. La seconda legge di Ohm colma questa lacuna: mostra come $R$ nasca dalla geometria del conduttore e dal materiale di cui è fatto.

Formula chiave — Seconda legge di Ohm

La resistenza di un conduttore filiforme dipende dalla sua geometria e dal materiale secondo $\ev{R = \rho\,\frac{L}{S}}$ dove $L$ è la lunghezza, $S$ la sezione trasversale e $\rho$ la resistività del materiale.

Il significato fisico è intuitivo. La resistenza cresce con la lunghezza $L$: un filo più lungo oppone più ostacoli al passaggio delle cariche, come un tubo più lungo frena di più il flusso. La resistenza diminuisce invece all’aumentare della sezione $S$: un conduttore più grosso offre più “corsie” parallele alle cariche, così come un tubo più largo lascia scorrere più acqua a parità di dislivello.

La resistività

La resistività $\rho$ è la grandezza che caratterizza intrinsecamente il materiale: dipende solo dalla sostanza di cui è fatto il conduttore (e, come vedremo, dalla temperatura), non dalla sua forma. Due fili di materiali diversi ma di identica geometria avranno resistenze diverse proprio perché differiscono in $\rho$. Dalla formula si ricava la sua unità di misura:

$\ev{[\,\rho\,] = \Omega\cdot\mathrm{m}}$

Un basso valore di $\rho$ indica un buon conduttore. I metalli usati per i cavi hanno resistività molto piccole:

Il rame è il conduttore per eccellenza nell’impiantistica per la sua bassa resistività unita a costo e lavorabilità accettabili; l’alluminio, un po’ più resistivo ma molto più leggero, si preferisce nelle linee di trasmissione aeree; il ferro, con resistività quasi dieci volte quella del rame, è un conduttore decisamente peggiore.

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Ohm’s first law introduces resistance $R$ as a property of the component, but does not say what it depends on. Ohm’s second law fills this gap: it shows how $R$ arises from the geometry of the conductor and the material it is made of.

Key formula — Ohm's second law

The resistance of a wire-shaped conductor depends on its geometry and material according to $\ev{R = \rho\,\frac{L}{S}}$ where $L$ is the length, $S$ the cross-sectional area and $\rho$ the material’s resistivity.

The physical meaning is intuitive. Resistance grows with the length $L$: a longer wire opposes more obstacles to the passage of charges, just as a longer pipe slows the flow down more. Resistance instead decreases as the cross-section $S$ increases: a thicker conductor offers more parallel “lanes” to the charges, just as a wider pipe lets more water flow through for the same pressure difference.

Resistivity

Resistivity $\rho$ is the quantity that intrinsically characterises the material: it depends only on the substance the conductor is made of (and, as we shall see, on temperature), not on its shape. Two wires of different materials but identical geometry will have different resistances precisely because they differ in $\rho$. From the formula we can derive its unit of measurement:

$\ev{[\,\rho\,] = \Omega\cdot\mathrm{m}}$

A low value of $\rho$ indicates a good conductor. The metals used for cables have very small resistivities:

Copper is the conductor of choice in wiring installations owing to its low resistivity combined with acceptable cost and workability; aluminium, somewhat more resistive but much lighter, is preferred for overhead transmission lines; iron, with a resistivity almost ten times that of copper, is a distinctly worse conductor.

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La resistività non è una vera “costante del materiale”: dipende in modo apprezzabile dalla temperatura. Trascurare questa dipendenza è lecito solo in prima approssimazione; nella realtà la resistenza di un filo cambia sensibilmente quando esso si scalda.

Metalli: dipendenza lineare

Per i metalli, in un intervallo non troppo grande attorno a una temperatura di riferimento $T_0$, la dipendenza è approssimativamente lineare:

$\ev{\rho(T) = \rho_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr]}$

dove $\rho_0$ è la resistività a $T_0$ e $\alpha$ è il coefficiente termico di resistività (unità $1/\mathrm{K}$). Per il rame $\alpha \approx 3{,}9\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$: una variazione di 100 K cambia la resistività di circa il 40%, un effetto tutt’altro che trascurabile.

Giustificazione microscopica

A temperatura più alta gli ioni del reticolo cristallino oscillano di più attorno alle loro posizioni di equilibrio. Gli elettroni di conduzione urtano contro questi ioni più frequentemente, il loro cammino libero medio si accorcia e la resistività aumenta. Più caldo il metallo, più il reticolo “vibra” e ostacola il moto ordinato delle cariche.

Semiconduttori: dipendenza opposta

Per i semiconduttori (silicio, germanio) la dipendenza è opposta e molto più marcata: la resistività diminuisce all’aumentare della temperatura, di solito in modo esponenziale,

$\rho \propto \exp\!\left(\frac{E_g}{2k_B T}\right)$

dove $E_g$ è l’energia di gap del materiale. Riscaldando un semiconduttore si “liberano” nuovi portatori di carica nel reticolo — elettroni che acquistano energia sufficiente a partecipare alla conduzione — e la resistività crolla. È l’effetto opposto a quello dei metalli, e sta alla base del funzionamento dei termistori e di molti dispositivi elettronici.

Coefficiente termico di alcuni materiali

Sintesi

Metallo: $\rho$ cresce con $T$ ($\alpha > 0$). Semiconduttore: $\rho$ scende con $T$. Costantana: $\alpha \approx 0$, perciò si usa nelle resistenze campione di precisione, la cui resistenza resta stabile al variare della temperatura.

Esempio — Lampadina a incandescenza

Una lampadina a filamento di tungsteno, a temperatura ambiente ($T \approx 300$ K), ha resistenza misurata $R_\text{off} = 10\ \Omega$. Accesa, il filamento raggiunge circa 2700 K e la sua resistenza (calcolata da $V/i$ a regime) è $R_\text{on} \approx 150\ \Omega$. Il tungsteno ha $\alpha \approx 4{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, quindi $\frac{R_\text{on}}{R_\text{off}} \approx 1 + \alpha\,(2700-300) \approx 1 + 4{,}5\cdot10^{-3}\cdot 2400 \approx 11{,}8$ La stima dà $R_\text{on}/R_\text{off} \approx 12$, contro un rapporto sperimentale di $\sim 15$: l’approssimazione lineare è tirata fino al limite (2400 K di salto), ma cattura l’effetto qualitativo. È il motivo per cui all’accensione una lampadina “aspira” una corrente di picco molto più alta di quella di regime, $i_\text{picco} \approx V/R_\text{off} \approx 12$ volte $i_\text{regime}$ — ed è anche il motivo per cui le lampadine si bruciano tipicamente proprio all’accensione.

Contesto storico — Superconduttori: $\rho$ che "cade" a zero

Per alcuni materiali (mercurio, niobio, leghe di YBaCuO) sotto una temperatura critica caratteristica $T_c$ la resistività non semplicemente diminuisce: si annulla esattamente. Una corrente messa in moto in un anello superconduttore continua a girare per anni senza dissipare nulla. Heike Kamerlingh Onnes scoprì il fenomeno nel 1911 nel mercurio raffreddato a 4,2 K con elio liquido (Nobel 1913). Per i “superconduttori ad alta $T_c$” (Bednorz e Müller, 1986; Nobel 1987) le temperature arrivano a $\sim 90$ K, accessibili con azoto liquido. È ancora oggi un fenomeno solo parzialmente compreso, e una delle frontiere più attive della fisica della materia.

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Resistivity is not a true “material constant”: it depends appreciably on temperature. Neglecting this dependence is only valid as a first approximation; in reality the resistance of a wire changes noticeably when it heats up.

Metals: linear dependence

For metals, over an interval that is not too large around a reference temperature $T_0$, the dependence is approximately linear:

$\ev{\rho(T) = \rho_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr]}$

where $\rho_0$ is the resistivity at $T_0$ and $\alpha$ is the thermal coefficient of resistivity (units $1/\mathrm{K}$). For copper $\alpha \approx 3{,}9\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$: a change of 100 K alters the resistivity by about 40%, an effect that is far from negligible.

Microscopic justification

At higher temperature the ions of the crystal lattice oscillate more about their equilibrium positions. The conduction electrons collide with these ions more frequently, their mean free path shortens and the resistivity increases. The hotter the metal, the more the lattice “vibrates” and hinders the ordered motion of the charges.

Semiconductors: opposite dependence

For semiconductors (silicon, germanium) the dependence is opposite and much more pronounced: resistivity decreases as temperature increases, usually exponentially,

$\rho \propto \exp\!\left(\frac{E_g}{2k_B T}\right)$

where $E_g$ is the material’s band gap energy. Heating a semiconductor “frees” new charge carriers in the lattice — electrons that acquire enough energy to take part in conduction — and the resistivity plummets. This is the opposite effect to that seen in metals, and underlies the operation of thermistors and many electronic devices.

Thermal coefficient of some materials

Summary

Metal: $\rho$ increases with $T$ ($\alpha > 0$). Semiconductor: $\rho$ decreases with $T$. Constantan: $\alpha \approx 0$, which is why it is used in precision reference resistors, whose resistance stays stable as temperature varies.

Example — Incandescent light bulb

A tungsten-filament light bulb, at room temperature ($T \approx 300$ K), has a measured resistance $R_\text{off} = 10\ \Omega$. Once lit, the filament reaches about 2700 K and its resistance (calculated from $V/i$ at steady state) is $R_\text{on} \approx 150\ \Omega$. Tungsten has $\alpha \approx 4{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, so $\frac{R_\text{on}}{R_\text{off}} \approx 1 + \alpha\,(2700-300) \approx 1 + 4{,}5\cdot10^{-3}\cdot 2400 \approx 11{,}8$ The estimate gives $R_\text{on}/R_\text{off} \approx 12$, against an experimental ratio of $\sim 15$: the linear approximation is stretched to its limit (a jump of 2400 K), but it captures the qualitative effect. This is why, at switch-on, a light bulb “draws” a peak current much higher than its steady-state current, $i_\text{peak} \approx V/R_\text{off} \approx 12$ times $i_\text{steady}$ — and it is also why bulbs typically burn out right at switch-on.

Historical context — Superconductors: $\rho$ "falling" to zero

For some materials (mercury, niobium, YBaCuO alloys), below a characteristic critical temperature $T_c$ the resistivity does not simply decrease: it vanishes exactly. A current set going in a superconducting loop keeps circulating for years without dissipating anything. Heike Kamerlingh Onnes discovered the phenomenon in 1911 in mercury cooled to 4.2 K with liquid helium (Nobel Prize 1913). For “high-$T_c$ superconductors” (Bednorz and Müller, 1986; Nobel Prize 1987) the temperatures reach $\sim 90$ K, accessible with liquid nitrogen. It remains, even today, only partially understood, and one of the most active frontiers of condensed-matter physics.

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Quando una corrente $i$ scorre in un resistore, il prodotto $\Delta V\cdot i$ rappresenta la potenza dissipata sotto forma di calore: è l’effetto Joule, individuato sperimentalmente da James Prescott Joule nel 1841. È il fenomeno che scalda il filamento di una lampadina, la resistenza di una stufa o il filo di un fusibile.

Formula chiave — Effetto Joule

La potenza dissipata in un resistore $R$ percorso dalla corrente $i$, con caduta di tensione $\Delta V = Ri$, vale $\ev{P_J = R\,i^2 = \Delta V\cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}}$

Le tre espressioni sono equivalenti: si passa dall’una all’altra sostituendo la prima legge di Ohm $\Delta V = Ri$. Il bilancio fra le tre forme è dunque una semplice riscrittura algebrica; quale usare dipende da quali grandezze sono note nel problema.

Perché si dissipa energia?

Microscopicamente gli elettroni di conduzione, accelerati dal campo elettrico nel filo, urtano contro gli ioni del reticolo cristallino perdendo energia cinetica: questa energia diventa energia di vibrazione termica del reticolo, cioè calore. La velocità di deriva degli elettroni resta in media costante — è un regime “terminale”, analogo a quello di una goccia di pioggia che cade a velocità limite nell’atmosfera: l’energia che il campo elettrico fornisce non si accumula in energia cinetica, ma viene continuamente ceduta al reticolo. È il classico esempio di lavoro elettrico che diventa calore, e trova posto naturale nel primo principio della termodinamica (Mazzoldi 2008).

Esempio — Una stufa elettrica

Una stufa elettrica da $P = 2000$ W collegata alla rete a $\Delta V = 230$ V assorbe una corrente $i = \frac{P}{\Delta V} \approx 8{,}7\ \mathrm{A}$ e il suo filamento ha resistenza $R = \frac{(\Delta V)^2}{P} \approx 26\ \Omega$ Per generare 10 MJ di calore (sufficienti a riscaldare di 5 °C una stanza di 50 m³ d’aria) servono $\ev{\Delta t = \frac{10^7}{2000} = 5000\ \mathrm{s} \approx 83\ \text{minuti}}$

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When a current $i$ flows through a resistor, the product $\Delta V\cdot i$ represents the power dissipated as heat: this is the Joule effect, identified experimentally by James Prescott Joule in 1841. It is the phenomenon that heats the filament of a light bulb, the element of a heater, or the wire of a fuse.

Key formula — Joule heating

The power dissipated in a resistor $R$ carrying a current $i$, with voltage drop $\Delta V = Ri$, is $\ev{P_J = R\,i^2 = \Delta V\cdot i = \frac{(\Delta V)^2}{R}}$

The three expressions are equivalent: one moves from one to another by substituting the first law of Ohm $\Delta V = Ri$. The relationship between the three forms is thus a simple algebraic rewriting; which to use depends on which quantities are known in the problem.

Why is energy dissipated?

Microscopically, the conduction electrons, accelerated by the electric field in the wire, collide with the ions of the crystal lattice, losing kinetic energy: this energy becomes thermal vibrational energy of the lattice, that is, heat. The drift velocity of the electrons remains on average constant — it is a “terminal” regime, analogous to that of a raindrop falling at limiting speed through the atmosphere: the energy supplied by the electric field does not accumulate as kinetic energy, but is continuously transferred to the lattice. This is the classic example of electrical work becoming heat, and it finds its natural place within the first law of thermodynamics (Mazzoldi 2008).

Example — An electric heater

An electric heater of $P = 2000$ W connected to the mains at $\Delta V = 230$ V draws a current $i = \frac{P}{\Delta V} \approx 8{,}7\ \mathrm{A}$ and its element has resistance $R = \frac{(\Delta V)^2}{P} \approx 26\ \Omega$ To generate 10 MJ of heat (enough to warm a 50 m³ room of air by 5 °C) it takes $\ev{\Delta t = \frac{10^7}{2000} = 5000\ \mathrm{s} \approx 83\ \text{minutes}}$

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