Esercizi — Circuiti elettrici

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime).

Esercizi svolti nel testo

• Esercizio svolto — Rete mista serie e parallelo
• Esercizio svolto — Due generatori due maglie
• Esercizio svolto — Circuito a tre rami con due generatori
• Esercizio svolto — Serie vs parallelo potenza totale
• Esercizio svolto — Potenze assegnate a tre resistori in parallelo
• Esercizio svolto — Misura con il ponte di Wheatstone
• Esercizio svolto — Scala infinita R_A=1 R_B=3
• Esercizio svolto — Scala infinita R_A=2 R_B=4
• Esercizio svolto — Resistore usato come riscaldatore
• Esercizio svolto — Rete di condensatori
• Esercizio svolto — Circuito RC in carica

Problemi di fine capitolo

• resistenza di una lampadina
• vero o falso su serie e parallelo
• resistenza e potenza di un conduttore ohmico
• resistenza equivalente serie-parallelo
• resistenza interna di una pila alcalina
• due batterie con Kirchhoff
• ponte di Wheatstone, resistenza incognita
• caduta di tensione in un cavo di rame
• resistenza di una scala infinita
• ranking potenze di tre lampadine
• lampadine in serie e in parallelo
• due pile in parallelo
• ranking pile in serie
• capacità di una pila stilo
• leggere la legge di Ohm in un grafico
• tre lampadine A, B, C
• caratteristica di una pila reale
• rete di condensatori
• quale grafico per un circuito RC
• tempo di ebollizione di un bollitore
• corrente e potenza su una resistenza
• tre resistenze serie e parallelo
• due resistenze in parallelo
• luci di Natale in serie
• ranking tre configurazioni di lampade
• vero o falso su circuiti resistivi
• carica di un condensatore RC
• energia di un computer portatile
• il salvavita che scatta
• lampadina da torcia
• resistori in serie
• resistori in parallelo
• corrente come flusso
• lampadine in serie o in parallelo
• cortocircuito
• stesso voltaggio, resistenze diverse
• catena in serie con lampadine diverse
• resistenza riscaldante
• caratteristica V-I
• superconduttore a temperatura ambiente
• rete a tensione decuplicata
• Kirchhoff a due maglie
• fusibili ed effetto Joule
• fili lunghi e fili grossi
• scarica di un condensatore
• caldaia elettrica
• pila stilo per torcia LED
• Wheatstone bilanciato
• filo di rame riscaldato
• lampadina spenta in serie
• catene di lampadine
• riscaldatore sottoalimentato
• rame a resistività nulla
• divisore di tensione
• autoperdita di una batteria
• resistenza interna di una pila

All the exercises of the chapter, worked step by step, in the order they appear in the chapter: first the guided exercises within the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, estimation).

Worked exercises in the text

• Worked exercise — mixed series-parallel network
• Worked exercise — two generators, two loops
• Worked exercise — three-branch circuit with two generators
• Worked exercise — series vs parallel total power
• Worked exercise — assigned powers on three parallel resistors
• Worked exercise — measurement with the Wheatstone bridge
• Worked exercise — infinite ladder R_A=1 R_B=3
• Worked exercise — infinite ladder R_A=2 R_B=4
• Worked exercise — resistor used as a heater
• Worked exercise — capacitor network
• Worked exercise — RC circuit charging

End-of-chapter problems

• resistance of a light bulb
• true or false on series and parallel
• resistance and power of an ohmic conductor
• series-parallel equivalent resistance
• internal resistance of an alkaline battery
• two batteries with Kirchhoff
• Wheatstone bridge, unknown resistance
• voltage drop in a copper cable
• resistance of an infinite ladder
• ranking the power of three light bulbs
• light bulbs in series and in parallel
• two batteries in parallel
• ranking batteries in series
• capacity of an AA battery
• reading Ohm’s law from a graph
• three light bulbs A, B, C
• characteristic of a real battery
• capacitor network
• which graph for an RC circuit
• boiling time of a kettle
• current and power on a resistor
• three resistances in series and parallel
• two resistances in parallel
• Christmas lights in series
• ranking three lamp configurations
• true or false on resistive circuits
• charging of an RC capacitor
• energy of a laptop computer
• the circuit breaker that trips
• torch bulb
• resistors in series
• resistors in parallel
• current as a flow
• light bulbs in series or in parallel
• short circuit
• same voltage, different resistances
• series chain with different light bulbs
• heating resistor
• V-I characteristic
• room-temperature superconductor
• network with tenfold voltage
• Kirchhoff with two loops
• fuses and the Joule effect
• long wires and thick wires
• discharge of a capacitor
• electric boiler
• AA battery for an LED torch
• balanced Wheatstone bridge
• heated copper wire
• burnt-out bulb in series
• chains of light bulbs
• under-powered heater
• copper with zero resistivity
• voltage divider
• self-discharge of a battery
• internal resistance of a battery

Testo

Un circuito ha generatore $\mathcal{E} = 8\;\text{V}$ e tre resistori: $R_1 = 6\;\Omega$, $R_2 = 1\;\Omega$, $R_3 = 7\;\Omega$, con $R_2$ e $R_3$ in parallelo tra loro e questo gruppo in serie con $R_1$. Trovare la resistenza totale, la corrente $i_1$ erogata dal generatore e le correnti $i_2$, $i_3$ nel parallelo.

$R_1$ in serie con il parallelo di $R_2$ e $R_3$.

Soluzione

Passo 1 — equivalente del parallelo $R_2 \parallel R_3$. $R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{1 \cdot 7}{1 + 7} = \frac{7}{8} = 0{,}875\;\Omega$

Passo 2 — circuito ridotto: $R_1$ in serie con $R_{23}$. $R_{\text{tot}} = R_1 + R_{23} = 6 + 0{,}875 = 6{,}875\;\Omega$ $i_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{tot}}} = \frac{8}{6{,}875} \approx 1{,}16\;\text{A}$

Passo 3 — correnti nel parallelo. Il parallelo ha ai suoi capi la stessa tensione $V_{23} = R_{23}\,i_1$: $V_{23} = 0{,}875 \cdot 1{,}16 \approx 1{,}02\;\text{V}$ $i_2 = \frac{V_{23}}{R_2} = \frac{1{,}02}{1} \approx 1{,}02\;\text{A} \qquad i_3 = \frac{V_{23}}{R_3} = \frac{1{,}02}{7} \approx 0{,}15\;\text{A}$

Verifica energetica. Potenza erogata $P = \mathcal{E}\,i_1 = 8 \times 1{,}16 = 9{,}28\;\text{W}$; potenza dissipata $P_{R_1} + P_{R_2} + P_{R_3} = 8{,}10 + 1{,}03 + 0{,}15 = 9{,}28\;\text{W}$. Bilancio verificato.

$\ev{R_{\text{tot}} = 6{,}875\;\Omega,\quad i_1 \approx 1{,}16\;\text{A},\quad i_2 \approx 1{,}02\;\text{A},\quad i_3 \approx 0{,}15\;\text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Semplificazione di reti

Problem

A circuit has a generator $\mathcal{E} = 8\;\text{V}$ and three resistors: $R_1 = 6\;\Omega$, $R_2 = 1\;\Omega$, $R_3 = 7\;\Omega$, with $R_2$ and $R_3$ in parallel with each other and this group in series with $R_1$. Find the total resistance, the current $i_1$ supplied by the generator and the currents $i_2$, $i_3$ in the parallel branch.

$R_1$ in series with the parallel of $R_2$ and $R_3$.

Solution

Step 1 — equivalent of the parallel $R_2 \parallel R_3$. $R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{1 \cdot 7}{1 + 7} = \frac{7}{8} = 0{,}875\;\Omega$

Step 2 — reduced circuit: $R_1$ in series with $R_{23}$. $R_{\text{tot}} = R_1 + R_{23} = 6 + 0{,}875 = 6{,}875\;\Omega$ $i_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{tot}}} = \frac{8}{6{,}875} \approx 1{,}16\;\text{A}$

Step 3 — currents in the parallel branch. The parallel combination has across it the same voltage $V_{23} = R_{23}\,i_1$: $V_{23} = 0{,}875 \cdot 1{,}16 \approx 1{,}02\;\text{V}$ $i_2 = \frac{V_{23}}{R_2} = \frac{1{,}02}{1} \approx 1{,}02\;\text{A} \qquad i_3 = \frac{V_{23}}{R_3} = \frac{1{,}02}{7} \approx 0{,}15\;\text{A}$

Energy check. Power supplied $P = \mathcal{E}\,i_1 = 8 \times 1{,}16 = 9{,}28\;\text{W}$; power dissipated $P_{R_1} + P_{R_2} + P_{R_3} = 8{,}10 + 1{,}03 + 0{,}15 = 9{,}28\;\text{W}$. Balance verified.

$\ev{R_{\text{tot}} = 6{,}875\;\Omega,\quad i_1 \approx 1{,}16\;\text{A},\quad i_2 \approx 1{,}02\;\text{A},\quad i_3 \approx 0{,}15\;\text{A}}$

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Topics: Electric circuits Concepts: Resistors in series and parallel Skills: Network simplification

Testo

Un circuito ha due generatori $\mathcal{E}_1 = 12\;\text{V}$, $\mathcal{E}_2 = 5\;\text{V}$ e due resistori $R_1 = 100\;\Omega$, $R_2 = 50\;\Omega$. Le correnti $i_1$ e $i_2$ percorrono due maglie che condividono il resistore $R_2$. Trovare $i_1$, $i_2$ e la corrente totale $i$.

Due maglie che condividono il ramo centrale con $R_2$.

Soluzione

Impostazione. Percorrendo le due maglie nel verso convenzionale, la seconda legge di Kirchhoff dà: $\text{Maglia 1:}\quad -R_2\,i_1 + R_1\,i_2 + \mathcal{E}_1 = 0$ $\text{Maglia 2:}\quad -R_2\,i_1 + \mathcal{E}_2 = 0$

Dalla seconda equazione si ricava subito $i_1$: $i_1 = \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} = \frac{5}{50} = 0{,}10\;\text{A}$

Sostituendo nella prima: $-50\cdot 0{,}10 + 100\,i_2 + 12 = 0 \;\Rightarrow\; 100\,i_2 = -7 \;\Rightarrow\; i_2 = -\frac{7}{100} = -0{,}07\;\text{A}$ Il segno negativo indica che $i_2$ scorre in verso opposto a quello assunto.

Corrente totale al nodo: $i = i_1 + i_2 = 0{,}10 - 0{,}07 = 0{,}03\;\text{A}$

Verifica (maglia 1): $-50\cdot 0{,}10 + 100\cdot(-0{,}07) + 12 = -5 - 7 + 12 = 0$. Corretto.

$\ev{i_1 = 0{,}10\;\text{A},\quad i_2 = -0{,}07\;\text{A},\quad i = 0{,}03\;\text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff

Problem

A circuit has two generators $\mathcal{E}_1 = 12\;\text{V}$, $\mathcal{E}_2 = 5\;\text{V}$ and two resistors $R_1 = 100\;\Omega$, $R_2 = 50\;\Omega$. The currents $i_1$ and $i_2$ flow through two loops that share resistor $R_2$. Find $i_1$, $i_2$ and the total current $i$.

Two loops sharing the central branch with $R_2$.

Solution

Setup. Traversing the two loops in the conventional direction, Kirchhoff’s second law gives: $\text{Loop 1:}\quad -R_2\,i_1 + R_1\,i_2 + \mathcal{E}_1 = 0$ $\text{Loop 2:}\quad -R_2\,i_1 + \mathcal{E}_2 = 0$

From the second equation $i_1$ follows at once: $i_1 = \frac{\mathcal{E}_2}{R_2} = \frac{5}{50} = 0{,}10\;\text{A}$

Substituting into the first: $-50\cdot 0{,}10 + 100\,i_2 + 12 = 0 \;\Rightarrow\; 100\,i_2 = -7 \;\Rightarrow\; i_2 = -\frac{7}{100} = -0{,}07\;\text{A}$ The negative sign indicates that $i_2$ flows in the direction opposite to the one assumed.

Total current at the node: $i = i_1 + i_2 = 0{,}10 - 0{,}07 = 0{,}03\;\text{A}$

Check (loop 1): $-50\cdot 0{,}10 + 100\cdot(-0{,}07) + 12 = -5 - 7 + 12 = 0$. Correct.

$\ev{i_1 = 0{,}10\;\text{A},\quad i_2 = -0{,}07\;\text{A},\quad i = 0{,}03\;\text{A}}$

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Topics: Electric circuits Concepts: Kirchhoff’s laws Skills: Applying Kirchhoff’s laws

Testo

Un circuito ha un nodo A (in alto) e un nodo B (in basso), collegati da tre rami in parallelo: ramo 1 con $\mathcal{E}_1 = 10\;\text{V}$ e $R_1 = 10\;\Omega$; ramo 2 con $R_2 = 20\;\Omega$; ramo 3 con $\mathcal{E}_2 = 20\;\text{V}$ e $R_3 = 30\;\Omega$. Trovare tutte le correnti $i_1$, $i_2$, $i_3$.

Tre rami in parallelo tra i nodi A e B.

Soluzione

Nodo A (correnti $i_1$, $i_2$ entranti, $i_3$ uscente): $i_1 + i_2 - i_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad i_3 = i_1 + i_2$

Maglie (correnti uscenti da A): $\mathcal{E}_1 - R_1\,i_1 - R_2\,i_2 = 0 \;\Rightarrow\; 10 - 10\,i_1 - 20\,i_2 = 0$ $R_2\,i_2 - \mathcal{E}_2 + R_3\,i_3 = 0 \;\Rightarrow\; 20\,i_2 - 20 + 30\,i_3 = 0$

Sostituisco $i_3 = i_1 + i_2$: $10\,i_1 + 20\,i_2 = 10 \qquad 20\,i_2 + 30\,(i_1 + i_2) = 20 \;\Rightarrow\; 30\,i_1 + 50\,i_2 = 20$

Dalla prima $i_1 = 1 - 2\,i_2$. Sostituisco nella seconda: $30(1 - 2i_2) + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; 30 - 60\,i_2 + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; -10\,i_2 = -10 \;\Rightarrow\; i_2 = 1\;\text{A}$

Quindi: $i_1 = 1 - 2\cdot 1 = -1\;\text{A} \qquad i_3 = i_1 + i_2 = -1 + 1 = 0\;\text{A}$ Il segno negativo su $i_1$ indica che il generatore $\mathcal{E}_1$ è percorso in verso opposto a quello assunto.

$\ev{i_1 = -1\;\text{A},\quad i_2 = 1\;\text{A},\quad i_3 = 0\;\text{A}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff

Problem

A circuit has a node A (top) and a node B (bottom), connected by three branches in parallel: branch 1 with $\mathcal{E}_1 = 10\;\text{V}$ and $R_1 = 10\;\Omega$; branch 2 with $R_2 = 20\;\Omega$; branch 3 with $\mathcal{E}_2 = 20\;\text{V}$ and $R_3 = 30\;\Omega$. Find all the currents $i_1$, $i_2$, $i_3$.

Three branches in parallel between nodes A and B.

Solution

Node A (currents $i_1$, $i_2$ entering, $i_3$ leaving): $i_1 + i_2 - i_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad i_3 = i_1 + i_2$

Loops (currents leaving A): $\mathcal{E}_1 - R_1\,i_1 - R_2\,i_2 = 0 \;\Rightarrow\; 10 - 10\,i_1 - 20\,i_2 = 0$ $R_2\,i_2 - \mathcal{E}_2 + R_3\,i_3 = 0 \;\Rightarrow\; 20\,i_2 - 20 + 30\,i_3 = 0$

Substituting $i_3 = i_1 + i_2$: $10\,i_1 + 20\,i_2 = 10 \qquad 20\,i_2 + 30\,(i_1 + i_2) = 20 \;\Rightarrow\; 30\,i_1 + 50\,i_2 = 20$

From the first, $i_1 = 1 - 2\,i_2$. Substituting into the second: $30(1 - 2i_2) + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; 30 - 60\,i_2 + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; -10\,i_2 = -10 \;\Rightarrow\; i_2 = 1\;\text{A}$

So: $i_1 = 1 - 2\cdot 1 = -1\;\text{A} \qquad i_3 = i_1 + i_2 = -1 + 1 = 0\;\text{A}$ The negative sign on $i_1$ indicates that the source $\mathcal{E}_1$ is traversed in the direction opposite to the one assumed.

$\ev{i_1 = -1\;\text{A},\quad i_2 = 1\;\text{A},\quad i_3 = 0\;\text{A}}$

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Topics: Circuiti elettrici Concepts: Leggi di Kirchhoff Skills: Applicazione delle leggi di Kirchhoff

Testo

Tre resistori identici di valore $R$ vengono collegati allo stesso generatore $\mathcal{E}$, prima tutti in serie, poi tutti in parallelo. Confrontare la potenza totale dissipata nelle due configurazioni.

Soluzione

In serie. La resistenza equivalente e la corrente valgono: $R_{\text{eq}} = 3R \qquad i_s = \frac{\mathcal{E}}{3R}$ La potenza totale è $P_{\text{serie}} = R_{\text{eq}}\,i_s^2 = 3R\left(\frac{\mathcal{E}}{3R}\right)^2 = \frac{\mathcal{E}^2}{3R}$

In parallelo. Ora $R_{\text{eq}} = \frac{R}{3} \qquad i_p = \frac{\mathcal{E}}{R/3} = \frac{3\mathcal{E}}{R}$ La potenza totale è $P_{\text{par}} = R_{\text{eq}}\,i_p^2 = \frac{R}{3}\left(\frac{3\mathcal{E}}{R}\right)^2 = \frac{3\,\mathcal{E}^2}{R}$

Rapporto tra le due configurazioni: $\frac{P_{\text{serie}}}{P_{\text{par}}} = \frac{\mathcal{E}^2/(3R)}{3\,\mathcal{E}^2/R} = \frac{1}{9}$

A parità di generatore, il parallelo dissipa nove volte più della serie: la sua resistenza equivalente è minore, quindi assorbe più corrente e più potenza.

$\ev{\dfrac{P_{\text{serie}}}{P_{\text{par}}} = \dfrac{1}{9}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Resistenze in serie e parallelo

Problem

Three identical resistors of value $R$ are connected to the same source $\mathcal{E}$, first all in series, then all in parallel. Compare the total power dissipated in the two configurations.

Solution

In series. The equivalent resistance and the current are: $R_{\text{eq}} = 3R \qquad i_s = \frac{\mathcal{E}}{3R}$ The total power is $P_{\text{serie}} = R_{\text{eq}}\,i_s^2 = 3R\left(\frac{\mathcal{E}}{3R}\right)^2 = \frac{\mathcal{E}^2}{3R}$

In parallel. Now $R_{\text{eq}} = \frac{R}{3} \qquad i_p = \frac{\mathcal{E}}{R/3} = \frac{3\mathcal{E}}{R}$ The total power is $P_{\text{par}} = R_{\text{eq}}\,i_p^2 = \frac{R}{3}\left(\frac{3\mathcal{E}}{R}\right)^2 = \frac{3\,\mathcal{E}^2}{R}$

Ratio between the two configurations: $\frac{P_{\text{serie}}}{P_{\text{par}}} = \frac{\mathcal{E}^2/(3R)}{3\,\mathcal{E}^2/R} = \frac{1}{9}$

For the same source, the parallel combination dissipates nine times more than the series: its equivalent resistance is smaller, so it draws more current and more power.

$\ev{\dfrac{P_{\text{serie}}}{P_{\text{par}}} = \dfrac{1}{9}}$

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Topics: Circuiti elettrici Concepts: Potenza · Resistenze in serie e parallelo

Testo

Tre resistori $R_1$, $R_2$, $R_3$ sono collegati in parallelo a un generatore $\mathcal{E} = 20\;\text{V}$. Si vuole che la potenza totale sia $P_{\text{tot}} = 10\;\text{W}$ e che $P_2 = 2P_1$ e $P_3 = 3P_1$. Trovare $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Tre resistori in parallelo: ognuno vede la stessa tensione $\mathcal{E}$.

Soluzione

Passo 1 — corrente principale. Dal bilancio energetico $P_{\text{tot}} = \mathcal{E}\,i_0$: $i_0 = \frac{P_{\text{tot}}}{\mathcal{E}} = \frac{10}{20} = 0{,}5\;\text{A}$

Passo 2 — potenze singole. Il vincolo $P_1 + P_2 + P_3 = P_1 + 2P_1 + 3P_1 = 6P_1 = 10\;\text{W}$ dà: $P_1 = \frac{5}{3}\;\text{W} \qquad P_2 = \frac{10}{3}\;\text{W} \qquad P_3 = 5\;\text{W}$

Passo 3 — correnti e resistenze. In un parallelo a $\mathcal{E}$ fissa ogni ramo ha $\Delta V = \mathcal{E}$, quindi $P_k = \mathcal{E}\,i_k$: $i_1 = \frac{5/3}{20} = \frac{1}{12}\;\text{A} \quad i_2 = \frac{10/3}{20} = \frac{1}{6}\;\text{A} \quad i_3 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\;\text{A}$ Le resistenze si ricavano da $P_k = R_k\,i_k^2$ (equivalentemente $R_k = \mathcal{E}^2/P_k$): $R_1 = \frac{5/3}{1/144} = 240\;\Omega \qquad R_2 = 120\;\Omega \qquad R_3 = 80\;\Omega$

Verifica: $i_1 + i_2 + i_3 = \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1+2+3}{12} = \tfrac{1}{2}\;\text{A} = i_0$. Corretto.

$\ev{R_1 = 240\;\Omega,\quad R_2 = 120\;\Omega,\quad R_3 = 80\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza

Problem

Three resistors $R_1$, $R_2$, $R_3$ are connected in parallel to a generator $\mathcal{E} = 20\;\text{V}$. It is required that the total power be $P_{\text{tot}} = 10\;\text{W}$ and that $P_2 = 2P_1$ and $P_3 = 3P_1$. Find $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Three resistors in parallel: each sees the same voltage $\mathcal{E}$.

Solution

Step 1 — main current. From the energy balance $P_{\text{tot}} = \mathcal{E}\,i_0$: $i_0 = \frac{P_{\text{tot}}}{\mathcal{E}} = \frac{10}{20} = 0{,}5\;\text{A}$

Step 2 — individual powers. The constraint $P_1 + P_2 + P_3 = P_1 + 2P_1 + 3P_1 = 6P_1 = 10\;\text{W}$ gives: $P_1 = \frac{5}{3}\;\text{W} \qquad P_2 = \frac{10}{3}\;\text{W} \qquad P_3 = 5\;\text{W}$

Step 3 — currents and resistances. In a parallel connection with fixed $\mathcal{E}$, each branch has $\Delta V = \mathcal{E}$, so $P_k = \mathcal{E}\,i_k$: $i_1 = \frac{5/3}{20} = \frac{1}{12}\;\text{A} \quad i_2 = \frac{10/3}{20} = \frac{1}{6}\;\text{A} \quad i_3 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\;\text{A}$ The resistances are obtained from $P_k = R_k\,i_k^2$ (equivalently $R_k = \mathcal{E}^2/P_k$): $R_1 = \frac{5/3}{1/144} = 240\;\Omega \qquad R_2 = 120\;\Omega \qquad R_3 = 80\;\Omega$

Check: $i_1 + i_2 + i_3 = \tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1+2+3}{12} = \tfrac{1}{2}\;\text{A} = i_0$. Correct.

$\ev{R_1 = 240\;\Omega,\quad R_2 = 120\;\Omega,\quad R_3 = 80\;\Omega}$

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Topics: Circuiti elettrici Concepts: Potenza

Testo

In un ponte di Wheatstone si hanno $R_1 = R_2 = 100\;\Omega$ e $R_3 = 47\;\Omega$. Trovare il valore $R_4$ che porta il ponte all’equilibrio e la corrente erogata dal generatore, alimentato a $\mathcal{E} = 6\;\text{V}$.

Ponte a rombo: all’equilibrio la corrente nel galvanometro $G$ è nulla.

Soluzione

Condizione di equilibrio. All’equilibrio $I_G = 0$ e vale $R_1/R_2 = R_3/R_4$. Poiché $R_1 = R_2$, il rapporto $R_1/R_2 = 1$, quindi: $R_4 = R_3\,\frac{R_2}{R_1} = R_3 = 47\;\Omega$

Corrente del generatore. Con $I_G = 0$ il ramo centrale è muto e restano due percorsi in parallelo, ciascuno formato da due resistori in serie: $R_1 + R_3 = 147\;\Omega \qquad R_2 + R_4 = 147\;\Omega$ Essendo uguali, sono due resistori identici in parallelo: $R_{\text{eq}} = \frac{147}{2} = 73{,}5\;\Omega \qquad i = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{eq}}} = \frac{6}{73{,}5} \approx 0{,}082\;\text{A}$

$\ev{R_4 = 47\;\Omega,\quad i \approx 0{,}082\;\text{A}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Semplificazione di reti

Problem

In a Wheatstone bridge $R_1 = R_2 = 100\;\Omega$ and $R_3 = 47\;\Omega$. Find the value $R_4$ that brings the bridge to balance and the current delivered by the generator, supplied at $\mathcal{E} = 6\;\text{V}$.

Diamond-shaped bridge: at balance the current in the galvanometer $G$ is zero.

Solution

Balance condition. At balance $I_G = 0$ and $R_1/R_2 = R_3/R_4$ holds. Since $R_1 = R_2$, the ratio $R_1/R_2 = 1$, hence: $R_4 = R_3\,\frac{R_2}{R_1} = R_3 = 47\;\Omega$

Generator current. With $I_G = 0$ the central branch is inactive and two parallel paths remain, each formed by two resistors in series: $R_1 + R_3 = 147\;\Omega \qquad R_2 + R_4 = 147\;\Omega$ Being equal, they are two identical resistors in parallel: $R_{\text{eq}} = \frac{147}{2} = 73{,}5\;\Omega \qquad i = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{eq}}} = \frac{6}{73{,}5} \approx 0{,}082\;\text{A}$

$\ev{R_4 = 47\;\Omega,\quad i \approx 0{,}082\;\text{A}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Semplificazione di reti

Testo

Una scala infinita (ladder network) è una catena periodica di celle identiche: su ogni cella un resistore $R_A$ in serie sul filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt tra i due fili. Con $R_A = 1\;\Omega$ e $R_B = 3\;\Omega$, trovare la resistenza equivalente $Z_\infty$ vista ai terminali d’ingresso.

$R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt; la cella si ripete all’infinito.

Soluzione

Trucco dell’autosomiglianza. Aggiungendo una cella la scala resta identica, quindi $Z_\infty$ soddisfa $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$ che, moltiplicando per $(R_B + Z_\infty)$ e semplificando, diventa l’equazione di secondo grado $Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Sostituisco i valori $R_A = 1\;\Omega$, $R_B = 3\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 1\cdot Z_\infty - 1\cdot 3 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - Z_\infty - 3 = 0$

Discriminante e soluzione positiva (l’altra radice è negativa, fisicamente impossibile): $\Delta = 1 + 12 = 13$ $Z_\infty = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3{,}61}{2} \approx 2{,}30\;\Omega$

$\ev{Z_\infty = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

Problem

An infinite ladder network is a periodic chain of identical cells: on each cell a resistor $R_A$ in series on the top wire and a resistor $R_B$ shunted between the two wires. With $R_A = 1\;\Omega$ and $R_B = 3\;\Omega$, find the equivalent resistance $Z_\infty$ seen at the input terminals.

$R_A$ in series on the top wire, $R_B$ shunted; the cell repeats to infinity.

Solution

Self-similarity trick. Adding one more cell leaves the ladder unchanged, so $Z_\infty$ satisfies $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$ which, multiplying by $(R_B + Z_\infty)$ and simplifying, becomes the quadratic equation $Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Substituting the values $R_A = 1\;\Omega$, $R_B = 3\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 1\cdot Z_\infty - 1\cdot 3 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - Z_\infty - 3 = 0$

Discriminant and positive solution (the other root is negative, physically impossible): $\Delta = 1 + 12 = 13$ $Z_\infty = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{1 + 3{,}61}{2} \approx 2{,}30\;\Omega$

$\ev{Z_\infty = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

Testo

Una scala infinita (ladder network) ha su ogni cella un resistore $R_A$ in serie sul filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt tra i due fili. Con $R_A = 2\;\Omega$ e $R_B = 4\;\Omega$, trovare la resistenza equivalente $Z_\infty$ vista ai terminali d’ingresso.

$R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt; la cella si ripete all’infinito.

Soluzione

Trucco dell’autosomiglianza. Aggiungendo una cella la scala resta identica, quindi $Z_\infty$ soddisfa $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} \;\Longrightarrow\; Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Sostituisco i valori $R_A = 2\;\Omega$, $R_B = 4\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 2\cdot 4 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 8 = 0$

Discriminante e soluzione positiva: $\Delta = 4 + 32 = 36$ $Z_\infty = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\;\Omega$

Verifica immediata con l’equazione di autosomiglianza: $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} = 2 + \frac{4\cdot 4}{4 + 4} = 2 + 2 = 4\;\Omega$ Corretto.

$\ev{Z_\infty = 4\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

Problem

An infinite ladder network has on each cell a resistor $R_A$ in series on the top wire and a resistor $R_B$ shunted between the two wires. With $R_A = 2\;\Omega$ and $R_B = 4\;\Omega$, find the equivalent resistance $Z_\infty$ seen at the input terminals.

$R_A$ in series on the top wire, $R_B$ shunted; the cell repeats to infinity.

Solution

Self-similarity trick. Adding one more cell leaves the ladder unchanged, so $Z_\infty$ satisfies $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} \;\Longrightarrow\; Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A R_B = 0$

Substituting the values $R_A = 2\;\Omega$, $R_B = 4\;\Omega$: $Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 2\cdot 4 = 0 \;\Rightarrow\; Z_\infty^2 - 2\,Z_\infty - 8 = 0$

Discriminant and positive solution: $\Delta = 4 + 32 = 36$ $Z_\infty = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\;\Omega$

Immediate check with the self-similarity equation: $Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty} = 2 + \frac{4\cdot 4}{4 + 4} = 2 + 2 = 4\;\Omega$ Correct.

$\ev{Z_\infty = 4\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

Testo

Un resistore $R_x$ è collegato a un generatore $\mathcal{E} = 200\;\text{V}$ dotato di resistenza interna $r = 4\;\Omega$. Il resistore deve portare $m = 2\;\text{kg}$ di acqua da $20\,^\circ$C a $100\,^\circ$C in $t = 5\;\text{min} = 300\;\text{s}$. Calore specifico dell’acqua $c = 4180\;\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$. Trovare il valore di $R_x$.

Generatore reale ($\mathcal{E}$, resistenza interna $r$) che alimenta il riscaldatore $R_x$.

Soluzione

Energia termica richiesta. Per scaldare l’acqua di $\Delta T = 80\;\text{K}$: $\Delta E = m\,c\,\Delta T = 2 \times 4180 \times 80 = 668\,800\;\text{J}$

Potenza da dissipare su $R_x$: $P_{R_x} = \frac{\Delta E}{t} = \frac{668\,800}{300} \approx 2229\;\text{W}$

Bilancio del circuito ($P_{\text{gen}} = P_r + P_{R_x}$, cioè la potenza erogata dalla f.e.m. è dissipata sulla resistenza interna più il riscaldatore): $\mathcal{E}\,i = r\,i^2 + P_{R_x} \;\Rightarrow\; 200\,i = 4\,i^2 + 2229$ ovvero l’equazione di secondo grado $4\,i^2 - 200\,i + 2229 = 0$

Discriminante e soluzioni: $\Delta = 40000 - 35664 = 4336$ $i = \frac{200 \pm \sqrt{4336}}{8} \approx \frac{200 \pm 65{,}9}{8}$ La soluzione fisicamente sensata è $i \approx 16{,}7\;\text{A}$ (l’altra, $i \approx 33{,}2\;\text{A}$, dissiperebbe troppa potenza sulla resistenza interna $r$).

Resistenza del riscaldatore: $R_x = \frac{P_{R_x}}{i^2} = \frac{2229}{16{,}7^2} \approx 8\;\Omega$

$\ev{R_x \approx 8\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule Competenze: Conservazione dell’energia

Problem

A resistor $R_x$ is connected to a generator $\mathcal{E} = 200\;\text{V}$ with internal resistance $r = 4\;\Omega$. The resistor must bring $m = 2\;\text{kg}$ of water from $20\,^\circ$C to $100\,^\circ$C in $t = 5\;\text{min} = 300\;\text{s}$. Specific heat of water $c = 4180\;\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$. Find the value of $R_x$.

Real generator ($\mathcal{E}$, internal resistance $r$) powering the heater $R_x$.

Solution

Required thermal energy. To heat the water by $\Delta T = 80\;\text{K}$: $\Delta E = m\,c\,\Delta T = 2 \times 4180 \times 80 = 668\,800\;\text{J}$

Power to be dissipated on $R_x$: $P_{R_x} = \frac{\Delta E}{t} = \frac{668\,800}{300} \approx 2229\;\text{W}$

Circuit balance ($P_{\text{gen}} = P_r + P_{R_x}$, i.e. the power delivered by the e.m.f. is dissipated in the internal resistance plus the heater): $\mathcal{E}\,i = r\,i^2 + P_{R_x} \;\Rightarrow\; 200\,i = 4\,i^2 + 2229$ that is, the quadratic equation $4\,i^2 - 200\,i + 2229 = 0$

Discriminant and solutions: $\Delta = 40000 - 35664 = 4336$ $i = \frac{200 \pm \sqrt{4336}}{8} \approx \frac{200 \pm 65{,}9}{8}$ The physically sensible solution is $i \approx 16{,}7\;\text{A}$ (the other, $i \approx 33{,}2\;\text{A}$, would dissipate too much power in the internal resistance $r$).

Resistance of the heater: $R_x = \frac{P_{R_x}}{i^2} = \frac{2229}{16{,}7^2} \approx 8\;\Omega$

$\ev{R_x \approx 8\;\Omega}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule Competenze: Conservazione dell’energia

Testo

Tre condensatori $C_1 = 4\;\mu\text{F}$, $C_2 = 6\;\mu\text{F}$, $C_3 = 3\;\mu\text{F}$ sono collegati così: $C_1$ in serie con la combinazione parallela di $C_2$ e $C_3$. La tensione totale è $V = 12\;\text{V}$. Trovare la capacità equivalente, la carica su $C_1$ e la tensione su $C_2$ e $C_3$.

$C_1$ in serie con il parallelo di $C_2$ e $C_3$.

Soluzione

Passo 1 — parallelo di $C_2$ e $C_3$ (le capacità in parallelo si sommano): $C_{23} = C_2 + C_3 = 6 + 3 = 9\;\mu\text{F}$

Passo 2 — serie di $C_1$ e $C_{23}$ (in serie si sommano gli inversi): $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 4}{36} = \frac{13}{36} \;\Rightarrow\; C_{\text{eq}} = \frac{36}{13} \approx 2{,}77\;\mu\text{F}$

Passo 3 — carica sulla serie. In serie i condensatori portano la stessa carica $Q$: $Q = C_{\text{eq}}\,V = \frac{36}{13}\times 12 = \frac{432}{13} \approx 33{,}2\;\mu\text{C}$ Questa è la carica su $C_1$ (e su $C_{23}$).

Passo 4 — tensioni. $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{432/13}{4} = \frac{108}{13} \approx 8{,}31\;\text{V}$ $V_{23} = V - V_1 = 12 - \frac{108}{13} = \frac{156 - 108}{13} = \frac{48}{13} \approx 3{,}69\;\text{V}$ Essendo $C_2$ e $C_3$ in parallelo, hanno entrambi la stessa tensione $V_2 = V_3 = V_{23} \approx 3{,}69\;\text{V}$.

Verifica: $V_1 + V_{23} = 8{,}31 + 3{,}69 = 12\;\text{V}$. Corretto.

$\ev{C_{\text{eq}} \approx 2{,}77\;\mu\text{F},\quad Q_1 \approx 33{,}2\;\mu\text{C},\quad V_2 = V_3 \approx 3{,}69\;\text{V}}$

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Capacità e condensatore Competenze: Semplificazione di reti

Problem

Three capacitors $C_1 = 4\;\mu\text{F}$, $C_2 = 6\;\mu\text{F}$, $C_3 = 3\;\mu\text{F}$ are connected as follows: $C_1$ in series with the parallel combination of $C_2$ and $C_3$. The total voltage is $V = 12\;\text{V}$. Find the equivalent capacitance, the charge on $C_1$ and the voltage across $C_2$ and $C_3$.

$C_1$ in series with the parallel of $C_2$ and $C_3$.