Resistenze in serie e in parallelo

Due resistori si possono combinare in due modi fondamentali: in serie (uno dopo l’altro, attraversati dalla stessa corrente) oppure in parallelo (affiancati fra gli stessi due nodi, con la stessa tensione ai capi). In entrambi i casi la coppia si comporta come un’unica resistenza equivalente $R_\text{eq}$, calcolabile con una regola precisa. Quando la rete non è né puramente in serie né puramente in parallelo, si riduce un gruppo alla volta con la semplificazione progressiva.

• Resistenze in serie
• Resistenze in parallelo
• Semplificazione progressiva

Two resistors can be combined in two fundamental ways: in series (one after the other, carrying the same current) or in parallel (side by side between the same two nodes, with the same voltage across them). In both cases the pair behaves as a single equivalent resistance $R_\text{eq}$, computable with a precise rule. When the network is neither purely in series nor purely in parallel, it is reduced one group at a time by progressive simplification.

• Resistors in series
• Resistors in parallel
• Progressive simplification

Due resistori sono in serie quando sono collegati uno dopo l’altro lungo lo stesso filo, senza diramazioni nel mezzo: la corrente non ha alternative e deve attraversarli entrambi. Da qui la proprietà chiave: la corrente $i$ è la stessa in ogni resistore della catena.

Due resistori in serie: stessa corrente $i$ attraversa $R_1$ e $R_2$.

Poiché ogni resistore fa cadere una parte della tensione del generatore, e le cadute si succedono lungo il percorso, le tensioni si sommano: $\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \cdots = R_1 i + R_2 i + \cdots$

Raccogliendo la corrente comune $i$ si legge subito la resistenza equivalente della catena.

Principio — Resistenze in serie

Stessa corrente in tutti i resistori; le tensioni si sommano.

Formula chiave

$\ev{R_\text{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots}$

Aggiungere resistori in serie aumenta sempre la resistenza totale: si allunga il percorso che la corrente deve superare.

Sintesi

In serie la corrente è la stessa e le resistenze si sommano. Due resistori uguali $R$ danno $R_\text{eq} = 2R$.

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Two resistors are in series when they are connected one after the other along the same wire, with no branching in between: the current has no alternative and must pass through both. Hence the key property: the current $i$ is the same in every resistor of the chain.

Two resistors in series: the same current $i$ flows through $R_1$ and $R_2$.

Since each resistor accounts for part of the source’s voltage, and the drops occur one after another along the path, the voltages add up: $\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \cdots = R_1 i + R_2 i + \cdots$

Factoring out the common current $i$ immediately gives the equivalent resistance of the chain.

Principle — Resistors in series

Same current through all resistors; voltages add up.

Key formula

$\ev{R_\text{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots}$

Adding resistors in series always increases the total resistance: it lengthens the path the current must overcome.

Summary

In series the current is the same and the resistances add up. Two equal resistors $R$ give $R_\text{eq} = 2R$.

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Due resistori sono in parallelo quando sono collegati fra gli stessi due nodi: entrambi i capi di $R_1$ toccano gli stessi punti dei capi di $R_2$. La corrente che arriva al nodo si divide fra i due rami e si ricongiunge dopo. La proprietà chiave è quindi complementare a quella della serie: ogni resistore ha ai capi la stessa differenza di potenziale $\Delta V$.

Due resistori in parallelo fra i nodi $A$ e $B$: stessa tensione $\Delta V$, la corrente si divide fra i rami.

Poiché la corrente totale è la somma delle correnti dei rami e ogni ramo obbedisce alla legge di Ohm con la stessa $\Delta V$: $i = i_1 + i_2 + \cdots = \frac{\Delta V}{R_1} + \frac{\Delta V}{R_2} + \cdots$

Dividendo per $\Delta V$ comune si ottiene la regola dei reciproci.

Principio — Resistenze in parallelo

Stessa tensione ai capi; le correnti si sommano.

Formula chiave

$\ev{\frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots}$

Aggiungere un ramo in parallelo offre alla corrente una strada in più: la resistenza equivalente diminuisce. Anzi $R_\text{eq}$ è sempre minore della più piccola delle resistenze in parallelo.

Sintesi

In parallelo la tensione è la stessa e i reciproci si sommano. $R_\text{eq}$ è sempre più piccola della resistenza minore; due resistori uguali $R$ danno $R_\text{eq} = R/2$.

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Two resistors are in parallel when they are connected between the same two nodes: both ends of $R_1$ touch the same points as the ends of $R_2$. The current arriving at the node splits between the two branches and recombines afterwards. The key property is thus complementary to that of series connections: each resistor has the same potential difference $\Delta V$ across it.

Two resistors in parallel between nodes $A$ and $B$: same voltage $\Delta V$, the current splits between the branches.

Since the total current is the sum of the branch currents and each branch obeys Ohm’s law with the same $\Delta V$: $i = i_1 + i_2 + \cdots = \frac{\Delta V}{R_1} + \frac{\Delta V}{R_2} + \cdots$

Dividing by the common $\Delta V$ gives the reciprocal rule.

Principle — Resistors in parallel

Same voltage across them; currents add up.

Key formula

$\ev{\frac{1}{R_\text{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \cdots}$

Adding a branch in parallel offers the current one more path: the equivalent resistance decreases. In fact $R_\text{eq}$ is always smaller than the smallest of the parallel resistances.

Summary

In parallel the voltage is the same and the reciprocals add up. $R_\text{eq}$ is always smaller than the smallest resistance; two equal resistors $R$ give $R_\text{eq} = R/2$.

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Molte reti reali non sono né puramente in serie né puramente in parallelo: sono reti miste, in cui alcuni resistori sono in serie e altri in parallelo. Per trovarne la resistenza equivalente non serve un metodo nuovo, basta applicare ripetutamente le due regole già note, riducendo un gruppo alla volta.

Principio — Semplificazione progressiva

Si identifica un sottoinsieme di resistori chiaramente in serie o in parallelo, lo si sostituisce con la sua resistenza equivalente, e si ottiene una rete più semplice. Ripetendo, la rete collassa passo dopo passo fino a un unico resistore equivalente.

Il metodo, in pratica:

1. Cerca il gruppo più interno riconoscibile come serie pura o parallelo puro (spesso i rami più lontani dal generatore).
2. Sostituiscilo con la sua $R_\text{eq}$: $R_1+R_2$ se in serie, la regola dei reciproci se in parallelo.
3. Ridisegna il circuito ridotto e ripeti dal punto 1.
4. Arrivati a un solo resistore equivalente, si ricava la corrente totale dal generatore; poi si risale a ritroso per trovare tensioni e correnti nei singoli rami (a ogni passo la tensione del gruppo equivalente è nota).

Riconoscere serie e parallelo

Due resistori sono in serie solo se fra loro non ci sono diramazioni; sono in parallelo solo se entrambi i capi coincidono con gli stessi due nodi. Un errore tipico è chiamare “in serie” resistori separati da un nodo dove entra o esce un altro ramo.

Esempio svolto

Un esempio completo di rete mista (con $R_2$ e $R_3$ in parallelo, poi in serie con $R_1$, incluse le correnti nei rami e la verifica energetica) è svolto passo-passo tra gli esercizi di questa sezione.

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Many real networks are neither purely in series nor purely in parallel: they are mixed networks, in which some resistors are in series and others in parallel. To find their equivalent resistance no new method is needed — it suffices to apply the two known rules repeatedly, reducing one group at a time.

Principle — Progressive simplification

One identifies a subset of resistors that is clearly in series or in parallel, replaces it with its equivalent resistance, and obtains a simpler network. Repeating this, the network collapses step by step down to a single equivalent resistor.

The method, in practice:

1. Find the innermost group recognisable as pure series or pure parallel (often the branches furthest from the source).
2. Replace it with its $R_\text{eq}$: $R_1+R_2$ if in series, the reciprocal rule if in parallel.
3. Redraw the reduced circuit and repeat from step 1.
4. Once a single equivalent resistor is reached, the total current from the source is found; then one works back to find the voltages and currents in the individual branches (at each step the voltage of the equivalent group is known).

Recognising series and parallel

Two resistors are in series only if there are no branches between them; they are in parallel only if both their ends coincide with the same two nodes. A typical mistake is calling “in series” resistors that are separated by a node where another branch enters or leaves.

Worked example

A complete example of a mixed network (with $R_2$ and $R_3$ in parallel, then in series with $R_1$, including the branch currents and the energy check) is worked through step by step among the exercises in this section.

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