Leggi di Kirchhoff

Quando una rete non si riduce a semplici serie e paralleli servono strumenti più generali: le due leggi di Kirchhoff, che traducono in equazioni la conservazione della carica (ai nodi) e dell’energia (lungo le maglie). Con esse ogni circuito, per quanto intricato, diventa un sistema lineare di equazioni nelle correnti di ramo.

• Legge dei nodi e legge delle maglie
• Procedimento sistematico

When a network cannot be reduced to simple series and parallel combinations, more general tools are needed: Kirchhoff’s two laws, which translate into equations the conservation of charge (at the nodes) and of energy (around the loops). With them, any circuit, however intricate, becomes a linear system of equations in the branch currents.

• Node law and loop law
• Systematic procedure

Le reti elettriche complesse non si lasciano sempre ridurre a combinazioni di serie e paralleli: possono contenere più generatori, rami che si intrecciano, nodi in cui convergono tre o più fili. Per analizzarle in tutta generalità si usano le due leggi di Kirchhoff, che non aggiungono nuova fisica ma traducono in equazioni due principi di conservazione già noti: quello della carica e quello dell’energia.

Prima legge — legge dei nodi

Un nodo è un punto in cui si incontrano tre o più conduttori. In regime stazionario la carica non può accumularsi in un nodo: tutta quella che entra deve, nello stesso istante, uscire.

Principio — Legge dei nodi (prima legge di Kirchhoff)

La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti: $\ev{\sum i_{\text{in}} = \sum i_{\text{out}}}$

Fisicamente questa è la conservazione della carica: le cariche non si creano né si distruggono, e in condizioni stazionarie non si ammucchiano nei nodi. Se così non fosse, in quel punto crescerebbe indefinitamente una carica netta, con un campo elettrico crescente — situazione incompatibile con lo stato stazionario. La corrente si comporta come un fluido incomprimibile: il flusso che arriva a un incrocio è esattamente quello che riparte.

Seconda legge — legge delle maglie

Una maglia è un qualsiasi percorso chiuso all’interno della rete. Percorrendola e sommando tutte le variazioni di potenziale (cadute sui resistori e forze elettromotrici dei generatori) si torna al punto di partenza, dove il potenziale ha necessariamente lo stesso valore di prima.

Principio — Legge delle maglie (seconda legge di Kirchhoff)

La somma algebrica delle variazioni di potenziale lungo qualsiasi percorso chiuso è zero: $\ev{\sum \Delta V = 0}$

Questa è la conservazione dell’energia: il potenziale elettrico è una funzione di stato, cioè assume un valore unico e ben definito in ogni punto del circuito. Tornando al punto di partenza dopo un giro completo, la variazione netta di potenziale deve annullarsi, esattamente come l’altitudine torna al valore iniziale dopo un percorso ad anello in montagna. Detto in termini energetici: l’energia fornita dai generatori lungo la maglia eguaglia quella dissipata sui resistori.

Le due leggi in una riga

Prima legge (nodi): conservazione della carica. Seconda legge (maglie): conservazione dell’energia.

Prova tu — simulatore di circuiti

Costruisci una rete con più maglie e generatori, poi verifica le due leggi: somma le correnti a un nodo (dovrebbe fare zero) e le variazioni di potenziale lungo una maglia (idem). Passa il mouse sui componenti per leggere corrente e tensione.

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Complex electrical networks cannot always be reduced to combinations of series and parallel connections: they may contain several sources, branches that interweave, and nodes where three or more wires converge. To analyse them in full generality one uses the two Kirchhoff’s laws, which add no new physics but translate into equations two already familiar conservation principles: that of charge and that of energy.

First law — the junction rule

A node is a point where three or more conductors meet. In a steady-state regime, charge cannot accumulate at a node: everything that enters must, at the same instant, leave.

Principle — Junction rule (Kirchhoff's first law)

The sum of the currents entering a node equals the sum of the currents leaving it: $\ev{\sum i_{\text{in}} = \sum i_{\text{out}}}$

Physically this is conservation of charge: charges are neither created nor destroyed, and under steady-state conditions they do not pile up at nodes. If it were otherwise, a net charge would grow indefinitely at that point, with a growing electric field — a situation incompatible with the steady state. The current behaves like an incompressible fluid: the flow arriving at a junction is exactly the flow leaving it.

Second law — the loop rule

A loop is any closed path within the network. Travelling around it and summing all the potential changes (drops across resistors and electromotive forces of sources) brings us back to the starting point, where the potential necessarily has the same value as before.

Principle — Loop rule (Kirchhoff's second law)

The algebraic sum of the potential changes along any closed path is zero: $\ev{\sum \Delta V = 0}$

This is conservation of energy: the electric potential is a state function, that is, it takes a single, well-defined value at every point of the circuit. Returning to the starting point after a full loop, the net change in potential must vanish, exactly as altitude returns to its initial value after a circular route in the mountains. In energy terms: the energy supplied by the sources around the loop equals the energy dissipated in the resistors.

The two laws in one line

First law (nodes): conservation of charge. Second law (loops): conservation of energy.

Try it — circuit simulator

Build a multi-loop network with several sources, then check both laws: sum the currents at a node (should be zero) and the potential changes around a loop (likewise). Hover over components to read current and voltage.

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Le due leggi di Kirchhoff diventano davvero potenti quando si applicano in modo ordinato: seguendo sempre gli stessi passi si arriva a un sistema lineare di equazioni nelle correnti di ramo, che si risolve con i metodi dell’algebra. La difficoltà non sta nella fisica ma nella contabilità dei segni: per questo conviene fissare fin dall’inizio delle convenzioni rigide e non cambiarle in corsa.

I passi

1. Assegna un verso convenzionale a ogni corrente di ramo. La scelta è libera: se alla fine un valore risulta negativo, significa semplicemente che la corrente scorre nel verso opposto a quello ipotizzato.
2. Scrivi le equazioni ai nodi, in numero pari al numero di nodi meno uno (l’ultima equazione sarebbe combinazione lineare delle altre e non aggiunge informazione).
3. Scegli un insieme di maglie indipendenti e scrivi per ciascuna l’equazione della maglia, applicando le regole di segno.
4. Risolvi il sistema lineare così ottenuto.

Regole di segno lungo una maglia

Percorrendo la maglia nel verso scelto:

• generatore attraversato da $-$ a $+$: contributo $+\mathcal{E}$;
• generatore attraversato da $+$ a $-$: contributo $-\mathcal{E}$;
• resistore percorso nel verso della corrente: contributo $-R\,i$;
• resistore percorso contro la corrente: contributo $+R\,i$.

Il segno dei resistori riflette il fatto che, seguendo la corrente, il potenziale cala (si scende lungo la caduta $R\,i$); risalendo controcorrente il potenziale aumenta. Il segno dei generatori dipende invece solo dal verso in cui si attraversano i poli, non dalla corrente.

Uno schema-tipo

Un circuito a due maglie che condividono un ramo centrale è il banco di prova classico del metodo: due generatori $\mathcal{E}_1$ e $\mathcal{E}_2$, i resistori $R_1$ e $R_2$ sul percorso superiore e $R_3$ nel ramo centrale che collega i nodi A e B.

Schema a due maglie: si assegnano le correnti di ramo, si scrive l’equazione al nodo A e le equazioni delle due maglie indipendenti.

Con le correnti orientate, l’equazione al nodo A lega le tre correnti di ramo, mentre le due maglie forniscono le equazioni mancanti; il sistema risultante, tre equazioni in tre incognite, determina univocamente tutte le correnti.

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Kirchhoff’s two laws become truly powerful when applied in an orderly way: following the same steps every time leads to a linear system of equations in the branch currents, which is solved with the methods of algebra. The difficulty lies not in the physics but in keeping track of signs — for this reason it is worth fixing rigid conventions from the outset and not changing them halfway through.

The steps

1. Assign a conventional direction to each branch current. The choice is free: if a value turns out negative at the end, it simply means the current flows in the direction opposite to the one assumed.
2. Write the node equations, in a number equal to the number of nodes minus one (the last equation would be a linear combination of the others and adds no information).
3. Choose a set of independent loops and write the loop equation for each, applying the sign rules.
4. Solve the resulting linear system.

Sign rules around a loop

Travelling around the loop in the chosen direction:

• source crossed from $-$ to $+$: contribution $+\mathcal{E}$;
• source crossed from $+$ to $-$: contribution $-\mathcal{E}$;
• resistor traversed in the direction of the current: contribution $-R\,i$;
• resistor traversed against the current: contribution $+R\,i$.

The sign of the resistors reflects the fact that, following the current, the potential drops (one descends along the drop $R\,i$); going back against the current the potential rises. The sign of the sources instead depends only on the direction in which the poles are crossed, not on the current.

A standard scheme

A two-loop circuit sharing a central branch is the classic test bench for the method: two sources $\mathcal{E}_1$ and $\mathcal{E}_2$, resistors $R_1$ and $R_2$ on the upper path, and $R_3$ on the central branch connecting nodes A and B.

Two-loop scheme: branch currents are assigned, then the node equation at A and the equations for the two independent loops are written.

With the currents oriented, the node equation at A links the three branch currents, while the two loops supply the missing equations; the resulting system, three equations in three unknowns, uniquely determines all the currents.

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