Bilancio energetico dei circuiti

Ogni elemento di un circuito può cedere energia (il generatore) o assorbirla dissipandola in calore (il resistore). La conservazione dell’energia impone un vincolo preciso: in regime stazionario la potenza totale immessa dai generatori deve eguagliare la potenza totale dissipata dai resistori. Questo bilancio non è una legge nuova — si ricava da Kirchhoff — ma è uno strumento di verifica prezioso, spesso più rapido quando i dati del problema sono potenze anziché resistenze.

• Potenza del generatore
• Potenza dissipata dai resistori
• Legge di conservazione dell’energia

Every element of a circuit can either deliver energy (the source) or absorb it by dissipating it as heat (the resistor). Conservation of energy imposes a precise constraint: in steady state, the total power fed in by the sources must equal the total power dissipated by the resistors. This balance is not a new law — it is derived from Kirchhoff — but it is a valuable checking tool, often quicker when the problem data are powers rather than resistances.

• Power of the source
• Power dissipated by resistors
• Law of conservation of energy

Consideriamo un generatore di forza elettromotrice $\mathcal{E}$ percorso da una corrente $i$. La forza elettromotrice misura il lavoro per unità di carica che il generatore compie per spingere le cariche; moltiplicandola per la carica al secondo (cioè la corrente) si ottiene un lavoro al secondo, ossia una potenza. Se $i$ scorre internamente dal polo $-$ al polo $+$ (il verso naturale), il generatore cede energia al circuito:

Formula chiave

$\ev{P_\text{gen} = \mathcal{E}\cdot i \;\geq 0}$

Il segno conta. Se la corrente scorre nel verso opposto — situazione tipica della carica di una batteria, in cui una sorgente esterna forza corrente contro la FEM — allora $P_\text{gen} < 0$: il generatore non eroga, ma assorbe energia dall’esterno immagazzinandola.

Segno della potenza del generatore

$P_\text{gen} = \mathcal{E}\cdot i$ è positivo quando il generatore eroga; negativo quando viene caricato (corrente forzata in verso contrario).

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Forza elettromotrice

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Consider a source of electromotive force $\mathcal{E}$ carrying a current $i$. The electromotive force measures the work per unit charge that the source does to push the charges; multiplying it by the charge per second (i.e. the current) gives a work per second, that is, a power. If $i$ flows internally from pole $-$ to pole $+$ (the natural direction), the source delivers energy to the circuit:

Key formula

$\ev{P_\text{gen} = \mathcal{E}\cdot i \;\geq 0}$

The sign matters. If the current flows in the opposite direction — a situation typical of charging a battery, in which an external source forces current against the EMF — then $P_\text{gen} < 0$: the source is not delivering, but absorbing energy from outside and storing it.

Sign of the source power

$P_\text{gen} = \mathcal{E}\cdot i$ is positive when the source delivers; negative when it is being charged (current forced in the opposite direction).

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Topics: Electric circuits Concepts: Power · Electromotive force

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Un resistore di resistenza $R$ percorso da corrente $i$ trasforma energia elettrica in calore per effetto Joule. Gli elettroni, urtando il reticolo cristallino, cedono l’energia acquistata dal campo, che si manifesta come agitazione termica. La potenza dissipata è:

Formula chiave

$\ev{P_R = R\,i^2 \;\geq 0}$

Comparendo il quadrato della corrente, questa potenza è sempre positiva, qualunque sia il verso di $i$: un resistore non restituisce mai l’energia che assorbe, la dissipa e basta. È la differenza radicale rispetto al generatore, la cui potenza può cambiare segno.

Forme equivalenti

Usando $\Delta V = R\,i$ la stessa potenza si scrive $P_R = R i^2 = \Delta V\, i = \dfrac{\Delta V^2}{R}$: tre facce della stessa legge, utili a seconda di quali grandezze siano note.

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza · Effetto Joule

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A resistor of resistance $R$ carrying a current $i$ converts electrical energy into heat through the Joule effect. The electrons, colliding with the crystal lattice, give up the energy gained from the field, which appears as thermal agitation. The dissipated power is:

Key formula

$\ev{P_R = R\,i^2 \;\geq 0}$

Since the square of the current appears, this power is always positive, whatever the direction of $i$: a resistor never gives back the energy it absorbs, it simply dissipates it. This is the radical difference from the source, whose power can change sign.

Equivalent forms

Using $\Delta V = R\,i$ the same power can be written $P_R = R i^2 = \Delta V\, i = \dfrac{\Delta V^2}{R}$: three faces of the same law, useful depending on which quantities are known.

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Topics: Electric circuits Concepts: Power · Joule effect

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In regime stazionario l’energia non si accumula da nessuna parte del circuito: tutto ciò che i generatori immettono ogni secondo viene dissipato ogni secondo dai resistori. Ne segue un bilancio globale delle potenze.

Principio — Bilancio energetico (regime stazionario)

La potenza complessivamente immessa dai generatori è uguale a quella complessivamente dissipata dai resistori: $\ev{\sum_k \mathcal{E}_k\,i_k \;=\; \sum_j R_j\,i_j^2}$

Equivalentemente, la somma algebrica di tutte le potenze è nulla:

$\sum_k P_{\text{gen},k} \;-\; \sum_j R_j\,i_j^2 = 0$

Questo risultato è semplicemente il teorema lavoro–energia applicato alle cariche: ciò che il generatore fa sul circuito (lavoro positivo), i resistori lo trasformano integralmente in calore. Niente si perde, niente si crea.

Non è un'equazione indipendente da Kirchhoff

Il bilancio energetico non aggiunge informazione nuova: si ricava moltiplicando ogni equazione di maglia per la corrispondente corrente e sommando. È però uno strumento di verifica prezioso, e spesso una via più rapida nei problemi in cui si conoscono le potenze invece delle resistenze.

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Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Potenza Competenze: Conservazione dell’energia

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In steady state, energy does not accumulate anywhere in the circuit: everything the sources feed in every second is dissipated every second by the resistors. A global power balance follows.

Principle — Energy balance (steady state)

The power overall fed in by the sources equals the power overall dissipated by the resistors: $\ev{\sum_k \mathcal{E}_k\,i_k \;=\; \sum_j R_j\,i_j^2}$

Equivalently, the algebraic sum of all the powers is zero:

$\sum_k P_{\text{gen},k} \;-\; \sum_j R_j\,i_j^2 = 0$

This result is simply the work–energy theorem applied to the charges: what the source does on the circuit (positive work), the resistors convert entirely into heat. Nothing is lost, nothing is created.

Not an equation independent of Kirchhoff

The energy balance does not add new information: it is obtained by multiplying each loop equation by its corresponding current and summing. It is, however, a valuable checking tool, and often a quicker route in problems where powers are known instead of resistances.

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Topics: Electric circuits Concepts: Power Skills: Conservation of energy

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