Cannocchiale e microscopio

Con due lenti in serie si costruiscono gli strumenti che hanno allargato lo sguardo umano verso l’infinitamente lontano e l’infinitamente piccolo. Questa sezione mostra come combinare obiettivo e oculare nel cannocchiale rifrattore, come lo specchio parabolico risolve i limiti della lente nei telescopi riflettori, come il microscopio composto rovescia lo schema per ingrandire il vicinissimo, e come una sola lente basta alla fotocamera per fissare un’immagine su un sensore.

• Cannocchiale di Keplero (rifrattore)
• Telescopio riflettore di Newton
• Microscopio composto
• La fotocamera

With two lenses in series, instruments are built that have widened human sight towards the infinitely far and the infinitely small. This section shows how objective and eyepiece combine in the refracting telescope, how the parabolic mirror solves the limits of the lens in reflecting telescopes, how the compound microscope reverses the scheme to magnify the very close, and how a single lens suffices for the camera to fix an image on a sensor.

• Cannocchiale di Keplero (rifrattore)
• Telescopio riflettore di Newton
• Microscopio composto
• La fotocamera

Il cannocchiale astronomico è composto da due lenti convergenti disposte in serie: l’obiettivo, di focale grande $f_\text{ob}$, rivolto verso l’oggetto celeste; e l’oculare, di focale piccola $f_\text{oc}$, vicino all’occhio. Le due lenti sono separate da una distanza $d \approx f_\text{ob} + f_\text{oc}$, in modo che il fuoco posteriore dell’obiettivo coincida con quello anteriore dell’oculare.

L’oggetto celeste è molto lontano, quindi $p_\text{ob} \to \infty$: l’obiettivo forma un’immagine reale, capovolta, nel suo fuoco. L’oculare riceve quest’immagine alla propria focale anteriore e la rinvia all’occhio sotto forma di immagine virtuale all’infinito, ulteriormente ingrandita.

Cammino dei raggi nel cannocchiale di Keplero: l’obiettivo forma l’immagine nel fuoco comune, l’oculare la rinvia all’occhio come immagine virtuale all’infinito.

Formula chiave

L’ingrandimento angolare del cannocchiale di Keplero (Walker 2013) è $\ev{G_\text{cann} = \frac{f_\text{ob}}{f_\text{oc}}}$

Note

Per ingrandire $50\times$, con un oculare da $f_\text{oc}=2$ cm serve un obiettivo da $f_\text{ob}=100$ cm. È il motivo per cui i cannocchiali astronomici sono così lunghi.

Esempio — Cannocchiale per la Luna

Vogliamo $G = 80\times$ con un oculare di $f_\text{oc} = 25$ mm. Quale focale dell’obiettivo? E quanto sarà lungo il tubo?

$f_\text{ob} = G\cdot f_\text{oc} = 80\cdot 25 = 2000$ mm $= 2{,}0$ m. Il tubo è lungo $d \approx f_\text{ob} + f_\text{oc} = 2{,}025$ m, poco più di due metri.

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The astronomical telescope is made of two converging lenses arranged in series: the objective, with large focal length $f_\text{ob}$, facing the celestial object; and the eyepiece, with small focal length $f_\text{oc}$, close to the eye. The two lenses are separated by a distance $d \approx f_\text{ob} + f_\text{oc}$, so that the back focus of the objective coincides with the front focus of the eyepiece.

The celestial object is very far away, so $p_\text{ob} \to \infty$: the objective forms a real, inverted image at its focus. The eyepiece receives this image at its own front focal point and sends it to the eye as a virtual image at infinity, further magnified.

Ray path in Kepler’s telescope: the objective forms the image at the common focus, the eyepiece sends it to the eye as a virtual image at infinity.

Key formula

The angular magnification of Kepler’s telescope (Walker 2013) is $\ev{G_\text{cann} = \frac{f_\text{ob}}{f_\text{oc}}}$

Note

To magnify $50\times$, with an eyepiece of $f_\text{oc}=2$ cm an objective of $f_\text{ob}=100$ cm is needed. This is why astronomical telescopes are so long.

Example — A telescope for the Moon

We want $G = 80\times$ with an eyepiece of $f_\text{oc} = 25$ mm. What objective focal length is needed? And how long will the tube be?

$f_\text{ob} = G\cdot f_\text{oc} = 80\cdot 25 = 2000$ mm $= 2{,}0$ m. The tube is $d \approx f_\text{ob} + f_\text{oc} = 2{,}025$ m long, just over two metres.

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Per ingrandimenti elevati il diametro dell’obiettivo, cioè quanta luce raccoglie, conta quanto la focale. Costruire una lente da un metro e oltre è tecnologicamente difficile: il vetro spesso assorbe luce e le aberrazioni cromatiche diventano enormi. Nel 1672 Newton sostituì l’obiettivo-lente con uno specchio concavo parabolico: focale lunga, nessun cromatismo (la riflessione è indipendente da $\lambda$), strutture molto più leggere.

Tutti i grandi telescopi moderni (Hubble, JWST, VLT, ELT) sono riflettori: l’obiettivo è uno specchio concavo che concentra la luce nel fuoco principale, e uno specchio secondario rinvia il fascio a un oculare (montaggio newtoniano) oppure a uno strumento scientifico (CCD, spettrografo).

Formula chiave

L’ingrandimento angolare resta quello del rifrattore: $\ev{G = \frac{f_\text{ob}}{f_\text{oc}}}$

Note

Il vantaggio decisivo dello specchio è che la legge della riflessione non dipende dalla lunghezza d’onda: tutti i colori vengono focalizzati nello stesso punto, senza l’aberrazione cromatica che affligge le lenti.

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For high magnifications, the diameter of the objective — how much light it collects — matters as much as the focal length. Building a lens a metre or more across is technologically difficult: thick glass absorbs light and chromatic aberrations become enormous. In 1672 Newton replaced the objective lens with a parabolic concave mirror: long focal length, no chromatism (reflection is independent of $\lambda$), much lighter structures.

All large modern telescopes (Hubble, JWST, VLT, ELT) are reflectors: the objective is a concave mirror that concentrates light at the primary focus, and a secondary mirror redirects the beam to an eyepiece (Newtonian mount) or to a scientific instrument (CCD, spectrograph).

Key formula

The angular magnification remains that of the refractor: $\ev{G = \frac{f_\text{ob}}{f_\text{oc}}}$

Note

The decisive advantage of the mirror is that the law of reflection does not depend on wavelength: all colours are focused at the same point, without the chromatic aberration that afflicts lenses.

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Il microscopio composto è l’inverso del cannocchiale: serve a vedere oggetti vicinissimi. Anche qui ci sono due lenti convergenti, ma con focali entrambe piccole: $f_\text{ob} \sim 1$–$10$ mm (obiettivo a contatto con il vetrino) e $f_\text{oc} \sim 10$–$30$ mm (oculare).

L’oggetto è posto poco oltre il fuoco dell’obiettivo, che ne forma un’immagine reale, ingrandita e capovolta sul piano focale anteriore dell’oculare. L’oculare funge da lente di ingrandimento e rinvia all’occhio l’immagine virtuale finale.

Formula chiave

L’ingrandimento totale è il prodotto dei due ingrandimenti: $\ev{G_\text{mic} = G_\text{ob}\cdot G_\text{oc} = \frac{L}{f_\text{ob}}\cdot\frac{d_0}{f_\text{oc}}}$ dove $L$ è la distanza fra i due fuochi interessati (la lunghezza meccanica del microscopio, in pratica $\sim 160$ mm nei modelli standard) e $d_0 = 25$ cm è la distanza della visione distinta.

Esempio — Un microscopio scolastico

Tipico microscopio scolastico: obiettivo $f_\text{ob} = 8$ mm, oculare $f_\text{oc} = 25$ mm, $L = 160$ mm. Ingrandimento?

$G_\text{ob} = L/f_\text{ob} = 160/8 = 20$; $G_\text{oc} = 250/25 = 10$; $G_\text{tot} = 20\cdot 10 = 200\times$. Cellule vegetali della cipolla, batteri grandi e granuli di amido sono dentro la sua portata.

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The compound microscope is the reverse of the telescope: it is used to see very close objects. Here too there are two converging lenses, but with both focal lengths small: $f_\text{ob} \sim 1$–$10$ mm (objective in contact with the slide) and $f_\text{oc} \sim 10$–$30$ mm (eyepiece).

The object is placed just beyond the focus of the objective, which forms a real, magnified and inverted image on the front focal plane of the eyepiece. The eyepiece acts as a magnifying glass and sends the final virtual image to the eye.

Key formula

The total magnification is the product of the two magnifications: $\ev{G_\text{mic} = G_\text{ob}\cdot G_\text{oc} = \frac{L}{f_\text{ob}}\cdot\frac{d_0}{f_\text{oc}}}$ where $L$ is the distance between the two foci concerned (the mechanical length of the microscope, in practice $\sim 160$ mm in standard models) and $d_0 = 25$ cm is the distance of distinct vision.

Example — A school microscope

Typical school microscope: objective $f_\text{ob} = 8$ mm, eyepiece $f_\text{oc} = 25$ mm, $L = 160$ mm. What is the magnification?

$G_\text{ob} = L/f_\text{ob} = 160/8 = 20$; $G_\text{oc} = 250/25 = 10$; $G_\text{tot} = 20\cdot 10 = 200\times$. Onion plant cells, large bacteria and starch granules are within its reach.

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La macchina fotografica usa una sola lente (o un gruppo di lenti trattate come un’unica lente equivalente) che forma sul sensore (CCD/CMOS, una volta pellicola) un’immagine reale, capovolta e rimpicciolita. A differenza dell’occhio, qui la focale $f$ è fissa e si fa variare la distanza $q$ fra lente e sensore per mettere a fuoco oggetti a distanze diverse: è la messa a fuoco dell’obiettivo moderno.

L’apertura (il diametro effettivo della pupilla d’ingresso) controlla la quantità di luce: l’inverso del rapporto $f/D$ è il numero $f$ (“$f$-number”) stampato sull’obiettivo. Un $f/2$ fa entrare $4\times$ più luce di un $f/4$, perché l’area è proporzionale a $D^2$.

Note

La profondità di campo (l’intervallo di distanze a fuoco) cresce chiudendo il diaframma, cioè riducendo $D$: grandi $f$-number danno tutto a fuoco; piccoli $f$-number danno lo sfondo sfocato artistico (bokeh).

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A camera uses a single lens (or a group of lenses treated as one equivalent lens) that forms a real, inverted and reduced image on the sensor (CCD/CMOS, once film). Unlike the eye, here the focal length $f$ is fixed and the distance $q$ between lens and sensor is varied to focus on objects at different distances: this is the focusing of a modern lens.

The aperture (the effective diameter of the entrance pupil) controls the amount of light: the inverse of the ratio $f/D$ is the $f$-number printed on the lens. An $f/2$ lets in $4\times$ more light than an $f/4$, because the area is proportional to $D^2$.

Note

The depth of field (the range of distances in focus) increases as the diaphragm is closed, that is by reducing $D$: large $f$-numbers give everything in focus; small $f$-numbers give an artistic blurred background (bokeh).

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