Esercizi — Onde

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi svolti dentro il testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi, sfide).

Esercizi svolti nel testo

• Il ciclista e lo specchio acustico
• Specchio concavo
• Indice di rifrazione cromatico

Problemi di fine capitolo

• Lunghezza d’onda su una corda
• Velocità di un’onda sonora
• Vero o falso sulle onde
• Doppler: auto della polizia che si allontana
• Fondamentale e terza armonica di una corda
• Immagine con lente convergente
• Raggi per oggetto oltre 2f (lente)
• Ecografia: lunghezza d’onda degli ultrasuoni
• Angolo critico di una fibra ottica
• Doppler radar e velocità dell’auto
• Distanza massima di un tuono
• Analisi dimensionale: velocità su una corda
• Raggi per specchio concavo con p < f
• Ranking delle potenze di quattro onde
• Perché il tuono arriva dopo il lampo
• Lettura di λ e T da un grafico d’onda
• Riconoscere il terzo modo normale
• Doppler: ambulanza in avvicinamento
• Lo strano cielo del pesce
• Lunghezza d’onda a 440 Hz
• Sirena in avvicinamento (1 kHz)
• Frange di Young
• Perché di notte si sentono i suoni lontani
• Ranking di lunghezze d’onda in mezzi diversi
• Vero o falso su onde e Doppler
• Potenza acustica di una conversazione
• Il telecomando e il foglio di carta
• Immagine con lente divergente
• Intensità di una lampadina da 3 kW
• Accomodazione dell’occhio
• Cosa trasporta un’onda (la foglia)
• Onde longitudinali contro trasversali
• Interferenza di due onde identiche
• Velocità su una corda di violino
• Fondamentale e armoniche di una corda
• Lunghezza d’onda del la₄
• Velocità del suono in tre mezzi
• Lunghezze d’onda di tre note
• Armoniche di una canna chiusa
• Dalla velocità alla tensione
• Indice di rifrazione dalla velocità
• Fantafisica: suono dieci volte più veloce
• Fantafisica: indice di rifrazione minore di uno
• Corda di pianoforte e timbro
• Doppler di un’autoambulanza
• Profondità apparente di una moneta
• Arcobaleno e dispersione
• La voce sotto la doccia
• Ampiezza nel tempo e nello spazio
• Battimenti di due frequenze vicine
• Stima Fermi: fulmine e tuono
• Stima Fermi: microfono che fischia
• Sfida: doppia fenditura ottica
• Sfida: mi₂ su una corda di chitarra

All the exercises of the chapter, worked step-by-step, in the order in which they appear in the chapter: first the exercises worked through in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, Fermi estimates, challenges).

Worked exercises in the text

• Il ciclista e lo specchio acustico
• Specchio concavo
• Indice di rifrazione cromatico

End-of-chapter problems

• Lunghezza d’onda su una corda
• Velocità di un’onda sonora
• Vero o falso sulle onde
• Doppler: police car moving away
• Fondamentale e terza armonica di una corda
• Immagine con lente convergente
• Raggi per oggetto oltre 2f (lente)
• Ecografia: lunghezza d’onda degli ultrasuoni
• Angolo critico di una fibra ottica
• Doppler radar e velocità dell’auto
• Distanza massima di un tuono
• Analisi dimensionale: velocità su una corda
• Raggi per specchio concavo con p < f
• Ranking delle potenze di quattro onde
• Perché il tuono arriva dopo il lampo
• Lettura di λ e T da un grafico d’onda
• Riconoscere il terzo modo normale
• Doppler: ambulanza in avvicinamento
• Lo strano cielo del pesce
• Lunghezza d’onda a 440 Hz
• Sirena in avvicinamento (1 kHz)
• Frange di Young
• Perché di notte si sentono i suoni lontani
• Ranking di lunghezze d’onda in mezzi diversi
• Vero o falso su onde e Doppler
• Potenza acustica di una conversazione
• Il telecomando e il foglio di carta
• Immagine con lente divergente
• Intensità di una lampadina da 3 kW
• Accomodazione dell’occhio
• Cosa trasporta un’onda (la foglia)
• Onde longitudinali contro trasversali
• Interferenza di due onde identiche
• Velocità su una corda di violino
• Fondamentale e armoniche di una corda
• Lunghezza d’onda del la₄
• Velocità del suono in tre mezzi
• Lunghezze d’onda di tre note
• Armoniche di una canna chiusa
• Dalla velocità alla tensione
• Indice di rifrazione dalla velocità
• Fantafisica: suono dieci volte più veloce
• Fantafisica: indice di rifrazione minore di uno
• Corda di pianoforte e timbro
• Doppler di un’autoambulanza
• Profondità apparente di una moneta
• Arcobaleno e dispersione
• La voce sotto la doccia
• Ampiezza nel tempo e nello spazio
• Battimenti di due frequenze vicine
• Stima Fermi: fulmine e tuono
• Stima Fermi: microfono che fischia
• Sfida: doppia fenditura ottica
• Challenge: low E on a guitar string

Testo

Un ciclista si muove verso un muro alla velocità $v = 30\;\text{m/s}$ emettendo un suono di frequenza $f_S = 440\;\text{Hz}$. Il muro agisce come uno “specchio acustico”, riflettendo l’onda alla stessa frequenza con cui l’ha ricevuta. Trova (a) la frequenza che il muro “sente”; (b) la frequenza che il ciclista sente tornare dopo la riflessione. Velocità del suono: $v_0 = 340\;\text{m/s}$.

Soluzione

Impostazione. Il problema è un doppio effetto Doppler: prima il ciclista (sorgente in moto) verso il muro (ricevitore fermo), poi il muro (sorgente ferma) verso il ciclista (ricevitore in moto).

(a) Primo Doppler — il muro riceve. Sorgente in avvicinamento, ricevitore fermo:

$f_\text{muro} = f_S\,\frac{v_0}{v_0 - v} = 440\cdot\frac{340}{340-30} = 440\cdot\frac{340}{310}$

$\ev{f_\text{muro} \approx 482{,}6\;\mathrm{Hz}}$

(b) Secondo Doppler — il ciclista riceve. Il muro riemette a $f_\text{muro}$ come sorgente ferma; il ciclista è ora ricevitore in avvicinamento:

$f_\text{cic} = f_\text{muro}\,\frac{v_0 + v}{v_0} = 482{,}6\cdot\frac{340+30}{340} = 482{,}6\cdot\frac{370}{340}$

$\ev{f_\text{cic} \approx 525\;\mathrm{Hz}}$

Il ciclista sente il suo stesso suono tornargli con quasi un tono e mezzo in più (da $440$ a $525$ Hz). È il principio del sonar e dell’ecografia Doppler: dal doppio shift si ricava la velocità del bersaglio.

Esercizio inverso. Se il ciclista sentisse il riflesso a $f_\text{rif} = 700\;\text{Hz}$, combinando i due Doppler consecutivi $f_\text{rif}/f_S = (v_0+v)/(v_0-v)$, da cui:

$v = v_0\,\frac{f_\text{rif}-f_S}{f_\text{rif}+f_S} = 340\cdot\frac{700-440}{700+440} = 340\cdot\frac{260}{1140} \approx 77{,}5\;\mathrm{m/s}$

Circa $280$ km/h: un ciclista da record!

Collegamenti

Argomenti: Onde Concetti: Effetto Doppler Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

A cyclist moves towards a wall at speed $v = 30\;\text{m/s}$ emitting a sound of frequency $f_S = 440\;\text{Hz}$. The wall acts as an “acoustic mirror”, reflecting the wave at the same frequency at which it received it. Find (a) the frequency the wall “hears”; (b) the frequency the cyclist hears returning after the reflection. Speed of sound: $v_0 = 340\;\text{m/s}$.

Solution

Setting up. The problem is a double Doppler effect: first the cyclist (moving source) towards the wall (stationary receiver), then the wall (stationary source) towards the cyclist (moving receiver).

(a) First Doppler — the wall receives. Source approaching, stationary receiver:

$f_\text{muro} = f_S\,\frac{v_0}{v_0 - v} = 440\cdot\frac{340}{340-30} = 440\cdot\frac{340}{310}$

$\ev{f_\text{muro} \approx 482{,}6\;\mathrm{Hz}}$

(b) Second Doppler — the cyclist receives. The wall re-emits at $f_\text{muro}$ as a stationary source; the cyclist is now an approaching receiver:

$f_\text{cic} = f_\text{muro}\,\frac{v_0 + v}{v_0} = 482{,}6\cdot\frac{340+30}{340} = 482{,}6\cdot\frac{370}{340}$

$\ev{f_\text{cic} \approx 525\;\mathrm{Hz}}$

The cyclist hears his own sound return to him almost a tone and a half higher (from $440$ to $525$ Hz). This is the principle behind sonar and Doppler ultrasound: the target’s speed is worked out from the double shift.

Inverse exercise. If the cyclist heard the reflection at $f_\text{rif} = 700\;\text{Hz}$, combining the two consecutive Doppler shifts $f_\text{rif}/f_S = (v_0+v)/(v_0-v)$, from which:

$v = v_0\,\frac{f_\text{rif}-f_S}{f_\text{rif}+f_S} = 340\cdot\frac{700-440}{700+440} = 340\cdot\frac{260}{1140} \approx 77{,}5\;\mathrm{m/s}$

About $280$ km/h: a record-breaking cyclist!

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Argomenti: Waves Concetti: Doppler effect Competenze: Analysis of limiting cases and thought-experiment physics

Testo

Uno specchio concavo ha raggio di curvatura $R = 8\;\text{m}$, quindi $f = R/2 = 4\;\text{m}$. Un oggetto è posto a $p = 5\;\text{m}$ dal vertice. Trovare la posizione $q$ dell’immagine e l’ingrandimento $I$.

Soluzione

Impostazione. Fuoco dello specchio sferico: $f = R/2 = 8/2 = 4\;\text{m}$. Applichiamo l’equazione dei punti coniugati $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=\tfrac{1}{f}$.

Posizione dell’immagine.

$\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$

$\ev{q = 20\;\mathrm{m}}$

Ingrandimento.

$I = -\frac{q}{p} = -\frac{20}{5} = -4 \quad\Rightarrow\quad \ev{I = -4}$

Poiché $q>0$ l’immagine è reale (si raccoglie su uno schermo); il segno negativo di $I$ indica che è capovolta, e $|I|=4$ che è ingrandita $4$ volte.

Collegamenti

Argomenti: Ottica Concetti: Lenti e specchi

Problem

A concave mirror has radius of curvature $R = 8\;\text{m}$, so $f = R/2 = 4\;\text{m}$. An object is placed at $p = 5\;\text{m}$ from the vertex. Find the position $q$ of the image and the magnification $I$.

Solution

Setup. Focus of the spherical mirror: $f = R/2 = 8/2 = 4\;\text{m}$. We apply the conjugate points equation $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=\tfrac{1}{f}$.

Position of the image.

$\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{20} = \frac{1}{20}$

$\ev{q = 20\;\mathrm{m}}$

Magnification.

$I = -\frac{q}{p} = -\frac{20}{5} = -4 \quad\Rightarrow\quad \ev{I = -4}$

Since $q>0$ the image is real (it can be collected on a screen); the negative sign of $I$ indicates that it is inverted, and $|I|=4$ that it is magnified $4$ times.

Linked atoms

Argomenti: Optics Concetti: Lenses and mirrors

Testo

Un prisma di vetro Crown ha indice di rifrazione $n_R = 1{,}514$ per il rosso ($\lambda = 700\;\text{nm}$) e $n_V = 1{,}528$ per il viola ($\lambda = 400\;\text{nm}$). Calcola l’angolo di rifrazione per un raggio incidente a $\theta_i = 60^\circ$ sulla prima faccia, per i due estremi cromatici.

Soluzione

Impostazione. Passaggio aria ($n\approx1$) → vetro. Legge di Snell $1\cdot\sin\theta_i = n\,\sin\theta_r$, quindi $\sin\theta_r = \sin\theta_i / n$. Con $\sin 60^\circ = 0{,}866$.

Rosso ($n_R = 1{,}514$):

$\sin\theta_R = \frac{0{,}866}{1{,}514} = 0{,}572 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_R \approx 34{,}9^\circ}$

Viola ($n_V = 1{,}528$):

$\sin\theta_V = \frac{0{,}866}{1{,}528} = 0{,}567 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_V \approx 34{,}5^\circ}$

Commento. La differenza è solo $\sim 0{,}4^\circ$ alla prima faccia, ma attraversando le due facce del prisma si accumula a $\sim 1$–$2^\circ$: abbastanza per separare visibilmente i colori (dispersione cromatica). Il viola, con $n$ maggiore, viene deviato di più.

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Argomenti: Ottica Concetti: Dispersione cromatica · Rifrazione e legge di Snell

Problem

A Crown glass prism has refractive index $n_R = 1{,}514$ for red ($\lambda = 700\;\text{nm}$) and $n_V = 1{,}528$ for violet ($\lambda = 400\;\text{nm}$). Calculate the angle of refraction for a ray incident at $\theta_i = 60^\circ$ on the first face, for the two chromatic extremes.

Solution

Setup. Passage from air ($n\approx1$) to glass. Snell’s law $1\cdot\sin\theta_i = n\,\sin\theta_r$, so $\sin\theta_r = \sin\theta_i / n$. With $\sin 60^\circ = 0{,}866$.

Red ($n_R = 1{,}514$):

$\sin\theta_R = \frac{0{,}866}{1{,}514} = 0{,}572 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_R \approx 34{,}9^\circ}$

Violet ($n_V = 1{,}528$):

$\sin\theta_V = \frac{0{,}866}{1{,}528} = 0{,}567 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_V \approx 34{,}5^\circ}$

Comment. The difference is only $\sim 0{,}4^\circ$ at the first face, but crossing both faces of the prism it accumulates to $\sim 1$–$2^\circ$: enough to visibly separate the colours (chromatic dispersion). Violet, with the larger $n$, is deviated more.

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Topics: Ottica Concepts: Dispersione cromatica · Rifrazione e legge di Snell

Testo

Un’onda si propaga in una corda con velocità $v = 12\;\text{m/s}$ e frequenza $f = 8{,}0\;\text{Hz}$. Calcola la lunghezza d’onda.

Soluzione

Relazione fondamentale. Per ogni onda $v = \lambda f$, quindi:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12}{8{,}0} = \ev{1{,}5\;\mathrm{m}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Periodo e frequenza

Problem

A wave propagates on a string with speed $v = 12\;\text{m/s}$ and frequency $f = 8{,}0\;\text{Hz}$. Calculate the wavelength.

Solution

Fundamental relation. For every wave $v = \lambda f$, so:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12}{8{,}0} = \ev{1{,}5\;\mathrm{m}}$

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Topics: Onde Concepts: Periodo e frequenza

Testo

Un’onda sonora nell’aria ha frequenza $f = 680\;\text{Hz}$ e lunghezza d’onda $\lambda = 0{,}50\;\text{m}$. Calcola la velocità di propagazione.

Soluzione

Relazione fondamentale. $v = \lambda f$:

$v = 0{,}50 \cdot 680 = \ev{340\;\mathrm{m/s}}$

È il valore tipico della velocità del suono nell’aria a temperatura ambiente.

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Argomenti: Onde Concetti: Periodo e frequenza

Problem

A sound wave in air has frequency $f = 680\;\text{Hz}$ and wavelength $\lambda = 0{,}50\;\text{m}$. Calculate the propagation speed.

Solution

Fundamental relation. $v = \lambda f$:

$v = 0{,}50 \cdot 680 = \ev{340\;\mathrm{m/s}}$

This is the typical value for the speed of sound in air at room temperature.

Linked atoms

Topics: Onde Concepts: Periodo e frequenza

Testo

Indica se ciascuna affermazione è vera o falsa: (a) le onde sonore nell’aria sono longitudinali; (b) un’onda trasversale non può essere polarizzata; (c) in un’onda stazionaria i nodi restano fermi; (d) l’effetto Doppler richiede che il mezzo sia in moto.

Soluzione

(a) Vero. Nel suono in aria le particelle oscillano nella stessa direzione di propagazione (compressioni e rarefazioni): onda longitudinale.

(b) Falso. La polarizzazione è proprio la proprietà delle onde trasversali: l’oscillazione è perpendicolare alla propagazione e può essere orientata (es. luce polarizzata). Sono le onde longitudinali a non poter essere polarizzate.

(c) Vero. I nodi di un’onda stazionaria sono i punti a spostamento sempre nullo: restano fermi mentre i ventri oscillano con ampiezza massima.

(d) Falso. L’effetto Doppler dipende dal moto relativo di sorgente e/o ricevitore rispetto al mezzo; il mezzo può benissimo essere fermo. Vale anche per la luce, dove non c’è alcun mezzo.

$\ev{\text{V},\ \text{F},\ \text{V},\ \text{F}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Onda armonica

Problem

State whether each statement is true or false: (a) sound waves in air are longitudinal; (b) a transverse wave cannot be polarised; (c) in a standing wave the nodes stay still; (d) the Doppler effect requires the medium to be moving.

Solution

(a) True. In sound in air, particles oscillate in the same direction as propagation (compressions and rarefactions): a longitudinal wave.

(b) False. Polarisation is precisely a property of transverse waves: the oscillation is perpendicular to propagation and can be oriented (e.g. polarised light). It is longitudinal waves that cannot be polarised.

(c) True. The nodes of a standing wave are the points with always-zero displacement: they stay still while the antinodes oscillate with maximum amplitude.

(d) False. The Doppler effect depends on the relative motion of source and/or receiver with respect to the medium; the medium can perfectly well be at rest. It also holds for light, where there is no medium at all.

$\ev{\text{T},\ \text{F},\ \text{T},\ \text{F}}$

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Topics: Onde Concepts: Onda armonica

Testo

Un’auto della polizia con sirena a $500\;\text{Hz}$ si allontana da un pedone fermo alla velocità di $25\;\text{m/s}$. Calcola la frequenza percepita dal pedone (velocità del suono $340\;\text{m/s}$).

Soluzione

Impostazione. Sorgente in allontanamento, ricevitore fermo. La frequenza percepita diminuisce; a denominatore compare $v_0 + v$:

$f' = f\,\frac{v_0}{v_0 + v} = 500\cdot\frac{340}{340+25} = 500\cdot\frac{340}{365}$

$\ev{f' \approx 466\;\mathrm{Hz}}$

Coerente con l’esperienza: allontanandosi, la sirena suona più grave.

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Argomenti: Onde Concetti: Effetto Doppler

Problem

A police car with a siren at $500\;\text{Hz}$ moves away from a stationary pedestrian at a speed of $25\;\text{m/s}$. Calculate the frequency perceived by the pedestrian (speed of sound $340\;\text{m/s}$).

Solution

Setup. Source moving away, receiver stationary. The perceived frequency decreases; the denominator contains $v_0 + v$:

$f' = f\,\frac{v_0}{v_0 + v} = 500\cdot\frac{340}{340+25} = 500\cdot\frac{340}{365}$

$\ev{f' \approx 466\;\mathrm{Hz}}$

Consistent with experience: as it moves away, the siren sounds lower-pitched.

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Topics: Onde Concepts: Effetto Doppler

Testo

Una corda di chitarra lunga $L = 65\;\text{cm}$ ha velocità di propagazione dell’onda trasversale $v = 286\;\text{m/s}$. Calcola la frequenza fondamentale e quella della terza armonica.

Soluzione

Impostazione. Corda fissa agli estremi: modi normali $f_n = n\,\dfrac{v}{2L}$, con $L = 0{,}65\;\text{m}$.

Fondamentale ($n=1$):

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{286}{2\cdot 0{,}65} = \frac{286}{1{,}30} = \ev{220\;\mathrm{Hz}}$

Terza armonica ($n=3$):

$f_3 = 3\,f_1 = 3\cdot 220 = \ev{660\;\mathrm{Hz}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Onde stazionarie

Problem

A guitar string of length $L = 65\;\text{cm}$ has a transverse-wave propagation speed $v = 286\;\text{m/s}$. Calculate the fundamental frequency and that of the third harmonic.

Solution

Setup. String fixed at both ends: normal modes $f_n = n\,\dfrac{v}{2L}$, with $L = 0{,}65\;\text{m}$.

Fundamental ($n=1$):

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{286}{2\cdot 0{,}65} = \frac{286}{1{,}30} = \ev{220\;\mathrm{Hz}}$

Third harmonic ($n=3$):

$f_3 = 3\,f_1 = 3\cdot 220 = \ev{660\;\mathrm{Hz}}$

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Topics: Onde Concepts: Onde stazionarie

Testo

Una lente convergente ha focale $f = 10\;\text{cm}$. Un oggetto è posto a $p = 15\;\text{cm}$ davanti alla lente. Trova la posizione e l’ingrandimento dell’immagine.

Soluzione

Impostazione. Equazione delle lenti sottili $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=\tfrac{1}{f}$.

Posizione.

$\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$

$\ev{q = 30\;\mathrm{cm}}$

Ingrandimento.

$I = -\frac{q}{p} = -\frac{30}{15} = \ev{-2}$

Immagine reale ($q>0$, dall’altro lato della lente), capovolta ($I<0$) e ingrandita $2$ volte.

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Argomenti: Ottica Concetti: Lenti e specchi

Problem

A converging lens has focal length $f = 10\;\text{cm}$. An object is placed at $p = 15\;\text{cm}$ in front of the lens. Find the position and magnification of the image.

Solution

Setup. Thin-lens equation $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=\tfrac{1}{f}$.

Position.

$\frac{1}{q} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3-2}{30} = \frac{1}{30}$

$\ev{q = 30\;\mathrm{cm}}$

Magnification.

$I = -\frac{q}{p} = -\frac{30}{15} = \ev{-2}$

Real image ($q>0$, on the other side of the lens), inverted ($I<0$) and magnified $2$ times.

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Topics: Ottica Concepts: Lenti e specchi

Testo

Disegna il diagramma dei raggi per un oggetto reale posto a distanza maggiore del doppio della focale ($p > 2f$) davanti a una lente convergente. Indica se l’immagine è reale o virtuale, dritta o capovolta, ingrandita o rimpicciolita.

Soluzione

Costruzione grafica. Bastano due raggi notevoli dalla punta dell’oggetto:

• il raggio parallelo all’asse ottico, che dopo la lente passa per il fuoco $F'$;
• il raggio che passa per il centro della lente, che prosegue indritto.

La loro intersezione (dallo stesso lato dei raggi uscenti, quindi reale) individua la punta dell’immagine.

Classificazione. Per $p > 2f$ l’immagine è:

$\ev{\text{reale, capovolta, rimpicciolita, situata tra } f \text{ e } 2f \text{ dall'altro lato}}$

È il regime della macchina fotografica: un oggetto lontano forma un’immagine piccola e capovolta appena oltre il fuoco.

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Argomenti: Ottica Concetti: Lenti e specchi Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

Draw the ray diagram for a real object placed at a distance greater than twice the focal length ($p > 2f$) in front of a converging lens. State whether the image is real or virtual, upright or inverted, magnified or reduced.

Solution

Graphical construction. Two notable rays from the tip of the object are enough:

• the ray parallel to the optical axis, which after the lens passes through the focus $F'$;
• the ray that passes through the centre of the lens, which continues undeviated.

Their intersection (on the same side as the outgoing rays, hence real) locates the tip of the image.

Classification. For $p > 2f$ the image is:

$\ev{\text{real, inverted, reduced, located between } f \text{ and } 2f \text{ on the other side}}$

This is the regime of the camera: a distant object forms a small, inverted image just beyond the focus.

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Argomenti: Optics Concetti: Lenses and mirrors Competenze: Analysis of limiting cases and thought-experiment physics

Testo

Un’ecografia usa ultrasuoni a $f = 2\;\text{MHz}$. Nei tessuti molli la velocità del suono è circa $1500\;\text{m/s}$. Qual è la lunghezza d’onda? Commenta perché questo valore determina la risoluzione minima dell’immagine.

Soluzione

Lunghezza d’onda. $v = \lambda f$, con $f = 2\cdot 10^{6}\;\text{Hz}$:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1500}{2\cdot 10^{6}} = 7{,}5\cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}$

$\ev{\lambda \approx 0{,}75\;\mathrm{mm}}$

Commento sulla risoluzione. A causa della diffrazione, un’onda non può “vedere” dettagli molto più piccoli della propria lunghezza d’onda: due strutture più vicine di $\sim\lambda$ non vengono distinte. Con $\lambda \approx 0{,}75$ mm la risoluzione è sub-millimetrica. Per risolvere dettagli più fini si usano frequenze più alte (λ più piccola), al prezzo di una minore penetrazione nei tessuti.

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Argomenti: Onde Concetti: Periodo e frequenza · Diffrazione

Problem

An ultrasound scan uses ultrasound at $f = 2\;\text{MHz}$. In soft tissue the speed of sound is about $1500\;\text{m/s}$. What is the wavelength? Comment on why this value determines the minimum resolution of the image.

Solution

Wavelength. $v = \lambda f$, with $f = 2\cdot 10^{6}\;\text{Hz}$:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1500}{2\cdot 10^{6}} = 7{,}5\cdot 10^{-4}\;\mathrm{m}$

$\ev{\lambda \approx 0{,}75\;\mathrm{mm}}$

Comment on resolution. Because of diffraction, a wave cannot “see” details much smaller than its own wavelength: two structures closer together than $\sim\lambda$ are not distinguished. With $\lambda \approx 0{,}75$ mm the resolution is sub-millimetre. To resolve finer details, higher frequencies are used (smaller λ), at the cost of lower penetration into tissue.

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Argomenti: Waves Concetti: Period and frequency · Diffraction

Testo

Una fibra ottica ha nucleo di indice $n_1 = 1{,}50$ immerso in aria ($n_2 = 1{,}00$). Calcola l’angolo critico oltre il quale si ha riflessione totale interna.

Soluzione

Impostazione. L’angolo critico è quello per cui il raggio rifratto emerge a $90^\circ$; da Snell $n_1\sin\theta_c = n_2\sin 90^\circ$:

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667$

$\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx \ev{41{,}8^\circ}$

Per angoli d’incidenza $> \theta_c$ la luce viene interamente riflessa dentro il nucleo: è il meccanismo che intrappola il segnale nella fibra.

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Argomenti: Ottica Concetti: Rifrazione e legge di Snell

Problem

An optical fibre has a core of refractive index $n_1 = 1{,}50$ surrounded by air ($n_2 = 1{,}00$). Calculate the critical angle beyond which total internal reflection occurs.

Solution

Setting up. The critical angle is the one for which the refracted ray emerges at $90^\circ$; from Snell’s law $n_1\sin\theta_c = n_2\sin 90^\circ$:

$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} = \frac{1{,}00}{1{,}50} = 0{,}667$

$\theta_c = \arcsin(0{,}667) \approx \ev{41{,}8^\circ}$

For angles of incidence $> \theta_c$ the light is entirely reflected inside the core: this is the mechanism that traps the signal within the fibre.

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Argomenti: Optics Concetti: Refraction and Snell’s law

Testo

Un radar della polizia stradale emette onde a frequenza $f_0$ e misura il doppio shift Doppler riflesso da un’auto in avvicinamento. Lo shift totale misurato è $\Delta f / f_0 = 1{,}47\cdot 10^{-7}$. Calcola la velocità dell’auto (velocità della luce $c = 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$). Supera i $50\;\text{km/h}$?

Soluzione

Impostazione. Come nell’esercizio dello “specchio acustico”, il radar subisce un doppio effetto Doppler (l’auto riceve, poi riemette). Per $v \ll c$ lo shift totale è:

$\frac{\Delta f}{f_0} = \frac{2v}{c}$

Velocità.

$v = \frac{c}{2}\cdot\frac{\Delta f}{f_0} = \frac{3\cdot 10^{8}}{2}\cdot 1{,}47\cdot 10^{-7} = 1{,}5\cdot 10^{8}\cdot 1{,}47\cdot 10^{-7}$

$\ev{v \approx 22\;\mathrm{m/s}}$

Confronto. $22\;\text{m/s}\times 3{,}6 \approx 79\;\text{km/h} > 50\;\text{km/h}$: sì, l’auto supera il limite.

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Argomenti: Onde Concetti: Effetto Doppler

Problem

A traffic police radar emits waves at frequency $f_0$ and measures the double Doppler shift reflected from an approaching car. The total measured shift is $\Delta f / f_0 = 1{,}47\cdot 10^{-7}$. Calculate the car’s speed (speed of light $c = 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$). Does it exceed $50\;\text{km/h}$?

Solution

Setup. As in the “acoustic mirror” exercise, the radar undergoes a double Doppler effect (the car receives, then re-emits). For $v \ll c$ the total shift is:

$\frac{\Delta f}{f_0} = \frac{2v}{c}$

Speed.

$v = \frac{c}{2}\cdot\frac{\Delta f}{f_0} = \frac{3\cdot 10^{8}}{2}\cdot 1{,}47\cdot 10^{-7} = 1{,}5\cdot 10^{8}\cdot 1{,}47\cdot 10^{-7}$

$\ev{v \approx 22\;\mathrm{m/s}}$

Comparison. $22\;\text{m/s}\times 3{,}6 \approx 79\;\text{km/h} > 50\;\text{km/h}$: yes, the car exceeds the limit.

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Argomenti: Waves Concetti: Doppler Effect

Testo

Stima la distanza massima a cui un orecchio umano medio può sentire il rombo di un tuono, sapendo che la soglia di udibilità a bassa frequenza è $I_\text{min} \approx 10^{-8}\;\text{W/m}^2$ e che un fulmine emette acusticamente una potenza di picco dell’ordine di $10^{7}\;\text{W}$. Supponi emissione isotropa e trascura l’assorbimento dell’aria.

Soluzione

Impostazione. Emissione isotropa: la potenza si distribuisce su una sfera di raggio $r$, quindi $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$. Il tuono è udibile finché $I \ge I_\text{min}$; la distanza massima si ha per $I = I_\text{min}$:

$r = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_\text{min}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{4\pi\cdot 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{1{,}26\cdot 10^{-7}}}$

$r = \sqrt{7{,}96\cdot 10^{13}} \approx 8{,}9\cdot 10^{6}\;\mathrm{m}$

$\ev{r \sim 10^{7}\;\mathrm{m}}$

Commento. L’ordine di grandezza ($\sim 10^4$ km) è irrealisticamente grande: nella realtà l’assorbimento dell’aria e la rifrazione del suono limitano l’udibilità del tuono a pochi km (in genere $< 15$–$20$ km). Il modello isotropo senza assorbimento sovrastima enormemente: mostra che è proprio l’attenuazione atmosferica, qui trascurata, a fissare la distanza reale.

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Argomenti: Onde Concetti: Intensità di un’onda Competenze: Stime di Fermi

Problem

Estimate the maximum distance at which an average human ear can hear the rumble of thunder, knowing that the low-frequency audibility threshold is $I_\text{min} \approx 10^{-8}\;\text{W/m}^2$ and that a lightning bolt acoustically emits a peak power of the order of $10^{7}\;\text{W}$. Assume isotropic emission and neglect air absorption.

Solution

Setup. Isotropic emission: the power spreads over a sphere of radius $r$, so $I = \dfrac{P}{4\pi r^2}$. The thunder is audible as long as $I \ge I_\text{min}$; the maximum distance occurs for $I = I_\text{min}$:

$r = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_\text{min}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{4\pi\cdot 10^{-8}}} = \sqrt{\frac{10^{7}}{1{,}26\cdot 10^{-7}}}$

$r = \sqrt{7{,}96\cdot 10^{13}} \approx 8{,}9\cdot 10^{6}\;\mathrm{m}$

$\ev{r \sim 10^{7}\;\mathrm{m}}$

Comment. The order of magnitude ($\sim 10^4$ km) is unrealistically large: in reality, air absorption and sound refraction limit the audibility of thunder to a few km (typically $< 15$–$20$ km). The isotropic model without absorption vastly overestimates the range: this shows that it is precisely atmospheric attenuation, neglected here, that sets the real distance.

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Argomenti: Waves Concetti: Wave Intensity Competenze: Fermi Estimates

Testo

La velocità di un’onda trasversale su una corda dipende dalla tensione $T$ (forza) e dalla densità lineare $\mu$ (massa su lunghezza). Usa l’analisi dimensionale per ricavare la dipendenza funzionale di $v$ da $T$ e $\mu$.

Soluzione

Impostazione. Cerchiamo $v = k\,T^{a}\mu^{b}$ con $k$ numero puro. Dimensioni:

$[v] = \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad [T] = \mathrm{N} = \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, \qquad [\mu] = \mathrm{kg\,m^{-1}}$

Bilancio dimensionale.

$\mathrm{m\,s^{-1}} = (\mathrm{kg\,m\,s^{-2}})^{a}\,(\mathrm{kg\,m^{-1}})^{b} = \mathrm{kg}^{a+b}\,\mathrm{m}^{a-b}\,\mathrm{s}^{-2a}$

Sistema degli esponenti (kg, m, s):

$a+b = 0, \qquad a-b = 1, \qquad -2a = -1$

Da cui $a = \tfrac{1}{2}$ e $b = -\tfrac{1}{2}$. Quindi:

$\ev{v = k\sqrt{\frac{T}{\mu}}}$

L’analisi dimensionale fissa la forma $v \propto \sqrt{T/\mu}$; il calcolo completo dà $k = 1$, cioè $v = \sqrt{T/\mu}$.

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Argomenti: Onde Concetti: Onda armonica Competenze: Analisi dimensionale

Problem

The speed of a transverse wave on a string depends on the tension $T$ (force) and the linear density $\mu$ (mass per length). Use dimensional analysis to derive the functional dependence of $v$ on $T$ and $\mu$.

Solution

Setup. We look for $v = k\,T^{a}\mu^{b}$ with $k$ a pure number. Dimensions:

$[v] = \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad [T] = \mathrm{N} = \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}, \qquad [\mu] = \mathrm{kg\,m^{-1}}$

Dimensional balance.

$\mathrm{m\,s^{-1}} = (\mathrm{kg\,m\,s^{-2}})^{a}\,(\mathrm{kg\,m^{-1}})^{b} = \mathrm{kg}^{a+b}\,\mathrm{m}^{a-b}\,\mathrm{s}^{-2a}$

System of exponents (kg, m, s):

$a+b = 0, \qquad a-b = 1, \qquad -2a = -1$

From which $a = \tfrac{1}{2}$ and $b = -\tfrac{1}{2}$. Hence:

$\ev{v = k\sqrt{\frac{T}{\mu}}}$

Dimensional analysis fixes the form $v \propto \sqrt{T/\mu}$; the full calculation gives $k = 1$, i.e. $v = \sqrt{T/\mu}$.

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Argomenti: Waves Concetti: Harmonic Wave Competenze: Dimensional Analysis

Testo

Disegna il diagramma dei raggi per un oggetto reale posto fra il fuoco e il vertice di uno specchio concavo ($p < f$). Individua graficamente l’immagine e classificala (reale o virtuale, dritta o capovolta).

Soluzione

Costruzione grafica. Dalla punta dell’oggetto tracciamo:

• il raggio parallelo all’asse, che si riflette passando per il fuoco $F$;
• il raggio che colpisce il vertice $V$, che si riflette simmetricamente rispetto all’asse.

Con $p<f$ i due raggi riflessi divergono: non si incontrano davanti allo specchio. Prolungandoli dietro lo specchio (linee tratteggiate) essi si intersecano, dando un’immagine virtuale.

Classificazione.

$\ev{\text{immagine virtuale, dritta, ingrandita, dietro lo specchio}}$

È il principio dello specchio da trucco / da barba: avvicinando il viso più del fuoco si vede la propria immagine ingrandita e diritta.

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Argomenti: Ottica Concetti: Lenti e specchi Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

Draw the ray diagram for a real object placed between the focus and the vertex of a concave mirror ($p < f$). Graphically locate the image and classify it (real or virtual, upright or inverted).

Solution

Graphical construction. From the tip of the object we draw:

• the ray parallel to the axis, which reflects passing through the focus $F$;
• the ray that hits the vertex $V$, which reflects symmetrically about the axis.

With $p<f$ the two reflected rays diverge: they do not meet in front of the mirror. Extending them behind the mirror (dashed lines) they intersect, giving a virtual image.

Classification.

$\ev{\text{virtual image, upright, magnified, behind the mirror}}$

This is the principle of the make-up / shaving mirror: bringing the face closer than the focus shows one’s own image magnified and upright.

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Argomenti: Optics Concetti: Lenses and Mirrors Competenze: Limiting-Case and Sci-Fi Physics Analysis

Testo

Ranking. Quattro onde sinusoidali trasversali su una stessa corda con densità lineare $\mu$ hanno ampiezza $A$ e frequenza $f$: (A) $A = 2\;\text{cm}$, $f = 100\;\text{Hz}$. (B) $A = 1\;\text{cm}$, $f = 100\;\text{Hz}$. (C) $A = 3\;\text{cm}$, $f = 200\;\text{Hz}$. (D) $A = 2\;\text{cm}$, $f = 200\;\text{Hz}$. Ordina le potenze medie trasportate dalle onde (che vanno come $A^2 f^2$) dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

Impostazione. La potenza media va come $P \propto A^2 f^2$. Calcoliamo l’indicatore $A^2 f^2$ (con $A$ in cm, $f$ in Hz — bastano i valori relativi):

$P_A \propto 2^2\cdot 100^2 = 4\cdot 10^{4}$

$P_B \propto 1^2\cdot 100^2 = 1\cdot 10^{4}$

$P_C \propto 3^2\cdot 200^2 = 9\cdot 4\cdot 10^{4} = 3{,}6\cdot 10^{5}$

$P_D \propto 2^2\cdot 200^2 = 4\cdot 4\cdot 10^{4} = 1{,}6\cdot 10^{5}$

Ordinamento (dal più piccolo al più grande): $1\cdot10^4 < 4\cdot10^4 < 1{,}6\cdot10^5 < 3{,}6\cdot10^5$, cioè:

$\ev{\text{B} < \text{A} < \text{D} < \text{C}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Intensità di un’onda Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Ranking. Four transverse sinusoidal waves on the same string with linear density $\mu$ have amplitude $A$ and frequency $f$: (A) $A = 2\;\text{cm}$, $f = 100\;\text{Hz}$. (B) $A = 1\;\text{cm}$, $f = 100\;\text{Hz}$. (C) $A = 3\;\text{cm}$, $f = 200\;\text{Hz}$. (D) $A = 2\;\text{cm}$, $f = 200\;\text{Hz}$. Rank the average powers carried by the waves (which go as $A^2 f^2$) from smallest to largest.

Solution

Setup. The average power goes as $P \propto A^2 f^2$. We compute the indicator $A^2 f^2$ (with $A$ in cm, $f$ in Hz — only the relative values matter):

$P_A \propto 2^2\cdot 100^2 = 4\cdot 10^{4}$

$P_B \propto 1^2\cdot 100^2 = 1\cdot 10^{4}$

$P_C \propto 3^2\cdot 200^2 = 9\cdot 4\cdot 10^{4} = 3{,}6\cdot 10^{5}$

$P_D \propto 2^2\cdot 200^2 = 4\cdot 4\cdot 10^{4} = 1{,}6\cdot 10^{5}$

Ranking (from smallest to largest): $1\cdot10^4 < 4\cdot10^4 < 1{,}6\cdot10^5 < 3{,}6\cdot10^5$, i.e.:

$\ev{\text{B} < \text{A} < \text{D} < \text{C}}$

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Argomenti: Waves Concetti: Wave Intensity Competenze: Ranking Reasoning

Testo

Perché il tuono arriva dopo il lampo. Un temporale è a $3\;\text{km}$ di distanza. (a) Perché vedi il lampo “istantaneamente” ma senti il tuono dopo circa $9\;\text{s}$? (b) Un amico sostiene che “il lampo e il tuono sono due fenomeni diversi che avvengono in momenti diversi”. È corretto? (c) Come cambierebbe il ritardo se l’aria fosse più fredda? Rispondi mettendo in relazione velocità delle onde elettromagnetiche e del suono.

Soluzione

(a) La luce (onda elettromagnetica) viaggia a $c \approx 3\cdot 10^{8}\;\text{m/s}$: per $3$ km impiega $\sim 10^{-5}\;\text{s}$, di fatto istantanea. Il suono viaggia a $v \approx 340\;\text{m/s}$: per $3$ km impiega

$t = \frac{d}{v} = \frac{3000}{340} \approx 9\;\mathrm{s}$

Da qui la regola pratica: $\sim 3$ secondi di ritardo per ogni km.

(b) No, non è corretto. Lampo e tuono sono lo stesso evento (la scarica del fulmine), che emette simultaneamente luce e suono. La differenza di arrivo è dovuta solo alla diversa velocità di propagazione delle due onde, non a due eventi separati.

(c) La velocità del suono nell’aria diminuisce al calare della temperatura ($v \propto \sqrt{T_\text{assoluta}}$). Con aria più fredda il suono è più lento, quindi il ritardo tra lampo e tuono aumenta (a parità di distanza).

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Argomenti: Onde Concetti: Periodo e frequenza

Problem

Why thunder arrives after lightning. A storm is $3\;\text{km}$ away. (a) Why do you see the lightning “instantaneously” but hear the thunder about $9\;\text{s}$ later? (b) A friend claims that “lightning and thunder are two different phenomena occurring at different times”. Is this correct? (c) How would the delay change if the air were colder? Answer by relating the speeds of electromagnetic waves and sound.

Solution

(a) Light (an electromagnetic wave) travels at $c \approx 3\cdot 10^{8}\;\text{m/s}$: for $3$ km it takes $\sim 10^{-5}\;\text{s}$, effectively instantaneous. Sound travels at $v \approx 340\;\text{m/s}$: for $3$ km it takes

$t = \frac{d}{v} = \frac{3000}{340} \approx 9\;\mathrm{s}$

Hence the rule of thumb: $\sim 3$ seconds of delay for every km.

(b) No, this is not correct. Lightning and thunder are the same event (the lightning discharge), which simultaneously emits light and sound. The difference in arrival time is due solely to the different propagation speeds of the two waves, not to two separate events.

(c) The speed of sound in air decreases as the temperature drops ($v \propto \sqrt{T_\text{absolute}}$). With colder air, sound is slower, so the delay between lightning and thunder increases (for the same distance).

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Argomenti: Waves Concetti: Period and Frequency

Testo

La figura mostra l’istantanea di un’onda trasversale lungo una corda nell’istante $t = 0$ (pannello superiore) e l’oscillazione nel tempo del punto $x = 0$ (pannello inferiore). Leggi dal grafico $\lambda$ e $T$, poi calcola la velocità di propagazione.

Soluzione

Lettura del pannello superiore (spazio). L’onda completa un ciclo intero ogni $4$ unità dell’asse $x$: la distanza tra due massimi consecutivi è

$\lambda = 4{,}0\;\mathrm{m}$

Lettura del pannello inferiore (tempo). Il punto $x=0$ ripete l’oscillazione ogni $0{,}4$ s:

$T = 0{,}40\;\mathrm{s}$

Velocità di propagazione.

$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{4{,}0}{0{,}40} = \ev{10\;\mathrm{m/s}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Periodo e frequenza Competenze: Lettura dei grafici

Problem

The figure shows a snapshot of a transverse wave along a string at instant $t = 0$ (top panel) and the oscillation in time of the point $x = 0$ (bottom panel). Read $\lambda$ and $T$ from the graph, then calculate the propagation speed.

Solution

Reading the top panel (space). The wave completes a full cycle every $4$ units of the $x$ axis: the distance between two consecutive maxima is

$\lambda = 4{,}0\;\mathrm{m}$

Reading the bottom panel (time). The point $x=0$ repeats its oscillation every $0{,}4$ s:

$T = 0{,}40\;\mathrm{s}$

Propagation speed.

$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{4{,}0}{0{,}40} = \ev{10\;\mathrm{m/s}}$

Linked atoms

Argomenti: Waves Concetti: Period and frequency Competenze: Graph reading

Testo

Onda stazionaria. Una corda tesa è fissata agli estremi e vibra nel terzo modo normale ($n=3$). Quale configurazione in figura rappresenta questo modo?

Soluzione

Impostazione. Nel modo $n$-esimo di una corda fissa agli estremi si formano esattamente $n$ ventri (pance) e $n+1$ nodi, e la corda contiene $n$ mezze lunghezze d’onda: $L = n\,\tfrac{\lambda}{2}$.

Conteggio dei ventri nelle figure.

• A: una sola pancia → $n=1$ (fondamentale).
• B: due pance → $n=2$ (seconda armonica).
• C: tre pance → $n=3$ (terza armonica).

Il terzo modo normale ha tre ventri e quattro nodi (i due estremi più due interni):

$\ev{\text{Configurazione C}}$

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Argomenti: Onde Concetti: Onde stazionarie Competenze: Lettura dei grafici

Problem

Standing wave. A taut string is fixed at both ends and vibrates in its third normal mode ($n=3$). Which configuration in the figure represents this mode?

Solution

Setup. In the $n$-th mode of a string fixed at both ends, exactly $n$ antinodes (bellies) and $n+1$ nodes form, and the string contains $n$ half-wavelengths: $L = n\,\tfrac{\lambda}{2}$.

Counting the antinodes in the figures.

• A: a single belly → $n=1$ (fundamental).
• B: two bellies → $n=2$ (second harmonic).
• C: three bellies → $n=3$ (third harmonic).

The third normal mode has three antinodes and four nodes (the two ends plus two internal ones):

$\ev{\text{Configuration C}}$

Linked atoms

Argomenti: Waves Concetti: Standing waves Competenze: Graph reading

Testo

Effetto Doppler. Un’ambulanza con sirena di frequenza $f_s = 500\;\text{Hz}$ si avvicina a un osservatore fermo con velocità $v_s = 30\;\text{m/s}$. Il suono viaggia a $v = 340\;\text{m/s}$. Calcola la frequenza percepita dall’osservatore.

Soluzione

Impostazione. Sorgente in avvicinamento, ricevitore fermo. Le creste si “addensano”, la frequenza aumenta; a denominatore compare $v - v_s$:

$f' = f_s\,\frac{v}{v - v_s} = 500\cdot\frac{340}{340 - 30} = 500\cdot\frac{340}{310}$

$\ev{f' \approx 550\;\mathrm{Hz}}$

L’osservatore sente la sirena più acuta finché l’ambulanza si avvicina; al passaggio la frequenza scende bruscamente.

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Argomenti: Onde Concetti: Effetto Doppler

Problem

Doppler effect. An ambulance with a siren of frequency $f_s = 500\;\text{Hz}$ approaches a stationary observer with speed $v_s = 30\;\text{m/s}$. Sound travels at $v = 340\;\text{m/s}$. Calculate the frequency perceived by the observer.

Solution

Setup. Source approaching, receiver stationary. The wavefronts “bunch up”, the frequency increases; $v - v_s$ appears in the denominator:

$f' = f_s\,\frac{v}{v - v_s} = 500\cdot\frac{340}{340 - 30} = 500\cdot\frac{340}{310}$

$\ev{f' \approx 550\;\mathrm{Hz}}$

The observer hears the siren getting higher-pitched as long as the ambulance approaches; as it passes, the frequency drops abruptly.

Linked atoms

Argomenti: Waves Concetti: Doppler effect

Testo

Lo strano cielo del pesce. Un pesce guarda verso l’alto da sotto la superficie liscia di uno stagno. Il suo indice di rifrazione effettivo è quello dell’acqua, $n \approx 1{,}33$, contro l’aria $n \approx 1$. (a) Calcola l’angolo limite oltre il quale i raggi che provengono dall’esterno non riescono più a entrare in acqua. (b) Disegna lo schema dei raggi che il pesce vede: qual è la forma della “finestra” attraverso cui gli arrivano gli oggetti del mondo esterno? Che cosa vede invece guardando fuori da quella finestra circolare? (c) Stima il raggio di tale finestra se il pesce è a $1{,}0\;\text{m}$ di profondità.

Soluzione

(a) Angolo limite. Per reversibilità dei raggi, l’angolo limite acqua↔aria è lo stesso angolo critico: $\sin\theta_c = n_\text{aria}/n_\text{acqua}$:

$\sin\theta_c = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_c \approx 48{,}8^\circ}$

(b) Finestra di Snell. Tutta la luce proveniente dalla semisfera del cielo (180°) viene compressa, per rifrazione, entro un cono di semiapertura $\theta_c \approx 48{,}8^\circ$ attorno alla verticale. Il pesce vede quindi l’intero mondo esterno dentro un cerchio luminoso (la “finestra di Snell”) sopra di sé. Al di fuori di quel cerchio l’angolo supera $\theta_c$: si ha riflessione totale interna e il pesce vede il fondo dello stagno riflesso, come in uno specchio.

(c) Raggio della finestra. A profondità $h = 1{,}0\;\text{m}$, il bordo del cono interseca la superficie a distanza

$r = h\,\tan\theta_c = 1{,}0\cdot\tan 48{,}8^\circ = 1{,}0\cdot 1{,}14 \approx \ev{1{,}15\;\mathrm{m}}$

Rielaborato da (Povey 2015, §11.5).

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Argomenti: Ottica Concetti: Rifrazione e legge di Snell Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

The fish’s strange sky. A fish looks upward from beneath the smooth surface of a pond. Its effective refractive index is that of water, $n \approx 1{,}33$, against air with $n \approx 1$. (a) Calculate the critical angle beyond which rays coming from outside can no longer enter the water. (b) Sketch the ray diagram the fish sees: what is the shape of the “window” through which the objects of the outside world reach it? What does it see instead when looking outside that circular window? (c) Estimate the radius of that window if the fish is at a depth of $1{,}0\;\text{m}$.

Solution

(a) Critical angle. By reversibility of rays, the water↔air critical angle is the same critical angle: $\sin\theta_c = n_\text{aria}/n_\text{acqua}$:

$\sin\theta_c = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752 \quad\Rightarrow\quad \ev{\theta_c \approx 48{,}8^\circ}$

(b) Snell’s window. All the light coming from the hemisphere of the sky (180°) is compressed, by refraction, within a cone of half-angle $\theta_c \approx 48{,}8^\circ$ about the vertical. The fish therefore sees the entire outside world within a bright circle (the “Snell’s window”) above itself. Outside that circle the angle exceeds $\theta_c$: total internal reflection occurs and the fish sees the bottom of the pond reflected, as in a mirror.

(c) Radius of the window. At depth $h = 1{,}0\;\text{m}$, the edge of the cone intersects the surface at a distance

$r = h\,\tan\theta_c = 1{,}0\cdot\tan 48{,}8^\circ = 1{,}0\cdot 1{,}14 \approx \ev{1{,}15\;\mathrm{m}}$

Adapted from (Povey 2015, §11.5).