Forza di Lorentz

Una carica ferma non sente il campo magnetico: il magnetismo “vede” solo cariche in moto. La forza è la celebre forza di Lorentz $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. Questa sezione ne dà legge e regola della mano destra, poi esplora le conseguenze quando $\vec{v}\perp\vec{B}$: il moto circolare, il selettore di velocità, lo spettrometro di massa e il ciclotrone.

• La forza di Lorentz
• Regola della mano destra
• Moto circolare uniforme nel campo magnetico
• Il selettore di velocità
• Lo spettrometro di massa
• Il ciclotrone

Prova tu — simulazione interattiva

A charge at rest does not feel the magnetic field: magnetism only “sees” moving charges. The force is the famous Lorentz force $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. This section gives its law and the right-hand rule, then explores the consequences when $\vec{v}\perp\vec{B}$: circular motion, the velocity selector, the mass spectrometer and the cyclotron.

• The Lorentz force
• Right-hand rule
• Uniform circular motion in the magnetic field
• The velocity selector
• The mass spectrometer
• The cyclotron

Try it — interactive simulation

Una carica ferma in un campo magnetico non subisce nessuna forza: il magnetismo “vede” solo cariche in moto. E anche una carica in moto lungo la direzione del campo non sente nulla. La forza magnetica compare solo quando la velocità ha una componente perpendicolare a $\vec{B}$, ed è data dalla celebre forza di Lorentz.

Legge — Forza di Lorentz

Su una carica $q$ che si muove con velocità $\vec{v}$ in un campo magnetico $\vec{B}$ agisce la forza: $\ev{\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}}$

Il prodotto vettoriale racchiude tre informazioni. Il modulo vale

$|F| = |q|\,v\,B\,\sin\theta$

dove $\theta$ è l’angolo tra $\vec{v}$ e $\vec{B}$. La direzione è perpendicolare sia a $\vec{v}$ sia a $\vec{B}$: la forza esce dal piano che contiene i due vettori. Il verso si determina con la regola della mano destra (e va invertito se la carica è negativa).

Formula chiave

$|F| = |q|\,v\,B\,\sin\theta$

• se $\vec{v}\perp\vec{B}$: $|F| = |q|\,v\,B$ (forza massima)
• se $\vec{v}\parallel\vec{B}$: $|F| = 0$ (nessuna forza)

Poiché $\vec{F}$ è sempre perpendicolare a $\vec{v}$, la forza di Lorentz non compie mai lavoro: non cambia l’energia cinetica né il modulo della velocità, ma solo la direzione del moto. È l’osservazione da cui discende tutta la ricca fenomenologia del capitolo, dai cerchi nel ciclotrone alle aurore boreali.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Campo magnetico

Esercizi collegati: Vero o falso sulla forza magnetica · Campo magnetico da carica in moto · Aurore boreali

A stationary charge in a magnetic field feels no force at all: magnetism “sees” only moving charges. And even a charge moving along the direction of the field feels nothing. The magnetic force appears only when the velocity has a component perpendicular to $\vec{B}$, and it is given by the famous Lorentz force.

Law — Lorentz force

On a charge $q$ moving with velocity $\vec{v}$ in a magnetic field $\vec{B}$ acts the force: $\ev{\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}}$

The cross product packs in three pieces of information. The magnitude is

$|F| = |q|\,v\,B\,\sin\theta$

where $\theta$ is the angle between $\vec{v}$ and $\vec{B}$. The direction is perpendicular to both $\vec{v}$ and $\vec{B}$: the force points out of the plane containing the two vectors. The sense is determined with the right-hand rule (and must be reversed if the charge is negative).

Key formula

$|F| = |q|\,v\,B\,\sin\theta$

• if $\vec{v}\perp\vec{B}$: $|F| = |q|\,v\,B$ (maximum force)
• if $\vec{v}\parallel\vec{B}$: $|F| = 0$ (no force)

Since $\vec{F}$ is always perpendicular to $\vec{v}$, the Lorentz force never does any work: it does not change the kinetic energy or the magnitude of the velocity, only the direction of motion. This is the observation from which the whole rich phenomenology of the chapter follows, from circles in the cyclotron to the aurora borealis.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Campo magnetico

Related exercises: Vero o falso sulla forza magnetica · Campo magnetico da carica in moto · Aurore boreali

Il prodotto vettoriale $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$ ha un verso che nessuna formula scalare può dare: serve una convenzione geometrica. La regola della mano destra la fornisce in modo affidabile.

Principio — Regola della mano destra per il prodotto vettoriale

Per $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$:

• Indice nella direzione di $\vec{a}$ (primo fattore)
• Medio nella direzione di $\vec{b}$ (secondo fattore)
• Pollice indica il verso di $\vec{c}$ (risultato)

L’angolo tra indice e medio dev’essere minore di $180^\circ$.

Applicata alla forza di Lorentz $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$: indice lungo $\vec{v}$, medio lungo $\vec{B}$, il pollice dà il verso di $\vec{F}$ per una carica positiva. Per una carica negativa il verso è opposto: basta invertire il risultato finale.

Regola dell'autostop

Per individuare il verso di una rotazione: arrotola le dita della mano destra nel verso della rotazione; il pollice, teso come quello di un autostoppista, indica il verso del vettore (velocità angolare, momento, campo dentro un solenoide, ecc.). È la stessa mano destra, usata per grandezze “assiali” invece che per prodotti vettoriali tra due vettori dati.

L’errore più comune è usare la mano sinistra, oppure scambiare l’ordine dei fattori: entrambi capovolgono il verso. In caso di dubbio conviene rifare il gesto lentamente, verificando che indice e medio puntino davvero lungo $\vec{v}$ e $\vec{B}$.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz Competenze: Regola della mano destra

Esercizi collegati: Esercizio svolto — carica in campo uscente · Frequenza di ciclotrone di un protone · Ranking della forza di Lorentz (quattro angoli)

The cross product $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$ has a sense that no scalar formula can give: a geometric convention is needed. The right-hand rule provides it reliably.

Principle — Right-hand rule for the cross product

For $\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}$:

• Index finger in the direction of $\vec{a}$ (first factor)
• Middle finger in the direction of $\vec{b}$ (second factor)
• Thumb gives the direction of $\vec{c}$ (result)

The angle between index and middle finger must be less than $180^\circ$.

Applied to the Lorentz force $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$: index finger along $\vec{v}$, middle finger along $\vec{B}$, the thumb gives the direction of $\vec{F}$ for a positive charge. For a negative charge the direction is reversed: simply flip the final result.

Hitchhiker's rule

To find the sense of a rotation: curl the fingers of the right hand in the sense of the rotation; the thumb, extended like a hitchhiker’s, gives the direction of the vector (angular velocity, angular momentum, field inside a solenoid, etc.). It is the same right hand, used for “axial” quantities rather than for cross products between two given vectors.

The most common mistake is using the left hand, or swapping the order of the factors: both flip the direction. When in doubt, it is best to redo the gesture slowly, checking that the index and middle fingers really do point along $\vec{v}$ and $\vec{B}$.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz Skills: Regola della mano destra

Related exercises: Esercizio svolto — carica in campo uscente · Frequenza di ciclotrone di un protone · Ranking della forza di Lorentz (quattro angoli)

Quando $\vec{v}\perp\vec{B}$ e $\vec{B}$ è uniforme, la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità: ha modulo costante ma cambia continuamente direzione. Questo è esattamente il comportamento di una forza centripeta, quindi la traiettoria è un cerchio percorso a velocità di modulo costante.

Uguagliando il modulo della forza di Lorentz $|qvB|$ alla forza centripeta $mv^2/r$:

$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad \ev{r = \frac{mv}{|q|B}}$

Il raggio di questo cerchio si chiama raggio di Larmor. Cresce con la quantità di moto $mv$ della particella e diminuisce all’aumentare del campo.

Carica positiva in campo entrante: la forza di Lorentz punta sempre verso il centro e la traiettoria è un cerchio di raggio $r = mv/(|q|B)$.

Osservazioni sul raggio di Larmor

• Se $B$ cresce, $r$ diminuisce: un campo più intenso curva di più.
• Se $B = 0$, $r\to\infty$: moto rettilineo, nessuna forza.
• Se $m$ cresce, $r$ cresce: masse diverse si separano — è il principio dello spettrometro di massa.

Approfondimento — Spettrometro di massa

Il fatto che $r$ dipenda da $m$ (a parità di $v$, $q$, $B$) permette di distinguere gli isotopi: uno stesso elemento con due numeri di massa diversi, per esempio ${}^{235}\text{U}$ e ${}^{238}\text{U}$, produce due cerchi di raggio leggermente diverso nello stesso campo magnetico. È la base dello spettrometro di massa, strumento fondamentale in chimica analitica e nello studio dei raggi cosmici.

Prova tu — simulazione interattiva

Muovi i cursori per cambiare campo, velocita, angolo di inclinazione, massa e segno della carica, e osserva come cambia il raggio mentre il periodo resta lo stesso.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Forza centripeta

Esercizi collegati: Frequenza di ciclotrone di un protone · Esercizio svolto — deflettore di ioni · Raggio e periodo di un elettrone

When $\vec{v}\perp\vec{B}$ and $\vec{B}$ is uniform, the Lorentz force is always perpendicular to the velocity: its magnitude is constant but its direction changes continuously. This is exactly the behaviour of a centripetal force, so the trajectory is a circle traced at constant speed.

Setting the magnitude of the Lorentz force $|qvB|$ equal to the centripetal force $mv^2/r$:

$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad \ev{r = \frac{mv}{|q|B}}$

The radius of this circle is called the Larmor radius. It grows with the particle’s momentum $mv$ and decreases as the field increases.

Positive charge in an inward field: the Lorentz force always points towards the centre and the trajectory is a circle of radius $r = mv/(|q|B)$.

Observations on the Larmor radius

• If $B$ increases, $r$ decreases: a stronger field curves the path more.
• If $B = 0$, $r\to\infty$: straight-line motion, no force.
• If $m$ increases, $r$ increases: different masses separate — this is the principle of the mass spectrometer.

Going further — Mass spectrometer

The fact that $r$ depends on $m$ (for the same $v$, $q$, $B$) makes it possible to distinguish isotopes: the same element with two different mass numbers, for example ${}^{235}\text{U}$ and ${}^{238}\text{U}$, produces two circles of slightly different radius in the same magnetic field. This is the basis of the mass spectrometer, a fundamental instrument in analytical chemistry and in the study of cosmic rays.

Try it — interactive simulation

Move the sliders to change the field, speed, pitch angle, mass and charge sign, and watch how the radius responds while the period stays the same.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Forza centripeta

Related exercises: Frequenza di ciclotrone di un protone · Esercizio svolto — deflettore di ioni · Raggio e periodo di un elettrone

La formula $r = mv/(qB)$ contiene ben quattro grandezze ($m$, $v$, $q$, $B$): da un solo raggio non se ne può ricavare una sola. La strategia di laboratorio è mettere in cascata due dispositivi. Il primo, il selettore di velocità, fissa la velocità del fascio filtrandolo.

In una regione in cui coesistono un campo elettrico $\vec{E}$ e un campo magnetico $\vec{B}$ perpendicolari fra loro, una particella sente la forza di Lorentz totale:

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$

Se la velocità $\vec{v}$ è ortogonale a entrambi i campi, la forza elettrica $qE$ e quella magnetica $qvB$ agiscono lungo la stessa retta in versi opposti. Si bilanciano esattamente quando

$qE = qvB \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_\text{sel} = \frac{E}{B}}$

Selettore di velocità: $\vec{E}$ e $\vec{B}$ incrociati. Solo le particelle con $v = E/B$ proseguono dritte; le altre deviano e finiscono contro le pareti.

La particella con velocità esattamente $E/B$ prosegue dritta e passa. Particelle più veloci o più lente subiscono una deflessione e finiscono contro le pareti. Il selettore lascia quindi uscire un fascio monocromatico in velocità, indipendente da $m$ e $q$: qualunque particella emerga, ha la stessa velocità $E/B$.

Prova tu — simulazione interattiva

Nell’animazione qui sotto entra da sinistra un ventaglio di particelle con velocità diverse: regola $E$ e $B$ e scopri che solo quella con $v = E/B$ esce dritta dalla fenditura.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Campo elettrico

Esercizi collegati: Esercizio svolto — carica in campo uscente · Frequenza di ciclotrone di un protone · Ranking della forza di Lorentz (quattro angoli)

The formula $r = mv/(qB)$ contains no fewer than four quantities ($m$, $v$, $q$, $B$): a single radius cannot yield just one of them. The laboratory strategy is to cascade two devices. The first, the velocity selector, fixes the speed of the beam by filtering it.

In a region where an electric field $\vec{E}$ and a magnetic field $\vec{B}$ coexist perpendicular to each other, a particle feels the total Lorentz force:

$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$

If the velocity $\vec{v}$ is orthogonal to both fields, the electric force $qE$ and the magnetic force $qvB$ act along the same line in opposite directions. They balance exactly when

$qE = qvB \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_\text{sel} = \frac{E}{B}}$

Velocity selector: crossed $\vec{E}$ and $\vec{B}$. Only particles with $v = E/B$ carry straight on; the others deflect and end up against the walls.

The particle with velocity exactly $E/B$ carries straight on and passes through. Faster or slower particles are deflected and end up against the walls. The selector therefore lets through a beam monochromatic in velocity, independent of $m$ and $q$: whichever particle emerges, it has the same velocity $E/B$.

Try it — interactive simulation

In the animation below a fan of particles with different speeds enters from the left: tune $E$ and $B$ and discover that only the one with $v = E/B$ leaves straight through the slit.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Campo elettrico

Related exercises: Esercizio svolto — carica in campo uscente · Frequenza di ciclotrone di un protone · Ranking della forza di Lorentz (quattro angoli)

Le particelle uscite dal selettore con velocità $v = E/B_1$ entrano poi in una seconda regione con solo campo magnetico $B_2$. Qui, essendo $\vec{v}\perp\vec{B}_2$, curvano lungo cerchi di raggio

$r = \frac{m\,v}{q\,B_2} = \frac{m}{q}\cdot\frac{E}{B_1 B_2}$

Fissate $E$, $B_1$, $B_2$ dallo strumento, il raggio dipende solo dal rapporto $m/q$. Misurando $r$ (per esempio con una piastra fotografica) si risale alla massa per unità di carica.

Principio — Spettrometro di Bainbridge

Combinando un selettore di velocità $v = E/B_1$ con una camera a campo magnetico $B_2$, il raggio della traiettoria circolare è proporzionale a $m/q$: ioni con la stessa carica si separano per massa.

Esempio — Isotopi dell'uranio

Per separare ${}^{235}\text{U}$ da ${}^{238}\text{U}$, ionizzati a $q = +e$ e selezionati a $v \approx 10^6\;\text{m/s}$ in un campo $B_2 = 0{,}5\;\text{T}$, i raggi valgono $r = mv/(eB_2) \approx 4{,}9\;\text{cm}$ e $4{,}96\;\text{cm}$. Una separazione spaziale di $\sim 0{,}6\;\text{mm}$ sembra microscopica, ma su scala industriale (camere lunghe metri) basta a separare le due specie. È il metodo elettromagnetico “calutron” usato a Oak Ridge durante il Progetto Manhattan (Rhodes 1986).

Lo spettrometro di massa è oggi uno degli strumenti analitici più diffusi: identifica molecole dalla loro massa in chimica, biologia, controllo antidoping e datazione isotopica.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Esercizi collegati: Frequenza di ciclotrone di un protone · Esercizio svolto — deflettore di ioni · Raggio e periodo di un elettrone

The particles leaving the selector with velocity $v = E/B_1$ then enter a second region with only a magnetic field $B_2$. Here, since $\vec{v}\perp\vec{B}_2$, they curve along circles of radius

$r = \frac{m\,v}{q\,B_2} = \frac{m}{q}\cdot\frac{E}{B_1 B_2}$

With $E$, $B_1$, $B_2$ fixed by the instrument, the radius depends only on the ratio $m/q$. Measuring $r$ (for example with a photographic plate) gives the mass per unit charge.

Principle — Bainbridge spectrometer

Combining a velocity selector $v = E/B_1$ with a magnetic-field chamber $B_2$, the radius of the circular trajectory is proportional to $m/q$: ions with the same charge separate by mass.

Example — Uranium isotopes

To separate ${}^{235}\text{U}$ from ${}^{238}\text{U}$, ionised to $q = +e$ and selected at $v \approx 10^6\;\text{m/s}$ in a field $B_2 = 0{,}5\;\text{T}$, the radii are $r = mv/(eB_2) \approx 4{,}9\;\text{cm}$ and $4{,}96\;\text{cm}$. A spatial separation of $\sim 0{,}6\;\text{mm}$ sounds microscopic, but on an industrial scale (chambers metres long) it is enough to separate the two species. This is the electromagnetic “calutron” method used at Oak Ridge during the Manhattan Project (Rhodes 1986).

The mass spectrometer is today one of the most widely used analytical instruments: it identifies molecules from their mass in chemistry, biology, anti-doping controls and isotopic dating.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Related exercises: Frequenza di ciclotrone di un protone · Esercizio svolto — deflettore di ioni · Raggio e periodo di un elettrone

Il selettore-spettrometro misura velocità fissate dal di fuori. Per accelerare le particelle a energie molto più alte si usa invece il ciclotrone, inventato da Ernest Lawrence nel 1929 (Nobel 1939).

L’idea sfrutta un fatto sorprendente: nel moto circolare in $\vec{B}$ uniforme, il periodo orbitale non dipende dalla velocità. Infatti, da $T = 2\pi r/v$ e $r = mv/(qB)$:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \qquad \ev{f_c = \frac{q\,B}{2\pi\,m}}$

La frequenza $f_c$ si chiama frequenza di ciclotrone. È fissata solo dalla particella ($m$, $q$) e dal campo $B$: che la particella sia lenta (cerchio piccolo) o veloce (cerchio grande), impiega lo stesso tempo a completare un giro. Una particella più veloce percorre un cerchio più lungo esattamente alla velocità maggiore che serve a mantenere costante il periodo.

Formula chiave — Ciclotrone

$f_c = \frac{qB}{2\pi m} \quad(\text{indipendente da } v)$ $K_\text{max} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Il ciclotrone consiste in due semidischi cavi (le D, da “dee”) separati da un piccolo gap. Fra le due D è applicata una tensione alternata di frequenza $f_c$. Una particella iniettata al centro percorre un semicerchio nella prima D, viene accelerata attraversando il gap (dove la tensione ha la direzione giusta), percorre un semicerchio più grande nella seconda D, e così via. Poiché il periodo è costante, il sincronismo con la tensione si mantiene a ogni giro; il raggio cresce a ogni semigiro, fino al bordo dove la particella viene estratta.

Ciclotrone: due D cave separate da un gap con tensione alternata a frequenza $f_c$. La particella spiraleggia verso l’esterno guadagnando energia a ogni passaggio nel gap.

L’energia cinetica massima dipende dal raggio $R$ del dispositivo: quando $r = R$, la velocità è $v_\text{max} = qBR/m$ e quindi

$K_\text{max} = \tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Esempio — Un piccolo ciclotrone per medicina nucleare

Un ciclotrone da $R = 0{,}5\;\text{m}$ con $B = 1{,}5\;\text{T}$ accelera protoni ($m_p \approx 1{,}67\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$, $q = e$): $K_\text{max} = \frac{(1{,}6\cdot 10^{-19})^2\,(1{,}5)^2\,(0{,}5)^2}{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}} \approx 4{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{J} \approx 27\;\text{MeV}$ con $f_c = qB/(2\pi m) \approx 23\;\text{MHz}$. Energie di questo ordine bastano a produrre isotopi radioattivi a vita breve (per esempio ${}^{18}\text{F}$) usati negli esami PET in ospedale.

Dal ciclotrone al sincrotrone

A energie più alte la velocità si avvicina a $c$ e la massa relativistica $\gamma m$ cresce: la frequenza di ciclotrone non è più costante e il sincronismo si perde. Si usano allora due trucchi: variare $f$ dinamicamente con $\gamma$ (sincro-ciclotrone) o variare anche $B$ tenendo il raggio costante (sincrotrone). Sincrotroni come l’LHC al CERN, con $R = 4{,}3\;\text{km}$, accelerano protoni a $7\;\text{TeV}$, un milione di volte l’energia di un piccolo ciclotrone da ospedale.

Sintesi

Selettore $v = E/B$: passa una sola velocità. Spettrometro: $r \propto m/q$. Ciclotrone: $f_c = qB/(2\pi m)$ non dipende da $v$, $K_\text{max} = q^2 B^2 R^2/(2m)$.

Collegamenti

Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica

Esercizi collegati: Esercizio svolto — ciclotrone da un chilometro · Ciclotrone semplice · Frequenza di ciclotrone di un protone

The selector-spectrometer measures velocities fixed from outside. To accelerate particles to much higher energies, the cyclotron is used instead, invented by Ernest Lawrence in 1929 (Nobel Prize 1939).

The idea exploits a surprising fact: in circular motion in a uniform $\vec{B}$, the orbital period does not depend on the speed. Indeed, from $T = 2\pi r/v$ and $r = mv/(qB)$:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \qquad \ev{f_c = \frac{q\,B}{2\pi\,m}}$

The frequency $f_c$ is called the cyclotron frequency. It is fixed only by the particle ($m$, $q$) and the field $B$: whether the particle is slow (small circle) or fast (large circle), it takes the same time to complete one revolution. A faster particle traces a longer circle at exactly the greater speed needed to keep the period constant.

Key formula — Cyclotron

$f_c = \frac{qB}{2\pi m} \quad(\text{independent of } v)$ $K_\text{max} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

The cyclotron consists of two hollow half-discs (the D’s, or “dees”) separated by a small gap. An alternating voltage of frequency $f_c$ is applied between the two D’s. A particle injected at the centre traces a semicircle in the first D, is accelerated crossing the gap (where the voltage has the right direction), traces a larger semicircle in the second D, and so on. Since the period is constant, synchronism with the voltage is maintained every turn; the radius grows on each half-turn, up to the edge where the particle is extracted.

Cyclotron: two hollow D’s separated by a gap with an alternating voltage at frequency $f_c$. The particle spirals outward gaining energy on each pass through the gap.

The maximum kinetic energy depends on the radius $R$ of the device: when $r = R$, the velocity is $v_\text{max} = qBR/m$ and hence

$K_\text{max} = \tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Example — A small cyclotron for nuclear medicine

A cyclotron with $R = 0{,}5\;\text{m}$ and $B = 1{,}5\;\text{T}$ accelerates protons ($m_p \approx 1{,}67\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$, $q = e$): $K_\text{max} = \frac{(1{,}6\cdot 10^{-19})^2\,(1{,}5)^2\,(0{,}5)^2}{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}} \approx 4{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{J} \approx 27\;\text{MeV}$ with $f_c = qB/(2\pi m) \approx 23\;\text{MHz}$. Energies of this order are enough to produce short-lived radioactive isotopes (for example ${}^{18}\text{F}$) used in hospital PET scans.

From the cyclotron to the synchrotron

At higher energies the velocity approaches $c$ and the relativistic mass $\gamma m$ grows: the cyclotron frequency is no longer constant and synchronism is lost. Two tricks are then used: varying $f$ dynamically with $\gamma$ (synchro-cyclotron) or also varying $B$ while keeping the radius constant (synchrotron). Synchrotrons such as the LHC at CERN, with $R = 4{,}3\;\text{km}$, accelerate protons to $7\;\text{TeV}$, a million times the energy of a small hospital cyclotron.

Summary

Selector $v = E/B$: lets through a single velocity. Spectrometer: $r \propto m/q$. Cyclotron: $f_c = qB/(2\pi m)$ does not depend on $v$, $K_\text{max} = q^2 B^2 R^2/(2m)$.

Links

Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica

Related exercises: Esercizio svolto — ciclotrone da un chilometro · Ciclotrone semplice · Frequenza di ciclotrone di un protone