Esercizi — Il campo magnetico

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime).

Esercizi svolti nel testo

• Carica in campo uscente
• Deflettore di ioni
• Ciclotrone da un chilometro
• Spettrometro di massa del cianuro
• Spira rettangolare in campo uniforme
• Motore elettrico sotto carico

Problemi di fine capitolo

• Forza di Lorentz su un elettrone
• Forza di Lorentz su un protone
• Vero o falso su monopoli e flusso
• Campo di un filo a 3 mm
• Forza tra due fili paralleli concordi
• Frequenza di ciclotrone di un protone
• Campo di un cavo domestico e bussola
• Momento torcente su una spira quadrata
• Verifica dimensionale del campo del solenoide
• Spire per metro per 1 mT
• Orientazione del filo per forza massima e nulla
• Ranking della forza di Lorentz (quattro angoli)
• Direzione della forza e traiettoria
• Raggio e periodo di un elettrone
• Quale campo dà coppia massima
• Forza di Lorentz su un elettrone a 1 T
• Campo di un filo a 10 cm
• Forza per unità di lunghezza tra due fili
• Calamita, ferro e rame
• Ranking di tre solenoidi
• Vero o falso sulla forza magnetica
• Raggio di un protone nel campo
• Stima del campo magnetico terrestre
• Campo di un filo rettilineo a 10 cm
• Forza di Lorentz e raggio di un protone
• Forza tra due fili con correnti diverse
• Campo magnetico da carica in moto
• Regola della mano destra
• Bussola e campo terrestre
• Ranking della forza di Lorentz (quattro direzioni)
• Ranking del raggio del ciclotrone
• Dal raggio al rapporto q su m
• Dal periodo al campo
• Campo terrestre dieci volte più forte
• Monopolo magnetico
• Ciclotrone semplice
• Campo dentro un solenoide
• Motore e dinamo
• Aurore boreali
• Forza in funzione dell’angolo
• Forza di un MRI su una graffetta
• Selettore di Wien
• Domini di Weiss
• Ranking dei materiali magnetici
• Campo di un solenoide finito
• Permeabilità del vuoto raddoppiata
• Bobina di Helmholtz

All the exercises of the chapter, worked step by step, in order of appearance in the chapter: first the guided exercises in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphs, estimates).

Worked exercises in the text

• Charge in an outgoing field
• Ion deflector
• A kilometre-wide cyclotron
• Mass spectrometer for cyanide
• Rectangular loop in a uniform field
• Electric motor under load

End-of-chapter problems

• Lorentz force on an electron
• Lorentz force on a proton
• True or false on monopoles and flux
• Field of a wire at 3 mm
• Force between two parallel wires with same-direction currents
• Cyclotron frequency of a proton
• Field of a domestic cable and a compass
• Torque on a square loop
• Dimensional check of the solenoid field
• Turns per metre for 1 mT
• Wire orientation for maximum and zero force
• Ranking the Lorentz force (four angles)
• Direction of the force and trajectory
• Radius and period of an electron
• Which field gives maximum torque
• Lorentz force on an electron at 1 T
• Field of a wire at 10 cm
• Force per unit length between two wires
• Magnet, iron and copper
• Ranking three solenoids
• True or false on the magnetic force
• Radius of a proton in the field
• Estimate of the Earth’s magnetic field
• Field of a straight wire at 10 cm
• Lorentz force and radius of a proton
• Force between two wires with different currents
• Magnetic field from a moving charge
• Right-hand rule
• Compass and the Earth’s field
• Ranking the Lorentz force (four directions)
• Ranking the cyclotron radius
• From radius to the charge-to-mass ratio
• From period to field
• Earth’s field ten times stronger
• Magnetic monopole
• Simple cyclotron
• Field inside a solenoid
• Motor and dynamo
• Auroras
• Force as a function of angle
• Force of an MRI on a paperclip
• Wien velocity selector
• Weiss domains
• Ranking magnetic materials
• Field of a finite solenoid
• Vacuum permeability doubled
• Helmholtz coil

Testo

Una carica positiva si muove verso destra con velocità $\vec{v}$ in una regione in cui il campo magnetico è uscente dalla pagina. In che verso punta la forza di Lorentz?

Soluzione

Applico la regola della mano destra a $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. Indice verso destra (direzione di $\vec{v}$), medio uscente dalla pagina (direzione di $\vec{B}$): il pollice punta verso l’alto.

Poiché la carica è positiva, la forza ha lo stesso verso del prodotto vettoriale:

$\ev{\vec{F} \text{ diretta verso l'alto}}$

Se la carica fosse negativa, $\vec{F}$ sarebbe verso il basso. Il modulo, con $\vec{v}\perp\vec{B}$, è $|F| = qvB$.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz Competenze: Regola della mano destra

Problem

A positive charge moves to the right with velocity $\vec{v}$ in a region where the magnetic field points out of the page. In which direction does the Lorentz force point?

Solution

Apply the right-hand rule to $\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B}$. Index finger to the right (direction of $\vec{v}$), middle finger out of the page (direction of $\vec{B}$): the thumb points upward.

Since the charge is positive, the force has the same direction as the cross product:

$\ev{\vec{F} \text{ directed upward}}$

If the charge were negative, $\vec{F}$ would point downward. The magnitude, with $\vec{v}\perp\vec{B}$, is $|F| = qvB$.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz Competenze: Regola della mano destra

Testo

Una carica $q = 10^{-3}\;\text{C}$ di massa $m = 0{,}2\;\text{kg}$ è sparata orizzontalmente verso destra con velocità $v = 10\;\text{m/s}$. Entra in una regione larga $L = 2\;\text{m}$ in cui esiste un campo magnetico uscente $\vec{B} = (0,0,B)$. Qual è il valore minimo di $B$ affinché la carica faccia dietro-front e torni indietro senza uscire dalla regione?

Soluzione

La carica descrive un semicerchio dentro la regione e torna indietro solo se il diametro del cerchio non supera la larghezza $L$, cioè se il raggio è minore della semilarghezza. Altrimenti la carica esce dall’altra parte prima di invertire.

Condizione: $r = \frac{mv}{qB} < \frac{L}{2} = 1\;\text{m}$

Sostituisco i dati: $\frac{0{,}2\cdot 10}{10^{-3}\cdot B} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad B > \frac{2}{10^{-3}}$

$\ev{B > 2000\;\text{T}}$

Serve un campo di almeno $2000\;\text{T}$: un valore enorme (i magneti di laboratorio più potenti arrivano a $\sim 50\;\text{T}$). La carica di questo problema è troppo pesante per essere facilmente deviata: l’esercizio mostra come la formula funzioni, ma anche quanto contino gli ordini di grandezza.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Problem

A charge $q = 10^{-3}\;\text{C}$ of mass $m = 0{,}2\;\text{kg}$ is fired horizontally rightwards with velocity $v = 10\;\text{m/s}$. It enters a region of width $L = 2\;\text{m}$ in which there is a magnetic field pointing out of the page $\vec{B} = (0,0,B)$. What is the minimum value of $B$ for which the charge does a U-turn and comes back without leaving the region?

Solution

The charge traces a semicircle inside the region and comes back only if the diameter of the circle does not exceed the width $L$, i.e. if the radius is less than half the width. Otherwise the charge exits the other side before reversing.

Condition: $r = \frac{mv}{qB} < \frac{L}{2} = 1\;\text{m}$

Substituting the data: $\frac{0{,}2\cdot 10}{10^{-3}\cdot B} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad B > \frac{2}{10^{-3}}$

$\ev{B > 2000\;\text{T}}$

A field of at least $2000\;\text{T}$ is needed: an enormous value (the most powerful laboratory magnets reach $\sim 50\;\text{T}$). The charge in this problem is too heavy to be easily deflected: the exercise shows how the formula works, but also how much orders of magnitude matter.

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Topics: Magnetism Concepts: Lorentz force · Uniform circular motion

Testo

Vuoi costruire un ciclotrone di raggio $R = 1\;\text{km}$ per far girare in cerchio ioni di elio completamente ionizzato (He$^{++}$, carica $q = 2e$, massa $m \approx 6{,}6\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$) con energia cinetica $K = 10^{-3}\;\text{J}$. Che valore di campo magnetico serve?

Soluzione

Dall’energia cinetica alla velocità. Da $K = \tfrac{1}{2}mv^2$: $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10^{-3}}{6{,}6\cdot 10^{-27}}} \approx 5{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m/s}$

Questa velocità è maggiore di $c$: significa che a quest’energia gli ioni sono già ultra-relativistici e la formula classica non è più valida. La usiamo solo come controllo dimensionale.

Dal bilancio della forza di Lorentz come centripeta: $qvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad B = \frac{mv}{qR}$

$B = \frac{6{,}6\cdot 10^{-27}\cdot 5{,}5\cdot 10^{11}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^3} \approx \ev{11{,}3\;\text{T}}$

Il campo classico $B = mv/(qR) \approx 11{,}3\;\text{T}$ è già enorme, e in realtà è una sottostima: a questa energia ($K = 10^{-3}\;\text{J} \gg mc^2$) gli ioni sono ultra-relativistici e l’impulso corretto vale $p \approx K/c \approx 3{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{kg·m/s}$, molto maggiore del classico $mv$, per cui il campo davvero necessario è $B = p/(qR) \approx 1\cdot 10^{4}\;\text{T}$ — molti ordini di grandezza più grande. Nessun magnete reale arriva a tanto: per questo un anello classico da $1\;\text{km}$ non può raggiungere energie del PeV, e il CERN usa magneti superconduttori di $\sim 8\;\text{T}$ con anelli molto più grandi.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica

Problem

You want to build a cyclotron of radius $R = 1\;\text{km}$ to circulate fully ionised helium ions (He$^{++}$, charge $q = 2e$, mass $m \approx 6{,}6\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$) with kinetic energy $K = 10^{-3}\;\text{J}$. What magnetic field value is needed?

Solution

From kinetic energy to velocity. From $K = \tfrac{1}{2}mv^2$: $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 10^{-3}}{6{,}6\cdot 10^{-27}}} \approx 5{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m/s}$

This velocity is greater than $c$: this means that at this energy the ions are already ultra-relativistic and the classical formula is no longer valid. We use it only as a dimensional check.

From the balance of the Lorentz force as centripetal force: $qvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad B = \frac{mv}{qR}$

$B = \frac{6{,}6\cdot 10^{-27}\cdot 5{,}5\cdot 10^{11}}{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 10^3} \approx \ev{11{,}3\;\text{T}}$

The classical field $B = mv/(qR) \approx 11{,}3\;\text{T}$ is already enormous, and it is actually an underestimate: at this energy ($K = 10^{-3}\;\text{J} \gg mc^2$) the ions are ultra-relativistic and the correct momentum is $p \approx K/c \approx 3{,}3\cdot 10^{-12}\;\text{kg·m/s}$, much larger than the classical $mv$, so the truly required field is $B = p/(qR) \approx 1\cdot 10^{4}\;\text{T}$ — many orders of magnitude larger. No real magnet reaches that: this is why a classical $1\;\text{km}$ ring cannot reach PeV energies, and CERN uses $\sim 8\;\text{T}$ superconducting magnets with much larger rings.

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Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme · Energia cinetica

Testo

Un chimico analizza il cianuro (CN$^-$) in uno spettrometro di massa: gli atomi di carbonio (C) e di azoto (N) vengono ionizzati, accelerati fino all’energia cinetica $K = 10^{-4}\;\text{J}$ ciascuno, e poi immessi in una regione con $|\vec{B}| = 1\;\text{T}$ perpendicolare alla velocità. Quali sono i raggi dei cerchi percorsi dai due ioni? Le masse sono $m_\text{C} = 12\,u$ e $m_\text{N} = 14\,u$, con $1\,u \approx 1{,}66\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$.

Soluzione

Raggio in funzione dell’energia cinetica. Uso $r = mv/(qB)$. Da $K = \tfrac{1}{2}mv^2$ si ha $v = \sqrt{2K/m}$, quindi $mv = m\sqrt{2K/m} = \sqrt{2Km}$. Allora: $r = \frac{\sqrt{2\,K\,m}}{q\,B}$

Con $q = e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\;\text{C}$ e $B = 1\;\text{T}$: $r_\text{C} = \frac{\sqrt{2\cdot 10^{-4}\cdot 12\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = \frac{\sqrt{3{,}98\cdot 10^{-30}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx \ev{1{,}25\cdot 10^4\;\text{m} = 12{,}5\;\text{km}}$

Per l’azoto, poiché $r \propto \sqrt{m}$ a parità di $K$, $q$, $B$: $r_\text{N} = \sqrt{\frac{14}{12}}\cdot r_\text{C} \approx \ev{1{,}35\cdot 10^4\;\text{m} = 13{,}5\;\text{km}}$

La differenza di raggi (circa $1\;\text{km}$ su $\sim 13\;\text{km}$) è proporzionale a $\sqrt{m_\text{N}/m_\text{C}}$. Lo spettrometro separa C e N con una risoluzione relativa del $\sim 8\%$, sufficiente a identificare entrambi.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Problem

A chemist analyses cyanide (CN$^-$) in a mass spectrometer: the carbon (C) and nitrogen (N) atoms are ionised, accelerated up to a kinetic energy $K = 10^{-4}\;\text{J}$ each, and then sent into a region with $|\vec{B}| = 1\;\text{T}$ perpendicular to the velocity. What are the radii of the circles traced by the two ions? The masses are $m_\text{C} = 12\,u$ and $m_\text{N} = 14\,u$, with $1\,u \approx 1{,}66\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$.

Solution

Radius as a function of kinetic energy. Using $r = mv/(qB)$. From $K = \tfrac{1}{2}mv^2$ we get $v = \sqrt{2K/m}$, hence $mv = m\sqrt{2K/m} = \sqrt{2Km}$. Then: $r = \frac{\sqrt{2\,K\,m}}{q\,B}$

With $q = e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\;\text{C}$ and $B = 1\;\text{T}$: $r_\text{C} = \frac{\sqrt{2\cdot 10^{-4}\cdot 12\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = \frac{\sqrt{3{,}98\cdot 10^{-30}}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} \approx \ev{1{,}25\cdot 10^4\;\text{m} = 12{,}5\;\text{km}}$

For nitrogen, since $r \propto \sqrt{m}$ at equal $K$, $q$, $B$: $r_\text{N} = \sqrt{\frac{14}{12}}\cdot r_\text{C} \approx \ev{1{,}35\cdot 10^4\;\text{m} = 13{,}5\;\text{km}}$

The difference in radii (about $1\;\text{km}$ out of $\sim 13\;\text{km}$) is proportional to $\sqrt{m_\text{N}/m_\text{C}}$. The spectrometer separates C and N with a relative resolution of $\sim 8\%$, sufficient to identify both.

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Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Testo

Una spira rettangolare di lati $a = 2\;\text{m}$ e $b = 0{,}5\;\text{m}$ è percorsa da $i = 2\;\text{A}$ ed è immersa in un campo $\vec{B}$ entrante nella pagina, di modulo $|\vec{B}| = 2\;\text{T}$. I lati lunghi sono orizzontali. Calcolare le forze sui quattro lati.

Soluzione

Uso la forza di Laplace $\vec{F} = i\,\vec{\ell}\times\vec{B}$ su ciascun lato.

Lati lunghi ($a = 2\;\text{m}$), perpendicolari a $\vec{B}$: $|F_1| = i\,a\,|\vec{B}|\,\sin 90^\circ = 2\cdot 2\cdot 2 = 8\;\text{N}$ su ciascuno, ma in versi opposti (uno verso l’alto, l’altro verso il basso): si cancellano.

Lati corti ($b = 0{,}5\;\text{m}$), anch’essi perpendicolari a $\vec{B}$: $|F_2| = i\,b\,|\vec{B}| = 2\cdot 0{,}5\cdot 2 = 2\;\text{N}$ anch’essi in versi opposti: si cancellano.

$\ev{\vec{F}_\text{risultante} = 0}$

La spira non trasla. Ma le forze $F_1$ e $F_1'$ sui lati lunghi, uguali e opposte ma applicate su rette diverse, formano una coppia che tende a ruotare la spira. È il principio del motore elettrico: risultante nulla, momento torcente non nullo.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Laplace · Dipolo magnetico · Momento di una forza

Problem

A rectangular loop with sides $a = 2\;\text{m}$ and $b = 0{,}5\;\text{m}$ carries a current $i = 2\;\text{A}$ and is immersed in a field $\vec{B}$ pointing into the page, of magnitude $|\vec{B}| = 2\;\text{T}$. The long sides are horizontal. Calculate the forces on the four sides.

Solution

I use the Laplace force $\vec{F} = i\,\vec{\ell}\times\vec{B}$ on each side.

Long sides ($a = 2\;\text{m}$), perpendicular to $\vec{B}$: $|F_1| = i\,a\,|\vec{B}|\,\sin 90^\circ = 2\cdot 2\cdot 2 = 8\;\text{N}$ on each, but in opposite senses (one upwards, the other downwards): they cancel out.

Short sides ($b = 0{,}5\;\text{m}$), also perpendicular to $\vec{B}$: $|F_2| = i\,b\,|\vec{B}| = 2\cdot 0{,}5\cdot 2 = 2\;\text{N}$ also in opposite senses: they cancel out.

$\ev{\vec{F}_\text{resultant} = 0}$

The loop does not translate. But the forces $F_1$ and $F_1'$ on the long sides, equal and opposite but applied along different lines, form a couple that tends to rotate the loop. This is the principle of the electric motor: zero resultant, non-zero torque.

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Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Laplace · Dipolo magnetico · Momento di una forza

Testo

Un motore con $R = 2\;\Omega$ è alimentato da $\mathcal{E} = 48\;\text{V}$. A pieno regime genera una forza controelettromotrice $\mathcal{E}_c = 44\;\text{V}$. Trovare: corrente assorbita, potenza meccanica erogata, rendimento.

Soluzione

Corrente assorbita. La f.c.e.m. si oppone al generatore, quindi: $i = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_c}{R} = \frac{48 - 44}{2} = \ev{2\;\text{A}}$

Potenza elettrica totale in ingresso: $P_\text{el} = \mathcal{E}\cdot i = 48\cdot 2 = 96\;\text{W}$

Potenza dissipata per effetto Joule: $P_J = R\,i^2 = 2\cdot 2^2 = 8\;\text{W}$

Potenza meccanica erogata: $P_\text{mecc} = \mathcal{E}_c\cdot i = 44\cdot 2 = \ev{88\;\text{W}}$

Rendimento: $\eta = \frac{P_\text{mecc}}{P_\text{el}} = \frac{88}{96} \approx \ev{91{,}7\%}$

Verifica: $8 + 88 = 96 = P_\text{el}$. ✓

Nota: a motore fermo $\mathcal{E}_c = 0$, la corrente salirebbe a $48/2 = 24\;\text{A}$ e la potenza dissipata a $R\cdot 24^2 = 1152\;\text{W}$: per questo i motori elettrici si danneggiano se bloccati meccanicamente mentre sono alimentati.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico · Forza elettromotrice · Effetto Joule

Problem

A motor with $R = 2\;\Omega$ is powered by $\mathcal{E} = 48\;\text{V}$. At full running speed it generates a back electromotive force $\mathcal{E}_c = 44\;\text{V}$. Find: the current drawn, the mechanical power delivered, the efficiency.

Solution

Current drawn. The back e.m.f. opposes the source, so: $i = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_c}{R} = \frac{48 - 44}{2} = \ev{2\;\text{A}}$

Total electrical power input: $P_\text{el} = \mathcal{E}\cdot i = 48\cdot 2 = 96\;\text{W}$

Power dissipated by the Joule effect: $P_J = R\,i^2 = 2\cdot 2^2 = 8\;\text{W}$

Mechanical power delivered: $P_\text{mech} = \mathcal{E}_c\cdot i = 44\cdot 2 = \ev{88\;\text{W}}$

Efficiency: $\eta = \frac{P_\text{mech}}{P_\text{el}} = \frac{88}{96} \approx \ev{91{,}7\%}$

Check: $8 + 88 = 96 = P_\text{el}$. ✓

Note: with the motor stalled $\mathcal{E}_c = 0$, the current would rise to $48/2 = 24\;\text{A}$ and the dissipated power to $R\cdot 24^2 = 1152\;\text{W}$: this is why electric motors are damaged if mechanically blocked while powered.

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Topics: Magnetismo Concepts: Dipolo magnetico · Forza elettromotrice · Effetto Joule

Testo

Un elettrone ($|q| = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) entra perpendicolarmente in un campo magnetico di modulo $B = 0{,}5$ T con velocità $v = 2{,}0\cdot 10^5$ m/s. Calcola il modulo della forza di Lorentz.

Soluzione

Poiché la velocità è perpendicolare al campo ($\vec v\perp\vec B$), l’angolo tra i due vettori è $90^\circ$ e $\sin\theta = 1$. Il modulo della forza di Lorentz vale quindi $F = |q|\,v\,B\,\sin\theta = |q|\,v\,B$ Sostituendo i valori numerici: $F = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 2{,}0\cdot 10^5\cdot 0{,}5$ $\ev{F \approx 1{,}6\cdot 10^{-14}\;\text{N}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz

Problem

An electron ($|q| = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) enters perpendicularly into a magnetic field of magnitude $B = 0{,}5$ T with velocity $v = 2{,}0\cdot 10^5$ m/s. Calculate the magnitude of the Lorentz force.

Solution

Since the velocity is perpendicular to the field ($\vec v\perp\vec B$), the angle between the two vectors is $90^\circ$ and $\sin\theta = 1$. The magnitude of the Lorentz force is therefore $F = |q|\,v\,B\,\sin\theta = |q|\,v\,B$ Substituting the numerical values: $F = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 2{,}0\cdot 10^5\cdot 0{,}5$ $\ev{F \approx 1{,}6\cdot 10^{-14}\;\text{N}}$

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Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz

Testo

Un protone ($q = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) si muove a $v = 3\cdot 10^5$ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di modulo $B = 1$ T. Calcola il modulo della forza di Lorentz.

Soluzione

La velocità è perpendicolare al campo, quindi $\sin\theta = 1$ e il modulo della forza di Lorentz è $F = |q|\,v\,B = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3\cdot 10^5\cdot 1$ $\ev{F \approx 4{,}8\cdot 10^{-14}\;\text{N}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz

Problem

A proton ($q = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) moves at $v = 3\cdot 10^5$ m/s perpendicular to a uniform magnetic field of magnitude $B = 1$ T. Calculate the magnitude of the Lorentz force.

Solution

The velocity is perpendicular to the field, so $\sin\theta = 1$ and the magnitude of the Lorentz force is $F = |q|\,v\,B = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 3\cdot 10^5\cdot 1$ $\ev{F \approx 4{,}8\cdot 10^{-14}\;\text{N}}$

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Topics: Magnetismo Concepts: Forza di Lorentz

Testo

Indica se ciascuna affermazione è vera o falsa: (a) esistono in natura monopoli magnetici isolati; (b) il flusso di $\vec B$ attraverso una superficie chiusa è sempre nullo; (c) una carica che si muove parallela a $\vec B$ non subisce forza magnetica; (d) la forza di Lorentz compie lavoro sulla carica che la subisce.

Soluzione

(a) FALSO: in natura non si osservano monopoli magnetici isolati; le sorgenti del campo magnetico sono sempre dipoli (poli nord e sud inseparabili).

(b) VERO: proprio perché non esistono monopoli, le linee di $\vec B$ sono sempre chiuse e il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo, $\Phi_B = 0$.

(c) VERO: se $\vec v\parallel\vec B$ allora $\sin\theta = 0$ e quindi $F = |q|vB\sin\theta = 0$.

(d) FALSO: la forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità ($\vec F\perp\vec v$), quindi il suo lavoro è nullo e l’energia cinetica della carica non cambia. $\ev{\text{F, V, V, F}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico · Forza di Lorentz

Problem

State whether each statement is true or false: (a) isolated magnetic monopoles exist in nature; (b) the flux of $\vec B$ through a closed surface is always zero; (c) a charge moving parallel to $\vec B$ experiences no magnetic force; (d) the Lorentz force does work on the charge it acts on.

Solution

(a) FALSE: isolated magnetic monopoles are not observed in nature; the sources of the magnetic field are always dipoles (inseparable north and south poles).

(b) TRUE: precisely because monopoles do not exist, the lines of $\vec B$ are always closed and the flux through any closed surface is zero, $\Phi_B = 0$.

(c) TRUE: if $\vec v\parallel\vec B$ then $\sin\theta = 0$ and hence $F = |q|vB\sin\theta = 0$.

(d) FALSE: the Lorentz force is always perpendicular to the velocity ($\vec F\perp\vec v$), so its work is zero and the kinetic energy of the charge does not change. $\ev{\text{F, T, T, F}}$

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Topics: Magnetismo Concepts: Campo magnetico · Forza di Lorentz

Testo

Un filo rettilineo molto lungo è percorso da corrente $i = 2$ A. Calcola il modulo del campo magnetico prodotto a distanza $r = 3$ mm dal filo.

Soluzione

Per un filo rettilineo indefinito il campo magnetico a distanza $r$ vale (legge di Biot-Savart) $B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 3\cdot 10^{-3}} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 2}{3\cdot 10^{-3}}$ $\ev{B \approx 1{,}3\cdot 10^{-4}\;\text{T}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico

Problem

A very long straight wire carries current $i = 2$ A. Calculate the magnitude of the magnetic field produced at a distance $r = 3$ mm from the wire.

Solution

For an indefinite straight wire the magnetic field at distance $r$ is (Biot-Savart law) $B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 3\cdot 10^{-3}} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 2}{3\cdot 10^{-3}}$ $\ev{B \approx 1.3\cdot 10^{-4}\;\text{T}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico

Testo

Due fili paralleli distano $d = 5$ cm e sono percorsi da correnti uguali $i = 10$ A nello stesso verso. Descrivi (senza calcolare) la direzione della forza che ciascun filo esercita sull’altro e spiega perché, usando la forza di Laplace e la regola della mano destra.

Soluzione

Il filo 1 genera nella posizione del filo 2 un campo magnetico $\vec B_1$ le cui linee sono cerchi concentrici attorno al filo 1; con la regola della mano destra (pollice nel verso della corrente, dita che avvolgono il filo) si trova che, nella posizione del filo 2, $\vec B_1$ è perpendicolare al piano dei due fili.

Il filo 2, percorso dalla corrente $i$ concorde, sente la forza di Laplace $\vec F = i\,\vec\ell\times\vec B_1$ Applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, questa forza risulta diretta verso il filo 1. Per simmetria, il filo 1 è attratto verso il filo 2.

Quindi correnti concordi si attraggono (correnti discordi si respingerebbero). $\ev{\text{forza attrattiva}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Laplace · Campo magnetico Competenze: Regola della mano destra

Problem

Two parallel wires are $d = 5$ cm apart and carry equal currents $i = 10$ A in the same direction. Describe (without calculating) the direction of the force that each wire exerts on the other and explain why, using the Laplace force and the right-hand rule.

Solution

Wire 1 generates, at the position of wire 2, a magnetic field $\vec B_1$ whose field lines are concentric circles around wire 1; using the right-hand rule (thumb in the direction of the current, fingers wrapping around the wire), we find that, at the position of wire 2, $\vec B_1$ is perpendicular to the plane of the two wires.

Wire 2, carrying the current $i$ in the same direction, experiences the Laplace force $\vec F = i\,\vec\ell\times\vec B_1$ Applying the right-hand rule to the cross product, this force turns out to be directed towards wire 1. By symmetry, wire 1 is attracted towards wire 2.

So currents in the same direction attract each other (currents in opposite directions would repel). $\ev{\text{attractive force}}$

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Topics: Magnetism Concepts: Laplace force · Magnetic field Skills: Right-hand rule

Testo

In un ciclotrone un protone ($m = 1{,}67\cdot 10^{-27}$ kg, $q = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) si muove in un campo $B = 1$ T perpendicolare alla velocità. Ricava la frequenza di ciclotrone $f_c = qB/(2\pi m)$ e calcolane il valore.

Soluzione

Nel moto circolare uniforme la forza di Lorentz fa da forza centripeta: $|q|vB = \dfrac{mv^2}{r}$, da cui il raggio $r = \dfrac{mv}{|q|B}$. Il periodo è $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{|q|B}$ e la frequenza $f_c = 1/T$: $f_c = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1}{2\pi\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}}$ $\ev{f_c \approx 1{,}5\cdot 10^7\;\text{Hz}}$ La frequenza di ciclotrone non dipende dalla velocità $v$: è questa proprietà che rende possibile l’accelerazione a fasi fisse nel ciclotrone.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Problem

In a cyclotron a proton ($m = 1{,}67\cdot 10^{-27}$ kg, $q = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C) moves in a field $B = 1$ T perpendicular to the velocity. Derive the cyclotron frequency $f_c = qB/(2\pi m)$ and calculate its value.

Solution

In uniform circular motion the Lorentz force acts as the centripetal force: $|q|vB = \dfrac{mv^2}{r}$, from which the radius $r = \dfrac{mv}{|q|B}$. The period is $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{|q|B}$ and the frequency $f_c = 1/T$: $f_c = \frac{qB}{2\pi m} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1}{2\pi\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}}$ $\ev{f_c \approx 1{,}5\cdot 10^7\;\text{Hz}}$ The cyclotron frequency does not depend on the velocity $v$: it is this property that makes fixed-phase acceleration possible in the cyclotron.

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Topics: Magnetism Concepts: Lorentz force · Uniform circular motion

Testo

Un cavo elettrico domestico porta una corrente $i = 10$ A. Stima il modulo del campo magnetico che esso produce a $15$ cm di distanza e confronta con il campo magnetico terrestre ($B_T \approx 5\cdot 10^{-5}$ T). Potrebbe disturbare una bussola posta accanto?

Soluzione

Trattando il cavo come un filo rettilineo indefinito: $B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi r} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 10}{0{,}15}$ $\ev{B \approx 1{,}3\cdot 10^{-5}\;\text{T}}$ Questo valore è circa un quarto del campo magnetico terrestre: il disturbo su una bussola è piccolo ma non del tutto trascurabile a distanza ravvicinata, mentre a distanze maggiori (il campo va come $1/r$) diventa presto irrilevante. Va inoltre notato che in un cavo reale i due conduttori portano correnti opposte molto vicine, i cui campi si cancellano quasi completamente, riducendo ulteriormente l’effetto.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico Competenze: Stime di Fermi

Problem

A household electrical cable carries a current $i = 10$ A. Estimate the magnitude of the magnetic field it produces at a distance of $15$ cm and compare it with Earth’s magnetic field ($B_T \approx 5\cdot 10^{-5}$ T). Could it disturb a compass placed next to it?

Solution

Treating the cable as an infinite straight wire: $B = \frac{\mu_0\,i}{2\pi r} = \frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 10}{0{,}15}$ $\ev{B \approx 1{,}3\cdot 10^{-5}\;\text{T}}$ This value is about a quarter of Earth’s magnetic field: the disturbance to a compass is small but not entirely negligible at close range, while at larger distances (the field goes as $1/r$) it quickly becomes irrelevant. It should also be noted that in a real cable the two conductors carry opposite currents very close together, whose fields almost completely cancel, further reducing the effect.

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Topics: Magnetism Concepts: Magnetic field Skills: Fermi estimation

Testo

Una spira quadrata di lato $\ell = 10$ cm è percorsa da corrente $i = 2$ A e immersa in un campo uniforme $B = 0{,}25$ T. Il momento magnetico $\vec\mu$ forma un angolo di $60^\circ$ con $\vec B$. Calcola il modulo del momento torcente applicato alla spira.

Soluzione

L’area della spira è $A = \ell^2 = (0{,}10)^2 = 0{,}01\;\text{m}^2$. Il momento magnetico è $\mu = iA$ e il momento torcente vale $\vec M = \vec\mu\times\vec B$, di modulo $M = iAB\sin\beta = 2\cdot 0{,}01\cdot 0{,}25\cdot\sin 60^\circ = 0{,}005\cdot 0{,}866$ $\ev{M \approx 4{,}3\cdot 10^{-3}\;\text{N}\cdot\text{m}}$ Il risultato è dell’ordine di $5\cdot 10^{-3}\;\text{N}\cdot\text{m}$.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico · Momento di una forza

Problem

A square loop of side $\ell = 10$ cm carries a current $i = 2$ A and is immersed in a uniform field $B = 0{,}25$ T. The magnetic moment $\vec\mu$ makes an angle of $60^\circ$ with $\vec B$. Calculate the magnitude of the torque applied to the loop.

Solution

The area of the loop is $A = \ell^2 = (0{,}10)^2 = 0{,}01\;\text{m}^2$. The magnetic moment is $\mu = iA$ and the torque is $\vec M = \vec\mu\times\vec B$, with magnitude $M = iAB\sin\beta = 2\cdot 0{,}01\cdot 0{,}25\cdot\sin 60^\circ = 0{,}005\cdot 0{,}866$ $\ev{M \approx 4{,}3\cdot 10^{-3}\;\text{N}\cdot\text{m}}$ The result is of the order of $5\cdot 10^{-3}\;\text{N}\cdot\text{m}$.

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Topics: Magnetism Concepts: Magnetic dipole · Torque

Testo

Usando le dimensioni di $\mu_0$ (T·m/A), della corrente (A) e della lunghezza (m), verifica dimensionalmente che la formula del campo interno di un solenoide, $B = \mu_0\,i\,N/L$, fornisce correttamente un’unità di tesla. Spiega perché $N$ è adimensionale.

Soluzione

Sostituendo le unità di misura delle grandezze (con $N$ puro numero): $[B] = \frac{[\mu_0]\,[i]}{[L]} = \frac{(\text{T}\cdot\text{m/A})\cdot\text{A}}{\text{m}}$ Le ampere si semplificano e i metri si elidono, lasciando il tesla. Il numero di spire $N$ è un semplice conteggio (quante spire ci sono), quindi è un numero puro adimensionale e non altera le unità del risultato. $\ev{[B]=\dfrac{(\text{T}\cdot\text{m/A})\cdot\text{A}}{\text{m}}=\text{T}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico · Teorema di Ampère Competenze: Analisi dimensionale

Problem

Using the dimensions of $\mu_0$ (T·m/A), of current (A) and of length (m), check dimensionally that the formula for the internal field of a solenoid, $B = \mu_0\,i\,N/L$, correctly gives a unit of tesla. Explain why $N$ is dimensionless.

Solution

Substituting the units of measurement of the quantities (with $N$ a pure number): $[B] = \frac{[\mu_0]\,[i]}{[L]} = \frac{(\text{T}\cdot\text{m/A})\cdot\text{A}}{\text{m}}$ The amperes cancel and the metres cancel, leaving the tesla. The number of turns $N$ is simply a count (how many turns there are), so it is a pure dimensionless number and does not alter the units of the result. $\ev{[B]=\dfrac{(\text{T}\cdot\text{m/A})\cdot\text{A}}{\text{m}}=\text{T}}$

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Topics: Magnetism Concepts: Magnetic field · Ampère’s theorem Skills: Dimensional analysis

Testo

Stima il numero di spire per metro necessarie per ottenere dentro un solenoide a vuoto un campo magnetico $B = 1$ mT con una corrente $i = 1$ A. Il valore è ragionevole per un avvolgimento fatto in laboratorio con filo di rame da $1$ mm?

Soluzione

Per un solenoide $B = \mu_0\,n\,i$, con $n = N/L$ numero di spire per metro. Ricavando $n$: $n = \frac{B}{\mu_0\,i} = \frac{10^{-3}}{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1} \approx 8\cdot 10^2$ $\ev{n \sim 10^3\;\text{spire/m}}$ Con filo di rame da $1$ mm di diametro si possono avvolgere fino a circa $1000$ spire per metro affiancate: il valore trovato è quindi realizzabile in un avvolgimento di laboratorio.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico Competenze: Stime di Fermi

Problem

Estimate the number of turns per metre needed to obtain, inside an air-core solenoid, a magnetic field $B = 1$ mT with a current $i = 1$ A. Is the value reasonable for a winding made in a laboratory with $1$ mm copper wire?

Solution

For a solenoid $B = \mu_0\,n\,i$, with $n = N/L$ the number of turns per metre. Solving for $n$: $n = \frac{B}{\mu_0\,i} = \frac{10^{-3}}{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1} \approx 8\cdot 10^2$ $\ev{n \sim 10^3\;\text{turns/m}}$ With $1$ mm diameter copper wire, up to about $1000$ turns per metre can be wound side by side: the value found is therefore achievable in a laboratory winding.

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Topics: Magnetism Concepts: Magnetic field Skills: Fermi estimation

Testo

Un filo rettilineo percorso da corrente è immerso in un campo magnetico uniforme. Come orientereste il filo per ottenere (a) la forza massima, (b) la forza nulla? E se raddoppio sia la corrente che il campo, per quale fattore cambia la forza? Argomenta senza calcoli esatti.

Soluzione

La forza di Laplace su un tratto rettilineo di lunghezza $L$ ha modulo $F = i\,L\,B\,\sin\theta$ dove $\theta$ è l’angolo tra filo e campo.

(a) Forza massima: si ha con il filo perpendicolare a $\vec B$, cioè $\theta = 90^\circ$ e $\sin\theta = 1$.

(b) Forza nulla: si ha con il filo parallelo a $\vec B$, cioè $\theta = 0$ e $\sin\theta = 0$.

Raddoppiando contemporaneamente corrente e campo, la forza diventa $F' = (2i)(2B)\,L\sin\theta = 4\,F$: aumenta di un fattore 4. $\ev{\text{(a) }\perp\vec B;\ \text{(b) }\parallel\vec B;\ \text{fattore }4}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Laplace Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

A straight current-carrying wire is immersed in a uniform magnetic field. How would you orient the wire to obtain (a) the maximum force, (b) zero force? And if I double both the current and the field, by what factor does the force change? Argue without exact calculations.

Solution

The Laplace force on a straight segment of length $L$ has magnitude $F = i\,L\,B\,\sin\theta$ where $\theta$ is the angle between the wire and the field.

(a) Maximum force: obtained with the wire perpendicular to $\vec B$, i.e. $\theta = 90^\circ$ and $\sin\theta = 1$.

(b) Zero force: obtained with the wire parallel to $\vec B$, i.e. $\theta = 0$ and $\sin\theta = 0$.

Doubling both the current and the field at the same time, the force becomes $F' = (2i)(2B)\,L\sin\theta = 4\,F$: it increases by a factor of 4. $\ev{\text{(a) }\perp\vec B;\ \text{(b) }\parallel\vec B;\ \text{factor }4}$

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Topics: Magnetism Concepts: Laplace force Skills: Limiting-case and thought-experiment analysis

Testo

Quattro cariche $q = +1\;\mu\text{C}$ si muovono in un campo magnetico uniforme $B$ uscente dalla pagina, con velocità formanti angoli diversi con $\vec B$: (A) $v = 100$ m/s, angolo $30^\circ$, $B = 0{,}5$ T; (B) $v = 200$ m/s, angolo $90^\circ$, $B = 0{,}5$ T; (C) $v = 100$ m/s, angolo $0^\circ$, $B = 1$ T; (D) $v = 100$ m/s, angolo $90^\circ$, $B = 0{,}5$ T. Ordina i moduli delle forze $F = |q|vB\sin\theta$ dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Poiché $|q|$ è uguale per tutte, basta confrontare la quantità $vB\sin\theta$: $\begin{aligned} A &= 100\cdot 0{,}5\cdot\sin 30^\circ = 100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 = 25 \\ B &= 200\cdot 0{,}5\cdot\sin 90^\circ = 200\cdot 0{,}5\cdot 1 = 100 \\ C &= 100\cdot 1\cdot\sin 0^\circ = 0 \\ D &= 100\cdot 0{,}5\cdot\sin 90^\circ = 100\cdot 0{,}5\cdot 1 = 50 \end{aligned}$ Ordinando in senso crescente: $C(0) < A(25) < D(50) < B(100)$. $\ev{C < A < D < B}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Four charges $q = +1\;\mu\text{C}$ move in a uniform magnetic field $B$ pointing out of the page, with velocities forming different angles with $\vec B$: (A) $v = 100$ m/s, angle $30^\circ$, $B = 0{,}5$ T; (B) $v = 200$ m/s, angle $90^\circ$, $B = 0{,}5$ T; (C) $v = 100$ m/s, angle $0^\circ$, $B = 1$ T; (D) $v = 100$ m/s, angle $90^\circ$, $B = 0{,}5$ T. Rank the magnitudes of the forces $F = |q|vB\sin\theta$ from smallest to largest.

Solution

Since $|q|$ is the same for all of them, it is enough to compare the quantity $vB\sin\theta$: $\begin{aligned} A &= 100\cdot 0{,}5\cdot\sin 30^\circ = 100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 = 25 \\ B &= 200\cdot 0{,}5\cdot\sin 90^\circ = 200\cdot 0{,}5\cdot 1 = 100 \\ C &= 100\cdot 1\cdot\sin 0^\circ = 0 \\ D &= 100\cdot 0{,}5\cdot\sin 90^\circ = 100\cdot 0{,}5\cdot 1 = 50 \end{aligned}$ Ranking in increasing order: $C(0) < A(25) < D(50) < B(100)$. $\ev{C < A < D < B}$

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Topics: Magnetism Concepts: Lorentz force Skills: Ranking reasoning

Testo

Una carica positiva entra con velocità $\vec v$ orizzontale verso destra in una regione di campo magnetico $\vec B$ uscente dalla pagina, come in figura. In che verso è diretta la forza magnetica? Dopo aver risposto, disegna la traiettoria seguita dalla carica.

Soluzione

Applichiamo la regola della mano destra alla forza di Lorentz $\vec F = q\,\vec v \times \vec B$.

• Indice nel verso di $\vec v$ (verso destra);
• medio nel verso di $\vec B$ (uscente dalla pagina, verso di noi);
• il pollice indica allora il verso di $\vec v \times \vec B$, cioè verso l’ALTO.

Poiché la carica è positiva, la forza ha lo stesso verso del prodotto vettoriale: verso l’alto.

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi non cambia il modulo di $\vec v$ ma ne curva continuamente la direzione: la carica descrive un arco di circonferenza piegando verso l’alto (moto circolare, in verso orario visto dal davanti).

$\ev{\vec F \text{ diretta verso l'alto}}$

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz Competenze: Regola della mano destra

Problem

A positive charge enters with horizontal velocity $\vec v$ pointing rightwards into a region with magnetic field $\vec B$ pointing out of the page, as shown in the figure. In which direction is the magnetic force directed? After answering, draw the trajectory followed by the charge.

Solution

We apply the right-hand rule to the Lorentz force $\vec F = q\,\vec v \times \vec B$.

• Index finger in the direction of $\vec v$ (pointing right);
• middle finger in the direction of $\vec B$ (out of the page, towards us);
• the thumb then indicates the direction of $\vec v \times \vec B$, i.e. UPWARDS.

Since the charge is positive, the force has the same direction as the cross product: upwards.

The magnetic force is always perpendicular to the velocity, so it does not change the magnitude of $\vec v$ but continuously curves its direction: the charge traces an arc of a circle curving upwards (circular motion, clockwise as seen from the front).

$\ev{\vec F \text{ directed upwards}}$

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Topics: Magnetism Concepts: Lorentz force Skills: Right-hand rule

Testo

Un elettrone ($m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}$ kg, $e = 1{,}60\cdot 10^{-19}$ C) entra perpendicolarmente in un campo magnetico uniforme $B = 1{,}0$ mT con velocità $v = 4{,}0\cdot 10^5$ m/s. Calcola raggio e periodo del moto circolare, e disegna il verso di rotazione sapendo che $\vec B$ è uscente dalla pagina.