La legge di Lenz come principio autonomo

Tolto il formalismo di Faraday-Neumann, il segno meno diventa un enunciato fenomenologico così semplice da meritarsi una targa propria: la legge di Lenz. È la conservazione dell’energia tradotta in elettromagnetismo, e si può leggere come una vera e propria inerzia magnetica. Tre esperimenti classici la mostrano al lavoro.

• La legge di Lenz come principio autonomo
• Lenz come inerzia magnetica
• Tre esperimenti che mostrano Lenz al lavoro
• Verso della corrente: due casi rapidi

Strip away the Faraday-Neumann formalism, and the minus sign becomes a phenomenological statement so simple it deserves its own name: Lenz’s law. It is energy conservation translated into electromagnetism, and it can be read as a genuine form of magnetic inertia. Three classic experiments show it at work.

• Lenz’s law as a standalone principle
• Lenz as magnetic inertia
• Three experiments that show Lenz at work
• Direction of the current: two quick cases

Nella formulazione di Faraday-Neumann il segno meno è una scelta di convenzione su come orientare $d\vv{s}$ rispetto alla normale che definisce $\Phi_B$. Tolto il formalismo, rimane un enunciato fenomenologico così semplice da meritarsi una targa propria: è la legge di Lenz.

Legge di Lenz

La corrente indotta in un circuito chiuso scorre sempre nel verso che si oppone alla variazione di flusso magnetico che l’ha generata.

Il vantaggio pratico è enorme: Lenz è Faraday-Neumann “letto da fuori”, decide il verso della corrente senza obbligarci a imporre orientazioni a priori.

Si tratta in fondo della conservazione dell’energia tradotta in elettromagnetismo. Se la corrente indotta avesse il verso opposto, rinforzerebbe la variazione che la genera: il flusso crescerebbe ancora di più, la corrente aumenterebbe a sua volta, e avremmo costruito una macchina che amplifica energia dal nulla. La natura, per non essere imbarazzata, sceglie il verso che frena (Mazzoldi, Nigro e Voci 2008). Vedi anche Riferimenti bibliografici.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz · Legge di Faraday-Neumann-Lenz

Esercizi collegati: Esercizio svolto — spira che entra ed esce da un campo · Problema — Spira che entra in un campo (qualitativo) · Problema — FEM indotta nel tempo (grafico)

In the Faraday-Neumann formulation the minus sign is a convention about how to orient $d\vv{s}$ relative to the normal that defines $\Phi_B$. Strip away the formalism, and what remains is a phenomenological statement so simple it deserves its own name: Lenz’s law.

Lenz's law

The current induced in a closed circuit always flows in the direction that opposes the change in magnetic flux that generated it.

The practical advantage is enormous: Lenz is Faraday-Neumann “read from outside”, it settles the direction of the current without forcing us to impose orientations beforehand.

At bottom, this is energy conservation translated into electromagnetism. If the induced current flowed the opposite way, it would reinforce the change that generates it: the flux would grow even more, the current would increase in turn, and we would have built a machine that amplifies energy out of nothing. To avoid this embarrassment, nature chooses the direction that brakes the change (Mazzoldi, Nigro and Voci 2008). See also Riferimenti bibliografici.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law · Faraday-Neumann-Lenz law

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C’è un modo intuitivo di leggere la legge di Lenz che la rende quasi ovvia: pensarla come un’inerzia magnetica.

Principio — Lenz come "inerzia magnetica"

Un sistema sottoposto a una variazione di $\Phi_B$ reagisce come un sistema meccanico sottoposto a una variazione del suo stato di moto: si oppone. Il circuito “preferisce” lo status quo.

Proprio come una massa resiste alle variazioni di velocità (inerzia meccanica), un circuito resiste alle variazioni del flusso concatenato. Per cambiare $\Phi_B$ qualcuno deve fare lavoro, e quel lavoro non sparisce: finisce in calore (effetto Joule nelle resistenze) oppure in energia immagazzinata nel campo magnetico indotto.

Questa lettura anticipa fenomeni che incontreremo più avanti: l’autoinduzione (un circuito che si oppone alle variazioni della propria corrente) e la forza frenante che rallenta un magnete che cade in un tubo conduttore. In tutti i casi la struttura è la stessa: variazione di flusso $\to$ reazione che la contrasta $\to$ conversione di lavoro in calore o in energia di campo.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz

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There is an intuitive way of reading Lenz’s law that makes it almost obvious: think of it as a form of magnetic inertia.

Principle — Lenz as "magnetic inertia"

A system subjected to a change in $\Phi_B$ reacts like a mechanical system subjected to a change in its state of motion: it resists. The circuit “prefers” the status quo.

Just as a mass resists changes in velocity (mechanical inertia), a circuit resists changes in the linked flux. To change $\Phi_B$ someone must do work, and that work does not vanish: it ends up as heat (Joule heating in the resistances) or as energy stored in the induced magnetic field.

This reading anticipates phenomena we will meet later: self-induction (a circuit opposing changes in its own current) and the braking force that slows a magnet falling through a conducting tube. In every case the structure is the same: change in flux $\to$ reaction that opposes it $\to$ conversion of work into heat or field energy.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law

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Tre esperimenti classici rendono visibile la legge di Lenz e, insieme, introducono le correnti indotte in masse conduttrici.

(a) Magnete che cade in un tubo di rame

Un magnete cilindrico lasciato cadere in un tubo di rame non ferromagnetico (rame puro!) impiega molti secondi a uscire, contro la frazione di secondo prevista dalla caduta libera. Mentre scende, il flusso attraverso ogni sezione del tubo cambia: nel tratto sotto il magnete $\Phi_B$ sta crescendo, sopra sta diminuendo. Nel rame si chiudono anelli di corrente indotta che producono campi magnetici sempre diretti in modo da opporsi al moto del magnete.

Il magnete che scende induce anelli di corrente nel rame (sotto e sopra di sé), che generano una forza $\vv{F}_\text{Lenz}$ diretta verso l’alto, opposta alla velocità.

Il magnete raggiunge in pochi centimetri una velocità limite per cui il peso $mg$ è bilanciato dalla forza di frenamento di Lenz, esattamente come una pallina in un fluido viscoso. La forza dipende linearmente dalla velocità (per piccole velocità), quindi $mg = b\,v_\text{lim}$ e la velocità limite è

$v_\text{lim} = \frac{mg}{b}$

dove $b$ raccoglie tutta la geometria (conducibilità, raggi, magnetizzazione).

(b) Pendolo di Waltenhofen

Un pendolo formato da un disco di rame oscilla fra le espansioni polari di un grande elettromagnete. Senza corrente nell’elettromagnete il pendolo oscilla a lungo. Appena accendiamo $B$, il pendolo si ferma in una-due oscillazioni: il rame, attraversando il campo, vede $\Phi_B$ variare e in esso scorrono correnti parassite che si oppongono al moto.

Se ora prendiamo un disco identico ma tagliato con fessure radiali, le correnti non possono più chiudersi in cerchio: il frenamento sparisce quasi del tutto e il pendolo oscilla quasi indisturbato. È la prova diretta che a frenare non è il rame in quanto materiale, ma la possibilità di chiudere un anello di corrente dentro di esso.

(c) Il sasso che si comporta da gatto

Lasciamo cadere un piccolo magnete al neodimio su una piastra di alluminio spessa, da circa $30$ cm di altezza. Atterra in fretta ma senza rimbalzare e quasi senza rumore. Ripetiamolo su un blocco di legno identico: rimbalzo netto. Nei primi istanti d’urto il magnete deve spostare il flusso dentro l’alluminio, e Lenz si oppone: una sorta di “ammortizzatore magnetico” senza parti in movimento.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz · Correnti di Foucault

Esercizi collegati: Problema — La calamita nel tubo di rame · Esercizio svolto — magnete in tubo, velocità limite · Magnete che cade nel tubo di rame

Three classic experiments make Lenz’s law visible and, at the same time, introduce induced currents in extended conducting masses.

(a) A magnet falling through a copper tube

A cylindrical magnet dropped through a non-ferromagnetic copper tube (pure copper!) takes many seconds to come out, against the fraction of a second predicted by free fall. As it descends, the flux through every cross-section of the tube changes: in the section below the magnet $\Phi_B$ is increasing, above it is decreasing. In the copper, induced current loops close up, producing magnetic fields that are always directed so as to oppose the magnet’s motion.

The descending magnet induces current loops in the copper (below and above itself), which generate a force $\vv{F}_\text{Lenz}$ directed upward, opposite to the velocity.

Within a few centimetres the magnet reaches a terminal velocity at which the weight $mg$ is balanced by the Lenz braking force, exactly as for a small ball in a viscous fluid. The force depends linearly on velocity (for small velocities), so $mg = b\,v_\text{lim}$ and the terminal velocity is

$v_\text{lim} = \frac{mg}{b}$

where $b$ gathers together all the geometry (conductivity, radii, magnetisation).

(b) Waltenhofen’s pendulum

A pendulum made of a copper disc swings between the pole pieces of a large electromagnet. With no current in the electromagnet the pendulum swings for a long time. As soon as we switch on $B$, the pendulum stops after one or two swings: the copper, sweeping through the field, sees $\Phi_B$ vary, and eddy currents flow within it that oppose the motion.

If we now take an identical disc but cut with radial slots, the currents can no longer close in a loop: the braking almost entirely disappears and the pendulum swings almost undisturbed. This is direct proof that what brakes it is not the copper as a material, but the possibility of closing a current loop inside it.

(c) The rock that behaves like a cat

We drop a small neodymium magnet onto a thick aluminium plate, from a height of about $30$ cm. It lands quickly but without bouncing and almost silently. Repeat it on an identical wooden block: a clean bounce. In the first instants of impact the magnet must displace the flux inside the aluminium, and Lenz opposes it: a sort of “magnetic shock absorber” with no moving parts.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law · Eddy currents

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Due casi rapidi allenano l’occhio a trovare il verso della corrente indotta con la sola legge di Lenz, senza calcoli.

1. Spira fissa, magnete che si avvicina con polo N in basso

$\Phi_B$ attraverso la spira cresce verso il basso. Per opporsi, la corrente indotta deve generare un campo $B$ verso l’alto dentro la spira: vista dall’alto, la corrente scorre antioraria. Risultato: la spira “vede” il magnete come un altro magnete con polo N verso l’alto, e i due si respingono.

2. Magnete in allontanamento

Stessa geometria, ma ora $\Phi_B$ verso il basso diminuisce. La corrente indotta cambia verso (oraria vista dall’alto); il campo da essa generato dentro la spira ha lo stesso verso del flusso che sta sparendo: cerca di trattenerlo. La spira ora attrae il magnete.

La morale è semplice e vale sempre: che il magnete si avvicini o si allontani, Lenz lo ostacola. La spira reagisce con una forza che rende più difficile il moto relativo, mai più facile.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz Competenze: Regola della mano destra

Esercizi collegati: Esercizio svolto — spira che entra ed esce da un campo · Problema — La calamita nel tubo di rame · Problema — Spira che entra in un campo (qualitativo)

Two quick cases train the eye to find the direction of the induced current using Lenz’s law alone, without calculations.

1. Fixed loop, magnet approaching with N pole downward

$\Phi_B$ through the loop increases downward. To oppose it, the induced current must generate a $B$ field pointing upward inside the loop: seen from above, the current flows anticlockwise. Result: the loop “sees” the magnet as another magnet with N pole pointing upward, and the two repel each other.

2. Magnet moving away

Same geometry, but now the downward $\Phi_B$ decreases. The induced current reverses direction (clockwise seen from above); the field it generates inside the loop has the same direction as the vanishing flux: it tries to retain it. The loop now attracts the magnet.

The moral is simple and always holds: whether the magnet approaches or moves away, Lenz hinders it. The loop reacts with a force that makes the relative motion harder, never easier.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law Skills: Right-hand rule

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