Esercizi — Induzione elettromagnetica

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi e gli esempi guidati nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esercizi ed esempi svolti nel testo

• Esercizio svolto — spira che entra ed esce da un campo
• Esercizio svolto — magnete in tubo, velocità limite
• Esercizio svolto — disco di Waltenhofen
• Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore
• Esercizio svolto — circuito LC, trovare la frequenza propria

Problemi di fine capitolo

• Flusso attraverso una spira rettangolare
• Vero o falso sull’induzione (1)
• FEM da campo B lineare nel tempo
• Induttanza di un solenoide (400 spire)
• Frequenza propria di un circuito LC
• Reattanze di un RLC al variare di omega
• Impedenza e sfasamento di un RLC serie
• Diagramma dei fasori (XL maggiore di XC)
• Condensatore di un ricevitore radio AM
• Energia nel campo di un solenoide
• La calamita nel tubo di rame
• Ranking FEM di quattro spire quadrate
• Spira che entra in un campo (qualitativo)
• Ranking corrente efficace RLC
• FEM indotta nel tempo (grafico)
• Sbarretta su rotaie (FEM e forza)
• Grafici dell’autoinduzione
• Transitorio RL (tau = L su R)
• Fasori e grafici nei due casi
• FEM da flusso B = 10t
• FEM su sbarretta in moto (v = 5 m su s)
• FEM autoindotta in un solenoide
• Magnete che cade nel tubo di rame
• Ranking FEM da flussi variabili
• Vero o falso sull’induzione (2)
• Stima FEM nella spira della mano
• Bilancia elettronica a sensore induttivo
• Il filo immobile sotto il magnete
• Anelli concentrici a flusso variabile
• Il voltmetro che mente
• Tubo di rame e tubo di plastica
• Ranking rapidità di variazione del flusso
• Spire e calamita (forza frenante)
• FEM su sbarretta in rotaie (v = 6 m su s)
• Solenoide a corrente a rampa
• Transitorio RL (tau = 0,050 s)
• Risonanza RLC serie e fattore di merito
• Trasformatore ideale
• Dato i(t), trova L
• Dato il picco di FEM, trova omega (alternatore)
• Lettura grafico esponenziale RL
• Senza legge di Lenz
• Costante magnetica mu0 raddoppiata
• Piano induttivo continuo
• Dinamo a bicicletta
• Induttore e condensatore (LC)
• Trasformatori in corrente continua
• Il forno a induzione
• La chitarra elettrica
• E(t) per spira in moto
• Corrente RL in chiusura e apertura
• Campo terrestre e finestra del treno
• L’antenna AM in casa
• Pendolo magnetico smorzato

All the exercises of the chapter, worked step by step, in order of appearance in the chapter: first the worked exercises and examples in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, Fermi estimates).

Worked exercises and examples in the text

• Worked exercise — loop entering and leaving a field
• Worked exercise — magnet in a tube, terminal velocity
• Worked exercise — Waltenhofen’s disc
• Worked exercise — driven RLC, finding the generator’s emf
• Worked exercise — LC circuit, finding the natural frequency

End-of-chapter problems

• Flux through a rectangular loop
• True or false on induction (1)
• Emf from a field B linear in time
• Inductance of a solenoid (400 turns)
• Natural frequency of an LC circuit
• Reactances of an RLC circuit as omega varies
• Impedance and phase shift of a series RLC
• Phasor diagram (XL greater than XC)
• Capacitor of an AM radio receiver
• Energy in the field of a solenoid
• The magnet in the copper tube
• Ranking the emf of four square loops
• Loop entering a field (qualitative)
• Ranking the rms current of an RLC circuit
• Induced emf over time (graph)
• Rod on rails (emf and force)
• Graphs of self-induction
• RL transient (tau = L over R)
• Phasors and graphs in the two cases
• Emf from flux B = 10t
• Emf on a moving rod (v = 5 m/s)
• Self-induced emf in a solenoid
• Magnet falling in the copper tube
• Ranking the emf from varying fluxes
• True or false on induction (2)
• Estimate of the emf in a hand-sized loop
• Electronic scale with an inductive sensor
• The stationary wire under the magnet
• Concentric rings with varying flux
• The voltmeter that lies
• Copper tube and plastic tube
• Ranking the rate of change of flux
• Loops and magnet (braking force)
• Emf on a rod on rails (v = 6 m/s)
• Solenoid with a ramping current
• RL transient (tau = 0.050 s)
• Series RLC resonance and quality factor
• Ideal transformer
• Given i(t), find L
• Given the peak emf, find omega (alternator)
• Reading an RL exponential graph
• Without Lenz’s law
• Magnetic constant mu0 doubled
• Continuous induction plane
• Bicycle dynamo
• Inductor and capacitor (LC)
• Transformers in direct current
• The induction hob
• The electric guitar
• E(t) for a loop in motion
• RL current at switch-on and switch-off
• Earth’s field and the train window
• The AM antenna at home
• Damped magnetic pendulum

Testo

Una spira rettangolare di lati $a=3\ \text{m}$ e $b=2\ \text{m}$, con resistenza $R=3\ \Omega$, si muove con velocità costante $v=2\ \text{m/s}$ verso destra. A $t=0$ la spira si trova a $2\ \text{m}$ dal bordo sinistro di una regione larga $6\ \text{m}$ in cui è presente un campo uniforme $B=5\ \text{T}$ uscente dalla pagina. Studia il flusso magnetico, la corrente indotta e la forza sulla spira in funzione del tempo.

Spira che si avvicina alla regione di campo, muovendosi verso destra con velocità $\vv{v}$.

Soluzione

Il lato utile per il flusso è $b=2\ \text{m}$ (altezza della spira). Il bordo destro della spira parte a $2\ \text{m}$ dalla regione di campo, il bordo sinistro a $2+3=5\ \text{m}$. La regione è larga $6\ \text{m}$. Analizziamo cinque fasi.

Fase 1 — $0\le t<1\ \text{s}$ (spira fuori): nessuna parte è immersa nel campo. $\Phi_B=0,\qquad \text{fem}=0,\qquad i=0$

Fase 2 — $1\le t<2{,}5\ \text{s}$ (la spira entra): la porzione immersa ha larghezza $v(t-1)$, quindi il flusso cresce linearmente. $\Phi_B=B\,b\,v\,(t-1),\qquad \text{fem}=-\ddt{\Phi_B}=-B\,b\,v=-5\cdot 2\cdot 2=-20\ \text{V}$ $i=\frac{\abs{\text{fem}}}{R}=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}$

Fase 3 — $2{,}5\le t<3\ \text{s}$ (spira interamente dentro): il flusso è costante e massimo. $\Phi_B=B\,b\,a=5\cdot 2\cdot 3=30\ \text{Wb},\qquad \text{fem}=0,\qquad i=0$

Fase 4 — $3\le t<4{,}5\ \text{s}$ (la spira esce): il flusso decresce linearmente, la fem cambia segno e la corrente scorre in verso opposto. $\text{fem}=+B\,b\,v=+20\ \text{V},\qquad i=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}\ \text{(verso opposto)}$

Fase 5 — $t\ge 4{,}5\ \text{s}$ (spira fuori): $\Phi_B=0,\qquad i=0$

Forza (attrito magnetico). Durante ingresso e uscita, sul lato immerso percorso da corrente agisce la forza di Laplace: $\abs{F}=i\,b\,B=\frac{20}{3}\cdot 2\cdot 5\approx 66{,}7\ \text{N}$ Per la legge di Lenz questa forza si oppone sempre al moto della spira: agisce come un “attrito magnetico” che frena il moto relativo. Il lavoro che occorre fare contro di essa viene dissipato in $R$ per effetto Joule ($P=Ri^2$). L’attrito magnetico esiste solo finché il flusso cambia: quando la spira è ferma o interamente dentro/fuori, esso scompare.

$\ev{\abs{\text{fem}}=B\,b\,v=20\ \text{V},\quad i=\tfrac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A},\quad \abs{F}=i\,b\,B\approx 66{,}7\ \text{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Legge di Lenz · Forza di Laplace · Effetto Joule Competenze: Bilancio di flusso

Problem

A rectangular loop with sides $a=3\ \text{m}$ and $b=2\ \text{m}$, and resistance $R=3\ \Omega$, moves at constant velocity $v=2\ \text{m/s}$ to the right. At $t=0$ the loop is $2\ \text{m}$ from the left edge of a region $6\ \text{m}$ wide, in which there is a uniform field $B=5\ \text{T}$ pointing out of the page. Study the magnetic flux, the induced current, and the force on the loop as functions of time.

Loop approaching the field region, moving to the right with velocity $\vv{v}$.

Solution

The useful side for the flux is $b=2\ \text{m}$ (height of the loop). The right edge of the loop starts $2\ \text{m}$ from the field region, the left edge at $2+3=5\ \text{m}$. The region is $6\ \text{m}$ wide. Let’s analyse five phases.

Phase 1 — $0\le t<1\ \text{s}$ (loop outside): no part is immersed in the field. $\Phi_B=0,\qquad \text{emf}=0,\qquad i=0$

Phase 2 — $1\le t<2{,}5\ \text{s}$ (the loop enters): the immersed portion has width $v(t-1)$, so the flux grows linearly. $\Phi_B=B\,b\,v\,(t-1),\qquad \text{emf}=-\ddt{\Phi_B}=-B\,b\,v=-5\cdot 2\cdot 2=-20\ \text{V}$ $i=\frac{\abs{\text{emf}}}{R}=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}$

Phase 3 — $2{,}5\le t<3\ \text{s}$ (loop fully inside): the flux is constant and maximum. $\Phi_B=B\,b\,a=5\cdot 2\cdot 3=30\ \text{Wb},\qquad \text{emf}=0,\qquad i=0$

Phase 4 — $3\le t<4{,}5\ \text{s}$ (the loop exits): the flux decreases linearly, the emf changes sign and the current flows in the opposite direction. $\text{emf}=+B\,b\,v=+20\ \text{V},\qquad i=\frac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A}\ \text{(opposite direction)}$

Phase 5 — $t\ge 4{,}5\ \text{s}$ (loop outside): $\Phi_B=0,\qquad i=0$

Force (magnetic friction). During entry and exit, the Laplace force acts on the current-carrying immersed side: $\abs{F}=i\,b\,B=\frac{20}{3}\cdot 2\cdot 5\approx 66{,}7\ \text{N}$ By Lenz’s law this force always opposes the loop’s motion: it acts as a “magnetic friction” that slows the relative motion. The work needed to overcome it is dissipated in $R$ by the Joule effect ($P=Ri^2$). The magnetic friction exists only as long as the flux changes: when the loop is stationary or fully inside/outside, it disappears.

$\ev{\abs{\text{emf}}=B\,b\,v=20\ \text{V},\quad i=\tfrac{20}{3}\approx 6{,}7\ \text{A},\quad \abs{F}=i\,b\,B\approx 66{,}7\ \text{N}}$

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Faraday-Neumann-Lenz law · Lenz’s law · Laplace force · Joule effect Skills: Flux balance

Testo

Un magnete cilindrico di massa $m=25\ \text{g}$ cade dentro un tubo di rame verticale lungo $L=1{,}2\ \text{m}$. Il tempo di percorrenza è $\tau=3{,}2\ \text{s}$. (a) Stima la velocità media e la velocità limite (il regime stazionario si stabilisce dopo pochi centimetri). (b) Stima la potenza dissipata nel rame. (c) Confronta con il tempo di caduta libera dalla stessa altezza.

Soluzione

(a) Velocità media e velocità limite. $v_{\text{media}}=\frac{L}{\tau}=\frac{1{,}2}{3{,}2}\approx 0{,}375\ \text{m/s}$ Poiché il regime stazionario si stabilisce quasi subito, per quasi tutta la caduta il magnete viaggia a velocità limite, quindi $\ev{v_{\text{lim}}\approx v_{\text{media}}\approx 0{,}38\ \text{m/s}\approx 38\ \text{cm/s}}$

(b) Potenza dissipata. A regime la velocità è costante: tutto il lavoro del peso si trasforma in calore (correnti di Foucault nel rame). $P=m\,g\,v_{\text{lim}}=0{,}025\cdot 9{,}8\cdot 0{,}38\approx 9{,}3\cdot 10^{-2}\ \text{W}\approx 93\ \text{mW}$ $\ev{P\approx 93\ \text{mW}}$

(c) Confronto con la caduta libera. $L=\tfrac{1}{2}g\,t^2\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{2L}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}2}{9{,}8}}\approx 0{,}49\ \text{s}$ $\ev{t_{\text{libera}}\approx 0{,}49\ \text{s}}$ In caduta libera il magnete arriverebbe circa sei volte più veloce. Le correnti indotte (legge di Lenz) frenano il magnete: quasi tutta l’energia cinetica che avrebbe in caduta libera (~99%) viene invece dissipata come calore nel tubo.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Lenz · Correnti di Foucault · Effetto Joule

Problem

A cylindrical magnet of mass $m=25\ \text{g}$ falls inside a vertical copper tube $L=1{,}2\ \text{m}$ long. The transit time is $\tau=3{,}2\ \text{s}$. (a) Estimate the average velocity and the terminal velocity (the steady state is established after a few centimetres). (b) Estimate the power dissipated in the copper. (c) Compare with the time of free fall from the same height.

Solution

(a) Average velocity and terminal velocity. $v_{\text{avg}}=\frac{L}{\tau}=\frac{1{,}2}{3{,}2}\approx 0{,}375\ \text{m/s}$ Since the steady state is established almost immediately, for nearly the whole fall the magnet travels at terminal velocity, so $\ev{v_{\text{lim}}\approx v_{\text{avg}}\approx 0{,}38\ \text{m/s}\approx 38\ \text{cm/s}}$

(b) Power dissipated. At steady state the velocity is constant: all the work of gravity is converted into heat (Foucault currents in the copper). $P=m\,g\,v_{\text{lim}}=0{,}025\cdot 9{,}8\cdot 0{,}38\approx 9{,}3\cdot 10^{-2}\ \text{W}\approx 93\ \text{mW}$ $\ev{P\approx 93\ \text{mW}}$

(c) Comparison with free fall. $L=\tfrac{1}{2}g\,t^2\ \Rightarrow\ t=\sqrt{\frac{2L}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1{,}2}{9{,}8}}\approx 0{,}49\ \text{s}$ $\ev{t_{\text{free}}\approx 0{,}49\ \text{s}}$ In free fall the magnet would arrive about six times faster. The induced currents (Lenz’s law) brake the magnet: almost all the kinetic energy it would have in free fall (~99%) is instead dissipated as heat in the tube.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Lenz’s law · Foucault currents · Joule effect

Testo

Un disco di rame di raggio $r=5\ \text{cm}$ e spessore $s=2\ \text{mm}$ oscilla in un campo uniforme $B=0{,}5\ \text{T}$, con velocità tipica $v=0{,}5\ \text{m/s}$. Stima in modo approssimativo la potenza dissipata per correnti di Foucault. Resistività del rame $\rho\approx 1{,}7\cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$.

Soluzione

fem tipica in un anello di raggio $r$ che si muove nel campo: $\text{fem}\sim B\,r\,v=0{,}5\cdot 0{,}05\cdot 0{,}5=1{,}25\cdot 10^{-2}\ \text{V}$

Resistenza dell’anello (sezione $\sim s\cdot r$, lunghezza $\sim 2\pi r$): $R\sim \rho\,\frac{2\pi r}{s\,r}=\frac{2\pi\rho}{s}=\frac{2\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-8}}{2\cdot 10^{-3}}\approx 5{,}3\cdot 10^{-5}\ \Omega$

Potenza dissipata: $P\sim \frac{\text{fem}^2}{R}=\frac{(1{,}25\cdot 10^{-2})^2}{5{,}3\cdot 10^{-5}}\approx 2{,}9\ \text{W}$ $\ev{P\sim 2{,}9\ \text{W}}$

Una potenza di questo ordine è sufficiente a frenare il disco in pochi cicli (le correnti di Foucault, per la legge di Lenz, si oppongono al moto). Se si praticano fessure radiali nel disco, gli anelli di corrente non possono più chiudersi: la resistenza $R$ sale di parecchi ordini di grandezza e la dissipazione crolla, così il disco oscilla quasi liberamente.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Correnti di Foucault · Legge di Lenz · Effetto Joule

Problem

A copper disc of radius $r=5\ \text{cm}$ and thickness $s=2\ \text{mm}$ oscillates in a uniform field $B=0{,}5\ \text{T}$, with typical speed $v=0{,}5\ \text{m/s}$. Roughly estimate the power dissipated by eddy currents. Resistivity of copper $\rho\approx 1{,}7\cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$.

Solution

Typical EMF in a ring of radius $r$ moving in the field: $\text{EMF}\sim B\,r\,v=0{,}5\cdot 0{,}05\cdot 0{,}5=1{,}25\cdot 10^{-2}\ \text{V}$

Resistance of the ring (cross-section $\sim s\cdot r$, length $\sim 2\pi r$): $R\sim \rho\,\frac{2\pi r}{s\,r}=\frac{2\pi\rho}{s}=\frac{2\pi\cdot 1{,}7\cdot 10^{-8}}{2\cdot 10^{-3}}\approx 5{,}3\cdot 10^{-5}\ \Omega$

Power dissipated: $P\sim \frac{\text{EMF}^2}{R}=\frac{(1{,}25\cdot 10^{-2})^2}{5{,}3\cdot 10^{-5}}\approx 2{,}9\ \text{W}$ $\ev{P\sim 2{,}9\ \text{W}}$

A power of this order is enough to brake the disc within a few cycles (eddy currents, by Lenz’s law, oppose the motion). If radial slits are cut into the disc, the current loops can no longer close: the resistance $R$ rises by several orders of magnitude and the dissipation collapses, so the disc oscillates almost freely.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Eddy currents · Lenz’s law · Joule effect

Testo

In un circuito serie con $R=3\ \Omega$, $C=2\ \text{F}$, $L=4\ \text{H}$, la carica sul condensatore vale $Q(t)=3\sin(2t)$. Trova la tensione del generatore $\Delta V_{\text{gen}}(t)$ e verifica il bilancio energetico.

Soluzione

Derivate della carica. $\dot Q=6\cos(2t),\qquad \ddot Q=-12\sin(2t)$

Legge di Kirchhoff (maglia serie). Con $i=-\dot Q$, sommando le cadute su $L$, $R$, $C$: $\Delta V_{\text{gen}}=-L\,\ddot Q-R\,\dot Q-\frac{Q}{C}=-4(-12\sin 2t)-3\cdot 6\cos 2t-\frac{3\sin 2t}{2}$ $\Delta V_{\text{gen}}(t)=48\sin 2t-18\cos 2t-\tfrac{3}{2}\sin 2t=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)$ $\ev{\Delta V_{\text{gen}}(t)=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)}$

Bilancio energetico. La corrente è $i=-\dot Q=-6\cos(2t)$. Energia immagazzinata: $E(t)=\frac{Q^2}{2C}+\frac{L\,i^2}{2}=\frac{9\sin^2 2t}{4}+\frac{4\cdot 36\cos^2 2t}{2}=\tfrac{9}{4}\sin^2 2t+72\cos^2 2t$ $\ddt{E}=\tfrac{9}{4}\cdot 4\sin 2t\cos 2t-72\cdot 4\sin 2t\cos 2t=(9-288)\sin 2t\cos 2t=-279\sin 2t\cos 2t$

Potenza erogata dal generatore e dissipata da $R$: $P_{\text{gen}}=\Delta V_{\text{gen}}\cdot i=\left(-18\cos 2t+\tfrac{93}{2}\sin 2t\right)(-6\cos 2t)=108\cos^2 2t-279\sin 2t\cos 2t$ $P_R=R\,i^2=3\cdot 36\cos^2 2t=108\cos^2 2t$ $P_{\text{gen}}-P_R=-279\sin 2t\cos 2t=\ddt{E}\quad\checkmark$ Il bilancio è verificato: la potenza netta fornita meno quella dissipata in $R$ eguaglia la variazione dell’energia immagazzinata in $L$ e $C$.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Oscillazioni LC e RLC · Effetto Joule

Problem

In a series circuit with $R=3\ \Omega$, $C=2\ \text{F}$, $L=4\ \text{H}$, the charge on the capacitor is $Q(t)=3\sin(2t)$. Find the generator voltage $\Delta V_{\text{gen}}(t)$ and check the energy balance.

Solution

Derivatives of the charge. $\dot Q=6\cos(2t),\qquad \ddot Q=-12\sin(2t)$

Kirchhoff’s law (series loop). With $i=-\dot Q$, summing the drops across $L$, $R$, $C$: $\Delta V_{\text{gen}}=-L\,\ddot Q-R\,\dot Q-\frac{Q}{C}=-4(-12\sin 2t)-3\cdot 6\cos 2t-\frac{3\sin 2t}{2}$ $\Delta V_{\text{gen}}(t)=48\sin 2t-18\cos 2t-\tfrac{3}{2}\sin 2t=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)$ $\ev{\Delta V_{\text{gen}}(t)=-18\cos(2t)+\tfrac{93}{2}\sin(2t)}$

Energy balance. The current is $i=-\dot Q=-6\cos(2t)$. Stored energy: $E(t)=\frac{Q^2}{2C}+\frac{L\,i^2}{2}=\frac{9\sin^2 2t}{4}+\frac{4\cdot 36\cos^2 2t}{2}=\tfrac{9}{4}\sin^2 2t+72\cos^2 2t$ $\ddt{E}=\tfrac{9}{4}\cdot 4\sin 2t\cos 2t-72\cdot 4\sin 2t\cos 2t=(9-288)\sin 2t\cos 2t=-279\sin 2t\cos 2t$

Power delivered by the generator and dissipated by $R$: $P_{\text{gen}}=\Delta V_{\text{gen}}\cdot i=\left(-18\cos 2t+\tfrac{93}{2}\sin 2t\right)(-6\cos 2t)=108\cos^2 2t-279\sin 2t\cos 2t$ $P_R=R\,i^2=3\cdot 36\cos^2 2t=108\cos^2 2t$ $P_{\text{gen}}-P_R=-279\sin 2t\cos 2t=\ddt{E}\quad\checkmark$ The balance checks out: the net power supplied minus that dissipated in $R$ equals the rate of change of the energy stored in $L$ and $C$.

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Corrente alternata · Oscillazioni LC e RLC · Effetto Joule

Testo

Un circuito $LC$ (senza resistenza) ha carica $Q(t)=2\cos(\omega t)$. Trova il valore di $\omega$ affinché l’equazione di Kirchhoff sia soddisfatta.

Soluzione

Corrente e sua derivata. Con $i=-\dot Q$: $i=-\dot Q=2\omega\sin(\omega t),\qquad \dot i=2\omega^2\cos(\omega t)$

Equazione di Kirchhoff senza $R$ e senza generatore (caduta su $L$ più caduta su $C$): $-L\,\dot i-\frac{Q}{C}=0\ \Rightarrow\ -L\cdot 2\omega^2\cos(\omega t)-\frac{2\cos(\omega t)}{C}=0$

Raccogliendo $2\cos(\omega t)\neq 0$: $L\,\omega^2=\frac{1}{C}\ \Rightarrow\ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ $\ev{\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

La frequenza propria dipende solo da $L$ e $C$: non dipende né dall’ampiezza dell’oscillazione né dalle condizioni iniziali (moto armonico semplice della carica).

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice · Risonanza

Problem

An $LC$ circuit (no resistance) has charge $Q(t)=2\cos(\omega t)$. Find the value of $\omega$ such that Kirchhoff’s equation is satisfied.

Solution

Current and its derivative. With $i=-\dot Q$: $i=-\dot Q=2\omega\sin(\omega t),\qquad \dot i=2\omega^2\cos(\omega t)$

Kirchhoff’s equation with no $R$ and no generator (drop across $L$ plus drop across $C$): $-L\,\dot i-\frac{Q}{C}=0\ \Rightarrow\ -L\cdot 2\omega^2\cos(\omega t)-\frac{2\cos(\omega t)}{C}=0$

Collecting $2\cos(\omega t)\neq 0$: $L\,\omega^2=\frac{1}{C}\ \Rightarrow\ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ $\ev{\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

The natural frequency depends only on $L$ and $C$: it does not depend on the amplitude of the oscillation nor on the initial conditions (simple harmonic motion of the charge).

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice · Risonanza

Testo

Una spira rettangolare di lati $a=20\ \text{cm}$ e $b=10\ \text{cm}$ è immersa in un campo uniforme $B=2{,}0\ \text{T}$ perpendicolare al suo piano. Calcola il flusso magnetico attraverso la spira.

Soluzione

Area della spira: $A=a\,b=0{,}20\cdot 0{,}10=0{,}02\ \text{m}^2$

Il campo è perpendicolare al piano, quindi $\theta=0$ e $\cos\theta=1$: $\Phi_B=B\,A\cos\theta=2{,}0\cdot 0{,}02\cdot 1=0{,}04\ \text{Wb}$ $\ev{\Phi_B=0{,}04\ \text{Wb}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Flusso magnetico Competenze: Bilancio di flusso

Problem

A rectangular loop with sides $a=20\ \text{cm}$ and $b=10\ \text{cm}$ is immersed in a uniform field $B=2{,}0\ \text{T}$ perpendicular to its plane. Calculate the magnetic flux through the loop.

Solution

Area of the loop: $A=a\,b=0{,}20\cdot 0{,}10=0{,}02\ \text{m}^2$

The field is perpendicular to the plane, so $\theta=0$ and $\cos\theta=1$: $\Phi_B=B\,A\cos\theta=2{,}0\cdot 0{,}02\cdot 1=0{,}04\ \text{Wb}$ $\ev{\Phi_B=0{,}04\ \text{Wb}}$

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Flusso magnetico Skills: Bilancio di flusso

Testo

Indica se ciascuna affermazione è vera (V) o falsa (F): (a) la fem indotta in una spira dipende dalla variazione del flusso, non dal suo valore istantaneo; (b) la legge di Lenz afferma che la corrente indotta ha lo stesso verso della variazione di flusso; (c) l’induttanza $L$ di un solenoide dipende solo dalla geometria; (d) in un circuito $LC$ ideale l’energia si dissipa in un tempo caratteristico $\tau=L/R$.

Soluzione

(a) V. La legge di Faraday-Neumann-Lenz dà $\text{fem}=-\ddt{\Phi}$: conta la variazione del flusso, non il suo valore istantaneo.

(b) F. La legge di Lenz afferma che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso che la genera (verso opposto, segno meno nella formula).

(c) V. Per un solenoide $L=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$: dipende solo da numero di spire, area e lunghezza, cioè dalla geometria (e dal materiale del nucleo).

(d) F. Un circuito $LC$ ideale non ha resistenza: non c’è dissipazione, l’energia oscilla indefinitamente tra $L$ e $C$. Il tempo $\tau=L/R$ è la costante di tempo di un circuito $RL$.

$\ev{\text{(a) V}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) V}\quad\text{(d) F}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Legge di Lenz · Induttanza e autoinduzione · Oscillazioni LC e RLC

Problem

State whether each statement is true (T) or false (F): (a) the emf induced in a loop depends on the change in flux, not on its instantaneous value; (b) Lenz’s law states that the induced current has the same direction as the change in flux; (c) the inductance $L$ of a solenoid depends only on its geometry; (d) in an ideal $LC$ circuit, energy dissipates over a characteristic time $\tau=L/R$.

Solution

(a) T. The Faraday-Neumann-Lenz law gives $\text{emf}=-\ddt{\Phi}$: what counts is the change in flux, not its instantaneous value.

(b) F. Lenz’s law states that the induced current opposes the change in flux that generates it (opposite direction, minus sign in the formula).

(c) T. For a solenoid $L=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$: it depends only on the number of turns, the area and the length, i.e. on the geometry (and on the core material).

(d) F. An ideal $LC$ circuit has no resistance: there is no dissipation, the energy oscillates indefinitely between $L$ and $C$. The time $\tau=L/R$ is the time constant of an $RL$ circuit.

$\ev{\text{(a) T}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) T}\quad\text{(d) F}}$

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Legge di Lenz · Induttanza e autoinduzione · Oscillazioni LC e RLC

Testo

Una spira di area $S=0{,}02\ \text{m}^2$ è immersa in un campo perpendicolare al suo piano che varia nel tempo come $B(t)=4t$ tesla (con $t$ in secondi). Calcola il modulo della fem indotta.

Soluzione

Flusso in funzione del tempo: $\Phi_B=B(t)\,S=4t\cdot 0{,}02=0{,}08\,t\ \ (\text{Wb})$

fem indotta (legge di Faraday-Neumann-Lenz): $\abs{\text{fem}}=\abs{\ddt{\Phi_B}}=0{,}08\ \text{V}=8\cdot 10^{-2}\ \text{V}$ $\ev{\abs{\text{fem}}=8\cdot 10^{-2}\ \text{V}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Flusso magnetico Competenze: Bilancio di flusso

Problem

A loop of area $S=0{,}02\ \text{m}^2$ is immersed in a field perpendicular to its plane that varies in time as $B(t)=4t$ tesla (with $t$ in seconds). Calculate the magnitude of the induced emf.

Solution

Flux as a function of time: $\Phi_B=B(t)\,S=4t\cdot 0{,}02=0{,}08\,t\ \ (\text{Wb})$

Induced emf (Faraday-Neumann-Lenz law): $\abs{\text{emf}}=\abs{\ddt{\Phi_B}}=0{,}08\ \text{V}=8\cdot 10^{-2}\ \text{V}$ $\ev{\abs{\text{emf}}=8\cdot 10^{-2}\ \text{V}}$

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Flusso magnetico Skills: Bilancio di flusso

Testo

Un solenoide ha $N=400$ spire avvolte su un supporto cilindrico di area $A=10\ \text{cm}^2$ e lunghezza $\ell=40\ \text{cm}$ (nucleo d’aria). Calcola l’induttanza $L=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$.

Soluzione

Dati in unità SI: $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$, $A=10\ \text{cm}^2=1{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$, $\ell=0{,}40\ \text{m}$, $N^2=400^2=1{,}6\cdot 10^{5}$.

Calcolo: $L=\frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}=\frac{(4\pi\cdot 10^{-7})(1{,}6\cdot 10^{5})(1{,}0\cdot 10^{-3})}{0{,}40}$ $L=\frac{2{,}01\cdot 10^{-4}}{0{,}40}\approx 5{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{H}$ $\ev{L\approx 5{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{H}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione Oggetti: Solenoide

Problem

A solenoid has $N=400$ turns wound on a cylindrical former of area $A=10\ \text{cm}^2$ and length $\ell=40\ \text{cm}$ (air core). Calculate the inductance $L=\dfrac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$.

Solution

Data in SI units: $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$, $A=10\ \text{cm}^2=1{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$, $\ell=0{,}40\ \text{m}$, $N^2=400^2=1{,}6\cdot 10^{5}$.

Calculation: $L=\frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}=\frac{(4\pi\cdot 10^{-7})(1{,}6\cdot 10^{5})(1{,}0\cdot 10^{-3})}{0{,}40}$ $L=\frac{2{,}01\cdot 10^{-4}}{0{,}40}\approx 5{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{H}$ $\ev{L\approx 5{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{H}}$

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Topics: Induzione elettromagnetica Concepts: Induttanza e autoinduzione Objects: Solenoide

Testo

Un circuito $LC$ ideale ha $L=10\ \text{mH}$ e $C=1\ \mu\text{F}$. Calcola la frequenza propria $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

Soluzione

Prodotto $LC$: $LC=(10\cdot 10^{-3})(1\cdot 10^{-6})=10^{-8}\ \text{s}^2\ \Rightarrow\ \sqrt{LC}=10^{-4}\ \text{s}$

Frequenza propria: $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\cdot 10^{-4}}=\frac{1}{6{,}28\cdot 10^{-4}}\approx 1{,}6\cdot 10^{3}\ \text{Hz}$ $\ev{f_0\approx 1{,}6\cdot 10^{3}\ \text{Hz}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Risonanza

Problem

An ideal $LC$ circuit has $L=10\ \text{mH}$ and $C=1\ \mu\text{F}$. Calculate the natural frequency $f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.

Solution

Product $LC$: $LC=(10\cdot 10^{-3})(1\cdot 10^{-6})=10^{-8}\ \text{s}^2\ \Rightarrow\ \sqrt{LC}=10^{-4}\ \text{s}$

Natural frequency: $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\cdot 10^{-4}}=\frac{1}{6{,}28\cdot 10^{-4}}\approx 1{,}6\cdot 10^{3}\ \text{Hz}$ $\ev{f_0\approx 1{,}6\cdot 10^{3}\ \text{Hz}}$

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: LC and RLC oscillations · Resonance

Testo

In un circuito RLC serie alimentato a pulsazione $\omega$, spiega perché aumentando $\omega$ la reattanza induttiva $X_L$ cresce mentre quella capacitiva $X_C$ diminuisce. Qual è il comportamento del circuito nei limiti $\omega\to 0$ e $\omega\to\infty$?

Soluzione

Le due reattanze dipendono dalla pulsazione in modo opposto: $X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}$

Reattanza induttiva $X_L=\omega L$. Cresce linearmente con $\omega$. L’induttore si oppone alle variazioni di corrente: più rapide sono le oscillazioni (alta $\omega$), più intensa è la fem autoindotta che le contrasta. Alle alte frequenze l’induttore tende a bloccare la corrente.

Reattanza capacitiva $X_C=1/(\omega C)$. Decresce con $\omega$. Il condensatore si carica e scarica: a bassa frequenza fa in tempo a caricarsi completamente e blocca la corrente (in continua è un circuito aperto); ad alta frequenza si carica e scarica così in fretta da lasciar passare quasi liberamente la corrente.

Limite $\omega\to 0$ (continua): $X_C=\frac{1}{\omega C}\to\infty,\qquad X_L=\omega L\to 0$ Dominano $X_C$ e $R$: il condensatore si comporta come un circuito aperto e blocca la corrente. La corrente è limitata da $C$ (e da $R$).

Limite $\omega\to\infty$ (alte frequenze): $X_L=\omega L\to\infty,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}\to 0$ Domina $X_L$: l’induttore si comporta come un circuito aperto e blocca la corrente.

In mezzo, alla pulsazione di risonanza $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ si ha $X_L=X_C$: le due reattanze si compensano, l’impedenza si riduce alla sola $R$ e la corrente è massima.

$\ev{\omega\to 0:\ \text{blocca } C;\quad \omega\to\infty:\ \text{blocca } L;\quad \omega_0=1/\sqrt{LC}:\ X_L=X_C}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Risonanza

Problem

In a series RLC circuit driven at angular frequency $\omega$, explain why, as $\omega$ increases, the inductive reactance $X_L$ grows while the capacitive reactance $X_C$ decreases. What is the circuit’s behaviour in the limits $\omega\to 0$ and $\omega\to\infty$?

Solution

The two reactances depend on the angular frequency in opposite ways: $X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}$

Inductive reactance $X_L=\omega L$. Grows linearly with $\omega$. The inductor opposes changes in current: the faster the oscillations (high $\omega$), the stronger the self-induced emf that opposes them. At high frequencies the inductor tends to block the current.

Capacitive reactance $X_C=1/(\omega C)$. Decreases with $\omega$. The capacitor charges and discharges: at low frequency it has time to charge fully and blocks the current (in DC it is an open circuit); at high frequency it charges and discharges so quickly that it lets the current pass almost freely.

Limit $\omega\to 0$ (DC): $X_C=\frac{1}{\omega C}\to\infty,\qquad X_L=\omega L\to 0$ $X_C$ and $R$ dominate: the capacitor behaves as an open circuit and blocks the current. The current is limited by $C$ (and by $R$).

Limit $\omega\to\infty$ (high frequencies): $X_L=\omega L\to\infty,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}\to 0$ $X_L$ dominates: the inductor behaves as an open circuit and blocks the current.

In between, at the resonant angular frequency $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ we have $X_L=X_C$: the two reactances cancel, the impedance reduces to $R$ alone, and the current is maximum.

$\ev{\omega\to 0:\ \text{blocks } C;\quad \omega\to\infty:\ \text{blocks } L;\quad \omega_0=1/\sqrt{LC}:\ X_L=X_C}$

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Alternating current · Resonance

Testo

Un circuito RLC serie ha $R=50\ \Omega$, $L=0{,}5\ \text{H}$, $C=10\ \mu\text{F}$ ed è alimentato alla frequenza $f=50\ \text{Hz}$. Calcola l’impedenza $Z$ e lo sfasamento $\varphi$ tra tensione e corrente. La corrente è in anticipo o in ritardo sulla tensione?

Soluzione

Pulsazione. $\omega=2\pi f=2\pi\cdot 50\approx 314\ \text{rad/s}$

Reattanze. $X_L=\omega L=314\cdot 0{,}5\approx 157\ \Omega$ $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314\cdot 10\cdot 10^{-6}}=\frac{1}{3{,}14\cdot 10^{-3}}\approx 318\ \Omega$ $X_L-X_C\approx 157-318=-161\ \Omega$

Impedenza. $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=\sqrt{50^2+161^2}=\sqrt{2500+25921}=\sqrt{28421}\approx 169\ \Omega\approx 1{,}7\cdot 10^{2}\ \Omega$

Sfasamento. $\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}=\frac{-161}{50}\approx -3{,}22\quad\Longrightarrow\quad \varphi\approx -72^\circ$

Poiché $\varphi<0$ (cioè $X_C>X_L$) domina il carattere capacitivo: la corrente è in anticipo sulla tensione.

$\ev{Z\approx 1{,}7\cdot 10^{2}\ \Omega,\quad \varphi\approx -72^\circ\ \text{(corrente in anticipo)}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Legge di Ohm Competenze: Metodo dei fasori

Problem

A series RLC circuit has $R=50\ \Omega$, $L=0{,}5\ \text{H}$, $C=10\ \mu\text{F}$ and is driven at frequency $f=50\ \text{Hz}$. Calculate the impedance $Z$ and the phase shift $\varphi$ between voltage and current. Does the current lead or lag the voltage?

Solution

Angular frequency. $\omega=2\pi f=2\pi\cdot 50\approx 314\ \text{rad/s}$

Reactances. $X_L=\omega L=314\cdot 0{,}5\approx 157\ \Omega$ $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{314\cdot 10\cdot 10^{-6}}=\frac{1}{3{,}14\cdot 10^{-3}}\approx 318\ \Omega$ $X_L-X_C\approx 157-318=-161\ \Omega$

Impedance. $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=\sqrt{50^2+161^2}=\sqrt{2500+25921}=\sqrt{28421}\approx 169\ \Omega\approx 1{,}7\cdot 10^{2}\ \Omega$

Phase shift. $\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}=\frac{-161}{50}\approx -3{,}22\quad\Longrightarrow\quad \varphi\approx -72^\circ$

Since $\varphi<0$ (i.e. $X_C>X_L$) the capacitive character dominates: the current leads the voltage.

$\ev{Z\approx 1{,}7\cdot 10^{2}\ \Omega,\quad \varphi\approx -72^\circ\ \text{(current leading)}}$

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Alternating current · Ohm’s law Skills: Phasor method

Testo

Disegna il diagramma dei fasori per un circuito RLC serie con $X_L>X_C$. Indica i tre fasori $V_R$, $V_L$, $V_C$ prendendo come riferimento il fasore $I_0$ della corrente, e costruisci graficamente il fasore risultante $V_0$ con l’angolo di sfasamento $\varphi$.

Soluzione

In un ramo serie la corrente è la stessa in ogni elemento, quindi si sceglie il fasore $I_0$ come riferimento (lungo l’asse reale). Le tensioni si dispongono così:

• $V_R=R\,I_0$ è in fase con la corrente (lungo $+\text{Re}$);
• $V_L=X_L\,I_0$ è in anticipo di $90^\circ$ ($+\text{Im}$);
• $V_C=X_C\,I_0$ è in ritardo di $90^\circ$ ($-\text{Im}$).

Diagramma dei fasori con $X_L>X_C$: il risultante $V_0$ è ruotato di $\varphi>0$ rispetto a $I_0$.

I fasori $V_L$ e $V_C$ sono opposti: la loro somma vale $(X_L-X_C)I_0$ e, poiché $X_L>X_C$, punta verso $+\text{Im}$. Sommando vettorialmente $V_R$ con questa componente si ottiene il fasore risultante $V_0$, inclinato di un angolo $\varphi>0$ sopra l’asse reale: la tensione è in anticipo sulla corrente (equivalente: la corrente è in ritardo). $\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}>0$

Il modulo del risultante è $V_0=I_0\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=Z\,I_0$

$\ev{V_R\parallel I_0,\quad V_L\ \text{a }+90^\circ,\quad V_C\ \text{a }-90^\circ,\quad V_0=Z\,I_0\ \text{con }\varphi>0}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata Competenze: Metodo dei fasori

Problem

Draw the phasor diagram for a series RLC circuit with $X_L>X_C$. Indicate the three phasors $V_R$, $V_L$, $V_C$ taking the current phasor $I_0$ as reference, and construct graphically the resultant phasor $V_0$ with the phase shift angle $\varphi$.

Solution

In a series branch the current is the same in every element, so we choose the phasor $I_0$ as reference (along the real axis). The voltages are arranged as follows:

• $V_R=R\,I_0$ is in phase with the current (along $+\text{Re}$);
• $V_L=X_L\,I_0$ leads by $90^\circ$ ($+\text{Im}$);
• $V_C=X_C\,I_0$ lags by $90^\circ$ ($-\text{Im}$).

Phasor diagram with $X_L>X_C$: the resultant $V_0$ is rotated by $\varphi>0$ relative to $I_0$.

The phasors $V_L$ and $V_C$ are opposite: their sum equals $(X_L-X_C)I_0$ and, since $X_L>X_C$, points towards $+\text{Im}$. Adding $V_R$ vectorially to this component gives the resultant phasor $V_0$, tilted by an angle $\varphi>0$ above the real axis: the voltage leads the current (equivalently: the current lags). $\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}>0$

The modulus of the resultant is $V_0=I_0\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}=Z\,I_0$

$\ev{V_R\parallel I_0,\quad V_L\ \text{at }+90^\circ,\quad V_C\ \text{at }-90^\circ,\quad V_0=Z\,I_0\ \text{with }\varphi>0}$