Induttanza e autoinduzione

Un circuito percorso da corrente genera un campo magnetico e quindi un flusso attraverso se stesso. Se la corrente varia, varia il flusso e nasce una FEM che si oppone: è l’autoinduzione. L’induttanza misura questa reazione; il solenoide ne è l’esempio canonico e immagazzina energia nel campo magnetico.

• Autoinduzione e induttanza
• Tensione ai capi di un induttore
• Induttanza di un solenoide
• Energia immagazzinata in un induttore

A circuit carrying a current generates a magnetic field and hence a flux through itself. If the current varies, the flux varies and an opposing EMF arises: this is self-induction. Inductance measures this reaction; the solenoid is its canonical example, and it stores energy in the magnetic field.

• Self-induction and inductance
• Voltage across an inductor
• Inductance of a solenoid
• Energy stored in an inductor

Un circuito percorso da corrente genera esso stesso un campo magnetico, e quindi un flusso attraverso se stesso. Se la corrente varia, varia questo flusso e, per la legge di Faraday, nasce una FEM che si oppone alla variazione. È il fenomeno dell’autoinduzione.

Principio — Induttanza di un circuito

Per ogni circuito vale la relazione lineare tra flusso autoconcatenato e corrente: $\ev{\Phi_B^\text{auto} = L\cdot i}$ dove $L$ è l’induttanza del circuito, misurata in henry (H).

Il punto cruciale è che $L$ dipende solo dalla geometria del circuito (numero di spire, forma, dimensioni, materiale del nucleo), non dal valore istantaneo di $i$. È una costante caratteristica del circuito, esattamente come la capacità $C$ lo è di un condensatore.

Il parallelo con il condensatore è illuminante: l’induttanza è al solenoide quello che la capacità è al condensatore. Da un lato $C = Q/\Delta V$ lega carica e tensione; dall’altro $L = \Phi_B/i$ lega flusso e corrente. Sono le due grandezze geometriche che governano, rispettivamente, l’accumulo di energia elettrica e di energia magnetica.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Flusso magnetico

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A circuit carrying a current generates a magnetic field of its own, and hence a flux through itself. If the current varies, this flux varies too and, by Faraday’s law, an EMF arises that opposes the change. This is the phenomenon of self-induction.

Principle — Inductance of a circuit

For every circuit the linear relation between self-linked flux and current holds: $\ev{\Phi_B^\text{self} = L\cdot i}$ where $L$ is the circuit’s inductance, measured in henries (H).

The crucial point is that $L$ depends only on the geometry of the circuit (number of turns, shape, dimensions, core material), not on the instantaneous value of $i$. It is a characteristic constant of the circuit, exactly as the capacitance $C$ is for a capacitor.

The parallel with the capacitor is illuminating: inductance is to a solenoid what capacitance is to a capacitor. On one hand $C = Q/\Delta V$ links charge and voltage; on the other $L = \Phi_B/i$ links flux and current. These are the two geometric quantities that govern, respectively, the storage of electric energy and of magnetic energy.

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Dalla relazione $\Phi_B^\text{auto} = L\,i$ e dalla legge di Faraday segue subito la tensione che compare ai capi di un induttore quando la corrente cambia.

Tensione ai capi di un induttore

La differenza di potenziale ai capi di un induttore percorso da corrente $i(t)$ è: $\ev{V_L = -L\,\frac{di}{dt}}$

Il segno meno significa che l’induttore si oppone alle variazioni di corrente: è l’analogo elettrico dell’inerzia. Se la corrente cerca di aumentare, l’induttore genera una tensione che la frena; se cerca di diminuire, l’induttore genera una tensione che la sostiene. In entrambi i casi l’induttore lavora contro il cambiamento.

Questa è la ragione per cui la corrente in un circuito con induttore non può cambiare istantaneamente: servirebbe una $di/dt$ infinita, quindi una tensione infinita. L’induttore “leviga” le variazioni di corrente, proprio come una massa leviga le variazioni di velocità.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione

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From the relation $\Phi_B^\text{self} = L\,i$ and Faraday’s law we immediately obtain the voltage that appears across an inductor when the current changes.

Voltage across an inductor

The potential difference across an inductor carrying a current $i(t)$ is: $\ev{V_L = -L\,\frac{di}{dt}}$

The minus sign means that the inductor opposes changes in current: it is the electrical analogue of inertia. If the current tries to increase, the inductor generates a voltage that brakes it; if it tries to decrease, the inductor generates a voltage that sustains it. In both cases the inductor works against the change.

This is why the current in a circuit containing an inductor cannot change instantaneously: it would require an infinite $di/dt$, and hence an infinite voltage. The inductor “smooths out” changes in current, just as a mass smooths out changes in velocity.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Inductance and self-induction

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Il solenoide è il caso canonico in cui l’induttanza si calcola esplicitamente a partire dalla geometria.

Per un solenoide di $N$ spire, area $A$ e lunghezza $\ell$, il campo magnetico interno è $|B| = \mu_0\, i\, N/\ell$. Il flusso attraverso una singola spira è $B\cdot A$, e il flusso totale, concatenato con tutte le $N$ spire, è:

$\Phi_B^\text{tot} = N\cdot B\cdot A = \mu_0\,\frac{N^2 A}{\ell}\,i$

Confrontando con la definizione $\Phi_B^\text{auto} = L\,i$ si legge direttamente l’induttanza:

Induttanza di un solenoide

$\ev{L_\text{sol} = \mu_0\,\frac{N^2\,A}{\ell}}$

Due osservazioni sulla struttura della formula. Primo: l’induttanza cresce col quadrato del numero di spire $N$, non linearmente: raddoppiare gli avvolgimenti quadruplica $L$ (ogni spira in più aumenta sia il campo sia il numero di spire concatenate). Secondo: $L$ dipende solo da $\mu_0$, dalla geometria ($N$, $A$, $\ell$) e dall’eventuale materiale del nucleo, mai dalla corrente: conferma che l’induttanza è una costante caratteristica del circuito.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione Oggetti: Solenoide

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The solenoid is the canonical case in which the inductance can be calculated explicitly from the geometry.

For a solenoid with $N$ turns, area $A$ and length $\ell$, the internal magnetic field is $|B| = \mu_0\, i\, N/\ell$. The flux through a single turn is $B\cdot A$, and the total flux, linked with all $N$ turns, is:

$\Phi_B^\text{tot} = N\cdot B\cdot A = \mu_0\,\frac{N^2 A}{\ell}\,i$

Comparing with the definition $\Phi_B^\text{auto} = L\,i$, the inductance can be read off directly:

Inductance of a solenoid

$\ev{L_\text{sol} = \mu_0\,\frac{N^2\,A}{\ell}}$

Two observations about the structure of the formula. First: the inductance grows with the square of the number of turns $N$, not linearly: doubling the windings quadruples $L$ (each extra turn increases both the field and the number of linked turns). Second: $L$ depends only on $\mu_0$, on the geometry ($N$, $A$, $\ell$) and on any core material, never on the current: this confirms that inductance is a characteristic constant of the circuit.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Inductance and self-induction Oggetti: Solenoid

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Un induttore, come un condensatore, immagazzina energia; questa volta sotto forma di campo magnetico. Portare la corrente da $0$ a $i$ costa lavoro, perché l’induttore si oppone all’aumento (tensione autoindotta): quel lavoro resta immagazzinato.

Energia in un induttore

$\ev{E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2}$

La formula è l’analoga esatta dell’energia in un condensatore, $E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2$. Il dizionario delle corrispondenze è ormai familiare: dove il condensatore usa la capacità $C$ e la tensione $V$, l’induttore usa l’induttanza $L$ e la corrente $i$.

Questa energia non è persa: viene restituita quando la corrente diminuisce di nuovo verso zero. È proprio questo scambio reversibile tra energia elettrica (nel condensatore) ed energia magnetica (nell’induttore) a rendere possibili le oscillazioni indefinite del circuito LC.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Densità di energia del campo

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An inductor, like a capacitor, stores energy; this time in the form of a magnetic field. Bringing the current from $0$ to $i$ costs work, because the inductor opposes the increase (self-induced voltage): that work remains stored.

Energy in an inductor

$\ev{E_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2}$

The formula is the exact analogue of the energy in a capacitor, $E_C = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2$. The dictionary of correspondences is by now familiar: where the capacitor uses capacitance $C$ and voltage $V$, the inductor uses inductance $L$ and current $i$.

This energy is not lost: it is returned when the current decreases back towards zero. It is precisely this reversible exchange between electrical energy (in the capacitor) and magnetic energy (in the inductor) that makes the indefinite oscillations of the LC circuit possible.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Inductance and self-induction · Field energy density

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