Il segno della derivata: dQ/dt = ±i

Prima di scrivere le equazioni differenziali dei circuiti LC e RLC bisogna chiarire quando vale $dQ/dt = +i$ e quando $dQ/dt = -i$. La risposta passa per l’equazione di continuità della carica e per due scelte convenzionali: quale armatura racchiudiamo e in che verso orientiamo la corrente.

• Superficie chiusa e bilancio di carica
• I due casi con le figure
• Perché è lo stesso i in tutto il circuito

Before writing the differential equations of LC and RLC circuits, it is necessary to clarify when $dQ/dt = +i$ and when $dQ/dt = -i$. The answer goes through the continuity equation for charge and two conventional choices: which plate we enclose and which direction we orient the current.

• Closed surface and charge balance
• The two cases, with figures
• Why it is the same i throughout the circuit

Se $Q(t)$ è la carica su un’armatura del condensatore e $i(t)$ la corrente nel circuito, quando vale $dQ/dt = +i$ e quando $dQ/dt = -i$? Sembra un dettaglio, ma sbagliarlo capovolge il segno di un’intera equazione differenziale. La risposta passa per l’equazione di continuità della carica: la carica non si crea né si distrugge, ma può solo entrare o uscire attraverso i fili.

Immaginiamo di avvolgere un’armatura del condensatore con una superficie chiusa immaginaria $\mathcal{S}$ (una bolla matematica, non un oggetto fisico). La superficie taglia il filo che porta corrente a quell’armatura. Sia $Q$ la carica contenuta dentro $\mathcal{S}$: coincide con la carica dell’armatura racchiusa, perché fuori dall’armatura, nei fili conduttori, non c’è accumulo di carica (la corrente passa e basta, come l’acqua in un tubo).

Equazione di continuità della carica

$\ev{\frac{dQ_\text{dentro}}{dt} = i_\text{entrante}}$

A parole: la velocità con cui la carica dentro $\mathcal{S}$ cambia è uguale alla corrente che entra attraverso la superficie. È la versione “carica” del bilancio idraulico: il volume d’acqua in una vasca aumenta al ritmo della portata entrante e diminuisce al ritmo di quella uscente.

Il segno davanti a $i$ nell’equazione del circuito dipende quindi da due scelte che facciamo noi:

• quale armatura è contenuta nella superficie chiusa (positiva o negativa);
• il verso convenzionale della corrente $i(t)$ nel circuito.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Corrente elettrica

Esercizi collegati: Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM · Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore

If $Q(t)$ is the charge on one plate of the capacitor and $i(t)$ the current in the circuit, when is $dQ/dt = +i$ and when is $dQ/dt = -i$? It seems a detail, but getting it wrong flips the sign of an entire differential equation. The answer goes through the continuity equation for charge: charge is neither created nor destroyed, it can only enter or leave through the wires.

Imagine wrapping one plate of the capacitor with an imaginary closed surface $\mathcal{S}$ (a mathematical bubble, not a physical object). The surface cuts the wire that carries current to that plate. Let $Q$ be the charge contained inside $\mathcal{S}$: it coincides with the charge on the enclosed plate, because outside the plate, in the conducting wires, there is no charge accumulation (the current simply passes through, like water in a pipe).

Continuity equation for charge

$\ev{\frac{dQ_\text{dentro}}{dt} = i_\text{entrante}}$

In words: the rate at which the charge inside $\mathcal{S}$ changes equals the current entering through the surface. It is the “charge” version of a hydraulic balance: the volume of water in a tank increases at the rate of the incoming flow and decreases at the rate of the outgoing flow.

The sign in front of $i$ in the circuit equation therefore depends on two choices we make:

• which plate is enclosed by the closed surface (positive or negative);
• the conventional direction of the current $i(t)$ in the circuit.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Electric current

Esercizi collegati: Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver · Worked exercise — Forced RLC, find the generator’s EMF

I due segni possibili corrispondono alle due orientazioni della corrente rispetto all’armatura racchiusa.

Caso 1: corrente entrante nell’armatura racchiusa

La superficie $\mathcal{S}$ contiene l’armatura positiva e la corrente convenzionale nel filo punta verso quell’armatura. La carica dentro $\mathcal{S}$ aumenta, quindi $dQ/dt > 0$; la corrente entrante è $+i$. Risultato:

$\ev{\frac{dQ}{dt} = +i}$

La corrente punta verso l’armatura $+Q$ racchiusa da $\mathcal{S}$: la carica cresce, $dQ/dt = +i$.

Caso 2: corrente uscente dall’armatura racchiusa

La superficie $\mathcal{S}$ contiene ancora l’armatura positiva, ma questa volta la corrente convenzionale $i$ è disegnata con verso uscente dall’armatura. La carica dentro $\mathcal{S}$ diminuisce: la corrente entrante in $\mathcal{S}$ è $-i$, quindi:

$\ev{\frac{dQ}{dt} = -i}$

La corrente si allontana dall’armatura $+Q$: la carica cala, $dQ/dt = -i$.

Regola pratica

Se la freccia di $i$ punta verso l’armatura chiamata $+Q$, allora $dQ/dt = +i$; se la freccia se ne allontana, allora $dQ/dt = -i$.

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The two possible signs correspond to the two orientations of the current relative to the enclosed plate.

Case 1: current entering the enclosed plate

The surface $\mathcal{S}$ contains the positive plate, and the conventional current in the wire points towards that plate. The charge inside $\mathcal{S}$ increases, so $dQ/dt > 0$; the incoming current is $+i$. Result:

$\ev{\frac{dQ}{dt} = +i}$

The current points towards the plate $+Q$ enclosed by $\mathcal{S}$: the charge grows, $dQ/dt = +i$.

Case 2: current leaving the enclosed plate

The surface $\mathcal{S}$ still contains the positive plate, but this time the conventional current $i$ is drawn leaving the plate. The charge inside $\mathcal{S}$ decreases: the current entering $\mathcal{S}$ is $-i$, so:

$\ev{\frac{dQ}{dt} = -i}$

The current moves away from the plate $+Q$: the charge falls, $dQ/dt = -i$.

Practical rule

If the arrow of $i$ points towards the plate labelled $+Q$, then $dQ/dt = +i$; if the arrow points away from it, then $dQ/dt = -i$.

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Un’osservazione che aiuta a scrivere una sola $i(t)$ nelle equazioni: in un circuito a maglia singola (un solo loop) la corrente $i$ ha lo stesso valore istantaneo in tutti i punti del circuito. Questo vale anche attraverso il condensatore, benché lì le cariche non passino fisicamente: l’isolante tra le armature impedisce il passaggio.

Quello che accade è che le cariche si accumulano su un’armatura e se ne allontanano dall’altra alla stessa velocità. Così, dal “punto di vista” dei fili esterni, tutto si comporta come se la corrente passasse attraverso il condensatore in modo continuo. È per questo che scriviamo una sola $i(t)$ nelle equazioni LC e RLC, e la relazione con $Q(t)$ è $\pm\,dQ/dt$ a seconda di come abbiamo orientato la freccia della corrente rispetto all’armatura che chiamiamo $+Q$.

Continuità

L’equazione di continuità della carica è il cugino elettrico della conservazione della massa nei fluidi: la stessa idea che sta dietro la prima legge di Kirchhoff dei nodi.

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An observation that helps in writing a single $i(t)$ in the equations: in a single-loop circuit (only one loop) the current $i$ has the same instantaneous value at every point of the circuit. This is true even through the capacitor, even though charges do not physically pass through it: the insulator between the plates prevents that.

What happens is that charges accumulate on one plate and leave the other at the same rate. So, from the “point of view” of the external wires, everything behaves as if the current passed through the capacitor continuously. This is why we write a single $i(t)$ in the LC and RLC equations, with the relation to $Q(t)$ being $\pm\,dQ/dt$ depending on how we have oriented the current arrow relative to the plate we call $+Q$.

Continuity

The continuity equation for charge is the electrical cousin of mass conservation in fluids: the same idea underlying Kirchhoff’s first law for nodes.

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