Circuiti LC: oscillazioni elettromagnetiche

Un circuito con solo un condensatore e un induttore, senza resistori, scambia energia indefinitamente tra forma elettrica e magnetica: è l’analogo elettrico di un pendolo. Aggiungendo una resistenza si passa alle oscillazioni smorzate, con tre regimi possibili a seconda del valore di $R$.

• Il circuito LC e l’equazione delle oscillazioni
• Analogia meccanica molla-LC
• Energia totale costante nel circuito LC
• Circuito RLC: oscillazioni smorzate
• I tre regimi del circuito RLC

A circuit with only a capacitor and an inductor, with no resistors, exchanges energy indefinitely between electrical and magnetic form: it is the electrical analogue of a pendulum. Adding a resistance leads to damped oscillations, with three possible regimes depending on the value of $R$.

• The LC circuit and the oscillation equation
• Mechanical analogy — spring and LC
• Constant total energy in the LC circuit
• RLC circuit: damped oscillations
• The three regimes of the RLC circuit

Un circuito contenente solo un condensatore (capacità $C$) e un induttore (induttanza $L$), senza resistori, ha un comportamento sorprendente: l’energia oscilla indefinitamente tra la forma elettrica (condensatore carico) e quella magnetica (corrente nel solenoide). È l’analogo elettrico di un pendolo, che scambia energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica.

Circuito LC: il condensatore $C$ e l’induttore $L$ chiusi in un’unica maglia, percorsa dalla corrente $i(t)$.

Applichiamo la legge di Kirchhoff delle maglie: percorrendo il circuito nel verso della corrente, le cadute di tensione devono fare zero. Se $Q(t)$ è la carica sull’armatura positiva del condensatore:

$\frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

Per la conservazione della carica, $i = -dQ/dt$ (la corrente esce dal condensatore); derivando ancora, $di/dt = -d^2Q/dt^2$. Sostituendo:

$\frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d^2Q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,Q$

Oscillazioni libere di un circuito LC

La carica $Q(t)$ obbedisce all’equazione delle oscillazioni armoniche: $\ev{\frac{d^2Q}{dt^2} = -\omega^2\,Q} \quad\text{con}\quad \ev{\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$ La soluzione è $Q(t) = Q_0\,\cos(\omega t + \varphi)$: oscillazione armonica di frequenza $f = \omega/(2\pi)$, esattamente come una massa attaccata a una molla.

Formula chiave

$\omega_\text{LC} = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{LC}$

La pulsazione dipende solo dai componenti $L$ e $C$, mai dall’ampiezza $Q_0$ o dalle condizioni iniziali: è una proprietà del circuito, non del modo in cui lo si eccita.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice

Esercizi collegati: Esercizio svolto — circuito LC, trovare la frequenza propria · Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM

A circuit containing only a capacitor (capacitance $C$) and an inductor (inductance $L$), with no resistors, behaves surprisingly: the energy oscillates indefinitely between the electrical form (charged capacitor) and the magnetic form (current in the solenoid). It is the electrical analogue of a pendulum, which exchanges gravitational potential energy and kinetic energy.

LC circuit: the capacitor $C$ and the inductor $L$ closed in a single loop, carrying the current $i(t)$.

Let us apply Kirchhoff’s loop law: going round the circuit in the direction of the current, the voltage drops must sum to zero. If $Q(t)$ is the charge on the positive plate of the capacitor:

$\frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

By conservation of charge, $i = -dQ/dt$ (the current leaves the capacitor); differentiating again, $di/dt = -d^2Q/dt^2$. Substituting:

$\frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{d^2Q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,Q$

Free oscillations of an LC circuit

The charge $Q(t)$ obeys the simple harmonic oscillation equation: $\ev{\frac{d^2Q}{dt^2} = -\omega^2\,Q} \quad\text{with}\quad \ev{\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$ The solution is $Q(t) = Q_0\,\cos(\omega t + \varphi)$: harmonic oscillation with frequency $f = \omega/(2\pi)$, exactly like a mass attached to a spring.

Key formula

$\omega_\text{LC} = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{LC}$

The angular frequency depends only on the components $L$ and $C$, never on the amplitude $Q_0$ or on the initial conditions: it is a property of the circuit, not of how it is driven.

Collegamenti

Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Simple harmonic motion

Esercizi collegati: Worked exercise — LC circuit, find the natural frequency · Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver

L’equazione $\ddot{Q} = -(1/LC)\,Q$ è identica a $\ddot{x} = -(k/m)\,x$ per una molla: il circuito LC è l’analogo elettrico di un oscillatore armonico. La corrispondenza è così precisa da poter tradurre termine per termine ogni grandezza da un mondo all’altro.

Il dizionario chiarisce il ruolo fisico di ogni componente. L’induttanza gioca il ruolo della massa: è l’inerzia del circuito, ciò che resiste alle variazioni di corrente (come la massa resiste alle variazioni di velocità). L’inverso della capacità gioca il ruolo della rigidezza: un condensatore piccolo (grande $1/C$) è come una molla dura, richiama la carica con forza e fa oscillare più in fretta.

$\ddot{Q} = -\frac{1}{LC}\,Q \qquad\longleftrightarrow\qquad \ddot{x} = -\frac{k}{m}\,x$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Moto armonico semplice

Esercizi collegati: Esercizio svolto — circuito LC, trovare la frequenza propria · Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM

The equation $\ddot{Q} = -(1/LC)\,Q$ is identical to $\ddot{x} = -(k/m)\,x$ for a spring: the LC circuit is the electrical analogue of a harmonic oscillator. The correspondence is so precise that every quantity can be translated term by term from one world to the other.

The dictionary clarifies the physical role of each component. Inductance plays the role of mass: it is the inertia of the circuit, what resists changes in current (just as mass resists changes in velocity). The inverse of capacitance plays the role of stiffness: a small capacitor (large $1/C$) is like a stiff spring, it pulls the charge back strongly and makes it oscillate faster.

$\ddot{Q} = -\frac{1}{LC}\,Q \qquad\longleftrightarrow\qquad \ddot{x} = -\frac{k}{m}\,x$

Collegamenti

Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Simple harmonic motion

Esercizi collegati: Worked exercise — LC circuit, find the natural frequency · Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver

Poiché nel circuito LC ideale non c’è resistore, non c’è dissipazione: l’energia totale è costante nel tempo. In ogni istante essa è la somma dell’energia elettrica nel condensatore e di quella magnetica nell’induttore.

Energia totale del circuito LC

$\ev{E_\text{tot} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2} = \text{costante}}$

Il moto è un continuo travaso tra le due forme, esattamente come in un pendolo l’energia passa da potenziale a cinetica e ritorno:

• Quando $Q$ è massimo ($Q_0$), la corrente è nulla ($i = 0$): tutta l’energia è elettrica, immagazzinata nel condensatore carico. È l’analogo del pendolo fermo al punto più alto.
• Un quarto di periodo dopo, $Q = 0$ e la corrente è massima ($i_0$): tutta l’energia è magnetica, immagazzinata nel campo dell’induttore. È l’analogo del pendolo che sfreccia nel punto più basso.

E così via, indefinitamente. Il valore costante di $E_\text{tot}$ permette anche di legare le due ampiezze: uguagliando l’energia nei due istanti estremi, $Q_0^2/(2C) = L\,i_0^2/2$, da cui $i_0 = Q_0/\sqrt{LC} = \omega\,Q_0$.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Conservazione dell’energia meccanica

Esercizi collegati: Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM · Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore

Since there is no resistor in the ideal LC circuit, there is no dissipation: the total energy is constant in time. At every instant it is the sum of the electrical energy in the capacitor and the magnetic energy in the inductor.

Total energy of the LC circuit

$\ev{E_\text{tot} = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2} = \text{costante}}$

The motion is a continuous transfer between the two forms, exactly as in a pendulum energy passes from potential to kinetic and back:

• When $Q$ is at its maximum ($Q_0$), the current is zero ($i = 0$): all the energy is electrical, stored in the charged capacitor. This is the analogue of a pendulum at rest at its highest point.
• A quarter period later, $Q = 0$ and the current is at its maximum ($i_0$): all the energy is magnetic, stored in the field of the inductor. This is the analogue of the pendulum flying through its lowest point.

And so on, indefinitely. The constant value of $E_\text{tot}$ also lets us relate the two amplitudes: equating the energy at the two extreme instants, $Q_0^2/(2C) = L\,i_0^2/2$, from which $i_0 = Q_0/\sqrt{LC} = \omega\,Q_0$.

Collegamenti

Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Conservation of mechanical energy

Esercizi collegati: Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver · Worked exercise — Forced RLC, find the generator’s EMF

Se aggiungiamo al circuito LC anche un resistore $R$, le cose si complicano: l’energia, oltre a oscillare tra forma elettrica e magnetica, viene anche dissipata in calore. L’equazione di Kirchhoff delle maglie diventa:

$\text{FEM}_\text{gen} - R\,i - \frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

Con $i = dQ/dt$ (scegliendo la convenzione in cui la corrente entra nel condensatore) e $di/dt = d^2Q/dt^2$, si ottiene un’equazione differenziale in $Q(t)$:

$L\,\frac{d^2Q}{dt^2} + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = \text{FEM}_\text{gen}$

Esempio — Un circuito RLC a coefficienti concreti

Consideriamo $L = 2$ H, $R = 1\;\Omega$, $C = 3$ F, con FEM costante $\Delta V_\text{gen} = 4$ V e condizione iniziale $Q(0) = 0$. Cerchiamo una soluzione della forma $Q(t) = a + b\,e^{-\gamma t}$: una “coda transiente” esponenziale sovrapposta al valore stazionario.

Il valore stazionario ($t\to\infty$) è $a = C\cdot\Delta V_\text{gen} = 12$ C (il condensatore si carica fino a eguagliare la tensione del generatore). La parte esponenziale $b\,e^{-\gamma t}$ deve soddisfare l’equazione omogenea associata: $L\gamma^2 - R\gamma + \frac{1}{C} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\gamma^2 - \gamma + \frac{1}{3} = 0$ Il discriminante è $1 - 8/3 < 0$: le radici sono complesse! $\gamma = \frac{1\pm i\sqrt{5/3}}{4} = \frac{1}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{15}}{12}$ Interpretando $e^{-\gamma t}$ con parte reale e immaginaria come un’oscillazione smorzata: $\ev{Q(t) = 12\left(1 - e^{-t/4}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{12}\,t\right)\right)}$ Una funzione che parte da $Q = 0$, oscilla un paio di volte intorno a $12$, e si assesta definitivamente su $12$ C. È il regime di oscillazioni smorzate.

La radice complessa dell’equazione caratteristica è la firma matematica dell’oscillazione smorzata: la parte reale ($1/4$) governa il decadimento esponenziale dell’ampiezza, la parte immaginaria ($\sqrt{15}/12$) governa la pulsazione dell’oscillazione residua.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Oscillazioni smorzate

Esercizi collegati: Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM · Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore

If we also add a resistor $R$ to the LC circuit, things become more complicated: the energy, besides oscillating between electrical and magnetic form, is also dissipated as heat. Kirchhoff’s loop equation becomes:

$\text{FEM}_\text{gen} - R\,i - \frac{Q}{C} - L\,\frac{di}{dt} = 0$

With $i = dQ/dt$ (choosing the convention in which the current enters the capacitor) and $di/dt = d^2Q/dt^2$, we obtain a differential equation in $Q(t)$:

$L\,\frac{d^2Q}{dt^2} + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = \text{FEM}_\text{gen}$

Example — An RLC circuit with concrete coefficients

Consider $L = 2$ H, $R = 1\;\Omega$, $C = 3$ F, with constant EMF $\Delta V_\text{gen} = 4$ V and initial condition $Q(0) = 0$. We look for a solution of the form $Q(t) = a + b\,e^{-\gamma t}$: an exponential “transient tail” superposed on the steady-state value.

The steady-state value ($t\to\infty$) is $a = C\cdot\Delta V_\text{gen} = 12$ C (the capacitor charges up until it matches the generator’s voltage). The exponential part $b\,e^{-\gamma t}$ must satisfy the associated homogeneous equation: $L\gamma^2 - R\gamma + \frac{1}{C} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\gamma^2 - \gamma + \frac{1}{3} = 0$ The discriminant is $1 - 8/3 < 0$: the roots are complex! $\gamma = \frac{1\pm i\sqrt{5/3}}{4} = \frac{1}{4} \pm i\,\frac{\sqrt{15}}{12}$ Interpreting $e^{-\gamma t}$ with real and imaginary parts as a damped oscillation: $\ev{Q(t) = 12\left(1 - e^{-t/4}\cos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{12}\,t\right)\right)}$ A function that starts at $Q = 0$, oscillates a couple of times around $12$, and finally settles at $12$ C. This is the regime of damped oscillations.

The complex root of the characteristic equation is the mathematical signature of the damped oscillation: the real part ($1/4$) governs the exponential decay of the amplitude, and the imaginary part ($\sqrt{15}/12$) governs the angular frequency of the residual oscillation.

Collegamenti

Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Damped oscillations

Esercizi collegati: Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver · Worked exercise — Forced RLC, find the generator’s EMF

A seconda del valore di $R$ rispetto a $L$ e $C$, l’equazione RLC ha tre comportamenti qualitativi. Il discriminante dell’equazione caratteristica cambia segno alla soglia $R^2 = 4L/C$, e con esso il carattere della soluzione.

Tre regimi, un'unica equazione

• Sottosmorzato ($R$ piccolo): il sistema oscilla con ampiezza che decresce esponenzialmente, come un pendolo in uno sciroppo poco denso.
• Critico ($R^2 = 4L/C$): il sistema torna all’equilibrio nel minor tempo possibile senza oscillare.
• Sovrasmorzato ($R$ grande): il sistema torna all’equilibrio lentamente, senza oscillazioni.

Il regime critico non è solo una curiosità matematica: è quello a cui si progettano gli ammortizzatori dell’automobile. Dopo una buca, la sospensione deve tornare in posizione velocemente ma senza rimbalzare (che darebbe un’auto che sobbalza) e senza essere troppo lenta (che darebbe un’auto molle). Il compromesso ottimale è esattamente lo smorzamento critico, e la matematica è identica a quella di questo circuito.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Oscillazioni LC e RLC · Oscillazioni smorzate

Esercizi collegati: Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Condensatore di un ricevitore radio AM · Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore

Depending on the value of $R$ relative to $L$ and $C$, the RLC equation has three qualitative behaviours. The discriminant of the characteristic equation changes sign at the threshold $R^2 = 4L/C$, and with it the character of the solution.

Three regimes, one equation

• Underdamped (small $R$): the system oscillates with exponentially decreasing amplitude, like a pendulum in a thin syrup.
• Critical ($R^2 = 4L/C$): the system returns to equilibrium in the shortest possible time without oscillating.
• Overdamped (large $R$): the system returns to equilibrium slowly, with no oscillations.

The critical regime is not just a mathematical curiosity: it is the one to which car shock absorbers are designed. After a pothole, the suspension must return to position quickly but without bouncing (which would give a car that jolts) and without being too slow (which would give a soft, wallowing car). The optimal compromise is exactly critical damping, and the mathematics is identical to that of this circuit.

Collegamenti

Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: LC and RLC oscillations · Damped oscillations

Esercizi collegati: Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Capacitor of an AM radio receiver · Worked exercise — Forced RLC, find the generator’s EMF