Corrente alternata: circuiti RLC forzati

Facendo ruotare una spira in un campo magnetico si ottiene una FEM sinusoidale: è il principio di ogni alternatore. Alimentato da un generatore sinusoidale, il circuito RLC obbedisce a un’equazione differenziale forzata, con risonanza, bilancio energetico, potenza media, reattanze, impedenza e il metodo grafico dei fasori.

• L’alternatore e la FEM sinusoidale
• Equazione differenziale del circuito RLC forzato
• Bilancio energetico del circuito RLC
• Potenza media in regime sinusoidale
• Reattanze e impedenza
• Il metodo dei fasori

Rotating a loop in a magnetic field produces a sinusoidal EMF: this is the principle behind every alternator. Driven by a sinusoidal generator, the RLC circuit obeys a forced differential equation, with resonance, energy balance, average power, reactances, impedance and the graphical phasor method.

• The alternator and the sinusoidal EMF
• Differential equation of the forced RLC circuit
• Energy balance of the RLC circuit
• Average power in sinusoidal steady state
• Reactances and impedance
• The phasor method

Facendo ruotare meccanicamente una spira in un campo magnetico uniforme si ottiene una FEM che varia sinusoidalmente nel tempo:

$\ev{\text{FEM}(t) = \text{FEM}_0\,\sin(\omega t)}$

Mentre la spira ruota, l’angolo tra la sua normale e il campo cambia con continuità: il flusso $\Phi_B = B\,A\cos(\omega t)$ oscilla, e la sua derivata — la FEM indotta — è una sinusoide. È il principio di qualunque alternatore, dalle piccole dinamo delle biciclette alle gigantesche turbine delle centrali idroelettriche.

Faraday, il genio senza laurea

Michael Faraday (1791–1867), figlio di un fabbro londinese, non frequentò mai un’università. Lavorava come garzone presso un rilegatore quando, leggendo i libri che gli passavano per le mani, s’innamorò della chimica e della fisica. Riuscì a entrare come assistente di Humphry Davy alla Royal Institution, dove nel 1831 scoprì l’induzione elettromagnetica usando un apparato sbalorditivamente semplice: due bobine avvolte attorno a un anello di ferro. Quando gli chiedevano a cosa servisse questa scoperta, rispose, secondo la leggenda: “Non lo so, ma sono sicuro che un giorno potrete tassarla”. Oggi tutta la rete elettrica mondiale si basa sui suoi principi.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Legge di Faraday-Neumann-Lenz

Esercizi collegati: Trasformatore ideale · Alternatore: dal picco di FEM alla pulsazione · Dinamo a bicicletta

By mechanically rotating a loop in a uniform magnetic field one obtains an EMF that varies sinusoidally in time:

$\ev{\text{FEM}(t) = \text{FEM}_0\,\sin(\omega t)}$

As the loop rotates, the angle between its normal and the field changes continuously: the flux $\Phi_B = B\,A\cos(\omega t)$ oscillates, and its derivative — the induced EMF — is a sine wave. This is the principle behind every alternator, from small bicycle dynamos to the giant turbines of hydroelectric power stations.

Faraday, the genius without a degree

Michael Faraday (1791–1867), the son of a London blacksmith, never attended university. He was working as an errand boy for a bookbinder when, reading the books that passed through his hands, he fell in love with chemistry and physics. He managed to become an assistant to Humphry Davy at the Royal Institution, where in 1831 he discovered electromagnetic induction using a strikingly simple apparatus: two coils wound around an iron ring. When asked what use this discovery might have, he is said to have replied: “I do not know, but I am sure that one day you will be able to tax it.” Today the entire world’s electricity grid is based on his principles.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Alternating current · Faraday-Neumann-Lenz law

Esercizi collegati: Ideal transformer · Alternator: from the peak EMF to the angular frequency · Bicycle dynamo

Colleghiamo in serie un generatore sinusoidale, un resistore $R$, un condensatore $C$ e un induttore $L$. Percorriamo il circuito nel verso della corrente $i$ e applichiamo la legge di Kirchhoff: la somma delle differenze di potenziale deve essere nulla.

Conveniamo che $Q(t)$ sia la carica accumulata sul condensatore e che la corrente esca dal condensatore, quindi $i = -\,dQ/dt$. Percorrendo il circuito nel verso di $i$:

• generatore: $+\Delta V_\text{gen}(t)$ (guadagno di potenziale);
• resistore: $-R\,i$ (caduta);
• condensatore: $+Q/C$ (la carica accumulata spinge la corrente nel verso percorso);
• induttore: $-L\,di/dt$ (caduta per autoinduzione).

Sostituendo $i = -dQ/dt$ e $di/dt = -d^2Q/dt^2$:

$\Delta V_\text{gen}(t) + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0$

Equazione differenziale del circuito RLC forzato

$\ev{L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = -\Delta V_\text{gen}(t)}$ dove il punto denota la derivata rispetto al tempo. Il termine forzante è la tensione del generatore; quando $\Delta V_\text{gen} = 0$ si ricade nell’oscillazione libera smorzata.

L’equazione è formalmente identica a quella di un pendolo smorzato forzato, con il dizionario: $L \leftrightarrow m$ (massa), $R \leftrightarrow b$ (smorzamento), $1/C \leftrightarrow k$ (rigidezza), $-\Delta V_\text{gen} \leftrightarrow F_\text{esterna}$ (forzante).

Come per ogni oscillatore forzato, l’ampiezza della risposta è massima quando il generatore oscilla alla frequenza propria del circuito LC. Questa frequenza di risonanza è:

$\ev{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Oscillazioni LC e RLC · Risonanza

Esercizi collegati: Risonanza RLC serie e fattore di merito · Problema — Frequenza propria di un circuito LC · Problema — Reattanze di un RLC al variare di omega

Let us connect a sinusoidal generator, a resistor $R$, a capacitor $C$ and an inductor $L$ in series. Going round the circuit in the direction of the current $i$ and applying Kirchhoff’s law: the sum of the potential differences must be zero.

We agree that $Q(t)$ is the charge accumulated on the capacitor and that the current leaves the capacitor, so $i = -\,dQ/dt$. Going round the circuit in the direction of $i$:

• generator: $+\Delta V_\text{gen}(t)$ (potential gain);
• resistor: $-R\,i$ (drop);
• capacitor: $+Q/C$ (the accumulated charge pushes the current in the direction traversed);
• inductor: $-L\,di/dt$ (drop due to self-induction).

Substituting $i = -dQ/dt$ and $di/dt = -d^2Q/dt^2$:

$\Delta V_\text{gen}(t) + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0$

Differential equation of the forced RLC circuit

$\ev{L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = -\Delta V_\text{gen}(t)}$ where the dot denotes the derivative with respect to time. The forcing term is the generator’s voltage; when $\Delta V_\text{gen} = 0$ this reduces to the free damped oscillation.

The equation is formally identical to that of a driven, damped pendulum, with the dictionary: $L \leftrightarrow m$ (mass), $R \leftrightarrow b$ (damping), $1/C \leftrightarrow k$ (stiffness), $-\Delta V_\text{gen} \leftrightarrow F_\text{esterna}$ (driving force).

As with any driven oscillator, the amplitude of the response is greatest when the generator oscillates at the natural frequency of the LC circuit. This resonance frequency is:

$\ev{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Alternating current · LC and RLC oscillations · Resonance

Esercizi collegati: Series RLC resonance and quality factor · Problem — Natural frequency of an LC circuit · Problem — Reactances of an RLC as omega varies

L’energia immagazzinata nel circuito è la somma di quella elettrica nel condensatore e di quella magnetica nell’induttore:

$\ev{E(t) = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}}$

Deriviamo rispetto al tempo usando $i = -dQ/dt$:

$\begin{aligned} \frac{dE}{dt} &= \frac{Q}{C}\,\dot{Q} + L\,i\,\dot{\imath} \\ &= -\frac{Q}{C}\,i + L\,i\,\dot{\imath} \end{aligned}$

Dall’equazione di Kirchhoff, isolando $L\,di/dt$: $L\,\dot{\imath} = \Delta V_\text{gen} - R\,i + Q/C$. Sostituendo:

$\frac{dE}{dt} = -\frac{Q}{C}\,i + i\left(\Delta V_\text{gen} - R\,i + \frac{Q}{C}\right) = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

Principio — Bilancio energetico del circuito RLC

$\ev{\frac{dE}{dt} = P_\text{gen} - P_R}$ con $P_\text{gen} = \Delta V_\text{gen}\cdot i$ (potenza immessa dal generatore, positiva quando cede energia al circuito) e $P_R = R\,i^2 \geq 0$ (potenza dissipata per effetto Joule nel resistore). Se $dE/dt > 0$ il circuito sta accumulando energia; se $dE/dt < 0$ la sta cedendo.

Formula chiave

$E = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}, \qquad \frac{dE}{dt} = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

Il bilancio è trasparente: l’unica sorgente di energia è il generatore, l’unico pozzo è il resistore. Condensatore e induttore non dissipano nulla, si limitano a scambiare energia avanti e indietro; è la resistenza a segnare il conto irreversibile in calore.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Effetto Joule · Densità di energia del campo

Esercizi collegati: Esercizio svolto — RLC forzato, trovare la FEM del generatore · Dinamo a bicicletta · Esercizio svolto — spira che entra ed esce da un campo

The energy stored in the circuit is the sum of the electrical energy in the capacitor and the magnetic energy in the inductor:

$\ev{E(t) = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}}$

Differentiating with respect to time using $i = -dQ/dt$:

$\begin{aligned} \frac{dE}{dt} &= \frac{Q}{C}\,\dot{Q} + L\,i\,\dot{\imath} \\ &= -\frac{Q}{C}\,i + L\,i\,\dot{\imath} \end{aligned}$

From Kirchhoff’s equation, isolating $L\,di/dt$: $L\,\dot{\imath} = \Delta V_\text{gen} - R\,i + Q/C$. Substituting:

$\frac{dE}{dt} = -\frac{Q}{C}\,i + i\left(\Delta V_\text{gen} - R\,i + \frac{Q}{C}\right) = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

Principle — Energy balance of the RLC circuit

$\ev{\frac{dE}{dt} = P_\text{gen} - P_R}$ with $P_\text{gen} = \Delta V_\text{gen}\cdot i$ (power delivered by the generator, positive when it feeds energy into the circuit) and $P_R = R\,i^2 \geq 0$ (power dissipated by Joule heating in the resistor). If $dE/dt > 0$ the circuit is storing energy; if $dE/dt < 0$ it is releasing it.

Key formula

$E = \frac{Q^2}{2C} + \frac{L\,i^2}{2}, \qquad \frac{dE}{dt} = \Delta V_\text{gen}\cdot i - R\,i^2$

The balance is transparent: the only source of energy is the generator, the only sink is the resistor. The capacitor and inductor dissipate nothing, they merely exchange energy back and forth; it is the resistance that settles the irreversible bill in heat.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Alternating current · Joule heating · Field energy density

Esercizi collegati: Worked exercise — Forced RLC, find the generator’s EMF · Bicycle dynamo · Worked exercise — loop entering and leaving a field

In un circuito con generatore sinusoidale a regime (dopo che i transitori si sono estinti), la corrente e la tensione oscillano alla stessa frequenza ma con uno sfasamento $\varphi$:

$\Delta V(t) = V_0\sin(\omega t), \qquad i(t) = I_0\sin(\omega t - \varphi)$

La potenza istantanea $p(t) = \Delta V\cdot i$ oscilla, ma la sua media temporale su un periodo $T = 2\pi/\omega$ è:

Potenza media

$\ev{\langle P \rangle = \frac{1}{2}\,V_0\,I_0\,\cos\varphi = V_\text{eff}\,I_\text{eff}\,\cos\varphi}$

dove $V_\text{eff} = V_0/\sqrt{2}$ e $I_\text{eff} = I_0/\sqrt{2}$ sono i valori efficaci (RMS), e $\cos\varphi$ è il fattore di potenza.

Il fattore di potenza è cruciale nella pratica: se $\varphi = 0$ (circuito puramente resistivo, o alla risonanza) tutta la potenza $V_\text{eff}I_\text{eff}$ è effettivamente consumata; se $\varphi \to 90^\circ$ (circuito puramente reattivo) la potenza media va a zero, perché l’energia viene solo scambiata avanti e indietro con condensatore e induttore, senza essere dissipata.

Approfondimento — RLC serie

Per un circuito RLC serie con FEM sinusoidale di ampiezza $V_0$: $I_0 = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}$ Alla risonanza ($\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$) si ha $\varphi = 0$: impedenza minima, corrente massima, potenza media massima.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Potenza

Esercizi collegati: Problema — Reattanze di un RLC al variare di omega · Problema — Impedenza e sfasamento di un RLC serie · Problema — Diagramma dei fasori (XL maggiore di XC)

In a circuit with a sinusoidal generator at steady state (once transients have died out), the current and voltage oscillate at the same frequency but with a phase shift $\varphi$:

$\Delta V(t) = V_0\sin(\omega t), \qquad i(t) = I_0\sin(\omega t - \varphi)$

The instantaneous power $p(t) = \Delta V\cdot i$ oscillates, but its time average over a period $T = 2\pi/\omega$ is:

Average power

$\ev{\langle P \rangle = \frac{1}{2}\,V_0\,I_0\,\cos\varphi = V_\text{eff}\,I_\text{eff}\,\cos\varphi}$

where $V_\text{eff} = V_0/\sqrt{2}$ and $I_\text{eff} = I_0/\sqrt{2}$ are the RMS values, and $\cos\varphi$ is the power factor.

The power factor is crucial in practice: if $\varphi = 0$ (purely resistive circuit, or at resonance) the whole power $V_\text{eff}I_\text{eff}$ is actually consumed; if $\varphi \to 90^\circ$ (purely reactive circuit) the average power goes to zero, because the energy is only exchanged back and forth with the capacitor and inductor, without being dissipated.

Further detail — series RLC

For a series RLC circuit with sinusoidal EMF of amplitude $V_0$: $I_0 = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}}, \qquad \tan\varphi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}$ At resonance ($\omega = \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$) we have $\varphi = 0$: minimum impedance, maximum current, maximum average power.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Alternating current · Power

Esercizi collegati: Problem — Reactances of an RLC as omega varies · Problem — Impedance and phase shift of a series RLC · Problem — Phasor diagram (XL greater than XC)

Sotto la radice della formula della corrente compare una combinazione di $R$, $\omega L$ e $1/(\omega C)$. Questi tre termini hanno tutti le stesse dimensioni (ohm) e giocano ruoli analoghi: definiscono quanto si oppone ciascun elemento al passaggio di una corrente alternata di pulsazione $\omega$. Li chiamiamo resistenza $R$, reattanza induttiva e reattanza capacitiva:

Reattanze

$\ev{X_L = \omega L \qquad X_C = \frac{1}{\omega C}}$

Sono “pseudo-resistenze” che dipendono dalla frequenza: $X_L$ cresce con $\omega$ (un’induttanza blocca le alte frequenze), $X_C$ decresce con $\omega$ (un condensatore blocca la corrente continua e lascia passare l’alta frequenza).

Per un circuito RLC serie alimentato da un generatore sinusoidale si definisce l’impedenza $Z$ come il rapporto tra ampiezze di tensione e corrente:

Impedenza RLC serie

$\ev{Z = \frac{V_0}{I_0} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$

misurata in ohm. La legge di Ohm si estende alla corrente alternata nella forma $V_0 = Z\,I_0$ (per i valori efficaci $V_\text{eff} = Z\,I_\text{eff}$). Lo sfasamento $\varphi$ tra tensione e corrente vale

$\tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R}$

ed è positivo quando prevale l’induttore (corrente in ritardo sulla tensione) e negativo quando prevale il condensatore (corrente in anticipo). Alla risonanza $X_L = X_C$: le reattanze si cancellano, l’impedenza si riduce alla sola $R$ e $\varphi = 0$.

Formula chiave

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \text{risonanza: } X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ Z_{\min} = R$

Esempio — RLC alla rete domestica

Un circuito con $R = 50\;\Omega$, $L = 0{,}10$ H e $C = 20\;\mu\text{F}$ è alimentato alla rete italiana ($V_\text{eff} = 230$ V, $f = 50$ Hz, $\omega = 2\pi\cdot 50 \approx 314$ rad/s).

• $X_L = \omega L = 314\cdot 0{,}10 \approx 31{,}4\;\Omega$.
• $X_C = 1/(\omega C) = 1/(314\cdot 2\cdot 10^{-5}) \approx 159\;\Omega$.
• $Z = \sqrt{50^2 + (31{,}4 - 159)^2} \approx \sqrt{2500 + 16\,280} \approx 137\;\Omega$.
• $I_\text{eff} = V_\text{eff}/Z = 230/137 \approx 1{,}68$ A.
• $\tan\varphi = (31{,}4 - 159)/50 \approx -2{,}55$, quindi $\varphi \approx -68^\circ$ (corrente in anticipo: domina $C$).

La frequenza di risonanza sarebbe $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) \approx 113$ Hz, ben sopra i 50 Hz di rete: per questo a 50 Hz il circuito è “capacitivo”.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Risonanza · Legge di Ohm

Esercizi collegati: Problema — Reattanze di un RLC al variare di omega · Problema — Impedenza e sfasamento di un RLC serie · Problema — Ranking corrente efficace RLC

Under the square root of the current formula there appears a combination of $R$, $\omega L$ and $1/(\omega C)$. These three terms all have the same dimensions (ohms) and play analogous roles: they define how much each element opposes the passage of an alternating current of angular frequency $\omega$. We call them resistance $R$, inductive reactance and capacitive reactance:

Reactances

$\ev{X_L = \omega L \qquad X_C = \frac{1}{\omega C}}$

These are “pseudo-resistances” that depend on frequency: $X_L$ grows with $\omega$ (an inductor blocks high frequencies), $X_C$ decreases with $\omega$ (a capacitor blocks direct current and lets high frequency through).

For a series RLC circuit fed by a sinusoidal generator, the impedance $Z$ is defined as the ratio between the voltage and current amplitudes:

Series RLC impedance

$\ev{Z = \frac{V_0}{I_0} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$

measured in ohms. Ohm’s law extends to alternating current in the form $V_0 = Z\,I_0$ (for RMS values $V_\text{eff} = Z\,I_\text{eff}$). The phase shift $\varphi$ between voltage and current is

$\tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R}$

and is positive when the inductor dominates (current lagging behind voltage) and negative when the capacitor dominates (current leading voltage). At resonance $X_L = X_C$: the reactances cancel, the impedance reduces to $R$ alone, and $\varphi = 0$.

Key formula

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \text{resonance: } X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ Z_{\min} = R$

Example — RLC on the domestic mains

A circuit with $R = 50\;\Omega$, $L = 0{,}10$ H and $C = 20\;\mu\text{F}$ is fed from the Italian mains ($V_\text{eff} = 230$ V, $f = 50$ Hz, $\omega = 2\pi\cdot 50 \approx 314$ rad/s).

• $X_L = \omega L = 314\cdot 0{,}10 \approx 31{,}4\;\Omega$.
• $X_C = 1/(\omega C) = 1/(314\cdot 2\cdot 10^{-5}) \approx 159\;\Omega$.
• $Z = \sqrt{50^2 + (31{,}4 - 159)^2} \approx \sqrt{2500 + 16\,280} \approx 137\;\Omega$.
• $I_\text{eff} = V_\text{eff}/Z = 230/137 \approx 1{,}68$ A.
• $\tan\varphi = (31{,}4 - 159)/50 \approx -2{,}55$, so $\varphi \approx -68^\circ$ (leading current: $C$ dominates).

The resonance frequency would be $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) \approx 113$ Hz, well above the mains’ 50 Hz: this is why at 50 Hz the circuit is “capacitive”.

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Argomenti: Electromagnetic induction Concetti: Alternating current · Resonance · Ohm’s law

Esercizi collegati: Problem — Reactances of an RLC as omega varies · Problem — Impedance and phase shift of a series RLC · Problem — Ranking RMS current in RLC

Nei circuiti in continua le tensioni “si sommano” come numeri ordinari; in alternata questa regola si spezza, perché due tensioni sinusoidali di uguale frequenza ma sfasate non si sommano come scalari. Il trucco grafico che risolve il problema si chiama metodo dei fasori.

A ogni grandezza sinusoidale $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ associamo un vettore di lunghezza $X_0$ che ruota nel piano con velocità angolare $\omega$, formando un angolo $\phi$ con l’asse orizzontale all’istante $t = 0$. La proiezione del vettore sull’asse orizzontale riproduce la funzione $x(t)$.

Diagramma dei fasori per un circuito RLC serie (caso $X_L > X_C$). Il fasore $V_R$ è in fase con la corrente; $V_L$ è in anticipo di $90^\circ$, $V_C$ in ritardo di $90^\circ$. La somma vettoriale dei tre è il fasore della tensione totale $V_0$, ruotato di $\varphi$ rispetto a $I_0$.

Regole dei fasori

• Per un resistore, il fasore tensione è parallelo al fasore corrente (sfasamento zero).
• Per un induttore, il fasore tensione è ruotato di $+90^\circ$ rispetto alla corrente (tensione in anticipo).
• Per un condensatore, il fasore tensione è ruotato di $-90^\circ$ rispetto alla corrente (tensione in ritardo).

In un RLC serie la corrente è la stessa in ogni elemento: usiamo il suo fasore $I_0$ come riferimento. I tre fasori tensione $V_R = R\,I_0$, $V_L = X_L\,I_0$ e $V_C = X_C\,I_0$ si sommano vettorialmente, perché $\Delta V_\text{tot}(t) = V_R(t) + V_L(t) + V_C(t)$. Il modulo della somma è proprio $V_0 = I_0\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = Z\,I_0$, e l’angolo rispetto a $I_0$ è $\varphi$: ritroviamo le formule ottenute analiticamente, questa volta con un disegno.

Fasori come numeri complessi

La rappresentazione diventa compatta se identifichiamo il piano dei fasori con il piano complesso. A ogni grandezza sinusoidale $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ associamo il numero complesso $\tilde{X} = X_0\,e^{i\phi}$; derivare nel tempo corrisponde a moltiplicare per $i\omega$. Allora $\tilde{V}_R = R\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_L = i\omega L\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_C = -\dfrac{i}{\omega C}\,\tilde{I}$. Le impedenze complesse sono $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L$, $Z_C = 1/(i\omega C)$; in serie si sommano, e la legge di Ohm diventa $\tilde{V} = Z\tilde{I}$ con $Z = R + i(X_L - X_C)$. Il modulo $|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ ritrova la formula reale; l’argomento $\arg Z = \varphi$ è lo sfasamento.

Scoperto che un $\vv{B}$ variabile genera un $\vv{E}$, nel prossimo capitolo vedremo che, per simmetria, un $\vv{E}$ variabile genera un $\vv{B}$: il risultato che James Clerk Maxwell pose a fondamento delle sue equazioni, spiegando in un colpo solo elettricità, magnetismo e luce.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata Competenze: Metodo dei fasori

Esercizi collegati: Problema — Reattanze di un RLC al variare di omega · Problema — Impedenza e sfasamento di un RLC serie · Problema — Diagramma dei fasori (XL maggiore di XC)

In DC circuits voltages “add up” like ordinary numbers; in AC this rule breaks down, because two sinusoidal voltages of equal frequency but different phase do not add like scalars. The graphical trick that solves the problem is called the phasor method.

To every sinusoidal quantity $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ we associate a vector of length $X_0$ that rotates in the plane with angular velocity $\omega$, forming an angle $\phi$ with the horizontal axis at instant $t = 0$. The projection of the vector onto the horizontal axis reproduces the function $x(t)$.

Phasor diagram for a series RLC circuit (case $X_L > X_C$). The phasor $V_R$ is in phase with the current; $V_L$ leads by $90^\circ$, $V_C$ lags by $90^\circ$. The vector sum of the three is the phasor of the total voltage $V_0$, rotated by $\varphi$ with respect to $I_0$.

Phasor rules

• For a resistor, the voltage phasor is parallel to the current phasor (zero phase shift).
• For an inductor, the voltage phasor is rotated by $+90^\circ$ relative to the current (voltage leads).
• For a capacitor, the voltage phasor is rotated by $-90^\circ$ relative to the current (voltage lags).

In a series RLC the current is the same in every element: we use its phasor $I_0$ as reference. The three voltage phasors $V_R = R\,I_0$, $V_L = X_L\,I_0$ and $V_C = X_C\,I_0$ add vectorially, because $\Delta V_\text{tot}(t) = V_R(t) + V_L(t) + V_C(t)$. The modulus of the sum is precisely $V_0 = I_0\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = Z\,I_0$, and the angle with respect to $I_0$ is $\varphi$: we recover the formulas obtained analytically, this time with a drawing.

Phasors as complex numbers

The representation becomes compact if we identify the phasor plane with the complex plane. To every sinusoidal quantity $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ we associate the complex number $\tilde{X} = X_0\,e^{i\phi}$; differentiating in time corresponds to multiplying by $i\omega$. Then $\tilde{V}_R = R\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_L = i\omega L\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_C = -\dfrac{i}{\omega C}\,\tilde{I}$. The complex impedances are $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L$, $Z_C = 1/(i\omega C)$; in series they add, and Ohm’s law becomes $\tilde{V} = Z\tilde{I}$ with $Z = R + i(X_L - X_C)$. The modulus $|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ recovers the real formula; the argument $\arg Z = \varphi$ is the phase shift.

Having discovered that a varying $\vv{B}$ generates an $\vv{E}$, in the next chapter we shall see that, by symmetry, a varying $\vv{E}$ generates a $\vv{B}$: the result that James Clerk Maxwell placed at the foundation of his equations, explaining electricity, magnetism and light in a single stroke.

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Topics: Electromagnetic induction Concepts: Alternating current Skills: Phasor method

Related exercises: Problem — Reactances of an RLC as omega varies · Problem — Impedance and phase shift of a series RLC · Problem — Phasor diagram (XL greater than XC)