Struttura di un'onda elettromagnetica piana

Un’onda EM piana ha una geometria semplice e regolare: $\vec{E}$ e $\vec{B}$ perpendicolari fra loro e alla direzione di propagazione, in fase, con $|E| = c\,|B|$. Questa sezione descrive la struttura dell’onda, poi introduce il vettore di Poynting (l’energia trasportata) e la pressione di radiazione (la quantità di moto).

• Struttura di un’onda piana
• Vettore di Poynting e intensità
• Pressione di radiazione

A plane EM wave has a simple, regular geometry: $\vec{E}$ and $\vec{B}$ perpendicular to each other and to the direction of propagation, in phase, with $|E| = c\,|B|$. This section describes the structure of the wave, then introduces the Poynting vector (the energy carried) and radiation pressure (the momentum).

• Structure of a plane wave
• Poynting vector and intensity
• Radiation pressure

Un’onda elettromagnetica piana che si propaga lungo l’asse $x$ ha una struttura molto semplice e regolare. Il campo elettrico oscilla lungo una direzione fissa (per esempio $y$), il campo magnetico lungo una direzione ortogonale ($z$), ed entrambi sono perpendicolari alla direzione di propagazione: l’onda è trasversale.

Onda elettromagnetica piana armonica

$\vec{E} = \left(0,\; E_0\cos(kx-\omega t),\; 0\right)$ $\vec{B} = \left(0,\; 0,\; B_0\cos(kx-\omega t)\right)$ con $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi/T$, e le relazioni $\lambda/T = c \qquad\text{e}\qquad |B_0| = |E_0|/c$

I due campi oscillano in fase (stesso $\cos(kx-\omega t)$): si annullano insieme e raggiungono il massimo insieme. I vettori $\vec{E}$, $\vec{B}$ e la direzione di propagazione formano una terna destrorsa, ordinabile con la regola della mano destra: $\vec{E}\times\vec{B}$ punta nel verso di propagazione.

Onda EM piana: $\vec{E}$ (oro) oscilla nel piano $xy$, $\vec{B}$ (blu) nel piano $xz$, in fase; l’onda avanza lungo $x$ a velocità $c$.

Il fatto che $|B_0| = |E_0|/c$ spiega perché il campo magnetico di un’onda luminosa sia numericamente piccolissimo rispetto al campo elettrico: dividere per $c \approx 3\cdot 10^8$ m/s riduce di quasi nove ordini di grandezza. Questo non significa che $\vec{B}$ sia “meno importante”: i due campi trasportano in media la stessa energia.

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A plane electromagnetic wave propagating along the $x$ axis has a very simple, regular structure. The electric field oscillates along a fixed direction (say $y$), the magnetic field along an orthogonal direction ($z$), and both are perpendicular to the direction of propagation: the wave is transverse.

Plane harmonic electromagnetic wave

$\vec{E} = \left(0,\; E_0\cos(kx-\omega t),\; 0\right)$ $\vec{B} = \left(0,\; 0,\; B_0\cos(kx-\omega t)\right)$ with $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi/T$, and the relations $\lambda/T = c \qquad\text{and}\qquad |B_0| = |E_0|/c$

The two fields oscillate in phase (same $\cos(kx-\omega t)$): they vanish together and reach their maximum together. The vectors $\vec{E}$, $\vec{B}$ and the direction of propagation form a right-handed triad, orderable with the right-hand rule: $\vec{E}\times\vec{B}$ points in the direction of propagation.

Plane EM wave: $\vec{E}$ (gold) oscillates in the $xy$ plane, $\vec{B}$ (blue) in the $xz$ plane, in phase; the wave advances along $x$ at speed $c$.

The fact that $|B_0| = |E_0|/c$ explains why the magnetic field of a light wave is numerically tiny compared with the electric field: dividing by $c \approx 3\cdot 10^8$ m/s reduces it by almost nine orders of magnitude. This does not mean that $\vec{B}$ is “less important”: the two fields carry, on average, the same energy.

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Un’onda elettromagnetica trasporta energia. La grandezza che ne descrive il flusso è il vettore di Poynting:

Vettore di Poynting

$\ev{\vec{I} = \frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_0}}$

Il suo verso è quello di propagazione dell’onda (coincide con $\vec{E}\times\vec{B}$), e il suo modulo si misura in $\text{W}/\text{m}^2$: è una potenza per unità di superficie, cioè l’energia che attraversa ogni secondo un metro quadrato disposto perpendicolarmente all’onda.

Formula chiave — Intensità

$|\vec{I}| = \frac{|\vec{E}|\,|\vec{B}|}{\mu_0}$ Media temporale di un’onda armonica: $\langle |\vec{I}|\rangle = \frac{E_0^2}{2\,c\,\mu_0}$

Il fattore $1/2$ nella media viene dalla media di $\cos^2$ su un periodo (che vale $1/2$): l’intensità istantanea oscilla, ma quel che si misura con un sensore è il suo valor medio. Usando $|B_0| = E_0/c$ si può riscrivere la media anche come $\langle I\rangle = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c\,E_0^2$, forma comodissima nei problemi.

Poiché l’intensità è proporzionale a $E_0^2$, raddoppiare l’ampiezza del campo quadruplica l’energia trasportata: è la stessa dipendenza quadratica che governa tutte le onde. Per una sorgente puntiforme isotropa, l’intensità decresce come $1/r^2$ con la distanza, perché la stessa potenza si distribuisce su sfere di superficie crescente $4\pi r^2$.

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An electromagnetic wave carries energy. The quantity that describes its flow is the Poynting vector:

Poynting vector

$\ev{\vec{I} = \frac{\vec{E}\times\vec{B}}{\mu_0}}$

Its direction is that of propagation of the wave (it coincides with $\vec{E}\times\vec{B}$), and its magnitude is measured in $\text{W}/\text{m}^2$: it is a power per unit area, i.e. the energy crossing, every second, a square metre placed perpendicular to the wave.

Key formula — Intensity

$|\vec{I}| = \frac{|\vec{E}|\,|\vec{B}|}{\mu_0}$ Time average of a harmonic wave: $\langle |\vec{I}|\rangle = \frac{E_0^2}{2\,c\,\mu_0}$

The factor $1/2$ in the average comes from the average of $\cos^2$ over a period (which equals $1/2$): the instantaneous intensity oscillates, but what a sensor measures is its mean value. Using $|B_0| = E_0/c$ the average can also be rewritten as $\langle I\rangle = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 c\,E_0^2$, a very convenient form for problems.

Since intensity is proportional to $E_0^2$, doubling the amplitude of the field quadruples the energy carried: it is the same quadratic dependence that governs all waves. For an isotropic point source, the intensity decreases as $1/r^2$ with distance, because the same power is spread over spheres of growing surface area $4\pi r^2$.

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La luce trasporta non solo energia ma anche quantità di moto: colpendo una superficie, la spinge. La pressione esercitata da un’onda elettromagnetica è:

Pressione di radiazione

$\ev{P_\text{rad} = \frac{|\vec{I}|}{c}}$

Questa formula vale per una superficie che assorbe tutta la radiazione. Se invece la superficie la riflette completamente, la quantità di moto cambia di segno anziché azzerarsi, e la pressione raddoppia: $P_\text{rad} = 2|\vec{I}|/c$. Microscopicamente: i fotoni portano quantità di moto $p = E/c$, e cederla (o invertirla) genera una forza sulla superficie.

Esempio — Una vela solare

Con $|\vec{I}| = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ (l’irradianza solare all’orbita terrestre), la pressione di radiazione è $P_\text{rad} = \frac{1400}{3\cdot 10^8} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa}$ Una vela di $100\;\text{m}^2$ riceve una forza di soli $4{,}7\cdot 10^{-4}$ N: minuscola, ma costante e senza carburante. Il principio è usato in vere missioni spaziali come la sonda IKAROS (2010) e LightSail (2019).

La pressione di radiazione è pari alla densità di energia dell’onda (per un assorbitore): un legame profondo tra energia trasportata e spinta esercitata. Su scala astronomica è responsabile della coda delle comete, sempre orientata in direzione opposta al Sole.

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Light carries not only energy but also momentum: striking a surface, it pushes it. The pressure exerted by an electromagnetic wave is:

Radiation pressure

$\ev{P_\text{rad} = \frac{|\vec{I}|}{c}}$

This formula holds for a surface that absorbs all the radiation. If instead the surface reflects it completely, the momentum changes sign rather than vanishing, and the pressure doubles: $P_\text{rad} = 2|\vec{I}|/c$. Microscopically: photons carry momentum $p = E/c$, and transferring it (or reversing it) generates a force on the surface.

Example — A solar sail

With $|\vec{I}| = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ (the solar irradiance at Earth’s orbit), the radiation pressure is $P_\text{rad} = \frac{1400}{3\cdot 10^8} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa}$ A sail of $100\;\text{m}^2$ receives a force of just $4{,}7\cdot 10^{-4}$ N: minuscule, but constant and requiring no fuel. The principle is used in real space missions such as the IKAROS probe (2010) and LightSail (2019).

The radiation pressure equals the energy density of the wave (for an absorber): a deep link between energy carried and thrust exerted. On an astronomical scale it is responsible for the tail of comets, always pointing away from the Sun.

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