Esercizi — Le equazioni di Maxwell e le onde elettromagnetiche

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi svolti nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi, fantafisica).

Esercizi svolti nel testo

• Campo B variabile genera circuitazione di E
• Pannello solare
• Il Sole, Milano-Napoli e la perdita di massa

Problemi di fine capitolo

• Frequenza della luce gialla
• Lunghezza d’onda di una stazione FM
• Vero o falso sulle onde EM (1)
• Ampiezza E0 dall’irradianza solare
• Campo B tra le armature di un condensatore
• Corrente di spostamento e campo esterno
• Trasformatore ideale
• Pressione di radiazione all’orbita terrestre
• Intensità del WiFi a 10 metri
• Analisi dimensionale del vettore di Poynting
• Ranking intensità di quattro onde
• Forno a microonde
• Campo B nel condensatore in carica
• Ampiezze dell’onda solare
• Vela solare
• Quale onda EM
• Continuità di B
• Lunghezza d’onda FM (100 MHz)
• Ampiezza E0 da intensità
• Tempo luce Sole-Terra
• Antenne TV e polarizzazione
• Ranking lunghezze d’onda
• Vero o falso sulle onde EM (2)
• Pressione di radiazione al suolo
• Microonde, porcellana e metalli
• Velocità della luce da costanti del vuoto
• Lunghezza d’onda e antenna FM
• Energia di un fotone visibile
• Perché la corrente di spostamento
• Simmetria E-B e asimmetrie
• Onde EM senza mezzo
• Ranking energia del fotone
• Ranking lunghezze d’onda comuni
• Linea H-alpha
• Intensità da E0
• Fantafisica: epsilon0 raddoppia
• Fantafisica: senza corrente di spostamento
• Campo B in un condensatore in carica
• Sintesi: ampiezze e intensità
• Polarizzatori incrociati
• Pressione di radiazione e code delle comete
• Lettura grafico I vs r
• Cavità rettangolare a microonde
• Rapporto E0 su B0
• Quantità di moto di un impulso laser
• Onde EM e struttura del vuoto
• Ranking intensità a distanze diverse
• Potenza dalla densità di flusso
• Fantafisica: mu0 raddoppia
• Vela solare riflettente
• Polarizzatori incrociati con uno in mezzo
• Stima Fermi: stazione FM

All the chapter’s exercises, worked step-by-step, in order of appearance in the chapter: first the exercises worked through in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, Fermi estimates, sci-fi physics).

Exercises worked through in the text

• Time-varying B field generates a circulation of E
• Solar panel
• The Sun, Milan-Naples and mass loss

End-of-chapter problems

• Frequency of yellow light
• Wavelength of an FM station
• True or false about EM waves (1)
• Amplitude E0 from solar irradiance
• B field between the plates of a capacitor
• Displacement current and external field
• Ideal transformer
• Radiation pressure at Earth’s orbit
• WiFi intensity at 10 metres
• Dimensional analysis of the Poynting vector
• Ranking the intensity of four waves
• Microwave oven
• B field in a charging capacitor
• Amplitudes of the solar wave
• Solar sail
• Which EM wave
• Continuity of B
• FM wavelength (100 MHz)
• Amplitude E0 from intensity
• Light travel time Sun-Earth
• TV aerials and polarisation
• Ranking wavelengths
• True or false about EM waves (2)
• Radiation pressure at ground level
• Microwaves, china and metals
• Speed of light from vacuum constants
• Wavelength and FM aerial
• Energy of a visible photon
• Why the displacement current
• E-B symmetry and asymmetries
• EM waves without a medium
• Ranking photon energy
• Ranking common wavelengths
• H-alpha line
• Intensity from E0
• Sci-fi physics: epsilon0 doubles
• Sci-fi physics: without displacement current
• B field in a charging capacitor
• Summary: amplitudes and intensity
• Crossed polarisers
• Radiation pressure and comet tails
• Reading an I vs r graph
• Rectangular microwave cavity
• Ratio of E0 to B0
• Momentum of a laser pulse
• EM waves and the structure of the vacuum
• Ranking intensity at different distances
• Power from flux density
• Sci-fi physics: mu0 doubles
• Reflective solar sail
• Crossed polarisers with one in between
• Fermi estimate: FM station

Testo

In una regione dello spazio è presente un campo magnetico uniforme in direzione, perpendicolare a una superficie piana $S = 2\;\text{m}^2$, il cui modulo cresce nel tempo secondo $\abs{\vv B(t)} = 2t^2$ tesla (con $t$ in secondi). Calcola, all’istante $t = 3\;\text{s}$, la circuitazione del campo elettrico lungo il bordo chiuso $\gamma$ di $S$.

Soluzione

Impostazione. La legge di Faraday-Neumann (terza equazione di Maxwell in forma integrale) lega la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa $\gamma$ alla variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con la superficie $S$ delimitata da $\gamma$:

$\Gamma_E = \oint_\gamma \vv E \cdot \dd\vv\ell = -\ddt{\Phi_B}$

Flusso magnetico. Poiché $\vv B$ è perpendicolare alla superficie e uniforme su di essa, il flusso è semplicemente modulo per area:

$\Phi_B(t) = \abs{\vv B}\,S = (2t^2)\cdot 2 = 4t^2 \;\text{Wb}$

Derivata del flusso. Deriviamo rispetto al tempo:

$\ddt{\Phi_B} = \ddt{}\left(4t^2\right) = 8t \;\text{V}$

Valutazione a $t = 3\;\text{s}$.

$\left.\ddt{\Phi_B}\right|_{t=3} = 8\cdot 3 = 24 \;\text{V}$

Circuitazione. Per la legge di Faraday:

$\ev{\Gamma_E = -\ddt{\Phi_B} = -24\;\text{V}}$

Il segno meno esprime la legge di Lenz: il campo elettrico indotto si oppone all’aumento del flusso, cioè è orientato in modo da generare (se ci fosse un conduttore) una corrente che contrasta la crescita di $\vv B$.

Variante. Se invece il campo decrescesse esponenzialmente, $\abs{\vv B(t)} = B_0\,e^{-t/\tau}$, allora $\Phi_B = B_0 S\,e^{-t/\tau}$ e la forza elettromotrice indotta sarebbe

$\text{f.e.m.} = -\ddt{\Phi_B} = \frac{B_0 S}{\tau}\,e^{-t/\tau}$

positiva e via via calante: il campo che si spegne lentamente genera una circuitazione dello stesso segno del flusso residuo.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Flusso magnetico

Problem

In a region of space there is a magnetic field, uniform in direction, perpendicular to a flat surface $S = 2\;\text{m}^2$, whose magnitude grows in time according to $\abs{\vv B(t)} = 2t^2$ tesla (with $t$ in seconds). Calculate, at the instant $t = 3\;\text{s}$, the circulation of the electric field along the closed boundary $\gamma$ of $S$.

Solution

Setup. The Faraday-Neumann law (Maxwell’s third equation in integral form) relates the circulation of the electric field along a closed line $\gamma$ to the time variation of the magnetic flux linked with the surface $S$ bounded by $\gamma$:

$\Gamma_E = \oint_\gamma \vv E \cdot \dd\vv\ell = -\ddt{\Phi_B}$

Magnetic flux. Since $\vv B$ is perpendicular to the surface and uniform over it, the flux is simply magnitude times area:

$\Phi_B(t) = \abs{\vv B}\,S = (2t^2)\cdot 2 = 4t^2 \;\text{Wb}$

Derivative of the flux. We differentiate with respect to time:

$\ddt{\Phi_B} = \ddt{}\left(4t^2\right) = 8t \;\text{V}$

Evaluation at $t = 3\;\text{s}$.

$\left.\ddt{\Phi_B}\right|_{t=3} = 8\cdot 3 = 24 \;\text{V}$

Circulation. By Faraday’s law:

$\ev{\Gamma_E = -\ddt{\Phi_B} = -24\;\text{V}}$

The minus sign expresses Lenz’s law: the induced electric field opposes the increase in flux, i.e. it is oriented so as to generate (if there were a conductor) a current that counteracts the growth of $\vv B$.

Variant. If instead the field decreased exponentially, $\abs{\vv B(t)} = B_0\,e^{-t/\tau}$, then $\Phi_B = B_0 S\,e^{-t/\tau}$ and the induced electromotive force would be

$\text{e.m.f.} = -\ddt{\Phi_B} = \frac{B_0 S}{\tau}\,e^{-t/\tau}$

positive and gradually decreasing: the slowly dying field generates a circulation of the same sign as the residual flux.

Links

Topics: Electromagnetic waves Concepts: Faraday-Neumann-Lenz law · Magnetic flux

Testo

Un pannello solare di area $S = 2\;\text{m}^2$ è colpito dalla luce solare, di intensità $\abs{\vv I} = 1\;\text{kW/m}^2$. La direzione di propagazione della luce forma un angolo di $60^\circ$ con la normale al pannello. L’energia assorbita viene usata per scaldare $2\;\text{L}$ d’acqua da $20\,^\circ\text{C}$ a $100\,^\circ\text{C}$. Quanto tempo occorre? (calore specifico dell’acqua $c_s = 4186\;\text{J/(kg·K)}$)

Soluzione

Impostazione. L’intensità $\abs{\vv I}$ è la potenza per unità di superficie trasportata dall’onda (modulo del vettore di Poynting mediato). La potenza effettivamente raccolta dal pannello dipende dall’inclinazione: conta solo la componente del flusso lungo la normale, quindi compare $\cos 60^\circ$.

Potenza incidente sul pannello.

$P = \abs{\vv I}\,S\,\cos 60^\circ = 1000\cdot 2\cdot 0{,}5 = 1000\;\text{W}$

Energia necessaria a scaldare l’acqua. La massa di $2\;\text{L}$ d’acqua è $m = 2\;\text{kg}$; il salto termico è $\Delta T = 80\;\text{K}$:

$E = m\,c_s\,\Delta T = 2\cdot 4186\cdot 80 \approx 6{,}7\cdot 10^5\;\text{J}$

Tempo richiesto. Supponendo che tutta la potenza raccolta vada in calore all’acqua:

$t = \frac{E}{P} = \frac{6{,}7\cdot 10^5}{1000} \approx 670\;\text{s}$

$\ev{t \approx 670\;\text{s} \approx 11\;\text{min}}$

In pratica occorrerebbe più tempo, perché il rendimento reale è inferiore al $100\%$ e ci sono perdite di calore verso l’ambiente.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Vettore di Poynting · Intensità di un’onda

Problem

A solar panel of area $S = 2\;\text{m}^2$ is struck by sunlight, of intensity $\abs{\vv I} = 1\;\text{kW/m}^2$. The direction of propagation of the light forms an angle of $60^\circ$ with the normal to the panel. The absorbed energy is used to heat $2\;\text{L}$ of water from $20\,^\circ\text{C}$ to $100\,^\circ\text{C}$. How much time is needed? (specific heat of water $c_s = 4186\;\text{J/(kg·K)}$)

Solution

Setup. The intensity $\abs{\vv I}$ is the power per unit surface carried by the wave (magnitude of the time-averaged Poynting vector). The power actually collected by the panel depends on the tilt: only the component of the flux along the normal counts, hence the $\cos 60^\circ$ factor.

Power incident on the panel.

$P = \abs{\vv I}\,S\,\cos 60^\circ = 1000\cdot 2\cdot 0{,}5 = 1000\;\text{W}$

Energy needed to heat the water. The mass of $2\;\text{L}$ of water is $m = 2\;\text{kg}$; the temperature rise is $\Delta T = 80\;\text{K}$:

$E = m\,c_s\,\Delta T = 2\cdot 4186\cdot 80 \approx 6{,}7\cdot 10^5\;\text{J}$

Time required. Assuming all the collected power goes into heating the water:

$t = \frac{E}{P} = \frac{6{,}7\cdot 10^5}{1000} \approx 670\;\text{s}$

$\ev{t \approx 670\;\text{s} \approx 11\;\text{min}}$

In practice more time would be needed, because the real efficiency is below $100\%$ and there are heat losses to the environment.

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Vettore di Poynting · Intensità di un’onda

Testo

Sulla Terra la luce solare arriva con intensità $I_\oplus = 1000\;\text{W/m}^2$; la Terra dista $r_\oplus = 1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$ dal Sole. (a) Qual è la luminosità totale $P_\odot$ del Sole (potenza irradiata in tutte le direzioni)? (b) A quale distanza dal centro del Sole la pressione di radiazione uguaglia la pressione atmosferica $P_\text{atm} = 10^5\;\text{Pa}$? (c) A che ritmo (in kg/s) il Sole perde massa a causa dell’irraggiamento?

Soluzione

(a) Luminosità del Sole. L’energia si distribuisce su sfere concentriche: l’intensità a distanza $r$ è $I = P_\odot/(4\pi r^2)$. Alla distanza della Terra vale $I_\oplus$, quindi

$P_\odot = I_\oplus\,4\pi r_\oplus^2 = 1000\cdot 4\pi\cdot (1{,}5\cdot 10^{11})^2 \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}$

$\ev{P_\odot \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}}$

(b) Distanza a cui la pressione di radiazione uguaglia $P_\text{atm}$. Per assorbimento completo la pressione di radiazione è $P_\text{rad} = I/c$. Imponendo $P_\text{rad} = P_\text{atm}$ serve un’intensità

$I = c\,P_\text{atm} = 3\cdot 10^8\cdot 10^5 = 3\cdot 10^{13}\;\text{W/m}^2$

Da $I = P_\odot/(4\pi r^2)$ ricaviamo la distanza dal centro:

$r = \sqrt{\frac{P_\odot}{4\pi I}} = \sqrt{\frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{4\pi\cdot 3\cdot 10^{13}}} \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m}$

$\ev{r \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m} \approx 860\;\text{km}}$

È una distanza ancora ben dentro il Sole (il raggio solare è circa $7\cdot 10^8\;\text{m}$): la pressione di radiazione diventa “atmosferica” solo a $860\;\text{km}$ dal centro, all’incirca quanto la distanza Milano-Napoli ($\sim 770\;\text{km}$).

(c) Perdita di massa per irraggiamento. Ogni energia irradiata corrisponde, per equivalenza massa-energia $E = mc^2$, a una massa persa. La potenza $P_\odot$ equivale a un tasso di perdita di massa

$\dot m = \frac{P_\odot}{c^2} = \frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}$

$\ev{\dot m \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}}$

Circa $4$ milioni di tonnellate al secondo trasformate in luce: enorme in assoluto, ma trascurabile rispetto alla massa totale del Sole ($\sim 2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$).

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda · Pressione di radiazione · Equivalenza massa-energia Competenze: Stime di Fermi

Problem

On Earth sunlight arrives with intensity $I_\oplus = 1000\;\text{W/m}^2$; the Earth is $r_\oplus = 1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$ from the Sun. (a) What is the Sun’s total luminosity $P_\odot$ (power radiated in all directions)? (b) At what distance from the Sun’s centre does the radiation pressure equal atmospheric pressure $P_\text{atm} = 10^5\;\text{Pa}$? (c) At what rate (in kg/s) does the Sun lose mass due to radiation?

Solution

(a) Luminosity of the Sun. Energy spreads over concentric spheres: the intensity at distance $r$ is $I = P_\odot/(4\pi r^2)$. At the Earth’s distance it equals $I_\oplus$, so

$P_\odot = I_\oplus\,4\pi r_\oplus^2 = 1000\cdot 4\pi\cdot (1{,}5\cdot 10^{11})^2 \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}$

$\ev{P_\odot \approx 2{,}8\cdot 10^{26}\;\text{W}}$

(b) Distance at which the radiation pressure equals $P_\text{atm}$. For complete absorption the radiation pressure is $P_\text{rad} = I/c$. Setting $P_\text{rad} = P_\text{atm}$ requires an intensity

$I = c\,P_\text{atm} = 3\cdot 10^8\cdot 10^5 = 3\cdot 10^{13}\;\text{W/m}^2$

From $I = P_\odot/(4\pi r^2)$ we obtain the distance from the centre:

$r = \sqrt{\frac{P_\odot}{4\pi I}} = \sqrt{\frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{4\pi\cdot 3\cdot 10^{13}}} \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m}$

$\ev{r \approx 8{,}6\cdot 10^5\;\text{m} \approx 860\;\text{km}}$

This distance is still well inside the Sun (the solar radius is about $7\cdot 10^8\;\text{m}$): the radiation pressure only becomes “atmospheric” at $860\;\text{km}$ from the centre, roughly the same as the distance between Milan and Naples ($\sim 770\;\text{km}$).

(c) Mass loss due to radiation. By mass-energy equivalence $E = mc^2$, every unit of radiated energy corresponds to a mass loss. The power $P_\odot$ corresponds to a mass-loss rate

$\dot m = \frac{P_\odot}{c^2} = \frac{2{,}8\cdot 10^{26}}{(3\cdot 10^8)^2} \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}$

$\ev{\dot m \approx 4{,}4\cdot 10^9\;\text{kg/s}}$

About $4$ million tonnes per second turned into light: enormous in absolute terms, but negligible compared with the Sun’s total mass ($\sim 2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$).

Connections

Topics: Electromagnetic waves Concepts: Intensity of a wave · Radiation pressure · Mass-energy equivalence Skills: Fermi estimates

Testo

La luce gialla ha lunghezza d’onda $\lambda = 600\;\text{nm}$ nel vuoto. Calcola la sua frequenza (usa $c = 3{,}0\cdot 10^8\;\text{m/s}$).

Soluzione

Impostazione. Per ogni onda vale $c = \lambda f$, quindi $f = c/\lambda$. Prima convertiamo la lunghezza d’onda in metri: $600\;\text{nm} = 600\cdot 10^{-9}\;\text{m} = 6{,}0\cdot 10^{-7}\;\text{m}$.

Calcolo.

$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}0\cdot 10^8}{6{,}0\cdot 10^{-7}} \approx 5{,}0\cdot 10^{14}\;\text{Hz}$

$\ev{f \approx 5{,}0\cdot 10^{14}\;\text{Hz}}$

Circa $500$ terahertz, valore tipico della luce visibile.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Competenze: Conversione di unità

Problem

Yellow light has wavelength $\lambda = 600\;\text{nm}$ in vacuum. Calculate its frequency (use $c = 3{,}0\cdot 10^8\;\text{m/s}$).

Solution

Setting up. For every wave $c = \lambda f$, so $f = c/\lambda$. First convert the wavelength to metres: $600\;\text{nm} = 600\cdot 10^{-9}\;\text{m} = 6{,}0\cdot 10^{-7}\;\text{m}$.

Calculation.

$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}0\cdot 10^8}{6{,}0\cdot 10^{-7}} \approx 5{,}0\cdot 10^{14}\;\text{Hz}$

$\ev{f \approx 5{,}0\cdot 10^{14}\;\text{Hz}}$

About $500$ terahertz, a typical value for visible light.

Connections

Topics: Electromagnetic waves Skills: Unit conversion

Testo

Una stazione radio FM trasmette alla frequenza $f = 2\cdot 10^8\;\text{Hz}$. Calcola la lunghezza d’onda del segnale (usa $c = 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$).

Soluzione

Impostazione. Dalla relazione fondamentale delle onde $c = \lambda f$ si ricava $\lambda = c/f$.

Calcolo.

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^8}{2\cdot 10^8} = 1{,}5\;\text{m}$

$\ev{\lambda = 1{,}5\;\text{m}}$

Le onde radio FM hanno lunghezze d’onda di qualche metro, molto maggiori di quelle della luce visibile.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Competenze: Conversione di unità

Problem

An FM radio station broadcasts at frequency $f = 2\cdot 10^8\;\text{Hz}$. Calculate the wavelength of the signal (use $c = 3\cdot 10^8\;\text{m/s}$).

Solution

Setup. From the fundamental wave relation $c = \lambda f$ we get $\lambda = c/f$.

Calculation.

$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^8}{2\cdot 10^8} = 1{,}5\;\text{m}$

$\ev{\lambda = 1{,}5\;\text{m}}$

FM radio waves have wavelengths of a few metres, much longer than those of visible light.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Competenze: Conversione di unità

Testo

Stabilisci se ciascuna affermazione è vera o falsa. (a) Un’onda elettromagnetica nel vuoto ha $\abs{\vv E}/\abs{\vv B} = c$. (b) La luce rossa ha lunghezza d’onda maggiore di quella blu. (c) Le onde elettromagnetiche sono longitudinali. (d) Un’onda elettromagnetica trasporta sia energia sia quantità di moto.

Soluzione

(a) Vero. Nel vuoto i moduli dei campi di un’onda EM sono in ogni istante legati da $\abs{\vv E} = c\,\abs{\vv B}$, quindi il loro rapporto è proprio la velocità della luce: $\abs{\vv E}/\abs{\vv B} = c$.

(b) Vero. Nello spettro visibile la lunghezza d’onda cresce dal violetto/blu ($\sim 450\;\text{nm}$) verso il rosso ($\sim 700\;\text{nm}$). Il rosso ha $\lambda$ maggiore (e frequenza minore) del blu.

(c) Falso. Le onde EM sono trasversali: i campi $\vv E$ e $\vv B$ oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione (e tra loro).

(d) Vero. Un’onda EM trasporta energia (descritta dal vettore di Poynting) e anche quantità di moto: quest’ultima è responsabile della pressione di radiazione.

$\ev{\text{(a) V}\quad\text{(b) V}\quad\text{(c) F}\quad\text{(d) V}}$

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Onda elettromagnetica

Problem

Determine whether each statement is true or false. (a) An electromagnetic wave in vacuum has $\abs{\vv E}/\abs{\vv B} = c$. (b) Red light has a longer wavelength than blue light. (c) Electromagnetic waves are longitudinal. (d) An electromagnetic wave carries both energy and momentum.

Solution

(a) True. In vacuum the magnitudes of the fields of an EM wave are related at every instant by $\abs{\vv E} = c\,\abs{\vv B}$, so their ratio is exactly the speed of light: $\abs{\vv E}/\abs{\vv B} = c$.

(b) True. In the visible spectrum the wavelength increases from violet/blue ($\sim 450\;\text{nm}$) towards red ($\sim 700\;\text{nm}$). Red has a longer $\lambda$ (and lower frequency) than blue.

(c) False. EM waves are transverse: the fields $\vv E$ and $\vv B$ oscillate perpendicular to the direction of propagation (and to each other).

(d) True. An EM wave carries energy (described by the Poynting vector) and also momentum: the latter is responsible for radiation pressure.

$\ev{\text{(a) T}\quad\text{(b) T}\quad\text{(c) F}\quad\text{(d) T}}$

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Onda elettromagnetica

Testo

Un’onda elettromagnetica piana ha intensità media $\langle I\rangle = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ (l’irradianza solare in orbita terrestre). Calcola l’ampiezza $E_0$ del campo elettrico, usando la relazione $\langle I\rangle = E_0^2/(2c\mu_0)$.

Soluzione

Impostazione. Invertiamo la formula dell’intensità media per ricavare $E_0$:

$E_0 = \sqrt{2c\mu_0\,\langle I\rangle}$

Sostituzione numerica. Con $c = 3{,}00\cdot 10^8\;\text{m/s}$, $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{F/m}$ e $\langle I\rangle = 1{,}4\cdot 10^3\;\text{W/m}^2$:

$E_0 = \sqrt{2\cdot 3{,}00\cdot 10^8\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1{,}4\cdot 10^3} \approx 1{,}0\cdot 10^3\;\text{V/m}$

$\ev{E_0 \approx 1{,}0\cdot 10^3\;\text{V/m}}$

Circa un kilovolt al metro: l’ampiezza tipica del campo elettrico della luce solare appena fuori dall’atmosfera.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda

Problem

A plane electromagnetic wave has average intensity $\langle I\rangle = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ (the solar irradiance in Earth orbit). Calculate the amplitude $E_0$ of the electric field, using the relation $\langle I\rangle = E_0^2/(2c\mu_0)$.

Solution

Setup. We invert the average intensity formula to find $E_0$:

$E_0 = \sqrt{2c\mu_0\,\langle I\rangle}$

Numerical substitution. With $c = 3{,}00\cdot 10^8\;\text{m/s}$, $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{F/m}$ and $\langle I\rangle = 1{,}4\cdot 10^3\;\text{W/m}^2$:

$E_0 = \sqrt{2\cdot 3{,}00\cdot 10^8\cdot 4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 1{,}4\cdot 10^3} \approx 1{,}0\cdot 10^3\;\text{V/m}$

$\ev{E_0 \approx 1{,}0\cdot 10^3\;\text{V/m}}$

About a kilovolt per metre: the typical amplitude of the electric field of sunlight just outside the atmosphere.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda

Testo

Un condensatore ha armature circolari di raggio $R_0 = 5\;\text{cm}$. Tra le armature il campo elettrico cresce al ritmo $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$. Il campo magnetico generato dalla corrente di spostamento, a distanza $r$ dall’asse (con $r < R_0$), vale $B(r) = \mu_0\varepsilon_0\,r\,(\dd E/\dd t)/2$. Calcolalo a $r = 1\;\text{cm}$. (Ricorda $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$.)

Soluzione

Impostazione. La variazione del campo elettrico tra le armature agisce come una corrente di spostamento e genera un campo magnetico circolare. Usando $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$:

$B(r) = \frac{1}{c^2}\,\frac{r}{2}\,\ddt{E}$

Sostituzione numerica. Con $r = 1\;\text{cm} = 0{,}01\;\text{m}$, $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$ e $c^2 = 9\cdot 10^{16}\;\text{m}^2/\text{s}^2$:

$B = \frac{1}{9\cdot 10^{16}}\cdot\frac{0{,}01}{2}\cdot 10^{10} \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}$

$\ev{B \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}}$

Il campo magnetico prodotto dalla corrente di spostamento è piccolissimo (frazioni di nanotesla), ma la sua esistenza è essenziale: è il termine di Maxwell che rende possibili le onde elettromagnetiche.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Campo magnetico

Problem

A capacitor has circular plates of radius $R_0 = 5\;\text{cm}$. Between the plates the electric field grows at the rate $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$. The magnetic field generated by the displacement current, at distance $r$ from the axis (with $r < R_0$), is $B(r) = \mu_0\varepsilon_0\,r\,(\dd E/\dd t)/2$. Calculate it at $r = 1\;\text{cm}$. (Recall $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$.)

Solution

Setup. The changing electric field between the plates acts as a displacement current and generates a circular magnetic field. Using $\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$:

$B(r) = \frac{1}{c^2}\,\frac{r}{2}\,\ddt{E}$

Numerical substitution. With $r = 1\;\text{cm} = 0{,}01\;\text{m}$, $\dd E/\dd t = 10^{10}\;\text{V/(m·s)}$ and $c^2 = 9\cdot 10^{16}\;\text{m}^2/\text{s}^2$:

$B = \frac{1}{9\cdot 10^{16}}\cdot\frac{0{,}01}{2}\cdot 10^{10} \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}$

$\ev{B \approx 5{,}6\cdot 10^{-10}\;\text{T}}$

The magnetic field produced by the displacement current is tiny (fractions of a nanotesla), but its existence is essential: it is the Maxwell term that makes electromagnetic waves possible.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Campo magnetico

Testo

Usando la legge di Ampère-Maxwell, spiega perché il campo magnetico generato dalla corrente di spostamento tra le armature di un condensatore in carica è, all’esterno del condensatore ($r > R_0$, con $R_0$ raggio delle armature), del tutto indistinguibile da quello che produrrebbe una corrente $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,(\dd E/\dd t)$ che scorresse in un filo rettilineo lungo l’asse.

Soluzione

Impostazione. La legge di Ampère-Maxwell afferma che la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa $\gamma$ dipende sia dalla corrente di conduzione concatenata sia dalla variazione del flusso elettrico attraverso una qualsiasi superficie che si appoggia su $\gamma$:

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0 i_\text{cond} + \mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E}$

Scelta della linea. Prendiamo come $\gamma$ una circonferenza di raggio $r > R_0$ centrata sull’asse del condensatore, coassiale con le armature. Tra le armature non c’è corrente di conduzione ($i_\text{cond} = 0$): il campo magnetico è dovuto solo al termine di spostamento.

Flusso elettrico concatenato. Il campo elettrico è confinato tra le armature, all’interno del disco di raggio $R_0$. Perciò il flusso elettrico attraverso qualunque superficie appoggiata su $\gamma$ è dovuto solo a quel disco:

$\Phi_E = E\,\pi R_0^2$

ed è quindi indipendente da $r$: qualunque sia il raggio della linea (purché $r > R_0$), il flusso concatenato è sempre lo stesso.

Termine di spostamento. Derivando:

$\mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E} = \mu_0\,i \qquad\text{con}\qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}$

Conclusione. La circuitazione diventa allora

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0\,i$

che è esattamente la legge di Ampère per un filo rettilineo percorso da corrente $i$. Per simmetria $B$ è costante lungo $\gamma$ e tangente, quindi $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r = \mu_0 i$, da cui

$\ev{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}, \qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}}$

identico al campo di un filo. All’esterno non si può distinguere la corrente di spostamento tra le armature da una vera corrente di conduzione nel filo: è proprio questa continuità che garantisce la coerenza delle equazioni di Maxwell.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère

Problem

Using the Ampère-Maxwell law, explain why the magnetic field generated by the displacement current between the plates of a charging capacitor is, outside the capacitor ($r > R_0$, with $R_0$ the plate radius), completely indistinguishable from that produced by a current $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,(\dd E/\dd t)$ flowing in a straight wire along the axis.

Solution

Setup. The Ampère-Maxwell law states that the circulation of the magnetic field along a closed path $\gamma$ depends both on the enclosed conduction current and on the rate of change of the electric flux through any surface bounded by $\gamma$:

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0 i_\text{cond} + \mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E}$

Choice of path. Take as $\gamma$ a circle of radius $r > R_0$ centred on the capacitor’s axis, coaxial with the plates. Between the plates there is no conduction current ($i_\text{cond} = 0$): the magnetic field is due solely to the displacement term.

Enclosed electric flux. The electric field is confined between the plates, within the disc of radius $R_0$. So the electric flux through any surface bounded by $\gamma$ is due only to that disc:

$\Phi_E = E\,\pi R_0^2$

and is therefore independent of $r$: whatever the radius of the path (provided $r > R_0$), the enclosed flux is always the same.

Displacement term. Differentiating:

$\mu_0\varepsilon_0\,\ddt{\Phi_E} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E} = \mu_0\,i \qquad\text{with}\qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}$

Conclusion. The circulation then becomes

$\oint_\gamma \vv B\cdot\dd\vv\ell = \mu_0\,i$

which is exactly Ampère’s law for a straight wire carrying current $i$. By symmetry $B$ is constant along $\gamma$ and tangential, so $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r = \mu_0 i$, giving

$\ev{B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}, \qquad i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,\ddt{E}}$

identical to the field of a wire. Outside the capacitor, the displacement current between the plates cannot be distinguished from a genuine conduction current in the wire: it is precisely this continuity that guarantees the consistency of Maxwell’s equations.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Corrente di spostamento · Teorema di Ampère

Testo

Un trasformatore ideale ha $N_1 = 1000$ spire al primario e $N_2 = 50$ spire al secondario. Il primario è alimentato dalla rete italiana, $V_1 = 230\;\text{V}$ efficaci, e il secondario è chiuso su un carico resistivo $R = 1{,}3\;\Omega$. Calcola la tensione $V_2$ al secondario e la corrente $i_2$ che circola nel carico.

Soluzione

Impostazione. In un trasformatore ideale il rapporto tra le tensioni è uguale al rapporto tra i numeri di spire (conseguenza della legge di Faraday-Neumann applicata al flusso comune ai due avvolgimenti):

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}$

Tensione al secondario.

$V_2 = V_1\,\frac{N_2}{N_1} = 230\cdot\frac{50}{1000} = 11{,}5\;\text{V}$

Corrente nel carico. Applicando la legge di Ohm al resistore:

$i_2 = \frac{V_2}{R} = \frac{11{,}5}{1{,}3} \approx 8{,}8\;\text{A}$

$\ev{V_2 = 11{,}5\;\text{V}, \qquad i_2 \approx 8{,}8\;\text{A}}$

Il trasformatore abbassa la tensione (rapporto spire $20:1$) e, corrispondentemente, permette al secondario correnti più intense di quelle del primario.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Corrente alternata

Problem

An ideal transformer has $N_1 = 1000$ turns on the primary and $N_2 = 50$ turns on the secondary. The primary is fed from the Italian mains, $V_1 = 230\;\text{V}$ rms, and the secondary is closed on a resistive load $R = 1{,}3\;\Omega$. Calculate the voltage $V_2$ on the secondary and the current $i_2$ flowing in the load.

Solution

Setup. In an ideal transformer the ratio between the voltages equals the ratio between the numbers of turns (a consequence of Faraday-Neumann’s law applied to the flux common to the two windings):

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}$

Secondary voltage.

$V_2 = V_1\,\frac{N_2}{N_1} = 230\cdot\frac{50}{1000} = 11{,}5\;\text{V}$

Current in the load. Applying Ohm’s law to the resistor:

$i_2 = \frac{V_2}{R} = \frac{11{,}5}{1{,}3} \approx 8{,}8\;\text{A}$

$\ev{V_2 = 11{,}5\;\text{V}, \qquad i_2 \approx 8{,}8\;\text{A}}$

The transformer steps down the voltage (turns ratio $20:1$) and, correspondingly, allows more intense currents in the secondary than in the primary.

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Corrente alternata

Testo

Stima la pressione di radiazione esercitata dalla luce solare all’orbita terrestre, sapendo che l’irradianza vale $I = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ e supponendo assorbimento completo. Confrontala con la pressione atmosferica ($\sim 10^5\;\text{Pa}$).

Soluzione

Impostazione. Per una superficie che assorbe completamente la radiazione, la pressione di radiazione è il rapporto tra l’intensità e la velocità della luce:

$P_\text{rad} = \frac{I}{c}$

Sostituzione numerica.

$P_\text{rad} = \frac{1400}{3\cdot 10^8} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa}$

$\ev{P_\text{rad} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa} = 4{,}7\;\mu\text{Pa}}$

Confronto con l’atmosfera.

$\frac{P_\text{rad}}{P_\text{atm}} = \frac{4{,}7\cdot 10^{-6}}{10^5} \approx 5\cdot 10^{-11}$

La pressione di radiazione è circa $50$ miliardi di volte più piccola di quella atmosferica: minuscola sulla scala quotidiana, ma non trascurabile per vele solari e per l’equilibrio delle stelle.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Pressione di radiazione Competenze: Stime di Fermi

Problem

Estimate the radiation pressure exerted by sunlight at Earth’s orbit, knowing that the irradiance is $I = 1{,}4\;\text{kW/m}^2$ and assuming complete absorption. Compare it with atmospheric pressure ($\sim 10^5\;\text{Pa}$).

Solution

Setup. For a surface that completely absorbs the radiation, the radiation pressure is the ratio between the intensity and the speed of light:

$P_\text{rad} = \frac{I}{c}$

Numerical substitution.

$P_\text{rad} = \frac{1400}{3\cdot 10^8} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa}$

$\ev{P_\text{rad} \approx 4{,}7\cdot 10^{-6}\;\text{Pa} = 4{,}7\;\mu\text{Pa}}$

Comparison with the atmosphere.

$\frac{P_\text{rad}}{P_\text{atm}} = \frac{4{,}7\cdot 10^{-6}}{10^5} \approx 5\cdot 10^{-11}$

The radiation pressure is about $50$ billion times smaller than atmospheric pressure: tiny on the everyday scale, but not negligible for solar sails and for the equilibrium of stars.

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Pressione di radiazione Skills: Stime di Fermi

Testo

Un modem Wi-Fi domestico irradia una potenza $P\approx 100$ mW in modo quasi isotropo (uniforme in tutte le direzioni). Stima l’intensità $\abs{\vv I}$ dell’onda elettromagnetica a distanza $r=10$ m dal modem. L’esposizione è molto inferiore a quella della luce solare diurna ($\sim 10^3$ W/m²)?

Soluzione

Impostazione. Con emissione isotropa la potenza $P$ si distribuisce uniformemente su una sfera di raggio $r$, la cui superficie è $4\pi r^2$. L’intensità è potenza per unità di superficie:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Calcolo. Con $P=0{,}1$ W e $r=10$ m si ha $4\pi r^2=4\pi\cdot 100\approx 1{,}26\cdot 10^3$ m²:

$I=\frac{0{,}1}{4\pi\cdot 100}\approx 8\cdot 10^{-5}\;\text{W/m}^2$

$\ev{I\approx 8\cdot 10^{-5}\sim 10^{-4}\;\text{W/m}^2}$

Confronto. Rispetto alla luce solare $\sim 10^3$ W/m²:

$\frac{10^3}{10^{-4}}=10^{7}$

L’esposizione al Wi-Fi è circa $10^7$ volte più debole della luce solare diurna: del tutto trascurabile.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda Competenze: Stime di Fermi

Problem

A home Wi-Fi modem radiates a power $P\approx 100$ mW in an almost isotropic way (uniform in all directions). Estimate the intensity $\abs{\vv I}$ of the electromagnetic wave at a distance $r=10$ m from the modem. Is the exposure much lower than that of daytime sunlight ($\sim 10^3$ W/m²)?

Solution

Setup. With isotropic emission the power $P$ is spread uniformly over a sphere of radius $r$, whose surface is $4\pi r^2$. The intensity is power per unit surface:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Calculation. With $P=0{,}1$ W and $r=10$ m, $4\pi r^2=4\pi\cdot 100\approx 1{,}26\cdot 10^3$ m²:

$I=\frac{0{,}1}{4\pi\cdot 100}\approx 8\cdot 10^{-5}\;\text{W/m}^2$

$\ev{I\approx 8\cdot 10^{-5}\sim 10^{-4}\;\text{W/m}^2}$

Comparison. Compared with sunlight $\sim 10^3$ W/m²:

$\frac{10^3}{10^{-4}}=10^{7}$

Wi-Fi exposure is about $10^7$ times weaker than daytime sunlight: entirely negligible.

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Intensità di un’onda Skills: Stime di Fermi

Testo

Verifica dimensionalmente che il vettore di Poynting $\vv I=\dfrac{\vv E\times\vv B}{\mu_0}$ ha le dimensioni di una potenza per unità di superficie (W/m²). Usa $[E]=$ V/m, $[B]=$ T, $[\mu_0]=$ T·m/A.

Soluzione

Impostazione. Sostituiamo le unità di misura nella formula e semplifichiamo, ricordando che $1$ V·A $=1$ W (potenza = tensione per corrente).

Passo 1 — inserisco le unità.

$[I]=\frac{[E]\,[B]}{[\mu_0]}=\frac{(\text{V/m})\,(\text{T})}{\text{T·m/A}}$

Passo 2 — la tesla si semplifica.

$[I]=\frac{\text{V/m}\cdot\text{A}}{\text{m}}=\frac{\text{V·A}}{\text{m}^2}$

Passo 3 — uso $1$ V·A $=1$ W.

$\ev{[I]=\frac{\text{V·A}}{\text{m}^2}=\frac{\text{W}}{\text{m}^2}}$

Le dimensioni sono effettivamente quelle di un’intensità (potenza per superficie).

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Vettore di Poynting Competenze: Analisi dimensionale

Problem

Verify dimensionally that the Poynting vector $\vv I=\dfrac{\vv E\times\vv B}{\mu_0}$ has the dimensions of a power per unit surface (W/m²). Use $[E]=$ V/m, $[B]=$ T, $[\mu_0]=$ T·m/A.

Solution

Setup. We substitute the units of measure into the formula and simplify, remembering that $1$ V·A $=1$ W (power = voltage times current).

Step 1 — insert the units.

$[I]=\frac{[E]\,[B]}{[\mu_0]}=\frac{(\text{V/m})\,(\text{T})}{\text{T·m/A}}$

Step 2 — the tesla cancels.

$[I]=\frac{\text{V/m}\cdot\text{A}}{\text{m}}=\frac{\text{V·A}}{\text{m}^2}$

Step 3 — use $1$ V·A $=1$ W.

$\ev{[I]=\frac{\text{V·A}}{\text{m}^2}=\frac{\text{W}}{\text{m}^2}}$

The dimensions are indeed those of an intensity (power per surface).

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Vettore di Poynting Skills: Analisi dimensionale

Testo

Quattro onde elettromagnetiche piane nel vuoto hanno ampiezza del campo elettrico: (A) $E_0=10$ V/m; (B) $E_0=100$ V/m; (C) $E_0=300$ V/m; (D) $E_0=50$ V/m. Ordina le loro intensità (media temporale del vettore di Poynting) dalla più piccola alla più grande. Ricorda che $I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2$.

Soluzione

Impostazione. Nella formula $I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2$ i fattori $\tfrac12\varepsilon_0 c$ sono uguali per tutte le onde: l’intensità dipende solo da $E_0^2$.

$I\propto E_0^2$

Passo — confronto i quadrati delle ampiezze.

$10^2=100<50^2=2500<100^2=10^4<300^2=9\cdot 10^4$

Poiché l’intensità cresce con $E_0^2$, l’ordine delle intensità segue lo stesso ordine.

$\ev{I_A<I_D<I_B<I_C}$

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Intensità di un’onda Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Four plane electromagnetic waves in vacuum have electric field amplitude: (A) $E_0=10$ V/m; (B) $E_0=100$ V/m; (C) $E_0=300$ V/m; (D) $E_0=50$ V/m. Order their intensities (time average of the Poynting vector) from smallest to largest. Remember that $I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2$.

Solution

Setup. In the formula $I=\tfrac12\varepsilon_0 c E_0^2$ the factors $\tfrac12\varepsilon_0 c$ are the same for all the waves: the intensity depends only on $E_0^2$.

$I\propto E_0^2$

Step — compare the squares of the amplitudes.

$10^2=100<50^2=2500<100^2=10^4<300^2=9\cdot 10^4$

Since the intensity grows with $E_0^2$, the order of the intensities follows the same order.

$\ev{I_A<I_D<I_B<I_C}$

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Testo

Un forno a microonde lavora a frequenza $f\approx 2{,}45$ GHz, corrispondente a una lunghezza d’onda $\lambda\approx 12$ cm. (a) Perché il cibo deve ruotare sul piatto? (b) Perché una fetta di pane asciutta non si scalda come una zuppa? (c) Perché la porta ha una griglia metallica, eppure si vede l’interno?

Soluzione

(a) Il piatto rotante. Dentro la cavità metallica le microonde si riflettono sulle pareti e interferiscono, formando onde stazionarie con nodi (campo minimo) e ventri (campo massimo) in posizioni fisse. Se il cibo restasse fermo, si scalderebbe molto nei ventri e poco nei nodi. La rotazione fa passare ogni porzione attraverso zone diverse, uniformando il riscaldamento.

(b) Pane asciutto contro zuppa. Le microonde cedono energia soprattutto alle molecole d’acqua, dipoli che ruotano seguendo il campo oscillante e si scaldano per attrito molecolare. La zuppa è quasi tutta acqua e assorbe molto; il pane asciutto ne contiene poca, quindi si scalda molto meno.

(c) La griglia sulla porta. Il comportamento di una maglia metallica dipende dal confronto tra la sua dimensione $d$ e la lunghezza d’onda:

$d\ll\lambda_\text{micro}\approx 12\;\text{cm}\qquad d\gg\lambda_\text{visibile}\approx 5\cdot 10^{-7}\;\text{m}$

Per le microonde i fori sono piccolissimi: la griglia si comporta come una parete continua e le riflette (schermatura). Per la luce visibile i fori sono enormi: la luce passa e si vede l’interno.

In sintesi $d\ll\lambda$) ma è trasparente alla luce ($d\gg\lambda$).

Stesso oggetto, effetti opposti a lunghezze d’onda diverse: la griglia blocca le microonde (

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Onda elettromagnetica

Problem

A microwave oven operates at frequency $f\approx 2{,}45$ GHz, corresponding to a wavelength $\lambda\approx 12$ cm. (a) Why must the food turn on the plate? (b) Why doesn’t a dry slice of bread heat up like a soup? (c) Why does the door have a metal grille, yet you can still see inside?

Solution

(a) The rotating plate. Inside the metal cavity the microwaves reflect off the walls and interfere, forming standing waves with nodes (minimum field) and antinodes (maximum field) at fixed positions. If the food stayed still, it would heat up a lot at the antinodes and little at the nodes. Rotation makes each portion pass through different zones, evening out the heating.

(b) Dry bread versus soup. Microwaves give up energy mainly to water molecules, dipoles that rotate following the oscillating field and heat up through molecular friction. Soup is almost entirely water and absorbs a lot; dry bread contains little, so it heats up much less.

(c) The grille on the door. The behaviour of a metal mesh depends on the comparison between its size $d$ and the wavelength:

$d\ll\lambda_\text{micro}\approx 12\;\text{cm}\qquad d\gg\lambda_\text{visibile}\approx 5\cdot 10^{-7}\;\text{m}$

For microwaves the holes are tiny: the grille behaves like a continuous wall and reflects them (shielding). For visible light the holes are enormous: the light passes through and you can see inside.

In summary $d\ll\lambda$) but is transparent to light ($d\gg\lambda$).

Same object, opposite effects at different wavelengths: the grille blocks microwaves (

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Topics: Onde elettromagnetiche Concepts: Onda elettromagnetica

Testo

Un condensatore piano ad armature circolari di raggio $R=5{,}0$ cm è caricato da una corrente costante $i=2{,}0$ A; il campo $\vv E$ fra le armature cresce linearmente nel tempo. (a) Scrivi la legge di Ampère-Maxwell lungo un cerchio di raggio $r<R$ centrato sull’asse. (b) Ricava $\abs{\vv B}=\dfrac{\mu_0 i r}{2\pi R^2}$ e mostra che in $r=R$ si raccorda con il campo esterno $\dfrac{\mu_0 i}{2\pi R}$. (c) Disegna l’andamento $\abs{\vv B}(r)$.